道(位相)

1・3・4：$s\mapsto1-s$ は $I$ から $I$ への連続写像なので、いずれも連続写像の合成として連続であり、端点の値は定義から直ちに分かる。
2：連続性を閉集合の逆像で確かめる。$F\subset X$ を閉集合とすると
$$ (\gamma\cdot\delta)^{-1}(F)=\{s\in[0,1/2]\mid \gamma(2s)\in F\}\cup\{s\in[1/2,1]\mid \delta(2s-1)\in F\} $$
である。右辺の第 1 項は、連続写像 $[0,1/2]\to I$、$s\mapsto2s$ による閉集合 $\gamma^{-1}(F)$ の逆像なので $[0,1/2]$ の閉集合であり、$[0,1/2]$ は $I$ の閉集合なので $I$ の閉集合でもある。第 2 項も同様に $I$ の閉集合である。よって逆像は閉集合であり、$\gamma\cdot\delta$ は連続である。端点は $(\gamma\cdot\delta)(0)=\gamma(0)=x$、$(\gamma\cdot\delta)(1)=\delta(1)=z$ である。$\square$

$e(t)=e(t')$ となるのは、$\cos$ と $\sin$ の周期性により $t-t'\in\mathbb{Z}$ のとき、すなわち $t,t'\in I$ では $t=t'$ または $\{t,t'\}=\{0,1\}$ のときに限る。
一意性：$e$ は全射なので、$\ell\circ e=\gamma$ から $\ell$ の値はすべて決まる。
存在：$z\in S^1$ に対し $z=e(t)$ となる $t$ をとり $\ell(z):=\gamma(t)$ とおく。$t$ の取り方の違いは $\{0,1\}$ の取り替えだけで、$\gamma(0)=\gamma(1)$ なので $\ell$ は矛盾なく定まり、$\ell\circ e=\gamma$、$\ell(1,0)=\gamma(0)=x$ である。$\ell$ が連続であることを示す。$F\subset X$ を閉集合とすると、$e$ が全射であることから
$$ \ell^{-1}(F)=\{e(t)\mid t\in I,\ \gamma(t)\in F\}=e\bigl(\gamma^{-1}(F)\bigr) $$
である。$\gamma^{-1}(F)$ はコンパクト空間 $I$ の閉集合なのでコンパクトであり、その連続像 $e(\gamma^{-1}(F))$ は $S^1$ のコンパクト集合である。$S^1$ はHausdorff空間なので、コンパクト集合は閉集合である。よって $\ell^{-1}(F)$ は閉であり、$\ell$ は連続である。
逆向きの主張は、連続写像の合成 $\ell\circ e$ が $\ell(e(0))=\ell(1,0)=x$ と $\ell(e(1))=x$ を満たすことから従う。二つの対応 $\gamma\mapsto\ell$ と $\ell\mapsto\ell\circ e$ は、一意性により互いに逆である。$\square$

$s\in I$ について、分点 $0=t_0<\dots< t_m=s$ で各 $\gamma([t_{i-1},t_i])$ が $\mathcal{U}$ のある成員に含まれるものがあるとき（$s=0$ では $m=0$ とし、分点は $t_0=0$ だけとする）、$s$ を分けられる時刻と呼ぶ。$S$ を分けられる時刻の全体とし、$\sigma:=\sup S$ とおく（$0\in S$ なので $S\neq\emptyset$）。
$\gamma(\sigma)$ を含む $U\in\mathcal{U}$ をとる。$\gamma$ は $\sigma$ で連続で、$\gamma^{-1}(U)$ は $\sigma$ を含む $I$ の開集合なので、$\delta>0$ を $I\cap(\sigma-\delta,\sigma+\delta)\subset\gamma^{-1}(U)$ となるようにとれる。$\sigma$ は上限なので、$s\in S$ で $s>\sigma-\delta$ となるもの（$\sigma=0$ なら $s=0$）がある。$s':=\min\{\sigma+\delta/2,\,1\}$ とおくと $s\le\sigma< s'$ または $s'=1=\sigma$ であり、いずれにせよ $[s,s']\subset I\cap(\sigma-\delta,\sigma+\delta)$ なので $\gamma([s,s'])\subset U$ である。$s$ までの分点に $s'$ を付け加えれば（$s=s'$ のときは何も付け加えない）、$s'$ も分けられる時刻である。$\sigma<1$ なら $s'>\sigma$ となり $\sigma$ が上限であることに反するので、$\sigma=1$ であり、このとき $s'=1\in S$ である。これが主張である。$\square$

$U$ は開集合なので、各点 $p\in U$ について $p$ を中心とする開球 $B_p\subset U$ がとれる。$\{B_p\}_{p\in U}$ は $U$ の開被覆なので、thm-path-top-subdivision を $X=U$ に当てて、分点 $0=t_0<\dots< t_m=1$ と開球 $B_1,\dots,B_m\subset U$ で $\gamma([t_{i-1},t_i])\subset B_i$ となるものをとる。$p_i:=\gamma(t_i)$ として、上の式で折れ線の道 $\sigma$ を定める。$\sigma(0)=p_0=x$、$\sigma(1)=p_m=y$ である。
$s\in[t_{i-1},t_i]$ とする。$p_{i-1},p_i\in B_i$ で、開球は凸なので $\sigma(s)\in B_i$ であり、$\gamma(s)\in B_i$ でもある。そこで
$$ H(s,u):=(1-u)\,\gamma(s)+u\,\sigma(s)\qquad(s,u\in I) $$
とおくと、$H(s,u)$ は $\gamma(s)$ と $\sigma(s)$ を結ぶ線分の上にあり、$B_i$ の凸性により $B_i\subset U$ に属する。$H$ は連続な $\gamma,\sigma$ から和とスカラー倍で作られるので連続で、$H(s,0)=\gamma(s)$、$H(s,1)=\sigma(s)$、$H(0,u)=x$、$H(1,u)=y$ を満たす。よって $H$ は $U$ の中の道のホモトピーである。$\square$

$O\subset X$ を開集合とする。逆像 $\gamma^{-1}(O)$ は、$x,y$ がともに $O$ に属すれば $I$、ともに属さなければ $\emptyset$、$y$ だけが属せば $[0,1)$、$x$ だけが属せば $\{1\}$ である。前の三つは $I$ の開集合で、$\{1\}$ は $I$ の開集合でない。よって $\gamma$ が連続であることは、「$x\in O$ かつ $y\notin O$」となる開集合 $O$ がないこと、すなわち $x\in\overline{\{y\}}$ と同値である。$T_1$ 空間では $\overline{\{y\}}=\{y\}$ なので、これは $x=y$ を意味する。$\square$

1：$X$ の開集合は有限個しかないので、$U_x$ は有限個の開集合の共通部分として開であり、$x$ を含むどの開集合にも含まれる。$y\in U_x$ とすると、$x$ を含むどの開集合も $U_x$ を含むので $y$ を含み、$x\in\overline{\{y\}}$ である。prop-path-top-jump により、$t<1$ で $y$、$t=1$ で $x$ をとる道が $y$ から $x$ への道になり、その像 $\{x,y\}$ は $U_x$ に含まれる。$U_x$ の二点はどちらも $x$ と結べるので、逆の道と道の積（prop-path-top-operations）で互いに結べる。
2：$x$ と道で結べる点全体（$x$ の弧状連結空間の意味の弧状連結成分）を $P_x$ とすると、1 により各点 $z\in P_x$ について $U_z\subset P_z=P_x$ なので $P_x$ は開集合である。弧状連結成分は $X$ を互いに交わらない開集合に分けるので、$P_x$ の補集合も開である。$X$ は連結で $P_x\ni x$ は空でないので $P_x=X$ である。$\square$