Milnorファイブレーション

段 1（$\mathbb{C}^\times$ 上の束）．$f(z)\ne0$ の点では Euler の恒等式により $f$ の微分は $0$ でないので、$f$ は $\mathbb{C}^{n+1}\setminus V$ の上で沈め込みであり、$F$ は余次元 $1$ の閉じた複素部分多様体である（正則値定理）。$F\ne\emptyset$ である：$f$ は定数でないので $f(z)\ne0$ となる $z$ があり、$f(z)$ の $d$ 乗根 $\mu$ をとると $f(\mu^{-1}\cdot z)=\mu^{-d}f(z)=1$ である。$W\subset\mathbb{C}^\times$ を単連結な開集合とし、$W$ 上の正則な $d$ 乗根 $\sigma$（$\sigma(c)^d=c$）を選ぶ（$\mathbb{C}^\times$ は $\mathbb{C}^\times$ から負の実軸を除いた集合と正の実軸を除いた集合の 2 つで覆われ、それぞれの上に対数の枝がある）。
$$ \Phi\colon W\times F\to f^{-1}(W),\quad(c,z)\mapsto\sigma(c)\cdot z,\qquad\Psi\colon f^{-1}(W)\to W\times F,\quad w\mapsto\bigl(f(w),\ \sigma(f(w))^{-1}\cdot w\bigr) $$
とおく。$f(\sigma(c)\cdot z)=\sigma(c)^df(z)=c$、$f(\sigma(f(w))^{-1}\cdot w)=f(w)^{-1}f(w)=1$ なので、どちらも行き先に入り、$(\lambda\mu)\cdot z=\lambda\cdot(\mu\cdot z)$ から互いに逆である。どちらも滑らかで（$F$ への写像としての滑らかさは $F$ が閉部分多様体であることによる）、$f\circ\Phi=\mathrm{pr}_1$ なので、$\Phi$ は $W$ 上の局所自明化である。
段 2（球面への正規化）．$z\ne0$ に対し $g_z(t):=\lvert t\cdot z\rvert^2=\sum_it^{2w_i}\lvert z_i\rvert^2$（$t>0$）は連続で狭義単調増加し、$t\to0$ で $0$、$t\to\infty$ で $\infty$ に近づく。よって $g_z(t)=r^2$ となる $t=\tau(z)>0$ がただ一つある。$\partial g_z/\partial t=\sum_i2w_it^{2w_i-1}\lvert z_i\rvert^2>0$ なので、陰関数定理 により $\tau$ は $\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の滑らかな関数である。$N(z):=\tau(z)\cdot z\in S_r$ とおく。$t>0$ について $f(t\cdot z)=t^df(z)$ なので $f(N(z))$ は $f(z)$ の正の実数倍であり、とくに $N(\mathbb{C}^{n+1}\setminus V)\subset S_r\setminus K_r$ である。また $\tau(t\cdot z)=\tau(z)/t$ なので $N(t\cdot z)=N(z)$、$S_r$ の上では $\tau=1$、$N=\mathrm{id}$ である。
段 3（ファイバーの同一視）．$\varphi_r^{-1}(1)=\{z\in S_r:f(z)>0\}$ である。$\lvert e^{i\theta}\rvert=1$ なので $\varphi_r(e^{i\theta}\cdot z)=e^{id\theta}\varphi_r(z)$ であり、これを $\theta=0$ で微分すると $\varphi_r$ の微分は各点で全射である。よって $\varphi_r$ は沈め込みで、$\varphi_r^{-1}(1)$ は $S_r\setminus K_r$ の閉部分多様体である。$\alpha\colon\varphi_r^{-1}(1)\to F$ を $\alpha(z):=f(z)^{-1/d}\cdot z$（$f(z)^{-1/d}$ は正の実数の $d$ 乗根）で、$\beta\colon F\to\varphi_r^{-1}(1)$ を $\beta:=N|_F$ で定める。$f(\alpha(z))=f(z)^{-1}f(z)=1$、段 2 により $\beta(F)\subset\varphi_r^{-1}(1)$ である。$\beta(\alpha(z))=N(z)=z$（$\alpha(z)$ は $z$ の正の実数による像）、$\alpha(\beta(w))=\tau(w)^{-1}\cdot(\tau(w)\cdot w)=w$（$f(\tau(w)\cdot w)=\tau(w)^d$ による）なので、$\alpha$ と $\beta$ は互いに逆の滑らかな写像である。よって $\varphi_r^{-1}(1)$ は $F$ と微分同相である。
段 4（$\varphi_r$ の局所自明性）．$\lvert\lambda\rvert=1$ なら $\lvert\lambda^{w_i}z_i\rvert=\lvert z_i\rvert$ なので、$z\mapsto\lambda\cdot z$ は $S_r$ と $K_r$ を保つ。$S^1$ の点 $u_0$ に対し $W:=S^1\setminus\{-u_0\}$ とし、$W$ 上の連続な $d$ 乗根 $\sigma$ で $\lvert\sigma\rvert=1$ のものを選ぶ（偏角を $(\arg u_0-\pi,\arg u_0+\pi)$ にとって $d$ で割る）。$\Xi(u,z):=\sigma(u)\cdot z$ は $W\times\varphi_r^{-1}(1)\to\varphi_r^{-1}(W)$ の滑らかな写像で、$f(\sigma(u)\cdot z)=uf(z)$、$f(z)>0$ から $\varphi_r(\Xi(u,z))=u$ である。逆写像は $w\mapsto\bigl(\varphi_r(w),\ \sigma(\varphi_r(w))^{-1}\cdot w\bigr)$ で、2 成分目の $f$ の値は $\varphi_r(w)^{-1}f(w)=\lvert f(w)\rvert>0$ である。よって $\varphi_r$ は局所自明で、ファイバーは段 3 により $F$ と微分同相である。
段 5（モノドロミー）．$f(e^{i\theta/d}\cdot z)=e^{i\theta}f(z)$ なので、$\Phi_\theta$ は $F$ を $f^{-1}(e^{i\theta})$ に写し、逆写像 $w\mapsto e^{-i\theta/d}\cdot w$ をもつ。$\theta$ についての連続性と $\Phi_0=\mathrm{id}$ は式から明らかで、$h=\Phi_{2\pi}$ は $e^{2\pi i/d}\cdot z$、すなわち主張の式である。$(e^{2\pi i/d})^d=1$ から $h^d=\mathrm{id}_F$ を得る。同じ $e^{i\theta/d}\cdot z$ は $\varphi_r^{-1}(1)$ を $\varphi_r^{-1}(e^{i\theta})$ に写し（段 4 と同じ計算）、正の実数の作用と可換なので $\alpha\circ h=h\circ\alpha$ である。$\square$

$z=x+iy$（$x,y\in\mathbb{R}^{n+1}$）と書くと $f(z)=\lvert x\rvert^2-\lvert y\rvert^2+2i\,x\cdot y$ なので、$F$ は $\lvert x\rvert^2=1+\lvert y\rvert^2$、$x\cdot y=0$ で定まる。写像 $(x,y)\mapsto(x/\lvert x\rvert,\,y)$ と $(u,v)\mapsto(\sqrt{1+\lvert v\rvert^2}\,u,\,v)$ は互いに逆の滑らかな写像で、$F\cong TS^n$ を与える。$R_t(u,v):=(u,(1-t)v)$（$0\le t\le1$）は零切断 $\{v=0\}$、すなわち $F$ の実の点の集合 $\{x\in\mathbb{R}^{n+1}:\lvert x\rvert=1\}$ への変形レトラクション（変形レトラクト）である。thm-mf-weighted の 3 で $w_i=1$、$d=2$ として $h(z)=e^{\pi i}z=-z$ を得る。$h$ は $(u,v)\mapsto(-u,-v)$ に当たり、$R_t$ と可換なので、$h_*$ は $S^n$ の対蹠写像の $H_n(S^n;\mathbb{Z})$ への作用に等しい。対蹠写像の写像度は $(-1)^{n+1}$ である（Hat02 §2.2 の写像度の性質 (f)）。$\square$