affinoid代数
概要
affinoid代数（affinoid algebra）とは、非アルキメデス的絶対値について完備な体 $K$ 上の Tate 代数 $K\langle t_1,\dots,t_n\rangle$（閉単位多重円板の上で収束する冪級数の環）の剰余環と同型な $K$ 代数のことである。多変数の Weierstrass の割り算から、有限で単射な準同型 $K\langle t_1,\dots,t_d\rangle\to A$ が存在するという Noether 正規化が導かれ、affinoid 代数は Noether 環かつ Jacobson 環で、すべてのイデアルは閉であり、極大イデアルの剰余体は $K$ の有限次拡大になる。極大イデアルを点とする集合 $\operatorname{Sp}A$ は rigid 解析空間の局所的な模型である。
前提知識: Tate代数, Noether環, 整拡大, Banach代数, 開写像定理(非アルキメデス体)
何を捉える概念か
Tate代数 $K\langle t_1,\dots,t_n\rangle$ は、非アルキメデス的な完備付値体 $K$ の上で、閉単位多重円板の上で収束する冪級数の環である。affinoid 代数はその剰余環であり、閉多重円板の中の「解析的な閉部分集合」の上の関数環にあたる。体上の有限生成代数がアフィン多様体の座標環になるのと同じように、affinoid 代数は rigid解析空間 の局所的な座標環になる。
有限生成代数の基本定理（Noether正規化定理・Hilbertの基底定理・Hilbertの零点定理）には、affinoid 代数の版がある。この記事ではそれらを、多変数の Weierstrass の割り算から順に証明する。
| 問い | 答え |
|---|---|
| 多項式環への Noether 正規化にあたるものは | 有限で単射な $K\langle t_1,\dots,t_d\rangle\to A$ がある（thm-affinoid-algebra-noether-normalization） |
| 環として扱いやすいか | Noether 環かつ Jacobson 環で、すべてのイデアルは閉である（thm-affinoid-algebra-noetherian、thm-affinoid-algebra-jacobson） |
| 点とは何か | 極大イデアルであり、その剰余体は $K$ の有限次拡大である（thm-affinoid-algebra-nullstellensatz） |
| 元の大きさをどう測るか | 点での値の絶対値の上限 $\lvert f\rvert_{\sup}$ は有限で、それが $0$ であることは $f$ が冪零であることと同値である（prop-affinoid-algebra-sup） |
定義
以下、$K$ は非自明な非アルキメデス的絶対値 $|\cdot|$ について完備な体（付値、完備化）とし、$K^\circ:=\{a\in K\mid|a|\le1\}$、$\tilde K$ をその剰余体、$\bar K$ を $K$ の代数閉包とする。$K$ の絶対値は $\bar K$ にただ一通りに延び、$K$ の有限次拡大はこの絶対値について完備である（BGR84 §3.2）。延長の一意性から、$\bar K$ の $K$ 上の自己同型 $\sigma$ は $|\sigma(y)|=|y|$ を満たす。
$n$ 変数の Tate 代数を $T_n:=K\langle t_1,\dots,t_n\rangle$ と書き（Tate代数 の記事では $K\{t_1,\dots,t_n\}$ と書く）、Gauss ノルムを $\|\cdot\|$ とする。$T_0=K$ である。Tate代数 の記事から次を使う。
- $T_n$ は Gauss ノルムについて Banach 代数で、多項式環 $K[t_1,\dots,t_n]$ は稠密である（命題「Gauss ノルムと完備性」）。
- $T_n^\circ:=\{f\mid\|f\|\le1\}$ から $\tilde K[t_1,\dots,t_n]$ への還元 $f\mapsto\tilde f$ は環準同型で、核は $\{f\mid\|f\|<1\}$ である（補題「剰余体への還元」）。
- $\|f\|=1$ の $f$ が単元であることは、$\tilde f$ が $0$ でない定数であることと同値である（命題「単元の判定」）。
- 1 変数の構造（定理「1 変数の Tate 代数の構造」）。
$K$ 代数 $A$ が affinoid 代数（affinoid algebra）であるとは、ある $n\ge0$ と全射な $K$ 代数の準同型 $\alpha\colon T_n\to A$ が存在することをいう。$\alpha$ を $A$ の表示といい、$a\in A$ に対し
$$
|a|_\alpha:=\inf\{\|g\|\mid g\in T_n,\ \alpha(g)=a\}
$$
を表示 $\alpha$ に関する剰余ノルム（residue norm）という。affinoid 代数の間の射は $K$ 代数の準同型とする。
$A\cong T_n/\ker\alpha$ なので、affinoid 代数とは Tate 代数の剰余環と同型な $K$ 代数のことである。$|\cdot|_\alpha$ は $|a+b|_\alpha\le\max(|a|_\alpha,|b|_\alpha)$、$|ab|_\alpha\le|a|_\alpha|b|_\alpha$、$|ca|_\alpha=|c||a|_\alpha$（$c\in K$）を満たす。$\ker\alpha$ が閉なら $|\cdot|_\alpha$ はノルムで、$A$ はそれについて完備である。$T_n$ のどのイデアルも閉であること（thm-affinoid-algebra-noetherian の 2）は後で示す。
affinoid 代数 $A$ の極大イデアルの全体を $\operatorname{Sp}A:=\operatorname{Max}A$ と書き、その元を $A$ の点という。点 $x$ に対応する極大イデアルを $\mathfrak m_x$ と書く。$f\in A$ の $x$ での値 $f(x)$ を、$f$ の剰余体 $K(x):=A/\mathfrak m_x$ での像とする。$K(x)$ は $K$ の有限次拡大である（thm-affinoid-algebra-nullstellensatz）ので、$K$ の絶対値の延長によって $|f(x)|$ がただ一通りに定まる。
$K(x)$ を $\bar K$ に埋め込む仕方は $K$ 上の共役を除いて決まり、共役は絶対値を変えないので、$|f(x)|$ は埋め込みによらない。
直感
1 変数の Tate 代数では、Gauss ノルムを達成する最高次の項を「先頭項」とみなして多項式のように割り算ができる（Tate代数 の定理「Weierstrass の割り算定理（1 変数）」）。多変数でも、最後の変数 $t_n$ について同じ割り算ができる元（$t_n$ について区別された元）があり、変数変換でどの $0$ でない元もそうできる。こうして $T_n/(g)$ は $T_{n-1}$ 上の有限生成加群になり、変数を 1 つずつ減らす帰納法で、多項式環と同じ Noether 正規化・Noether 性・零点定理が得られる。
幾何的には、表示 $T_n\to A$ は $\operatorname{Sp}A$ を閉単位多重円板 $\mathbb B^n(\bar K):=\{y\in\bar K^n\mid|y_i|\le1\}$ の中の零点集合として実現する（prop-affinoid-algebra-points）。剰余ノルムは表示に依存するが、その下にある「点での値の絶対値の上限」は表示によらない量で、関数の大きさを測る。
例と反例
- $c\in K^\times$ に対し、半径 $|c|$ の閉円板の上で収束する級数の環 $\{\sum_{\nu\ge0}a_\nu t^\nu\mid|a_\nu||c|^\nu\to0\}$ は、$t=c\zeta$ と置き換えると $T_1=K\langle\zeta\rangle$ と同型であり、affinoid 代数である。
- $A:=K\langle t,s\rangle/(ts-1)$ は affinoid 代数で、$t$ は $A$ の単元である。prop-affinoid-algebra-points の 1 により、$\operatorname{Sp}A$ は $\{(y,z)\in\mathbb B^2(\bar K)\mid yz=1\}$ を共役で割った集合である。$|y|\le1$ と $|z|=|y|^{-1}\le1$ から $|y|=1$ なので、$\operatorname{Sp}A$ は単位円周 $\{y\in\bar K\mid|y|=1\}$ の共役類の集合である。$A$ は、両側で係数が $0$ に収束する Laurent 級数 $\sum_{\nu\in\mathbb Z}a_\nu t^\nu$ の環と同一視される（Tateの非輪状定理 の補題「Laurent 級数環」で $A=K$ とした場合）。
有限次元の $K$ 代数 $B$ は affinoid 代数である。また affinoid 代数 $A$ の極大イデアル $\mathfrak m$ と $k\ge1$ について、$A/\mathfrak m^k$ は有限次元の $K$ 代数である。
要点：前半は、$B$ の基底を定数倍して、係数が $K^\circ$ に入るモニック多項式の根にすれば、それらへの代入で全射 $T_m\to B$ が作れる。後半は零点定理と Noether 性による。
詳しい確かめを開く
前半：$b_1,\dots,b_m$ を $B$ の $K$ 基底とし、$\|\sum\lambda_ib_i\|:=\max|\lambda_i|$ とおく。$B$ はこのノルムで完備で、$M:=\max_{i,j}\|b_ib_j\|$ について $\|xy\|\le M\|x\|\|y\|$ である。$b_i$ を掛ける写像の固有多項式を $P_i(T)=T^m+e_1T^{m-1}+\cdots+e_m$ とすると、Cayley–Hamilton の定理により $P_i(b_i)=0$ である。$|c_i|^j|e_j|\le1$（$1\le j\le m$）となる $c_i\in K^\times$ をとり（$K$ の絶対値は非自明なので $|c_i|$ はいくらでも小さくとれる）、$u_i:=c_ib_i$ とおくと、$u_i$ は係数が $K^\circ$ に属するモニック多項式 $T^m+\sum_jc_i^je_jT^{m-j}$ の根である。$\nu\ge m$ で $u_i^\nu=-\sum_jc_i^je_ju_i^{\nu-j}$ だから、非アルキメデス性により帰納的に $\|u_i^\nu\|\le\max_{j< m}\|u_i^j\|$ であり、単項式 $u^\beta:=u_1^{\beta_1}\cdots u_m^{\beta_m}$ のノルムは $\beta$ によらず有界である。よって $\sum_\beta a_\beta t^\beta\mapsto\sum_\beta a_\beta u^\beta$ は $T_m$ から $B$ への連続な $K$ 線型写像で、多項式の上では乗法的なので、稠密性と乗法の連続性により $K$ 代数の準同型である。その像は $u_i$、したがって $b_i=c_i^{-1}u_i$ を含むので全射である。
後半：$A/\mathfrak m$ は $K$ 上有限次元（thm-affinoid-algebra-nullstellensatz）で、$A$ は Noether 環（thm-affinoid-algebra-noetherian）なので、各 $\mathfrak m^j/\mathfrak m^{j+1}$ は有限生成 $A/\mathfrak m$ 加群、したがって有限次元である。$A/\mathfrak m^k$ はこれらを $j< k$ について積み重ねたものなので有限次元である。
affinoid 代数の定義は「有限個の変数の」「係数が $0$ に収束する冪級数の環そのものの」剰余環であることを課している。どれか 1 つを外すと、次のように性質が失われる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 係数が $0$ に収束する（形式的冪級数環の剰余環に替える） | $K[\![t]\!]$ | Jacobson 環であること |
| 変数が有限個（可算個の変数に替える） | $K\langle t_1,t_2,\dots\rangle$ | Noether 環であること |
| Tate 代数そのものの剰余環（稠密な部分環 $K[t]$ に替える） | $K[t]$ | 上限半ノルムが有限であること |
1 行目：$K[\![t]\!]$ は極大イデアルが $(t)$ だけの局所環なので、素イデアル $0$ は極大イデアルの共通部分 $(t)$ に等しくなく、Jacobson 環でない（Tate代数 の例「反例：形式的冪級数環は Tate 代数でない」）。affinoid 代数は Jacobson 環である（thm-affinoid-algebra-jacobson）。
2 行目：$K\langle t_1,t_2,\dots\rangle$ を、各単項式が有限個の変数しか含まず、任意の $\varepsilon>0$ について $|a_\beta|\ge\varepsilon$ となる係数が有限個しかない級数の環とする。$t_1,t_2,\dots$ が生成するイデアル $J$ は有限生成でない。実際、有限個の元 $g_1,\dots,g_r\in J$ はそれぞれ有限個の $t_i$ の 1 次結合なので、ある $N$ について $(g_1,\dots,g_r)\subset(t_1,\dots,t_N)$ である。一方 $t_1=\cdots=t_N=0$ と代入する準同型は $(t_1,\dots,t_N)$ を $0$ に送り、$t_{N+1}$ を $0$ でない元に送るので、$t_{N+1}\notin(t_1,\dots,t_N)$ である。
3 行目：$K[t]$ は Noether 環かつ Jacobson 環で、剰余体は $K$ の有限次拡大である（Hilbertの零点定理）。しかし affinoid 代数ではない。$\lambda\in K$ に対し極大イデアル $(t-\lambda)$ の剰余体は $K$ で、そこでの $t$ の値は $\lambda$ である。点・剰余体・値の絶対値は $K$ 代数の構造だけで決まるので、$K[t]$ が affinoid 代数と $K$ 代数として同型なら、prop-affinoid-algebra-sup の 1 により $\sup_\lambda|\lambda|<\infty$ となる。$K$ の絶対値は非自明なのでこれは有界でなく、矛盾する。
性質
多変数の Weierstrass の割り算
$n\ge1$ とし、$t':=(t_1,\dots,t_{n-1})$ と書く。任意の $f\in T_n$ は $f=\sum_{\nu\ge0}f_\nu t_n^\nu$（$f_\nu\in T_{n-1}$、$\|f_\nu\|\to0$）とただ一通りに書け、$\|f\|=\max_\nu\|f_\nu\|$ である（係数を $t_n$ の冪ごとにまとめる）。
$g=\sum_\nu g_\nu t_n^\nu\in T_n$ が次数 $s$ で $t_n$ について区別されている（$t_n$-distinguished of degree $s$）とは、$g_s$ が $T_{n-1}$ の単元で、$\|g_s\|=\|g\|$ かつ $\nu>s$ なるすべての $\nu$ で $\|g_\nu\|<\|g\|$ となることをいう。
$\|g\|=1$ のとき、これは還元 $\tilde g\in\tilde K[t'][t_n]$ が「$0$ でない定数 $\times\,t_n^s$ ＋（$t_n$ について $s$ 次未満の項）」の形であることと同値である。実際、$\nu>s$ で $\|g_\nu\|<1$ であることは $\tilde g_\nu=0$ と同じであり、$\|g_s\|=1$ の $g_s$ が単元であることは $\tilde g_s$ が $0$ でない定数であることと同じである。$n=1$ では、これは Tate代数 の Weierstrass 次数が $s$ であることにあたる。
$g\in T_n$ が次数 $s$ で $t_n$ について区別されているとする。任意の $f\in T_n$ に対し
$$
f=qg+r,\qquad q\in T_n,\quad r\in T_{n-1}[t_n],\quad \deg_{t_n}r< s
$$
を満たす $q,r$ がただ一組存在し、$\|f\|=\max(\|q\|\|g\|,\|r\|)$ が成り立つ。
証明は Tate代数 の定理「Weierstrass の割り算定理（1 変数）」の証明で、係数の体 $K$ を $T_{n-1}$ に取り替えたものである。要点：$\|g\|=1$ としてよく、$g=g_0+g_1$、$g_0:=\sum_{\nu\le s}g_\nu t_n^\nu$ と分けると $\varepsilon:=\|g_1\|<1$ である。まず $g_0$ による割り算が等長な全単射を与えることを還元で示し、次に $g_1$ を小さな摂動として幾何級数で吸収する。
詳しい証明を開く
$|c|=\|g\|$ なる $c\in K$ で $g$ を $g/c$ に取り替えて $\|g\|=1$ としてよい（$q$ を $cq$ に取り替えるだけである）。$R_s:=\{r\in T_{n-1}[t_n]\mid\deg_{t_n}r< s\}$ は $T_{n-1}^s$ と等長に同型で完備であり、$E:=T_n\times R_s$ にノルム $\|(q,r)\|:=\max(\|q\|,\|r\|)$ を入れると $E$ は完備である。
段 1．$\Phi(q,r):=qg_0+r$ は $E$ から $T_n$ への等長な全単射である。$\|\Phi(q,r)\|\le\max(\|q\|,\|r\|)$ は明らかである。$(q,r)\ne0$ とし、定数倍して $\max(\|q\|,\|r\|)=1$ とすると、$\widetilde{qg_0+r}=\tilde q\tilde g_0+\tilde r$ である。$\tilde g_0$ は $t_n$ について $s$ 次で、最高次の係数は $0$ でない定数だから、$\tilde q\ne0$ なら $\tilde q\tilde g_0$ の $t_n$ についての次数は $s$ 以上であり（$\tilde K[t']$ は整域）、$\deg_{t_n}\tilde r< s$ なので和は $0$ でない。$\tilde q=0$ なら $\tilde r\ne0$ である。よって $\|\Phi(q,r)\|=1$ で、$\Phi$ は等長である。像は完備な空間の等長像なので閉である。また像は $K[t_1,\dots,t_n]$ を含む：$g_0$ の最高次の係数 $g_s$ は $T_{n-1}$ の単元なので、多項式は $T_{n-1}[t_n]$ の中で $g_0$ で普通に割れる。$K[t_1,\dots,t_n]$ は稠密なので $\Phi$ は全射である。
段 2．$N(q,r):=\Phi^{-1}(qg_1)$ とおくと、$N$ は $K$ 線型で $\|N(q,r)\|\le\varepsilon\|(q,r)\|$ を満たし、$\Phi((q,r)+N(q,r))=qg+r$ である。$e\ne0$ なら $\|Ne\|<\|e\|$ なので $\|e+Ne\|=\|e\|$ である。また $e_0\in E$ に対し $e:=\sum_{k\ge0}(-N)^ke_0$ は $E$ で収束し、$e+Ne=e_0$ を満たす。よって $\Psi(q,r):=qg+r$ は $E$ から $T_n$ への等長な全単射であり、全単射性が $q,r$ の存在と一意性を、等長性がノルムの等式を与える。$\square$
$0\ne g\in T_n$ とする。十分大きい整数 $c$ について、$t_i\mapsto t_i+t_n^{c^i}$（$i< n$）、$t_n\mapsto t_n$ で定まる $K$ 代数の準同型 $\sigma_c\colon T_n\to T_n$ は等長な自己同型であり、$\sigma_c(g)$ はある次数で $t_n$ について区別されている。
$u_1,\dots,u_n\in T_n$ が $\|u_i\|\le1$ を満たすとき、$\sum_\beta a_\beta t^\beta\mapsto\sum_\beta a_\beta u^\beta$ は $\|a_\beta u^\beta\|\le|a_\beta|\to0$ により収束し、ノルムを増やさない $K$ 代数の準同型を与える（多項式の上では代入であり、連続性と稠密性で全体に延びる）。$\sigma_c$ と、$t_i\mapsto t_i-t_n^{c^i}$ で定まる準同型との合成は、どちらの順でも $t_1,\dots,t_n$ を動かさない連続な準同型なので恒等写像である。よって $\sigma_c$ はノルムを増やさない逆をもつ自己同型、すなわち等長である。
区別されていることの証明を開く
定数倍して $\|g\|=1$ とし、$\tilde g=\sum_\beta\bar a_\beta t^\beta\ne0$ に現れる指数のどの成分よりも大きい $c$ をとる。$\|f\|\le1$ の $f$ について $\widetilde{\sigma_c(f)}=\tilde\sigma_c(\tilde f)$ である。ここで $\tilde\sigma_c$ は $\tilde K[t]$ の同じ形の代入である（$f$ を、係数の絶対値が $1$ の項の和である多項式 $P$ と $\|h\|<1$ の $h$ の和に分けると、$\|\sigma_c(h)\|<1$ で、$P$ については明らかである）。単項式 $t^\beta$ の $\tilde\sigma_c$ による像 $t_n^{\beta_n}\prod_{i< n}(t_i+t_n^{c^i})^{\beta_i}$ は、$t_n$ の多項式とみて $t_n^{e(\beta)}$、$e(\beta):=\beta_n+\beta_1c+\cdots+\beta_{n-1}c^{n-1}$ を係数 $1$ の最高次の項にもつ。各成分が $c$ より小さいので、$c$ 進展開の一意性により $e(\beta)$ は $\beta$ ごとに異なる。$\bar a_\beta\ne0$ の中で $e(\beta)$ が最大の $\beta^*$ をとれば、$\tilde\sigma_c(\tilde g)$ は $t_n$ について $s:=e(\beta^*)$ 次で、最高次の係数は $0$ でない定数 $\bar a_{\beta^*}$ である。$\|\sigma_c(g)\|=1$ とあわせて、def-affinoid-algebra-distinguished の直後の言い換えにより、$\sigma_c(g)$ は次数 $s$ で $t_n$ について区別されている。$\square$
$g\in T_n$ が次数 $s$ で $t_n$ について区別され、単元でないとする。このとき $s\ge1$ であり、$T_{n-1}\to T_n/(g)$ は単射で、$T_n/(g)$ は $1,t_n,\dots,t_n^{s-1}$ の像を基底とする自由 $T_{n-1}$ 加群である。
$s=0$ なら $r$ は $0$ しかないので $1=qg$ となり、$g$ は単元である。よって $s\ge1$ である。thm-affinoid-algebra-division により、任意の $f$ は $(g)$ を法として $R_s:=\bigoplus_{j< s}T_{n-1}t_n^j$ のただ一つの元と合同である（2 つの元 $r,r'$ が合同なら、$r-r'=qg+0=0\cdot g+(r-r')$ の一意性から $r=r'$）。したがって $R_s\to T_n/(g)$ は $T_{n-1}$ 加群の同型であり、$T_{n-1}\subset R_s$ なので $T_{n-1}\to T_n/(g)$ は単射である。$\square$
Noether 正規化と環論的性質
以下、環準同型 $\varphi\colon R\to S$ が有限であるとは、$S$ が $\varphi$ によって有限生成 $R$ 加群になることをいう。
$A\ne0$ を affinoid 代数とする。ある $d\ge0$ と、有限かつ単射な $K$ 代数の準同型 $T_d\to A$ が存在する。
表示により $A\cong T_n/I$、$I\ne T_n$ とし、$n$ についての帰納法で示す。$I=0$ なら $d=n$ として恒等写像をとればよい（$n=0$ なら必ず $I=0$ である）。$I\ne0$ とし、$0\ne g\in I$ をとる。$1\notin I$ なので $g$ は単元でない。lem-affinoid-algebra-distinguish の自己同型 $\sigma_c$ で $I$ を $\sigma_c(I)$ に取り替えても $T_n/I\cong T_n/\sigma_c(I)$ なので、$g$ は次数 $s$ で $t_n$ について区別されているとしてよい。cor-affinoid-algebra-finite により $T_{n-1}\to T_n/(g)$ は有限なので、合成 $T_{n-1}\to T_n/(g)\to T_n/I$ も有限である。その核 $I':=I\cap T_{n-1}$ は $1$ を含まず、$T_{n-1}/I'\to T_n/I$ は有限かつ単射である。帰納法の仮定により有限かつ単射な $T_d\to T_{n-1}/I'$ があり、有限な準同型の合成は有限である（整拡大 の補題「有限性の推移性」）。合成 $T_d\to T_n/I$ が求めるものである。$\square$
1．Noether 環の剰余環は Noether 環なので、$T_n$ が Noether 環であることを $n$ の帰納法で示せばよい。$T_0=K$ は体である。$n\ge1$ とし、$I$ を $T_n$ の $0$ でも全体でもないイデアルとする。$I$ が有限生成であることは $\sigma_c(I)$ について示してもよいので、自己同型 $\sigma_c$ を施して、$I$ のある元 $g\ne0$ が $t_n$ について区別されているとしてよい（$g$ は単元でない）。cor-affinoid-algebra-finite により $T_n/(g)$ は有限生成 $T_{n-1}$ 加群で、$T_{n-1}$ は帰納法の仮定により Noether 環だから、その部分加群 $I/(g)$ も有限生成 $T_{n-1}$ 加群である。$I/(g)$ の生成元の代表と $g$ が $I$ を生成する。
2．「$K$ 上の Banach 代数 $B$ が Noether 環なら、$B$ の任意のイデアルは閉である」という補題を $B=T_n$ に当てると、$\ker\alpha$ は閉で $|\cdot|_\alpha$ はノルムになり、$A$ は完備な $T_n$ の閉イデアルによる剰余として完備である。その $A$ に補題をもう一度当てればよい。補題の要点：閉包 $\bar{\mathfrak a}$ の生成元 $f_i$ を $\mathfrak a$ の元 $g_i$ で十分よく近似すると、開写像定理により $g_i$ も $\bar{\mathfrak a}$ を生成する。
補題の証明を開く
閉包 $\bar{\mathfrak a}$ はイデアルで、$B$ は Noether 環なので $\bar{\mathfrak a}=(f_1,\dots,f_r)$ と書ける。$B^r$ に成分の最大のノルムを入れると、$\varphi\colon B^r\to\bar{\mathfrak a}$、$(b_i)\mapsto\sum_ib_if_i$ は Banach 空間の間の連続な全射である。開写像定理（開写像定理(非アルキメデス体) の定理「非アルキメデス的 Banach 空間の開写像定理」）により、定数 $C>0$ があって、任意の $y\in\bar{\mathfrak a}$ に $\varphi(x)=y$、$\|x\|\le C\|y\|$ を満たす $x\in B^r$ がとれる。$\mathfrak a$ は $\bar{\mathfrak a}$ で稠密なので、$g_i\in\mathfrak a$ を $\theta:=C\max_i\|f_i-g_i\|<1$ となるようにとり、$\psi(b_1,\dots,b_r):=\sum_ib_ig_i$ とおく。$y\in\bar{\mathfrak a}$ に対し、$y_0:=y$ から始めて、$\varphi(x_k)=y_k$、$\|x_k\|\le C\|y_k\|$ を満たす $x_k=(x_{k,i})_i$ をとり、$y_{k+1}:=y_k-\psi(x_k)=\sum_ix_{k,i}(f_i-g_i)$ とおく。$y_{k+1}\in\bar{\mathfrak a}$ で $\|y_{k+1}\|\le\theta\|y_k\|$ だから $\|x_k\|\le C\theta^k\|y\|\to0$ であり、$x:=\sum_kx_k$ は収束して $\psi(x)=\sum_k(y_k-y_{k+1})=y$ を満たす。$\psi$ の像は $\mathfrak a$ に含まれるので $y\in\mathfrak a$ であり、$\bar{\mathfrak a}=\mathfrak a$ である。これで定理の 2 が示された。$\square$
affinoid 代数 $A$ の任意の極大イデアル $\mathfrak m$ について、$A/\mathfrak m$ は $K$ の有限次拡大体である。
$A/\mathfrak m$ は $0$ でない affinoid 代数（表示を $A\to A/\mathfrak m$ と合成する）なので、thm-affinoid-algebra-noether-normalization により有限かつ単射な $T_d\to A/\mathfrak m$ がある。体 $A/\mathfrak m$ は整域 $T_d$ の整拡大なので、整拡大 の命題「体であることの判定」により $T_d$ は体である。$d\ge1$ なら $\|t_1\|=1$ で $\tilde t_1$ は定数でないので、$t_1$ は単元でなく、矛盾する。よって $d=0$ で $T_0=K$ であり、$A/\mathfrak m$ は $K$ 上有限次元である。$\square$
$\alpha\colon T_n\to A$ を表示とする。
- $x\mapsto\alpha^{-1}(\mathfrak m_x)$ は、$\operatorname{Sp}A$ から $\ker\alpha$ を含む $T_n$ の極大イデアルの集合への全単射である。したがって $\operatorname{Sp}A$ は、$\ker\alpha$ の共通零点 $\{y\in\mathbb B^n(\bar K)\mid g(y)=0\ (g\in\ker\alpha)\}$ を $K$ 上の共役で割った集合と同一視される。
- 任意の $f\in A$ と $x\in\operatorname{Sp}A$ について $|f(x)|\le|f|_\alpha$ である。
1 の前半は剰余環の極大イデアルの対応である。後半は Tate代数 の命題「極大イデアルと閉単位多重円板の点」による。その証明が使うイデアルの閉性と零点定理は、thm-affinoid-algebra-noetherian の 2 と thm-affinoid-algebra-nullstellensatz で与えた。2 は、値を閉多重円板の点での級数の値として計算すればよい。
2 の証明を開く
$x$ に対応する点を $y\in\mathbb B^n(\bar K)$ とすると、$\mathrm{ev}_y$ が同型 $A/\mathfrak m_x\cong T_n/\alpha^{-1}(\mathfrak m_x)\cong K(y)$ を与え、$\alpha(g)=f$ なる $g=\sum_\beta b_\beta t^\beta$ について $f(x)$ は $g(y)=\sum_\beta b_\beta y^\beta$ に移る。$|g(y)|\le\max_\beta|b_\beta||y^\beta|\le\|g\|$ であり、$g$ について下限をとればよい。$\square$
$0\ne h\in T_d$ ならば、$h(y)\ne0$ となる $y\in\mathbb B^d(\bar K)$ が存在する。したがって $h$ は $T_d$ の極大イデアル $\ker\mathrm{ev}_y$ に属さない。
要点：$t_d$ の冪で展開し、$0$ でない係数が消えない点を帰納法でとると、残る 1 変数の級数は零点を有限個しかもたない。
詳しい証明を開く
$d$ についての帰納法。$d=0$ は明らかである。$h=\sum_\nu h_\nu t_d^\nu$（$h_\nu\in T_{d-1}$）とし、$h_\mu\ne0$ なる $\mu$ をとる。帰納法の仮定により $h_\mu(y')\ne0$ なる $y'\in\mathbb B^{d-1}(\bar K)$ がある。$L:=K(y')$ は $K$ の有限次拡大で完備であり、$|h_\nu(y')|\le\|h_\nu\|\to0$ だから、$H:=\sum_\nu h_\nu(y')t_d^\nu$ は $L$ 上の 1 変数 Tate 代数の $0$ でない元である。Tate代数 の定理「1 変数の Tate 代数の構造」の 4 を係数の体 $L$ について使うと、$H$ の閉単位円板 $\{z\in\bar K\mid|z|\le1\}$ での零点は有限個である。閉単位円板は無限集合 $K^\circ$ を含むので、$H(z)\ne0$ なる $z$ がある。$y:=(y',z)$ とおくと、項が $0$ に収束する二重級数は和の順序によらないので $h(y)=\sum_\nu h_\nu(y')z^\nu=H(z)\ne0$ である。$\square$
$f\notin\mathfrak p$ に対し、$\mathfrak p$ を含み $f$ を含まない極大イデアルを作ればよい。$B:=A/\mathfrak p$ は整域で affinoid 代数であり、thm-affinoid-algebra-noether-normalization により有限かつ単射な $T_d\to B$ がある。$T_d$ を $B$ の部分環とみなす。$f$ の像 $\bar f\ne0$ は $T_d$ 上整なので、次数 $r$ が最小のモニックな関係
$$
\bar f^r+a_1\bar f^{r-1}+\cdots+a_r=0\qquad(a_i\in T_d)
$$
をとる。$a_r=0$ とすると、$r=1$ なら $\bar f=0$、$r\ge2$ なら $B$ が整域なので $\bar f^{r-1}+a_1\bar f^{r-2}+\cdots+a_{r-1}=0$ となり、どちらも矛盾する。よって $a_r\ne0$ であり、lem-affinoid-algebra-nonvanishing により $a_r\notin\mathfrak n_0$ なる $T_d$ の極大イデアル $\mathfrak n_0$ がある。整拡大 の定理「lying over と going up」の 1 と系「極大イデアルの縮約」により、$\mathfrak n\cap T_d=\mathfrak n_0$ なる $B$ の極大イデアル $\mathfrak n$ がある。$\bar f\in\mathfrak n$ なら $a_r=-(\bar f^r+\cdots+a_{r-1}\bar f)\in\mathfrak n\cap T_d=\mathfrak n_0$ となって矛盾するので、$\bar f\notin\mathfrak n$ である。$\mathfrak n$ の $A$ への逆像が求める極大イデアルである。後半は、冪零根基がすべての素イデアルの共通部分であることから従う。$\square$
上限半ノルム
$A\ne0$ を affinoid 代数とし、$f\in A$ に対し $|f|_{\sup}:=\sup_{x\in\operatorname{Sp}A}|f(x)|$ とおく。
- 任意の表示 $\alpha$ について $|f|_{\sup}\le|f|_\alpha<\infty$ である。
- $|f+g|_{\sup}\le\max(|f|_{\sup},|g|_{\sup})$、$|fg|_{\sup}\le|f|_{\sup}|g|_{\sup}$、$|f^k|_{\sup}=|f|_{\sup}^k$ である。
- $|f|_{\sup}=0$ であることと、$f$ が冪零元であることは同値である。
- $f$ が $A$ の単元であることと、すべての $x\in\operatorname{Sp}A$ で $f(x)\ne0$ であることは同値である。
1 は prop-affinoid-algebra-points の 2 である。
2〜4 の証明を開く
2 は、各点での値の絶対値についての不等式と等式（$K(x)$ の絶対値は乗法的で非アルキメデス的）の上限をとればよい。3：$|f|_{\sup}=0$ は、すべての極大イデアルが $f$ を含むことと同じであり、thm-affinoid-algebra-jacobson によりそれは $f$ が冪零であることと同値である。4：$f$ が単元であることは、$f$ がどの極大イデアルにも属さないことと同値である。$\square$
次の性質も基本的であるが、この記事では証明しない。
- （最大値原理）$|f|_{\sup}$ はある点 $x$ での $|f(x)|$ として達成される（BGR84 §6.2.1 命題 4、p. 237）。
- $f$ が冪有界である（$\{f^k\}_{k\ge0}$ が $|\cdot|_\alpha$ について有界である）ことと、$|f|_{\sup}\le1$ であることは同値である（BGR84 §6.2.3 命題 1、p. 240）。
- affinoid 代数の間の $K$ 代数の準同型は、剰余ノルムについて自動的に連続である。特に異なる表示の剰余ノルムは互いに同値で、$A$ の位相は表示によらない（BGR84 §6.1.3 定理 1、p. 229）。
$\operatorname{Sp}A$ を $f_1,\dots,f_r,g$ が単位イデアルを生成するときの $\{x\mid|f_i(x)|\le|g(x)|\}$ の形の部分集合（有理部分領域）で有限個に覆うと、それらの上の関数は貼り合わさって $A$ の元になる。これが Tateの非輪状定理 であり、affinoid 空間を貼り合わせて rigid解析空間 を作る土台になる。
関連項目
- 前提: Tate代数, Noether環, 整拡大, Banach代数, 開写像定理(非アルキメデス体)
- 比較: Noether正規化定理, Hilbertの零点定理, Jacobson環
- 直後に読む: Tateの非輪状定理, rigid解析空間
- 発展: 過収束級数, Berkovich空間
参考文献
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