滑らかな特異ホモロジー

$\tilde\sigma\colon W\to M$ を $\sigma$ の延長とする。
1．$\lambda$ は $\Delta^k$ の点 $(s_0,\dots,s_k)$ を $\sum_js_ju_j$ に写す。同じ式で定まる写像 $\Lambda\colon A^k\to A^p$ はアフィン写像で連続なので、$\Lambda^{-1}(W)$ は $\Delta^k$ を含む $A^k$ の開集合であり、$\tilde\sigma\circ\Lambda$ はその上の $C^\infty$ 級写像で $\sigma\circ\lambda$ の延長である。面写像 $d_i$ は頂点 $e_0,\dots,\widehat{e_i},\dots,e_p$ のアフィン単体である。
2．$F\circ\tilde\sigma$ が $F\circ\sigma$ の延長である。
3．$U$ の単体として滑らかなら、延長を $M$ への写像とみればよい。逆に $M$ の単体として延長 $\tilde\sigma\colon W\to M$ をもてば、$\tilde\sigma^{-1}(U)$ は $\Delta^p$ を含む開集合で、その上への制限が $U$ への延長である。
4．定値写像は $A^p$ 全体の上の定値写像に延びる。$\square$

点 $x_0\in U$ を固定し、直線ホモトピー $F(x,t):=(1-t)x+tx_0$ を考える。$U$ は凸なので $F(U\times[0,1])\subset U$ であり、$F$ は恒等写像から定値写像 $c\colon U\to\{x_0\}\subset U$ へのホモトピーである。その角柱作用素 $P$ は
$$ \partial P+P\partial=c_\sharp-\mathrm{id}\colon C_\bullet(U)\to C_\bullet(U) $$
を満たす（特異ホモロジーのホモトピー不変性 の定理「特異ホモロジーのホモトピー不変性」）。
$P$ が $C^\infty_\bullet(U)$ を保つことを示す。$P(\sigma)$ は $F\circ(\sigma\times\mathrm{id})\circ\lambda_i$ の一次結合であり、$\lambda_i\colon\Delta^{p+1}\to\Delta^p\times[0,1]$ はアフィン単体である（同記事の定義「角柱作用素」）。$\sigma$ が滑らかで $\tilde\sigma\colon W\to U$ をその延長とすると、$\Phi(y,t):=(1-t)\tilde\sigma(y)+tx_0$ は $W\times\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}^n$ への $C^\infty$ 級写像であり、$\Omega:=\Phi^{-1}(U)$ は $\Delta^p\times[0,1]$ を含む開集合である（凸性）。$\lambda_i$ は lem-ssh-closure の 1 の証明と同じくアフィン写像 $\Lambda_i\colon A^{p+1}\to A^p\times\mathbb{R}$ に延び、$\Phi\circ\Lambda_i$ は $\Lambda_i^{-1}(\Omega)$ の上で $F\circ(\sigma\times\mathrm{id})\circ\lambda_i$ の $C^\infty$ 級の延長になる。よって $P(\sigma)\in C^\infty_{p+1}(U)$ である。
1 点 $\{x_0\}$ の特異鎖複体 $K:=C_\bullet(\{x_0\})$（各次数で定値単体 $\kappa_p$ が生成する）は、lem-ssh-closure の 4 により $C^\infty_\bullet(U)$ に含まれる。包含を $j_\infty\colon K\to C^\infty_\bullet(U)$、$j=\iota\circ j_\infty\colon K\to C_\bullet(U)$ とする。$c_\sharp$ はすべての単体を $\kappa_p$ に写すので $c_\sharp\circ j=\mathrm{id}_K$ であり、上の等式から $j\circ c_\sharp\simeq\mathrm{id}$ である。$P$ と $c_\sharp$ は $C^\infty_\bullet(U)$ を保つので、同じ等式を制限して $c_\sharp\circ j_\infty=\mathrm{id}_K$、$j_\infty\circ c_\sharp\simeq\mathrm{id}$ も成り立つ。よって $j_\ast$ と $(j_\infty)_\ast$ はともにホモロジーの同型（逆は $c_\sharp$ の誘導する写像）であり、$\iota_\ast=j_\ast\circ(j_\infty)_\ast^{-1}$ も同型である。
微分同相写像 $\varphi\colon U'\to\varphi(U')\subset\mathbb{R}^n$ について、$\varphi_\sharp$ と $(\varphi^{-1})_\sharp$ は連続な鎖複体の同型であり、lem-ssh-closure の 2 により滑らかな鎖複体も互いに写し合う。これらは $\iota$ と可換なので、後半の主張が従う。$\square$

$\Delta^p$ は連結なので、和集合の特異単体の像はちょうど 1 つの $M_k$ に含まれる。よって $C_\bullet(\bigcup_kM_k)=\bigoplus_kC_\bullet(M_k)$ であり、lem-ssh-closure の 3 により $C^\infty_\bullet$ についても同様である。$\iota$ は各成分の $\iota$ の直和であり、ホモロジーは直和と可換なので、$\iota_\ast$ は同型の直和として同型である。$\square$

要点：1 は自由アーベル群の基底表示の一意性による。2 は、切除定理(特異ホモロジー) の定理「小さい単体の鎖への変形」の $\rho$ と $D$ が単体にアフィン単体を合成して作られ、滑らかな鎖を保つことによる。

prop-ssh-mv の 1 の 2 つの短完全列から長完全列が得られ、$\iota$ はその間の射で、接続準同型とも可換である（長完全列 の命題「接続準同型の自然性」。鎖複体では次数の向きを読み替える）。次数 $p$ のまわりの 5 項
$$ H^\infty_p(U\cap V)\to H^\infty_p(U)\oplus H^\infty_p(V)\to H_p(C^{\infty,U,V}_\bullet)\to H^\infty_{p-1}(U\cap V)\to H^\infty_{p-1}(U)\oplus H^\infty_{p-1}(V) $$
と、連続な鎖での対応する 5 項を比べると、両端の 4 本の縦の写像は仮定により同型なので、五項補題 の定理「五項補題」により $H_p(C^{\infty,U,V}_\bullet)\to H_p(C^{U,V}_\bullet)$ は同型である。prop-ssh-mv の 2 の同型と可換な四角形
$$ \begin{array}{ccc}H_p(C^{\infty,U,V}_\bullet)&\longrightarrow&H^\infty_p(U\cup V)\\ \downarrow&&\downarrow\iota_\ast\\ H_p(C^{U,V}_\bullet)&\longrightarrow&H_p(U\cup V)\end{array} $$
（横は包含が誘導する同型）により、$\iota_\ast\colon H^\infty_p(U\cup V)\to H_p(U\cup V)$ も同型である。$\square$

$k$ に関する帰納法による。$k=1$ は仮定そのものである。$k\ge2$ のとき $U:=U_1\cup\cdots\cup U_{k-1}$、$V:=U_k$ とおく。$U$ は帰納法の仮定により良い開集合である。$U\cap V=\bigcup_{i< k}(U_i\cap U_k)$ は $k-1$ 個の開集合で覆われ、その部分族の共通部分は $U_k$ を含む $U_i$ たちの共通部分なので良い開集合であり、帰納法の仮定により $U\cap V$ も良い開集合である。lem-ssh-mv-step により $W=U\cup V$ は良い開集合である。$\square$

要点：$C^\infty$ 級の尽くし関数で $M$ をコンパクトな帯 $f^{-1}([m,m+1])$ に分け、偶数番目と奇数番目の帯の近傍をそれぞれ非交和として lem-ssh-disjoint と lem-ssh-finite-cover を当て、最後に lem-ssh-mv-step で貼り合わせる。de Rhamの定理 の補題「de Rham 開基をもつ多様体」の証明と同じ構成である。

thm-ssh-main を示す。
第 1 段：$\mathbb{R}^n$ の任意の開集合 $W$ は良い開集合である。$W$ に含まれる開球の全体は $W$ の開基であり、開球の有限個の共通部分は空集合か凸開集合なので、lem-ssh-convex により良い開集合である。lem-ssh-basis により $W$ は良い開集合である。
第 2 段：一般の多様体 $M$。$M$ のある座標近傍に含まれる開集合の全体 $\mathcal{B}$ は開基であり、有限個の元の共通部分もまた $\mathcal{B}$ の元である。$B\in\mathcal{B}$ は座標写像で $\mathbb{R}^n$ の開集合に微分同相に写るので、第 1 段と lem-ssh-convex の後半により良い開集合である。lem-ssh-basis により $M$ は良い開集合、すなわち $\iota$ は擬同型（擬同型）である。
第 3 段：$C^\infty_p(M)$ と $C_p(M)$ は自由アーベル群（とくに射影的な $\mathbb{Z}$ 加群）で、$p< 0$ では $0$ である。下に有界な射影加群の複体の間の擬同型は鎖ホモトピー同値である（鎖ホモトピー の定理「射影的な複体の擬同型は鎖ホモトピー同値」）。よって $\iota$ は鎖ホモトピー同値である。
第 4 段：加法関手 $-\otimes_{\mathbb{Z}}G$ と $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(-,G)$ は鎖ホモトピー同値を鎖ホモトピー同値に写す（同記事の系「加法関手を施しても擬同型のまま」）ので、$G$ 係数の 2 つの同型を得る。$C^\infty$ 級写像 $F$ について $\iota\circ F_\sharp=F_\sharp\circ\iota$（lem-ssh-closure の 2）なので、同型は $F$ と可換である。$\square$

thm-ssh-main により $\iota_\ast\colon H^\infty_p(M)\to H_p(M)$ は全射なので、$[\iota(z')]=[z]$ となる滑らかな輪体 $z'$ がある。別の $z''$ をとると $\iota(z'-z'')$ は $C_\bullet(M)$ の境界であり、$\iota_\ast$ の単射性から $z'-z''=\partial c$（$c\in C^\infty_{p+1}(M)$）である。de Rhamの定理 の定理「鎖に対する Stokes の定理」により $\int_{z'}\omega-\int_{z''}\omega=\int_{\partial c}\omega=\int_cd\omega=0$ である。$\omega=d\eta$ なら同じ定理により $\int_{z'}d\eta=\int_{\partial z'}\eta=0$ である。$\square$