第2可算公理

同義語：第2可算空間第2可算第二可算公理第二可算第二可算空間

概要

定義

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ が第2可算公理を満たす（あるいは第2可算空間である）とは、以下の条件を満たす開基（base）$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{O}$ が存在することをいう。

第2可算公理

$\mathcal{B}$ が可算集合（$|\mathcal{B}| \le \aleph_0$）であり、かつ $X$ の任意の開集合 $U$ が $\mathcal{B}$ の元の和集合として表せる。
$$U = \bigcup \{B \in \mathcal{B} \mid B \subseteq U\}$$

言い換えれば、位相空間内のどんなに複雑な開集合であっても、あらかじめ用意された「可算個の基本的な開集合」の組み合わせ（和集合）だけで完全に表現できる、ということである。

直感的理解

第2可算性は、空間の「解像度」や「複雑さ」に対する制限と捉えることができる。
例えば、Euclid空間 $\mathbb{R}^2$ を考える。平面上には無数の開集合が存在するが、それらはすべて「中心の座標が有理数で、半径も有理数であるような開円盤」の和集合として表現できる。そのような開円盤は可算個しか存在しない。つまり、可算個の「部品」さえあれば、空間内のすべての開集合を組み立てることができる。これが第2可算空間の直感的なイメージである。

他の概念との関係

第2可算公理は非常に強い条件であり、他の「大きさ」や「局所的な構造」に関する公理と密接な階層関係にある。

包含関係

一般の位相空間において、以下の包含関係が成り立つ。
$$\text{第2可算} \implies \text{第1可算} \quad \text{かつ} \quad \text{第2可算} \implies \text{可分} \quad \text{かつ} \quad \text{第2可算} \implies \text{Lindelöf}$$

それぞれの逆は一般には成り立たないが、距離空間という良い枠組みの中では、これらは等価になるという美しい性質がある。

距離空間における等価性

距離空間 $X$ において、以下の3条件は互いに同値である。

$X$ は第2可算空間である。
$X$ は可分空間である。
$X$ はLindelöf空間である。

この事実は、解析学で扱う主要な空間（$\mathbb{R}^n$ や $\ell^p$ など）において、「可分性」を確認するだけで「第2可算性」という強力なツールが使えることを意味し、実用上極めて重要である。

性質

第2可算空間は、位相幾何学において望ましい多くの性質を持つ。

主な性質

距離化可能性:
$T_3$ 空間（正則Hausdorff空間）が第2可算であれば、その空間は距離化可能である（Urysohnの距離化定理）。これは、抽象的な位相空間に距離関数を導入できるための重要な十分条件である。
開被覆の可算性:
第2可算空間は常にLindelöf空間である。すなわち、任意の開被覆から可算部分被覆を選び出すことができる。これはコンパクト性の弱められた形として有用である。
遺伝性:
第2可算空間の部分空間は常に第2可算である。
積空間:
可算個の第2可算空間の直積空間は第2可算である。

具体例と反例

「第1可算だが第2可算ではない」「可分だが第2可算ではない」といった微妙な差異を理解することが、この概念の核心に触れる鍵となる。

第2可算である例

Euclid空間 $\mathbb{R}^n$:
有理点中心かつ有理半径の開球全体が可算基底となる。
可算離散空間:
$\mathbb{Z}$ や $\mathbb{Q}$ 上の離散位相。一点集合 $\{x\}$ 全体が可算基底となる。

一方、空間が「大きすぎる（非可算的な広がりを持つ）」場合、第2可算性は崩れる。

反例（第2可算ではない空間）

非可算離散空間:
非可算集合 $X$ 上の離散位相。すべての $\{x\}$ が開集合であるため、基底は少なくとも $X$ の各点を含まねばならず、非可算個の元が必要となる。（第1可算だが第2可算ではない）
Sorgenfrey直線:
$\mathbb{R}$ に下限位相（半開区間 $[a, b)$ を開基とする位相）を入れた空間。これは可分であり第1可算でもあるが、第2可算ではない。
長い直線:
非可算な順序数を用いた長い直線。Hausdorffかつ第1可算であるが、可分でも第2可算でもない。

第2可算公理

概要

定義

直感的理解

他の概念との関係

性質

具体例と反例

関連項目