Riemannの拡張定理
概要
Riemannの拡張定理（Riemann's extension theorem）とは、開集合 $U$ から 1 点 $p$ を除いた $U\setminus\{p\}$ 上の正則関数 $F$ が $p$ の近傍で有界ならば、$F$ は $p$ で極限を持ち $U$ 全体の正則関数に一意に拡張されるという定理であり、除去可能特異点定理とも呼ばれる。$(z-p)^2F(z)$ が $U$ 上正則で、その Taylor 展開が $(z-p)^2$ で割り切れることから従う。有界性は $\lim_{z\to p}(z-p)F(z)=0$ や Laurent 展開に負冪がないことと同値で、孤立特異点を除去可能特異点・極・真性特異点に分類する出発点になる。Riemann 面上でも成り立ち、有界な整関数の Riemann 球面への拡張は Liouville の定理の証明に使われる。
定義
$U\subset\mathbb{C}$ を 開集合、$p\in U$ とし、$F\colon U\setminus\{p\}\to\mathbb{C}$ を正則関数とする。このとき $p$ を $F$ の孤立特異点という。$F$ が $U$ 上の正則関数 $\tilde F$ に拡張できる、すなわち $\tilde F|_{U\setminus\{p\}}=F$ となる正則関数 $\tilde F\colon U\to\mathbb{C}$ が存在するとき、$p$ を $F$ の除去可能特異点（removable singularity）という。拡張 $\tilde F$ は存在すれば一意である（$\tilde F(p)$ は連続性により $\lim_{z\to p}F(z)$ に等しい）。
$F$ が $p$ の近傍で有界（有界）であるとは、$p$ のある 近傍 $V\subset U$ と定数 $M$ で、$|F(z)|\leq M$（$z\in V\setminus\{p\}$）となるものが存在することをいう。$\lim_{z\to p}|F(z)|=\infty$ のとき $p$ を $F$ の 極 といい、除去可能でも極でもない孤立特異点を真性特異点という。
$U\subset\mathbb{C}$ を開集合、$p\in U$、$F\colon U\setminus\{p\}\to\mathbb{C}$ を正則関数とし、$F$ は $p$ の近傍で有界であるとする。このとき極限 $\lim_{z\to p}F(z)$ が存在し、$\tilde F(p):=\lim_{z\to p}F(z)$、$\tilde F(z):=F(z)$（$z\neq p$）と定めた $\tilde F$ は $U$ 上の正則関数である。すなわち $p$ は $F$ の除去可能特異点である。
$g(z):=(z-p)^2F(z)$（$z\in U\setminus\{p\}$）、$g(p):=0$ と定める。
$g$ は $U$ 上で正則である。$U\setminus\{p\}$ 上では正則関数の積として正則である。$p$ では、仮定により $p$ のある近傍で $|F|\leq M$ だから
$$\left|\frac{g(z)-g(p)}{z-p}\right|=|(z-p)F(z)|\leq M|z-p|\to0\qquad(z\to p)$$
であり、$g$ は $p$ で 複素微分可能 で $g'(p)=0$ である。ゆえに $g$ は $U$ の各点で複素微分可能、すなわち正則である。
$p$ を中心とし $U$ に含まれる 開円板 $B(p,r)$ 上で $g$ を Taylor展開(複素解析) する（正則関数が開円板上で Taylor 展開をもち、係数が $a_n=g^{(n)}(p)/n!$ であることは既知とする。出典 Ahl79 Chapter 4 §3）：
$$g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-p)^n\qquad(|z-p|< r).$$
$a_0=g(p)=0$、$a_1=g'(p)=0$ である。$h(z):=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(z-p)^n$ とおくと、この 冪級数 は $|z-p|< r$ で収束し（$z\neq p$ では $(z-p)^{-2}\sum_{n\geq2}a_n(z-p)^n$ に等しい）、$h$ は $B(p,r)$ 上の正則関数である。$0<|z-p|< r$ に対して
$$h(z)=\frac{g(z)}{(z-p)^2}=F(z)$$
である。したがって $\tilde F$ を「$B(p,r)$ 上では $h$、$U\setminus\{p\}$ 上では $F$」と定めれば、両者は重なりの上で一致するので $\tilde F$ は $U$ 上の正則関数として矛盾なく定まる。$\tilde F$ は $p$ で連続だから $\lim_{z\to p}F(z)=\tilde F(p)=a_2$ が存在する。
直感
正則関数が 1 点で定義されていないとき、その点が本当の特異点か「見かけの穴」かを判定したい。Riemann の拡張定理は、関数がその点の近くで有界でありさえすれば穴は埋まる、と述べる。証明の仕組みは、$F$ に $(z-p)^2$ を掛けて $p$ での値と微分係数を強制的に $0$ にし、得られた正則関数 $g$ の Taylor 展開が $(z-p)^2$ で割り切れることを見るだけである。実関数では $\sin(1/x)$ のように有界でも極限を持たない関数があるので、この定理は複素微分可能性の強さを示す典型例である。孤立特異点は除去可能特異点・極・真性特異点の 3 種に分かれ、それぞれ「有界」「$|F|\to\infty$」「どちらでもない」に対応する（thm-riemann-extension-theorem-classification）。この定理は、Liouvilleの定理(複素解析) の Riemann 球面を用いた証明、有理型関数 の理論、Riemann 面の間の 正則写像 の拡張などで基本的な道具になる。
例
$F(z)=\dfrac{\sin z}{z}$ は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上の正則関数である。$0<|z|<1$ で $|\sin z|\leq\sum_{k\geq0}|z|^{2k+1}/(2k+1)!\leq|z|e^{|z|}$ だから $|F(z)|\leq e$ であり、$F$ は $0$ の近傍で有界である。thm-riemann-extension-theorem-main により $0$ は除去可能特異点で、拡張の値は $\lim_{z\to0}\sin z/z=1$ である。実際 $\sin z/z=1-z^2/3!+z^4/5!-\cdots$ は $\mathbb{C}$ 全体で収束する冪級数である。同様に $(e^z-1)/z$ は $0$ で値 $1$ をとる整関数に拡張される。
$F(z)=\dfrac{1}{\sin z}-\dfrac1z$ は $0<|z|<\pi$ で正則である。通分すると $F(z)=\dfrac{z-\sin z}{z\sin z}$ であり、分子は $0$ に位数 $3$ の零点（$z-\sin z=z^3/3!-\cdots$）、分母は位数 $2$ の零点を持つ（零点の位数 の記事の命題（因数分解による特徴づけ））。したがって $F(z)=z\cdot u(z)$、$u$ は $0$ の近傍で正則、と書けて $F$ は $0$ の近傍で有界であり、$0$ は除去可能特異点で拡張の値は $0$ である。$1/\sin z$ と $1/z$ はそれぞれ $0$ に極を持つが、極の 主要部 が打ち消し合っている。
$F$ が $U\setminus\{p\}$ 上で正則で、$U$ 上の 連続関数 に拡張できるとする。連続関数は $p$ の近傍で有界だから、thm-riemann-extension-theorem-main によりその連続な拡張は自動的に正則である。たとえば $F(z)=\dfrac{z^2-1}{z-1}$（$z\neq1$）は $z+1$ に連続に拡張でき、それは正則である。より一般に、prop-riemann-extension-theorem-characterization の条件 2 が示すように、「$U\setminus\{p\}$ で正則かつ $U$ で連続」な関数は $U$ で正則である。
有界性の仮定は外せない。
- $F(z)=1/z$ は $0$ のどの近傍でも有界でなく、$|F(z)|\to\infty$（$z\to0$）なので $0$ は極である。正則に拡張できない（拡張できれば連続で $0$ の近傍で有界になる）。
- $F(z)=e^{1/z}$ は $0$ のどの近傍でも有界でない：実軸上 $x\to0^+$ で $e^{1/x}\to\infty$ である。一方 $x\to0^-$ では $e^{1/x}\to0$ なので $|F|\to\infty$ でもなく、$0$ は真性特異点である。
- 実変数では定理に対応する主張は成り立たない：$\varphi(x)=\sin(1/x)$ は $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 上で有界かつ 実解析的 だが、$x\to0$ で極限を持たず、連続にすら拡張できない。破られているのは複素微分可能性であり、複素領域で $\sin(1/z)$ は $0$ の近傍で有界でない（$z=iy$ で $|\sin(1/(iy))|=\sinh(1/y)\to\infty$）。
性質
$U\subset\mathbb{C}$ を開集合、$p\in U$、$F\colon U\setminus\{p\}\to\mathbb{C}$ を正則関数とする。次は同値である。
- $p$ は $F$ の除去可能特異点である。
- $F$ は $U$ 上の連続関数に拡張できる。
- $F$ は $p$ の近傍で有界である。
- $\lim_{z\to p}(z-p)F(z)=0$。
- $p$ を中心とする $F$ の Laurent 展開 $\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_n(z-p)^n$ において、$c_n=0$（$n<0$）である。
1 ⇒ 2：正則関数は連続である。2 ⇒ 3：連続関数は $p$ を含むコンパクト（コンパクト空間）な近傍上で有界である。3 ⇒ 4：$|(z-p)F(z)|\leq M|z-p|\to0$。
4 ⇒ 1：prf-riemann-extension-theorem-main で有界性を使ったのは $(z-p)F(z)\to0$ を示す箇所だけであり、同じ議論が条件 4 のもとでそのまま通用する。
1 ⇒ 5：$\tilde F$ を正則な拡張とすると、$p$ を中心とする $\tilde F$ の Taylor 展開は、$0<|z-p|< r$ 上で $F$ を表す Laurent 級数である。Laurent 展開の一意性（出典 Ahl79 Chapter 5 §1）により、これが $F$ の Laurent 展開であり、負冪の項を持たない。
5 ⇒ 1：Laurent 展開が $\sum_{n\geq0}c_n(z-p)^n$ の形なら、この冪級数は $0<|z-p|< r$ で収束するので $|z-p|< r$ でも収束し、$B(p,r)$ 上の正則関数 $h$ を定める。$h$ は $B(p,r)\setminus\{p\}$ 上で $F$ に一致するから、$F$ は $h(p)=c_0$ を $p$ での値とする正則な拡張を持つ。
$U\subset\mathbb{C}$ を開集合、$p\in U$、$F\colon U\setminus\{p\}\to\mathbb{C}$ を正則関数とする。$p$ について、次のちょうど 1 つが成り立つ。
- $p$ は除去可能特異点である（$F$ は $p$ の近傍で有界）。
- $p$ は極である。このとき $p$ のある近傍で $F(z)=(z-p)^{-n}h(z)$、$h$ は正則、$h(p)\neq0$、$n\geq1$ と書ける。
- $p$ は真性特異点である。このとき $p$ の任意の近傍 $V\subset U$ に対して $F(V\setminus\{p\})$ は $\mathbb{C}$ で 稠密 である（Casorati–Weierstrass の定理）。
1 と 2 は両立せず（有界なら $|F|\to\infty$ でない）、3 は定義により 1・2 の否定だから、示すべきことは 2 の因数分解と 3 の稠密性である。
2 の因数分解：$|F(z)|\to\infty$ より $p$ のある近傍 $V$ 上で $F\neq0$ かつ $|F|\geq1$ である。$G:=1/F$ は $V\setminus\{p\}$ 上で正則かつ $|G|\leq1$ だから、thm-riemann-extension-theorem-main により $V$ 上の正則関数に拡張され、$G(p)=\lim1/F(z)=0$ である。$G$ は $p$ のどの近傍上でも恒等的に $0$ ではない（$V\setminus\{p\}$ で $G\neq0$）ので、$n:=\mathrm{ord}_p(G)\geq1$ は有限で、零点の位数 の記事の命題（因数分解による特徴づけ）により $G(z)=(z-p)^nk(z)$、$k$ は正則、$k(p)\neq0$ と書ける。$k(p)\neq0$ より $p$ の近傍で $k\neq0$ であり、そこで $F=1/G=(z-p)^{-n}h$、$h:=1/k$ は正則で $h(p)\neq0$ である。
3 の稠密性：$p$ が除去可能でも極でもないとし、ある近傍 $V$ で $F(V\setminus\{p\})$ が稠密でないと仮定する。すると $a\in\mathbb{C}$ と $\varepsilon>0$ で、$|F(z)-a|\geq\varepsilon$（$z\in V\setminus\{p\}$）となるものがある。$H:=1/(F-a)$ は $V\setminus\{p\}$ 上で正則かつ $|H|\leq1/\varepsilon$ だから、thm-riemann-extension-theorem-main により $V$ 上の正則関数に拡張される。$H(p)\neq0$ なら $F=a+1/H$ は $p$ の近傍で有界となり、$p$ は除去可能特異点である。$H(p)=0$ なら、$H$ は $V\setminus\{p\}$ 上で $0$ でないので $n:=\mathrm{ord}_p(H)\geq1$ は有限で、$H=(z-p)^nk$、$k(p)\neq0$ と書け、$|F(z)-a|=|z-p|^{-n}/|k(z)|\to\infty$、すなわち $p$ は極である。いずれも仮定に反する。
$p$ を含む 局所座標 $z\colon V\to z(V)\subset\mathbb{C}$（$V\subset U$）をとる。$F\circ z^{-1}$ は $z(V)\setminus\{z(p)\}$ 上の正則関数で $z(p)$ の近傍で有界だから、thm-riemann-extension-theorem-main により $z(V)$ 上の正則関数 $h$ に拡張される。$\tilde F$ を「$V$ 上では $h\circ z$、$U\setminus\{p\}$ 上では $F$」と定めると、両者は $V\setminus\{p\}$ 上で一致するので $\tilde F$ は $U$ 上の正則関数である。一意性は $\tilde F(p)=\lim_{x\to p}F(x)$ が連続性で定まることによる。
$\infty$ のまわりの局所座標 $w=1/z$ に関する $f$ の座標表示 $G(w):=f(1/w)$ は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上の正則関数で、$f$ が有界だから $0$ の近傍で有界である。thm-riemann-extension-theorem-main により $G$ は $\mathbb{C}$ 上の正則関数に拡張され、$\tilde f(\infty):=\lim_{w\to0}G(w)$ と定めれば、$\tilde f$ は $\mathbb{C}$ 上の局所座標でも $\infty$ のまわりの局所座標でも正則な座標表示を持つので、正則写像 $\mathbb{P}^1\to\mathbb{C}$ である。
補足
本定理は文献により除去可能特異点定理（Riemann's removable singularity theorem）とも呼ばれ、内容は同じである。cor-riemann-extension-theorem-entire は Liouvilleの定理(複素解析) の Riemann 球面を用いる証明で使われ、thm-riemann-extension-theorem-classification の極の因数分解は 零点の位数 の記事の極の位数の定義と整合し、有理型関数 を「極以外で正則な関数」として扱う根拠になる。真性特異点についてはさらに強く、除外値 が高々 1 つを除いてすべての値を無限回とるという Picardの大定理 が成り立つ（Ahl79 Chapter 8）。多変数の正則関数については、余次元 2 以上の解析的集合の外で正則な関数が（有界性の仮定なしに）拡張されるという第 2 Riemann 拡張定理があり、これも Riemann の拡張定理の名で呼ばれることがある。一方、コンパクト集合の外からの拡張（$n\geq2$ 変数で、コンパクト集合 $K$ について $U\setminus K$ が連結なら $U\setminus K$ 上の正則関数が $U$ 全体に拡張される）を述べるのが Hartogsの拡張定理 であり、これらは別の定理である。証明と孤立特異点の分類の標準的な記述は Ahl79 Chapter 4 §3、Riemann 面上の形は For81 §1 にある。
関連項目
- 前提: 正則関数, 孤立特異点, Laurent展開, 零点の位数, Riemann面
- 比較: 極, 真性特異点, Casorati–Weierstrassの定理, Picardの大定理
- 直後に読む: 有理型関数, Liouvilleの定理(複素解析), 一致の定理
- 発展: 留数, Hartogsの拡張定理, 開写像定理(複素解析)
参考文献
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