層コホモロジー

$s\in\mathcal{F}'(X)$ が $u(s)=0$ をみたせば、各点 $x$ で $u_x(s_x)=0$ であり、$u_x$ は単射だから芽 $s_x$ は $0$ である。層の切断はすべての芽で決まるので $s=0$ となり、$u$ は $\mathcal{F}'(X)$ 上で単射である。次に $t\in\mathcal{F}(X)$ が $v(t)=0$ をみたすとする。各 $x$ で $t_x=u_x(s^{(x)})$ となる $s^{(x)}\in\mathcal{F}'_x$ がただ 1 つあり、それを $x$ の開近傍 $V_x$ 上の切断 $s_{V_x}\in\mathcal{F}'(V_x)$ で代表する。$V_x\cap V_y$ 上で $u(s_{V_x})$ と $u(s_{V_y})$ はともに $t$ の制限に等しく、$u$ は各茎で単射だから、$s_{V_x}$ と $s_{V_y}$ は $V_x\cap V_y$ 上で一致する。層の貼り合わせ条件により $s\in\mathcal{F}'(X)$ で $s|_{V_x}=s_{V_x}$ となるものがあり、$u(s)$ と $t$ はすべての芽が一致するので $u(s)=t$ である。全射でない例は ex-sheaf-cohomology-exponential の指数写像が与える。

アーベル群の圏 $\mathrm{Ab}$ は十分多くの入射対象をもつ（任意のアーベル群は可除群に埋め込める、Wei94 2.3）。各点 $x\in X$ に対し、茎 $\mathcal{F}_x$ の単射 $\mathcal{F}_x\hookrightarrow I_x$ で $I_x$ が入射的アーベル群であるものを選ぶ。$i_x\colon\{x\}\to X$ を包含写像とし、$I_x$ を 1 点空間 $\{x\}$ 上の層とみた順像 $(i_x)_*I_x$（開集合 $U$ に対し $x\in U$ なら $I_x$、そうでなければ $0$ を対応させる摩天楼層）を作り、
$$ \mathcal{I}:=\prod_{x\in X}(i_x)_*I_x $$
とおく（層の直積は層である）。任意の層 $\mathcal{G}$ に対し、逆像と順像の随伴および $i_x^{-1}\mathcal{G}=\mathcal{G}_x$ から
$$ \operatorname{Hom}(\mathcal{G},(i_x)_*I_x)=\operatorname{Hom}(i_x^{-1}\mathcal{G},I_x)=\operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(\mathcal{G}_x,I_x) $$
が自然に成り立ち、直積の普遍性から $\operatorname{Hom}(\mathcal{G},\mathcal{I})=\prod_{x\in X}\operatorname{Hom}_{\mathrm{Ab}}(\mathcal{G}_x,I_x)$ である。
$\mathcal{I}$ は入射的である。実際、単射 $\mathcal{G}'\hookrightarrow\mathcal{G}$ に対し、制限写像 $\operatorname{Hom}(\mathcal{G},\mathcal{I})\to\operatorname{Hom}(\mathcal{G}',\mathcal{I})$ は上の同一視により $\prod_x\operatorname{Hom}(\mathcal{G}_x,I_x)\to\prod_x\operatorname{Hom}(\mathcal{G}'_x,I_x)$ であり、各 $x$ で $\mathcal{G}'_x\to\mathcal{G}_x$ は単射、$I_x$ は入射的だから各成分は全射、したがって全体も全射である。
射 $\mathcal{F}\to\mathcal{I}$ を、上の同一視のもとで各成分が選んだ単射 $\mathcal{F}_x\hookrightarrow I_x$ であるものと定める。点 $y\in X$ で、$\mathcal{F}\to\mathcal{I}$ と射影 $\mathcal{I}\to(i_y)_*I_y$ の合成の茎は $\mathcal{F}_y\to((i_y)_*I_y)_y=I_y$ で、これは選んだ単射である。よって $\mathcal{F}_y\to\mathcal{I}_y$ は単射であり、各茎で単射なので $\mathcal{F}\to\mathcal{I}$ は単射である。
入射分解は、$\mathcal{F}\hookrightarrow\mathcal{I}^0$ の余核を入射層 $\mathcal{I}^1$ に埋め込み、その余核を $\mathcal{I}^2$ に埋め込む、という操作を繰り返して得られる。

$\mathcal{F}'$、$\mathcal{F}''$ の入射分解 $\mathcal{I}'^\bullet$、$\mathcal{I}''^\bullet$ をとる（thm-sheaf-cohomology-enough-injectives）。まず $\mathcal{F}$ の入射分解 $\mathcal{I}^\bullet$ で、$\mathcal{I}^n=\mathcal{I}'^n\oplus\mathcal{I}''^n$ であり、包含と射影が複体の短完全列 $0\to\mathcal{I}'^\bullet\to\mathcal{I}^\bullet\to\mathcal{I}''^\bullet\to0$ を与えるものを作る（馬蹄の補題の入射版、Wei94 2.2.8 の双対）。$\mathcal{I}'^0$ は入射的だから、$\mathcal{F}'\to\mathcal{I}'^0$ は単射 $\mathcal{F}'\hookrightarrow\mathcal{F}$ に沿って $\alpha\colon\mathcal{F}\to\mathcal{I}'^0$ に延長できる。$\beta\colon\mathcal{F}\to\mathcal{F}''\to\mathcal{I}''^0$ とおき、$\varepsilon:=(\alpha,\beta)\colon\mathcal{F}\to\mathcal{I}'^0\oplus\mathcal{I}''^0$ と定める。短完全列 $0\to\mathcal{F}'\to\mathcal{F}\to\mathcal{F}''\to0$ と $0\to\mathcal{I}'^0\to\mathcal{I}'^0\oplus\mathcal{I}''^0\to\mathcal{I}''^0\to0$ を縦の射 $\mathcal{F}'\to\mathcal{I}'^0$、$\varepsilon$、$\mathcal{F}''\to\mathcal{I}''^0$ で結ぶと可換図式になり、両端が単射だから蛇の補題により $\varepsilon$ は単射で、余核の列 $0\to\mathcal{F}'_1\to\mathcal{F}_1\to\mathcal{F}''_1\to0$（$\mathcal{F}'_1=\operatorname{coker}(\mathcal{F}'\to\mathcal{I}'^0)$ など）は短完全列である。$\mathcal{F}'_1\hookrightarrow\mathcal{I}'^1$、$\mathcal{F}''_1\hookrightarrow\mathcal{I}''^1$ に同じ構成を繰り返せば求める $\mathcal{I}^\bullet$ が得られる。
各次数で $0\to\mathcal{I}'^n\to\mathcal{I}^n\to\mathcal{I}''^n\to0$ は直和への包含と射影であり分裂しているから、加法的関手 $\Gamma(X,-)$ を施した $0\to\mathcal{I}'^n(X)\to\mathcal{I}^n(X)\to\mathcal{I}''^n(X)\to0$ も分裂短完全列である。すなわち複体の短完全列 $0\to\Gamma(X,\mathcal{I}'^\bullet)\to\Gamma(X,\mathcal{I}^\bullet)\to\Gamma(X,\mathcal{I}''^\bullet)\to0$ を得て、蛇の補題によりコホモロジーの長完全列 $\cdots\to H^i(\Gamma(X,\mathcal{I}'^\bullet))\to H^i(\Gamma(X,\mathcal{I}^\bullet))\to H^i(\Gamma(X,\mathcal{I}''^\bullet))\xrightarrow{\delta^i}H^{i+1}(\Gamma(X,\mathcal{I}'^\bullet))\to\cdots$ が得られる（Wei94 1.3.1）。各項は def-sheaf-cohomology の $H^i(X,\mathcal{F}')$ 等であり、$\delta^i$ が分解の選び方によらないことと自然性は、分解の間の射がホモトピーを除いて一意であること（rem-sheaf-cohomology-well-defined）から従う。

$\mathcal{Z}^0:=\mathcal{F}$、$\mathcal{Z}^{i+1}:=\operatorname{coker}(\mathcal{Z}^i\to\mathcal{A}^i)=\ker(\mathcal{A}^{i+1}\to\mathcal{A}^{i+2})$ とおくと、完全性から短完全列 $0\to\mathcal{Z}^i\to\mathcal{A}^i\to\mathcal{Z}^{i+1}\to0$ が得られる。長完全列（thm-sheaf-cohomology-les）と $\mathcal{A}^i$ の非輪状性から、$j\ge1$ に対して $H^j(X,\mathcal{Z}^{i+1})\cong H^{j+1}(X,\mathcal{Z}^i)$ であり、次数の低い部分は
$$ 0\to\mathcal{Z}^i(X)\to\mathcal{A}^i(X)\to\mathcal{Z}^{i+1}(X)\to H^1(X,\mathcal{Z}^i)\to0 $$
となる。したがって $n\ge1$ に対し
$$ H^n(X,\mathcal{F})=H^n(X,\mathcal{Z}^0)\cong H^{n-1}(X,\mathcal{Z}^1)\cong\cdots\cong H^1(X,\mathcal{Z}^{n-1})\cong\operatorname{coker}\bigl(\mathcal{A}^{n-1}(X)\to\mathcal{Z}^n(X)\bigr) $$
である。ここで $\mathcal{Z}^n(X)=\ker(\mathcal{A}^n(X)\to\mathcal{A}^{n+1}(X))$ は $0\to\mathcal{Z}^n\to\mathcal{A}^n\to\mathcal{A}^{n+1}$ の完全性と prop-sheaf-cohomology-left-exact による。よって右辺は $\Gamma(X,\mathcal{A}^\bullet)$ の $n$ 次コホモロジーである。$n=0$ では両辺とも $\mathcal{F}(X)$ である。

$U=X$ の場合を示せば、$U$ への制限に同じ議論を適用して一般の $U$ が従う。$t\in\mathcal{F}''(X)$ をとる。集合 $\Sigma:=\{(V,s)\mid V\subset X\ \text{は開集合},\ s\in\mathcal{F}(V),\ v(s)=t|_V\}$ を、$(V,s)\le(V',s')\Leftrightarrow V\subset V'$ かつ $s'|_V=s$ で順序づける。$v$ は各茎で全射だから各点はある $(V,s)\in\Sigma$ の $V$ に含まれ、とくに $\Sigma\ne\emptyset$ である。全順序部分集合 $\{(V_\lambda,s_\lambda)\}$ に対し、$s_\lambda$ たちは重なりで一致するので貼り合わさって $(\bigcup V_\lambda,s)\in\Sigma$ を与え、これは上界である。Zornの補題により極大元 $(V,s)$ がある。$V\ne X$ と仮定し、$x\in X\setminus V$ をとる。$x$ の開近傍 $W$ と $s'\in\mathcal{F}(W)$ で $v(s')=t|_W$ となるものがある。$V\cap W$ 上で $v(s-s')=0$ だから、prop-sheaf-cohomology-left-exact を $V\cap W$ に適用して $s-s'=u(r)$ となる $r\in\mathcal{F}'(V\cap W)$ がある。$\mathcal{F}'$ は脆弱だから $r$ は $\tilde{r}\in\mathcal{F}'(W)$ に延長する。$s'':=s'+u(\tilde{r})\in\mathcal{F}(W)$ とおくと $v(s'')=t|_W$ であり、$V\cap W$ 上で $s''=s'+u(r)=s$ である。よって $s$ と $s''$ は貼り合わさって $V\cup W$ 上の切断を与え、$(V,s)$ の極大性に反する。ゆえに $V=X$ であり、$v\colon\mathcal{F}(X)\to\mathcal{F}''(X)$ は全射である。
後半：$V\subset U$ を開集合とし $t\in\mathcal{F}''(V)$ をとる。前半により $t=v(s)$、$s\in\mathcal{F}(V)$ と書け、$\mathcal{F}$ が脆弱だから $s$ は $\tilde{s}\in\mathcal{F}(U)$ に延長し、$v(\tilde{s})\in\mathcal{F}''(U)$ は $t$ の延長である。

1. 開集合 $U\subset X$ に対し、$j\colon U\hookrightarrow X$ を包含とし、$\mathbb{Z}_U:=j_!(\mathbb{Z}|_U)$ を $U$ 上の定数層の零延長（$U$ の外側の茎が $0$、内側の茎が $\mathbb{Z}$ である層）とする。$j_!$ は制限関手 $\mathcal{G}\mapsto\mathcal{G}|_U$ の左随伴であり（Har77 II 演習 1.19）、$\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}_U,\mathcal{G})=\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}|_U,\mathcal{G}|_U)=\mathcal{G}(U)$ が任意の層 $\mathcal{G}$ について成り立つ。開集合 $V\subset U$ に対し、自然な射 $\mathbb{Z}_V\to\mathbb{Z}_U$ は各茎で単射（$V$ の点で恒等写像、他の点で $0\to\mathbb{Z}$ または $0\to0$）だから単射である。$\mathcal{I}$ が入射的なら $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}_U,\mathcal{I})\to\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}_V,\mathcal{I})$ は全射であり、上の同一視のもとでこれは制限写像 $\mathcal{I}(U)\to\mathcal{I}(V)$ である。よって $\mathcal{I}$ は脆弱である。
2. すべての脆弱層 $\mathcal{F}$ について $H^i(X,\mathcal{F})=0$ を $i\ge1$ に関する帰納法で示す。$\mathcal{F}$ を入射層 $\mathcal{I}$ に埋め込み（thm-sheaf-cohomology-enough-injectives）、$\mathcal{G}:=\mathcal{I}/\mathcal{F}$ とおく。$\mathcal{I}$ は 1 により脆弱、$\mathcal{G}$ は lem-sheaf-cohomology-flasque-sequence の後半により脆弱である。長完全列
   $$ 0\to\mathcal{F}(X)\to\mathcal{I}(X)\to\mathcal{G}(X)\to H^1(X,\mathcal{F})\to H^1(X,\mathcal{I})=0 $$
   において $\mathcal{I}(X)\to\mathcal{G}(X)$ は同じ補題の前半により全射だから $H^1(X,\mathcal{F})=0$ である。$i\ge2$ では、$H^{i-1}(X,\mathcal{I})=0=H^i(X,\mathcal{I})$ から $H^i(X,\mathcal{F})\cong H^{i-1}(X,\mathcal{G})$ であり、$\mathcal{G}$ が脆弱なので帰納法の仮定により $0$ である。最後の主張は prop-sheaf-cohomology-acyclic-resolution による。

$\mathcal{C}^0(\mathcal{F})$ は脆弱である。実際 $V\subset U$ に対する制限写像は射影 $\prod_{x\in U}\mathcal{F}_x\to\prod_{x\in V}\mathcal{F}_x$ であり、$U\setminus V$ の成分を任意に補えば延長できるので全射である。$\mathcal{F}\to\mathcal{C}^0(\mathcal{F})$ は単射である（$s\in\mathcal{F}(U)$ のすべての芽が $0$ なら $s=0$）。よって $0\to\mathcal{F}\to\mathcal{C}^0(\mathcal{F})\to\mathcal{Z}^1(\mathcal{F})\to0$ は短完全列であり、同じことを $\mathcal{Z}^1(\mathcal{F})$、$\mathcal{Z}^2(\mathcal{F})$、…に施してつなぐと、各 $\mathcal{C}^n(\mathcal{F})$ が脆弱で $0\to\mathcal{F}\to\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{F})$ が完全であることがわかる。あとは thm-sheaf-cohomology-flasque-acyclic の 2 による。関手性は、層の射 $\mathcal{F}\to\mathcal{G}$ が茎の射 $\mathcal{F}_x\to\mathcal{G}_x$ を誘導し、それが $\mathcal{C}^0$ の射を与えることからわかる。

$0\to\mathcal{F}\to\mathcal{G}^\bullet$ を脆弱分解（たとえば prop-sheaf-cohomology-godement の標準分解）とする。脆弱層の開集合への制限は脆弱だから、各開集合 $U$ について $\mathcal{G}^\bullet|_U$ は $\mathcal{F}|_U$ の脆弱分解であり、thm-sheaf-cohomology-flasque-acyclic により $H^i(U,\mathcal{F})=H^i(\Gamma(U,\mathcal{G}^\bullet))$ である。各 $n$ について、アーベル群の列
$$ 0\to\mathcal{G}^n(X)\xrightarrow{\ \rho\ }\mathcal{G}^n(U_1)\oplus\mathcal{G}^n(U_2)\xrightarrow{\ \sigma\ }\mathcal{G}^n(U_1\cap U_2)\to0,\qquad\rho(s)=(s|_{U_1},s|_{U_2}),\ \sigma(a,b)=b|_{U_{12}}-a|_{U_{12}} $$
は完全である。実際、$\rho$ の単射性と $\ker\sigma=\operatorname{im}\rho$ は層の公理（切断の一意性と貼り合わせ）そのものであり、$\sigma$ の全射性は $\mathcal{G}^n$ の脆弱性による（$c\in\mathcal{G}^n(U_1\cap U_2)$ は $b\in\mathcal{G}^n(U_2)$ に延長し、$\sigma(0,b)=c$）。$\rho,\sigma$ は微分と可換だから複体の短完全列 $0\to\Gamma(X,\mathcal{G}^\bullet)\to\Gamma(U_1,\mathcal{G}^\bullet)\oplus\Gamma(U_2,\mathcal{G}^\bullet)\to\Gamma(U_1\cap U_2,\mathcal{G}^\bullet)\to0$ を得て、そのコホモロジーの長完全列（蛇の補題、Wei94 1.3.1）が求めるものである。