Hodge指数定理

$H$ の豊富性を $\mathcal{F}=\mathcal{O}_X(D)$ に当てると、ある $n_0$ があり、$n\ge n_0$ なら $\mathcal{O}_X(D+nH)$ は大域切断で生成される。$n>n_0$ とし、$\mathcal{M}:=\mathcal{O}_X(D+(n-1)H)$、$\mathcal{A}:=\mathcal{O}_X(H)$ とおくと、$\mathcal{O}_X(D+nH)=\mathcal{M}\otimes\mathcal{A}$ で、$\mathcal{M}$ は大域切断で生成される。任意の連接層 $\mathcal{F}$ について、$\mathcal{F}\otimes\mathcal{A}^{\otimes j}$ は十分大きい $j$ で大域切断で生成され、$\mathcal{M}^{\otimes j}$ はすべての $j$ で大域切断で生成される。大域切断で生成される層のテンソル積は、切断の積で生成されるのでまた大域切断で生成される。よって $\mathcal{F}\otimes(\mathcal{M}\otimes\mathcal{A})^{\otimes j}$ は十分大きい $j$ で大域切断で生成され、$D+nH$ は豊富である。$\square$

段 1（$D^2>0$ はありえない）。 $D\cdot H=0$ かつ $D^2>0$ と仮定する。lem-hit-ample-sum により、十分大きい $n$ で $H':=D+nH$ は豊富であり、$D\cdot H'=D^2+n\,D\cdot H=D^2>0$ である。代数曲面 の命題「自己交点数が正の因子の倍数」を $D$ と $H'$ に当てると、ある $m\ge1$ について $mD$ は有効因子 $E$ と線形同値である。$E=0$ なら $mD$ は $0$ と線形同値で $m^2D^2=0$ となり $D^2>0$ に反するので、$E\ne0$ である。同記事の補題「有効因子と豊富な因子の交点数」を $E$ と $H$ に当てると $m\,D\cdot H=E\cdot H>0$ となり、$D\cdot H=0$ に反する。
段 2（$D^2=0$ もありえない）。 $D\cdot H=0$、$D^2=0$、$D\not\equiv0$ と仮定する。$D\cdot E\ne0$ となる因子 $E$ がある。
$$ E':=(H^2)E-(E\cdot H)H $$
とおくと $E'\cdot H=0$ であり、$D\cdot E'=(H^2)(D\cdot E)\ne0$ である（$H^2>0$ は「準備」の節で示した）。整数 $t$ について $D_t:=tD+E'$ とおくと、$D_t\cdot H=0$ で
$$ D_t^2=t^2D^2+2t\,D\cdot E'+E'^2=2t\,D\cdot E'+E'^2 $$
である。$t$ を $D\cdot E'$ と同じ符号で絶対値を十分大きくとれば $D_t^2>0$ となり、段 1 に反する。
段 1・2 により $D^2<0$ である。$\square$

$V:=\operatorname{Num}(X)\otimes\mathbb{R}$ とし、$\operatorname{Num}(X)$ の $\mathbb{Z}$ 基底での交点形式のグラム行列を $G$ とする。$\operatorname{Num}(X)$ の上で形式は非退化なので、$Gx=0$ となる整数ベクトルは $0$ だけであり、$G$ は $\mathbb{Q}$ 上、したがって $\mathbb{R}$ 上でも正則である。よって形式は $V$ の上で非退化である。
$h^2>0$ なので、$V=\mathbb{R}h\oplus h^\perp$ は直交分解であり、形式は $h^\perp$ の上でも非退化である。$h^\perp$ は有理数係数の 1 次式 $x\mapsto x\cdot h$ の核なので、有理点 $h^\perp\cap(\operatorname{Num}(X)\otimes\mathbb{Q})$ が $h^\perp$ で稠密である。$0$ でない有理点 $v$ は、分母を払うと $D\cdot H=0$、$D\not\equiv0$ をみたす因子 $D$ の類の正の有理数倍なので、thm-hit-main により $v^2<0$ である。連続性から形式は $h^\perp$ の上で半負定値であり、非退化な半負定値形式は負定値である（$v^2=0$ なら、半負定値形式の Cauchy–Schwarz の不等式 $(v\cdot w)^2\le(v^2)(w^2)$ により $v$ はすべての $w$ と直交する）。$h$ 方向で正、$h^\perp$（$\rho-1$ 次元）で負定値なので、符号は $(1,\rho-1)$ である。$\square$

1：$D':=(H^2)D-(D\cdot H)H$ とおくと $D'\cdot H=0$ で、
$$ D'^2=(H^2)^2D^2-2(H^2)(D\cdot H)^2+(D\cdot H)^2H^2=(H^2)\bigl((H^2)(D^2)-(D\cdot H)^2\bigr) $$
である。thm-hit-main により $D'^2\le0$ で、$D'\not\equiv0$ なら $D'^2<0$ である。$H^2>0$ なので主張が従う。
2：$D,E$ の類が $V=\operatorname{Num}(X)\otimes\mathbb{R}$ で張る部分空間 $W$ を考える。$\dim W\le1$ なら $E$ の類は $D$ の類の実数倍で等号が成り立つ。$\dim W=2$ のとき、基底 $D,E$ についての $W$ 上のグラム行列式 $(D^2)(E^2)-(D\cdot E)^2$ が正なら、$D^2>0$ と合わせて形式は $W$ の上で正定値になる。しかし cor-hit-signature により $V$ には $2$ 次元の正定値部分空間はない（あれば $h^\perp$ と $0$ でない共通部分をもち、そこで負定値性に反する）。よって行列式は $0$ 以下である。$\square$

$f_1$ と $f_2$ は点 $(a,b)$ だけで横断的に交わるので $f_1\cdot f_2=1$ である（$a,b$ での局所パラメータの引き戻しが $(a,b)$ の局所環の極大イデアルを生成する）。$\mathcal{O}_X(f_1)=p_1^*\mathcal{O}_C(a)$ の $f_1$ への制限は、$p_1$ が $f_1$ の上で定値なので自明で、曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「交点形式」の 2 により $f_1^2=0$ である。同様に $f_2^2=0$。よって $f_1,f_2$ の類は $V=\operatorname{Num}(X)\otimes\mathbb{R}$ の中で、グラム行列 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ の非退化な $2$ 次元部分空間 $W$ を張り、$W$ の符号は $(1,1)$ である。$V=W\oplus W^\perp$ で、cor-hit-signature により $W^\perp$ の符号は $(0,\rho-2)$、すなわち負定値である。$D$ の類を $\alpha f_1+\beta f_2+w$（$w\in W^\perp$）と書くと $D\cdot f_1=\beta$、$D\cdot f_2=\alpha$ で、$D^2=2\alpha\beta+w^2\le2\alpha\beta$ である。$\square$

要点：$k=\bar{\mathbb{F}}_q$ 上の $C=C_0\times_{\mathbb{F}_q}k$ と、$q$ 乗の Frobenius 射 $F\colon C\to C$ のグラフ $\Gamma\subset C\times C$、対角線 $\Delta$ をとると、$\Gamma\cdot\Delta=N$、$\Gamma^2=q(2-2g)$、$\Delta^2=2-2g$ である。$D=r\Gamma+s\Delta$ に prop-hit-product を当てると $g q\,r^2-(N-q-1)rs+g\,s^2\ge0$（すべての整数 $r,s$）を得て、この 2 次形式の判別式から主張が従う。