副有限群
概要
副有限群（profinite group）とは、有限群の射影系の射影極限として得られる位相群のことで、各有限群に離散位相を入れた直積位相から位相を入れる。位相群としては、コンパクトな Hausdorff 空間であって完全不連結なものとちょうど一致し、このとき指数有限の開正規部分群が単位元の基本近傍系をなす。$p$ 進整数の加法群 $\mathbb{Z}_p$、$\widehat{\mathbb{Z}}\cong\prod_p\mathbb{Z}_p$、無限次 Galois 拡大の Galois 群が代表例である。開部分群は閉で指数有限な部分群と一致するが、指数有限であっても開とは限らない。
$p$ 進整数を、$p$ で割った余り、$p^2$ で割った余り、$p^3$ で割った余り、…を矛盾なく並べた列とみると、$p$ 進整数の加法群は有限群 $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ の列を「極限まで」並べたものになる。無限次の Galois 拡大の Galois 群も、有限次の Galois 部分拡大の Galois 群（有限群）を矛盾なく並べたものとして得られる。このように有限群の射影系の極限として得られる群を副有限群という。副有限群は無限群であっても、各有限段階の情報で完全に決まり、しかもコンパクトな位相群になる。位相の側から見ると、副有限群はちょうど「コンパクトで完全不連結な位相群」であり、この 2 つの見方の行き来が理論の基本である。副有限群は数論（Galois 群、$p$ 進数）や代数幾何学（エタール基本群）に現れる群の標準的な形である。
定義
有向集合 $I$ 上の群の射影系 $(G_i,\psi_{ji})$ とは、各 $i\in I$ の群 $G_i$ と、$i\le j$ のときの準同型 $\psi_{ji}\colon G_j\to G_i$ の組で、$\psi_{ii}=\mathrm{id}$、$i\le j\le k$ なら $\psi_{ji}\circ\psi_{kj}=\psi_{ki}$ を満たすものである。その射影極限は
$$
\varprojlim_{i\in I}G_i=\Bigl\{(x_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}G_i\ \Bigm|\ i\le j\text{ ならば }\psi_{ji}(x_j)=x_i\Bigr\}
$$
で、$\prod_iG_i$ の部分群である（射影極限 の命題「位相群の射影極限の構成」）。
名前は「有限群の射影極限（projective limit of finite groups）」の略である（MilFT Definition 7.24 の直後）。プロ有限群とも呼ぶ。位相群の同型は、群の同型であって同相写像であるものをいう。副有限群の間の射としては、連続な準同型を考える。添字を有向集合でなく余フィルター圏にとっても、得られる位相群の範囲は変わらない（余フィルター圏上の極限も、各射についての等式で定まる $\prod_iG_i$ の閉部分群なので、thm-profinite-group-characterization の 1 ⇒ 2 と同じ議論でコンパクトかつ完全不連結になり、同定理の 2 ⇒ 1 により有向集合上の極限として書き直せるため）。この形の定義は pro-対象 の定義「副有限群の定義と位相」と同じであり、そこでは有限群の pro-対象の圏と副有限群の圏が圏同値であることが述べられている（同記事の定理「有限群の pro-対象は副有限群である」）。
$G=\varprojlim_iG_i$ の位相の基本近傍系は具体的に書ける。射影 $\pi_i\colon G\to G_i$ の核を $U_i:=\ker\pi_i$ とすると、単位元の近傍は $\{x\mid x_{i_1}=1,\dots,x_{i_r}=1\}$ の形の集合を含み、$i_1,\dots,i_r$ の上界 $k$ をとれば $U_k$ はこの集合に含まれる（$x_k=1$ なら $x_{i_s}=\psi_{ki_s}(x_k)=1$）。したがって $\{U_i\}_{i\in I}$ は単位元の基本近傍系であり、各 $U_i$ は開正規部分群で、指数 $[G:U_i]$ は $\lvert G_i\rvert$ 以下である（$G/U_i$ は $G_i$ に埋め込まれる）。有限な指数の開正規部分群の族が単位元の基本近傍系になることが、副有限群の位相の特徴である。
例
- 有限群 $G$ に離散位相を入れたものは副有限群である（1 点の有向集合上の射影系の極限）。逆に、副有限群が離散なら有限である（副有限群はコンパクトであり（thm-profinite-group-characterization）、コンパクトな離散空間は有限集合）。
- 素数 $p$ について、$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$（$n\ge1$）と自然な全射の射影系の極限は $p$ 進整数の加法群 $\mathbb{Z}_p$ と同型である（p進数 の定理「$p$ 進整数の逆極限表示」）。射影 $\mathbb{Z}_p\to\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ の核（$p^n$ で割った余りが $0$ の元の全体）が、$0$ の基本近傍系をなす。
- 正の整数を整除関係 $n\mid m$ で順序づけた有向集合上の射影系 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_n$ の極限を $\widehat{\mathbb{Z}}$ と書く。これは $\mathbb{Z}$ の副有限完備化（def-profinite-group-completion）であり、$\widehat{\mathbb{Z}}\cong\prod_p\mathbb{Z}_p$ である（prop-profinite-group-zhat）。
$L/K$ を無限次でもよい Galois 拡大とする。有限次 Galois 部分拡大 $E/K$ の Galois 群 $\operatorname{Gal}(E/K)$ は有限群であり、制限写像による射影系の極限は $\operatorname{Gal}(L/K)$ と同型で、この同型は Krull 位相について同相である（Galois群 の定理「副有限群としてのGalois群」、MilFT Example 7.26）。とくに体 $K$ の絶対Galois群 $\operatorname{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K)$ は副有限群であり、有限体 $\mathbb{F}_q$ では $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q)\cong\widehat{\mathbb{Z}}$ である（Galois群 の例「有限体と $\hat{\mathbb{Z}}$」）。逆に、どの副有限群もある Galois 拡大の Galois 群として現れる（Tate の定理、MilFT Proposition 7.27）。スキームのエタール基本群も副有限群である（Galois圏）。
$\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}_p)$ は、有限群 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})$（$k\ge1$）と成分ごとの還元の射影系の極限と群として同型であり、極限の位相で副有限群である。実際、$\mathbb{Z}_p=\varprojlim_k\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ なので、行列の環も成分ごとに $M_n(\mathbb{Z}_p)=\varprojlim_kM_n(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})$ である。行列 $A=(A_k)_k$ が可逆なら各 $A_k$ も可逆である。逆に各 $A_k$ が可逆なら、逆行列はただ 1 つなので $A_{k+1}^{-1}$ の還元は $A_k^{-1}$ に等しく、$(A_k^{-1})_k$ は極限の元で $A$ の逆行列である。よって $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}_p)=\varprojlim_k\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z})$ である。還元写像の核 $\{A\mid A\equiv I_n\pmod{p^k}\}$（$k\ge1$）が単位元の基本近傍系をなす。
位相による特徴づけ
副有限群は、位相群としての性質だけで特徴づけられる。ここで位相空間が 完全不連結 であるとは、空でない連結部分集合が 1 点集合に限ることをいう（完全不連結空間）。
位相群 $G$ について、次は同値である。
- $G$ は副有限群である。
- $G$ はコンパクトな Hausdorff空間であり、完全不連結である。
さらにこのとき、開正規部分群の全体 $\mathcal{N}$ は単位元の基本近傍系をなし、自然な写像 $G\to\varprojlim_{N\in\mathcal{N}}G/N$、$g\mapsto(gN)_N$ は位相群の同型である（$\mathcal{N}$ は包含の逆で順序づけ、各 $G/N$ は離散な有限群とする）。
2 から 1 を示すには、単位元の近くに開正規部分群があることを先に示す。
$G$ をコンパクトで Hausdorff かつ完全不連結な位相群とする。単位元 $1$ の任意の近傍 $U$ は、ある開正規部分群 $N$ を含む。$N$ の指数は有限である。
要点：まず $U$ に含まれる開かつ閉な近傍 $V$ をとり、コンパクト性から $VW\subset V$ となる対称な近傍 $W$ を作る。$W$ が生成する部分群 $H$ は $V$ に含まれる開部分群で、その有限個の共役の共通部分が求める $N$ である。
詳しい証明を開く
段 1（開かつ閉な近傍）．コンパクト Hausdorff で完全不連結な空間の任意の開被覆は、互いに交わらない有限個の開かつ閉な集合による被覆で細分できる（Stacks Topology, Lemma 22.2（Tag 08ZY）により $G$ は profinite space であり、同 Lemma 22.4（Tag 08ZZ）を適用する）。Hausdorff なので $\{1\}$ は閉集合であり、開被覆 $\{U,\ G\setminus\{1\}\}$ の細分のうち $1$ を含む成分 $V$ は $G\setminus\{1\}$ に含まれないので $U$ に含まれる。$V$ は開かつ閉で $1\in V\subset U$ である。
段 2（$VW\subset V$ となる $W$）．各 $x\in V$ について、積 $G\times G\to G$ の $(x,1)$ での連続性と $x\cdot1=x\in V$（$V$ は開）から、$x$ の開近傍 $O_x$ と $1$ の開近傍 $W_x$ で $O_xW_x\subset V$ となるものがある。$V$ はコンパクト空間 $G$ の閉集合なのでコンパクトであり、有限個の $O_{x_1},\dots,O_{x_m}$ で覆われる。$W':=W_{x_1}\cap\dots\cap W_{x_m}$、$W:=W'\cap W'^{-1}$ とおくと、$W$ は $1$ の開近傍で $W=W^{-1}$ を満たし、$VW\subset\bigcup_jO_{x_j}W_{x_j}\subset V$ である。
段 3（$V$ に含まれる開部分群）．$H:=\bigcup_{n\ge1}W^n$ は、$W=W^{-1}$ と $1\in W$ から部分群である。$H$ の各元 $h$ について $hW\subset H$ は $h$ の開近傍なので $H$ は開である。$VW\subset V$ から帰納的に $VW^n\subset V$ なので $VH\subset V$ であり、$1\in V$ から $H\subset V$ である。
段 4（正規化）．$G$ は互いに交わらない開集合 $gH$ で覆われ、コンパクトなので有限個で覆われる。よって $[G:H]$ は有限である。共役 $gHg^{-1}$ は剰余類 $gH$ だけで決まる（$h\in H$ なら $ghH(gh)^{-1}=gHg^{-1}$）ので有限個しかなく、その共通部分 $N:=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}$ は有限個の開部分群の共通部分として開部分群であり、正規で、$N\subset H\subset V\subset U$ である。開部分群なので $N$ の指数も有限である。
1 ⇒ 2：$G=\varprojlim_iG_i\subset\prod_iG_i$ とする。$G$ は $\prod_iG_i$ の閉集合である。実際、$x\notin G$ なら $\psi_{ji}(x_j)\neq x_i$ となる $i\le j$ があり、$x$ の開近傍 $\{y\mid y_i=x_i,\ y_j=x_j\}$ は $G$ と交わらない。各 $G_i$ は有限離散なのでコンパクトであり、Tychonoffの定理 により $\prod_iG_i$ はコンパクト、その閉集合 $G$ もコンパクトである。Hausdorff 空間の直積とその部分空間は Hausdorff である。$C\subset G$ が連結なら、各 $\pi_i(C)$ は離散空間 $G_i$ の連結部分集合（連続像）なので 1 点であり、$C$ の元はすべての成分が一致するので $C$ は 1 点である。よって $G$ は完全不連結である。
2 ⇒ 1 とそれに続く主張：lem-profinite-group-open-normal により、開正規部分群は単位元の基本近傍系をなし、各 $G/N$ は有限群である。$N_1,N_2\in\mathcal{N}$ なら $N_1\cap N_2\in\mathcal{N}$ なので $\mathcal{N}$ は有向集合であり、$N'\subset N$ のとき自然な全射 $G/N'\to G/N$ が射影系を与える。$\varphi\colon G\to\varprojlim_NG/N$、$\varphi(g):=(gN)_N$ は準同型で、各成分 $G\to G/N$ は $N$ が開なので（離散な $G/N$ の各点の逆像が開集合 $gN$ で）連続であり、したがって $\varphi$ は連続である。
単射であること：$g\neq1$ なら、Hausdorff 性から $g\notin U$ となる $1$ の近傍 $U$ があり、補題により $N\subset U$ となる $N\in\mathcal{N}$ があるので $gN\neq N$ である。
全射であること：$x=(x_N)_N$ を極限の元とする。$x$ の基本近傍は有限個の $N_1,\dots,N_r$ で成分を指定した集合であり、$N:=N_1\cap\dots\cap N_r$ について $x_N=gN$ となる $g\in G$ をとれば、両立性から $gN_s=x_{N_s}$（$s=1,\dots,r$）なので $\varphi(g)$ はその近傍に入る。よって $\varphi(G)$ は稠密である。一方 $\varphi(G)$ はコンパクト集合の連続像なのでコンパクトであり、極限は Hausdorff（1 ⇒ 2 の議論）なので $\varphi(G)$ は閉集合である。稠密な閉集合は全体なので $\varphi$ は全射である。
コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は同相写像である。よって $\varphi$ は位相群の同型であり、$G$ は副有限群である。$\square$
この定理と証明は MilFT Proposition 7.25 にある（同書は 2 ⇒ 1 で局所コンパクト群の連結成分についての Bourbaki の結果を引用している。上の証明は代わりに lem-profinite-group-open-normal を示した）。位相空間だけについての同じ特徴づけ（有限離散空間の極限 ⇔ コンパクト Hausdorff 完全不連結）は Stacks Topology, Lemma 22.2（Tag 08ZY）である。
$G$ を副有限群、$H$ をその部分群とする。
- $H$ が開であることは、$H$ が閉で指数が有限であることと同値である。
- $H$ が閉なら、$H$ は相対位相で副有限群である。
1：$H$ が開なら、$G$ は互いに交わらない開集合 $gH$ の和で、コンパクトなので有限個で覆われ、指数は有限である。$H$ の補集合は開集合 $gH$（$g\notin H$）の和なので $H$ は閉である。逆に $H$ が閉で指数が有限なら、補集合は有限個の閉集合 $gH$（$g\notin H$）の和なので閉であり、$H$ は開である。
2：閉部分群 $H$ は、コンパクト空間の閉集合なのでコンパクトであり、Hausdorff 空間・完全不連結空間の部分空間なので Hausdorff かつ完全不連結である。thm-profinite-group-characterization により副有限群である。$\square$
1 の証明はコンパクトな位相群なら何でも通用し、Galois 群の場合は Galois群 の命題「開部分群と有限指数の閉部分群」にある。閉という仮定は外せない（ex-profinite-group-nonopen）。
$G$ を副有限群、$\Gamma$ を離散位相を入れた群、$f\colon G\to\Gamma$ を準同型とする。$f$ が連続であることは $\ker f$ が開であることと同値であり、このとき像 $f(G)$ は有限群である。
$f$ が連続なら、$\{1\}$ は $\Gamma$ で開なので $\ker f=f^{-1}(\{1\})$ は開である。逆に $\ker f$ が開なら、任意の $S\subset\Gamma$ について $f^{-1}(S)$ は $\ker f$ の剰余類 $g\ker f$ の和集合なので開であり、$f$ は連続である。このとき $\ker f$ は開部分群なので prop-profinite-group-open-subgroups の 1 により指数が有限で、$f(G)\cong G/\ker f$ は有限群である。$\square$
たとえば $K$ を離散位相を入れた体とすると、副有限群 $G$ の $K$ 上の有限次元の群の表現 $\rho\colon G\to\mathrm{GL}_n(K)$ が連続であることは、ある開正規部分群 $N$ について $\rho$ が有限群 $G/N$ を経由することと同値である（$N=\ker\rho$ とすればよい）。
副有限完備化
任意の群から、その有限商をすべて集めて副有限群を作ることができる。
$G$ を群とし、指数が有限な正規部分群の全体を $\mathcal{N}_G$ とする。$\mathcal{N}_G$ を包含の逆で順序づけると有向集合であり（$N_1\cap N_2$ も指数有限の正規部分群）、有限群 $G/N$ と自然な全射 $G/N'\to G/N$（$N'\subset N$）が射影系をなす。副有限群
$$
\widehat{G}:=\varprojlim_{N\in\mathcal{N}_G}G/N
$$
を $G$ の 副有限完備化（profinite completion）といい、$\iota\colon G\to\widehat{G}$、$\iota(g):=(gN)_N$ を完備化写像という。
$\iota$ は準同型で、その核は $\bigcap_{N\in\mathcal{N}_G}N$ である。thm-profinite-group-characterization の全射性の証明と同じ議論で、$\iota(G)$ は $\widehat{G}$ で稠密である。
$G$ を群、$P$ を副有限群、$f\colon G\to P$ を準同型とする。連続な準同型 $\hat f\colon\widehat{G}\to P$ で $\hat f\circ\iota=f$ を満たすものがただ 1 つ存在する。
$$
\xymatrix{
G \ar[r]^{\iota} \ar[dr]_{f} & \widehat{G} \ar@{.>}[d]^{\hat f} \\
& P
}
$$
図式が可換とは $\hat f(\iota(g))=f(g)$ がすべての $g\in G$ で成り立つことである。
thm-profinite-group-characterization により $P\cong\varprojlim_MP/M$（$M$ は $P$ の開正規部分群を動く）とみなせる。各 $M$ について、合成 $G\xrightarrow{f}P\to P/M$ の核 $N_M:=f^{-1}(M)$ は $G$ の正規部分群で、$G/N_M$ は有限群 $P/M$ に埋め込まれるので $N_M\in\mathcal{N}_G$ である。射影 $\widehat{G}\to G/N_M$ と単射 $\bar f_M\colon G/N_M\to P/M$ の合成を $\hat f_M\colon\widehat{G}\to P/M$ とする。$\hat f_M$ は連続であり（有限個の成分だけで決まる）、$M'\subset M$ なら $\hat f_{M'}$ を $P/M$ に落としたものは $\hat f_M$ に等しい（どちらも $(gN)_N\mapsto f(g)M$ の形である）。よって射影極限の普遍性（射影極限 の命題「位相群の射影極限の構成」）により、連続な準同型 $\hat f\colon\widehat{G}\to\varprojlim_MP/M=P$ が得られ、$\hat f(\iota(g))=(f(g)M)_M=f(g)$ である。
一意性：$\hat f,\hat f'$ がともに条件を満たせば、両者は稠密な部分集合 $\iota(G)$ の上で一致する。$P$ は Hausdorff なので $\{y\mid\hat f(y)=\hat f'(y)\}$ は閉集合であり（Hausdorff 空間の対角線集合の逆像）、稠密な集合を含むので $\widehat{G}$ 全体である。$\square$
$G$ 自身が副有限群のとき、指数有限の正規部分群のうち開なものだけで同じ極限を作ると $G$ 自身に戻る。これが thm-profinite-group-characterization の後半の主張である。
$\mathbb{Z}$ の副有限完備化 $\widehat{\mathbb{Z}}$ は、正の整数の整除関係による射影系の極限 $\varprojlim_n\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ であり、位相群として
$$
\widehat{\mathbb{Z}}\cong\prod_{p\text{ は素数}}\mathbb{Z}_p
$$
である。完備化写像 $\mathbb{Z}\to\widehat{\mathbb{Z}}$ は単射であるが全射でない。
$\mathbb{Z}$ の指数有限の部分群は $n\mathbb{Z}$（$n\ge1$）で、$n\mathbb{Z}\supset m\mathbb{Z}$ は $n\mid m$ と同値なので、$\widehat{\mathbb{Z}}=\varprojlim_n\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ である。
写像 $\Phi\colon\widehat{\mathbb{Z}}\to\prod_p\mathbb{Z}_p$ を、$(x_n)_n$ の $p^k$ 成分だけを取り出した $\bigl((x_{p^k})_k\bigr)_p$ で定める（$\mathbb{Z}_p=\varprojlim_k\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ とみる）。$\Phi$ は準同型で、各成分が有限個の成分で決まるので連続である。$n=\prod_pp^{k_p}$ と素因数分解すると、中国剰余定理（中国剰余定理）により $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\prod_p\mathbb{Z}/p^{k_p}\mathbb{Z}$ は同型である。単射性：$\Phi(x)=0$ なら、各 $n$ について $x_n$ の $\mathbb{Z}/p^{k_p}\mathbb{Z}$ への像は $x_{p^{k_p}}=0$ なので、中国剰余定理により $x_n=0$ である。全射性：$(y^{(p)})_p$ に対し、$x_n\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を「各 $p$ について $x_n\equiv y^{(p)}_{k_p}\pmod{p^{k_p}}$」を満たすただ 1 つの元とすると、$n\mid m$ のとき $x_m\bmod n$ も同じ合同式を満たすので $x_m\bmod n=x_n$ であり、$(x_n)$ は極限の元で $\Phi$ の像が $(y^{(p)})_p$ になる。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので $\Phi$ は同相写像である。
完備化写像の核は $\bigcap_nn\mathbb{Z}=0$ なので単射である。全射でないのは、$\widehat{\mathbb{Z}}\cong\prod_p\mathbb{Z}_p$ が非可算集合であるのに $\mathbb{Z}$ が可算だからである（$\mathbb{Z}_p$ が非可算であることは 射影極限 の例「$p$ 進整数環と副有限完備化」の 2）。$\square$
同じ中国剰余定理の議論は 射影極限 の例「$p$ 進整数環と副有限完備化」にもある。$\widehat{\mathbb{Z}}$ は有限体の絶対 Galois 群として現れ（ex-profinite-group-galois）、$1\in\widehat{\mathbb{Z}}$ が Frobenius 写像に対応する。
反例
thm-profinite-group-characterization・prop-profinite-group-open-subgroups の条件や、完備化写像の性質は、次のように条件を外すと崩れる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| コンパクト | 離散位相の $\mathbb{Z}$ | 副有限群である |
| 完全不連結 | 円周群 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ | 副有限群である |
| 指数有限の正規部分群の共通部分が $1$ | $\mathbb{Q}$（加法群） | 完備化写像が単射 |
| 閉 | $\prod_{\mathbb{N}}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の指数 $2$ の部分群 | 指数有限の部分群は開 |
離散位相を入れた $\mathbb{Z}$ は Hausdorff で完全不連結だが、無限集合なのでコンパクトでない（1 点集合による開被覆に有限部分被覆がない）。よって thm-profinite-group-characterization により副有限群でない。$\mathbb{Z}$ に $p$ 進位相（位相群 の例「整数の $p$ 進位相」）を入れても、Hausdorff で完全不連結だがコンパクトでない。この位相群を完備化したものが副有限群 $\mathbb{Z}_p$ である。
円周群 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ は、連結な $[0,1]$ の連続像なのでコンパクトかつ連結であり、Hausdorff である。連結で 2 点以上を含むので完全不連結でなく、副有限群でない。この 2 つの例は、「コンパクト」と「完全不連結」がどちらも thm-profinite-group-characterization の 2 から外せないことを示す。
有理数の加法群 $\mathbb{Q}$ は、指数有限の真の部分群をもたない。実際、$N\subset\mathbb{Q}$ の指数が $m$ なら、有限群 $\mathbb{Q}/N$ の各元の位数は $m$ を割るので、すべての $x\in\mathbb{Q}$ について $mx\in N$ であり、$m\mathbb{Q}=\mathbb{Q}$ から $N=\mathbb{Q}$ となる。よって $\mathcal{N}_{\mathbb{Q}}=\{\mathbb{Q}\}$ で $\widehat{\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}/\mathbb{Q}=0$ であり、完備化写像 $\mathbb{Q}\to\widehat{\mathbb{Q}}$ は単射でない。この例は「群」ではあるが「指数有限の正規部分群の共通部分が $1$」を満たさず、「完備化写像は単射」という含意を破る。とくに $\mathbb{Q}$ から副有限群への準同型はすべて自明である（thm-profinite-group-completion-universal により $\widehat{\mathbb{Q}}=0$ を経由する）。
$G:=\prod_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は有限群 $\prod_{n< k}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（$k\in\mathbb{N}$）の射影極限なので副有限群であり、$U_k:=\{x\mid x_0=\dots=x_{k-1}=0\}$ が $0$ の基本近傍系をなす。選択公理を使うと、$G$ には開でない指数 $2$ の部分群がある。この例は「指数有限」を満たすが「閉」を満たさず、prop-profinite-group-open-subgroups の 1 から閉の仮定を外すと「指数有限の部分群は開」が成り立たないことを示す。
構成を開く
$G$ を $\mathbb{F}_2$ 上のベクトル空間とみて、有限個の成分だけが $1$ の元の全体を $D$ とする。$D\neq G$（すべての成分が $1$ の元は $D$ に属さない）なので、商空間 $G/D$ は $0$ でない。選択公理により $G/D$ は基底をもち、基底の 1 つの元の係数を取り出す線形写像 $G/D\to\mathbb{F}_2$ は $0$ でない。これと商写像の合成を $\lambda\colon G\to\mathbb{F}_2$ とし、$H:=\ker\lambda$ とおく。$\lambda$ は全射なので $H$ は指数 $2$ の部分群であり、$D\subset H$ である。
$H$ が開なら、ある $k$ で $U_k\subset H$ となる。任意の $x\in G$ は、最初の $k$ 成分だけを残した $x'\in D$ と $x-x'\in U_k$ の和なので $G=D+U_k\subset H$ となり、$H\neq G$ に矛盾する。よって $H$ は開でない。prop-profinite-group-open-subgroups の 1 により閉でもない。また $G\to G/H\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は、核が開でないので連続でない準同型である（prop-profinite-group-discrete-target）。
同じ考え方で、$\mathbb{Q}$ の絶対 Galois 群には開でない指数 $2^n$ の正規部分群がある（MilFT Proposition 7.29。Galois群 の例「反例の確認」の 7）。このような部分群の構成に選択公理（Zorn の補題）が要ることについては MilFT Aside 7.31 に注意がある。一方、位相群として有限生成な副有限群では、指数有限の部分群はすべて開である（Nikolov–Segal の定理、MilFT Aside 7.32 に言明と出典）。
補足
副有限群は、有限の対象の系を 1 つの位相群にまとめる役割をもつ。無限次 Galois 理論では、Galois 群の閉部分群と中間体が一対一に対応する（Galois群 の注意「無限次のGalois対応」）。代数幾何学では、連結なスキームの有限エタール被覆の Galois 群の系からエタール基本群が副有限群として作られ、Galois 圏の理論はその枠組みを与える（Galois圏）。圏論的には、有限群の pro-対象 の圏と副有限群の圏は圏同値である（pro-対象 の定理「有限群の pro-対象は副有限群である」）。コンパクト開部分群が単位元の基本近傍系をなす Hausdorff 位相群は局所副有限群と呼ばれ（そのコンパクト開部分群は副有限群である）、非アルキメデス局所体 $F$ 上の $\mathrm{GL}_n(F)$ などがその例で、その表現論の舞台になる（局所副有限群の表現 の定義「局所副有限群」と例「基本例」）。
関連項目
参考文献
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