判別式で示す不等式

実数 $a_1,a_2,b_1,b_2$ について
$$ (a_1b_1+a_2b_2)^2\le(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) $$
を示す。$(a_1,a_2)=(1,2)$、$(b_1,b_2)=(3,4)$ で試すと、左辺は $(3+8)^2=121$、右辺は $5\cdot25=125$ で、確かに成り立っている。
一般の場合を示すため、$t$ の関数
$$ f(t):=(a_1t-b_1)^2+(a_2t-b_2)^2 $$
を考える。2 乗の和なので、すべての実数 $t$ で $f(t)\ge0$ である。展開すると
$$ f(t)=(a_1^2+a_2^2)t^2-2(a_1b_1+a_2b_2)t+(b_1^2+b_2^2) $$
である。$a_1^2+a_2^2>0$ なら $f$ は 2 次式で、つねに $0$ 以上なので判別式は $0$ 以下である。1 次の係数が $-2(a_1b_1+a_2b_2)$ と偶数倍なので、判別式の $\frac14$ で書くと
$$ \frac{(\text{判別式})}4=(a_1b_1+a_2b_2)^2-(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\le0 $$
となり、示すべき不等式が得られる。$a_1^2+a_2^2=0$、つまり $a_1=a_2=0$ なら両辺とも $0$ である。
数値の場合 $f(t)=5t^2-22t+25$ は、平方完成すると $5\bigl(t-\frac{11}5\bigr)^2+\frac45$ で、最小値は $\frac45>0$ である（図 1）。

実数 $a,b$ について $(a+b)^2\le2(a^2+b^2)$ を示す。2 乗の和
$$ (t-a)^2+(t-b)^2=2t^2-2(a+b)t+(a^2+b^2) $$
はすべての実数 $t$ で $0$ 以上なので、判別式の $\frac14$ は
$$ (a+b)^2-2(a^2+b^2)\le0 $$
である。これが示すべき不等式である。左辺を整理すると $-(a-b)^2$ になるので、等号は $a=b$ のときに限る。たとえば $a=1$、$b=3$ なら $(1+3)^2=16\le2(1+9)=20$ である。

1. $t^2-4t+5$：$a=1$、$b=-2$、$c=5$ で、$b^2=4\le ac=5$ なので、すべての $t$ で $0$ 以上である。実際 $(t-2)^2+1\ge1$ である。
2. $t^2-4t+4$：$b^2=4=ac$ なので、$0$ 以上で、$t=-\frac ba=2$ で $0$ になる。実際 $(t-2)^2$ である。
3. $t^2-4t+3$：$b^2=4>ac=3$ なので、負になる $t$ がある。実際 $t=2$ で $4-8+3=-1$ である。根は $t=1,3$ の 2 つあるが、$b^2=4\ne ac=3$ であり、根は $-\frac ba=2$ でもない。条件 1 が成り立たないので、補題の後半は使えない。
4. $-t^2+1$：$a=-1<0$ なので条件 2 を満たさず、たとえば段 2 の $t=\frac{2|b|+|c|}{|a|}+1=\frac{0+1}1+1=2$ で $-4+1=-3<0$ である。
5. $2t+1$（$a=0$、$b=1$）：$b\ne0$ なので条件 2 を満たさず、段 3 の $t=-\frac{c+1}{2b}=-1$ で $-2+1=-1<0$ である。$a\ge0$、$c\ge0$ は満たしているので、$a=0$ のときも $b^2\le ac$（つまり $b=0$）が要ることが分かる。
6. $t^2-1$（$a=1$、$b=0$、$c=-1$）：$c<0$ なので条件 2 を満たさない。$t=\pm1$ で $0$ になるが、$b^2=0\ne ac=-1$ である。補題の後半で「1 が成り立つ」を仮定するのは、このような 2 次式を除くためである。

1. $x^2+xy+y^2$：$a=1$、$2b=1$ より $b=\frac12$、$c=1$ で、$b^2=\frac14\le ac=1$ なので、すべての $x,y$ で $0$ 以上である。$x$ の 2 次式とみて $\frac14$ 判別式を計算すると $\bigl(\frac y2\bigr)^2-y^2=-\frac34y^2\le0$ であり、同じ結論になる。
2. $2x^2+2xy+y^2$：$a=2$、$b=1$、$c=1$ で $b^2=1\le2$ なので $0$ 以上である。実際 $x^2+(x+y)^2$ と書ける。
3. $x^2+4xy+y^2$：$b=2$ で $b^2=4>ac=1$ なので、負になる $(x,y)$ がある。実際 $(x,y)=(1,-1)$ で $1-4+1=-2$ である。

$(a_1,a_2,a_3)=(1,2,2)$、$(b_1,b_2,b_3)=(2,-1,3)$ とする。$\sum_{i=1}^3(a_it-b_i)^2$ を展開すると
$$ (1^2+2^2+2^2)t^2-2(1\cdot2+2\cdot(-1)+2\cdot3)t+(2^2+(-1)^2+3^2)=9t^2-12t+14 $$
である。これはすべての $t$ で $0$ 以上なので、lem-ibd-discriminant から $\frac14$ 判別式 $6^2-9\cdot14=36-126=-90$ は $0$ 以下であり、不等式 $(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\le(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$ は $36\le126$ となる。一般の $a_i,b_i$ でも同じ計算で成り立つ。

区間 $[0,1]$ で、$(tx-x^2)^2\ge0$ を積分すると、すべての実数 $t$ で
$$ \int_0^1(tx-x^2)^2dx=t^2\int_0^1x^2dx-2t\int_0^1x^3dx+\int_0^1x^4dx=\frac13t^2-\frac12t+\frac15\ge0 $$
である。高校の判別式は $\bigl(\frac12\bigr)^2-4\cdot\frac13\cdot\frac15=\frac14-\frac4{15}=-\frac1{60}$ で負である。$\frac14$ 判別式で書くと $\bigl(\int_0^1x^3dx\bigr)^2-\int_0^1x^2dx\int_0^1x^4dx\le0$、すなわち
$$ \Bigl(\int_0^1x^3\,dx\Bigr)^2=\frac1{16}\le\frac13\cdot\frac15=\frac1{15} $$
である。一般の連続関数 $f,g$ について $\int_p^q(tf-g)^2dx\ge0$ から同じように $\bigl(\int fg\bigr)^2\le\int f^2\int g^2$ が出る。

1. $n=2$：ex-ibd-first の $(a_1,a_2)=(1,2)$、$(b_1,b_2)=(3,4)$ で、左辺は $5\cdot25-11^2=125-121=4$、右辺は $(1\cdot4-2\cdot3)^2=(-2)^2=4$ であり、一致する。
2. $n=3$：ex-ibd-three の $a=(1,2,2)$、$b=(2,-1,3)$ で、左辺は $9\cdot14-6^2=90$ である。右辺の 3 項は
   $$ (1\cdot(-1)-2\cdot2)^2=25,\qquad(1\cdot3-2\cdot2)^2=1,\qquad(2\cdot3-2\cdot(-1))^2=64 $$
   で、和は $25+1+64=90$ であり、一致する。

$t^2+3t+2$ の判別式は $9-8=1>0$ であり、根は $t=-1,-2$ である。しかし $t>0$ の範囲だけ見ると、$t^2+3t+2=(t+1)(t+2)$ は正の数の積なのでつねに正である（図 3）。満たす性質は「$t>0$ で $0$ 以上」、満たさない性質は「判別式 $\le0$」であり、含意「$t>0$ で $0$ 以上 ⇒ 判別式 $\le0$」は成り立たない。prf-lem-ibd-discriminant の段 4 では、頂点 $t=-\frac ba$ を代入したが、その点が範囲の外にあると使えない。不等式の証明で $t$ が実数全体を動けることを確かめるのは、このためである。

$-t^2-1$ は、$a=-1$、$b=0$、$c=-1$ で、$b^2=0\le ac=1$ を満たす（高校の判別式 $0-4=-4<0$）。しかしすべての $t$ で $-t^2-1\le-1<0$ である。「判別式 $\le0$ ならつねに $0$ 以上」は $a>0$ のときの主張であり、lem-ibd-discriminant の条件 2 には $a\ge0$ と $c\ge0$ が入っている。判別式だけで判定できるのは、$t^2$ の係数が正のときに限る。