グラフの平行移動と対称移動

$y=2x^2$ のグラフを、$x$ 軸方向に $3$、$y$ 軸方向に $1$ だけ動かす。グラフ上の 3 つの点がどこへ行くかを調べる。

動かした点はどれも $y=2(x-3)^2+1$ を満たす（図1）。頂点は $(0,0)$ から $(3,1)$ へ移った。展開すると $y=2x^2-12x+19$ である。

$y=x^2$ と $y=(x-2)^2$ の値を並べる。

$y=x^2$ が $x=0$ でとる値 $0$ を、$y=(x-2)^2$ は $x=2$ でとる。$x=1$ でとる値 $1$ は $x=3$ でとる。新しい関数は、$x$ での値として、もとの関数の「$2$ だけ手前の点 $x-2$」での値を使う。だから同じ値が $2$ だけ遅れて（右に）現れる。$y=(x+2)^2$ なら $x$ での値がもとの $x+2$ での値なので、頂点は $(-2,0)$ で、左へ $2$ 動いている。

$y=(x-1)^2+2$ のグラフ（頂点 $(1,2)$）を、$x$ 軸、$y$ 軸、原点に関して対称に移す（図2）。

• $x$ 軸に関して対称：$y$ を $-y$ に替えて $-y=(x-1)^2+2$、つまり $y=-(x-1)^2-2$。頂点は $(1,-2)$。
• $y$ 軸に関して対称：$x$ を $-x$ に替えて $y=(-x-1)^2+2=(x+1)^2+2$。頂点は $(-1,2)$。
• 原点に関して対称：両方を替えて $-y=(-x-1)^2+2$、つまり $y=-(x+1)^2-2$。頂点は $(-1,-2)$。
  点 $(2,3)$ はもとのグラフ上にある（$(2-1)^2+2=3$）。その移り先 $(2,-3)$、$(-2,3)$、$(-2,-3)$ を代入すると、$-(2-1)^2-2=-3$、$(-2+1)^2+2=3$、$-(-2+1)^2-2=-3$ で、それぞれのグラフ上にある。

点 $(2,5)$ を動かす。

• $T_{3,-1}$：$(2+3,\ 5-1)=(5,4)$。
• $\sigma_x$：$(2,-5)$。$\sigma_y$：$(-2,5)$。$\sigma_o$：$(-2,-5)$。
  $T_{3,-1}$ で $(5,4)$ に移った点を、$T_{-3,1}$ で動かすと $(5-3,\ 4+1)=(2,5)$ に戻る。$\sigma_y$ で $(-2,5)$ に移った点を、もう一度 $\sigma_y$ で動かすと $(2,5)$ に戻る。

1. 円 $x^2+y^2=1$ を $T_{2,-1}$ で移す。$F(x,y)=x^2+y^2-1$ に $(x-2,\ y+1)$ を代入して、$(x-2)^2+(y+1)^2=1$ となる。中心 $(0,0)$ は $(2,-1)$ に移り、半径は $1$ のままである。点 $(1,0)$ の移り先 $(3,-1)$ を代入すると $(3-2)^2+(-1+1)^2=1$ で、確かに円の上にある。$(0,1)$ の移り先 $(2,0)$ も $0^2+1^2=1$ を満たす。
2. 双曲線 $y=\dfrac1x$ を $T_{1,2}$ で移すと、cor-trf-graph の 1 より $y=\dfrac1{x-1}+2$ となる。$x$ 軸と $y$ 軸に近づいていた曲線は、直線 $x=1$ と $y=2$ に近づく曲線になる。点 $(1,1)$ の移り先 $(2,3)$ は $\dfrac1{2-1}+2=3$、点 $(-1,-1)$ の移り先 $(0,1)$ は $\dfrac1{0-1}+2=1$ を満たす。

$y=x^2-4x+5$ は、平方完成すると $y=(x-2)^2+1$ なので、$y=x^2$ のグラフを $T_{2,1}$ で移したものである（平方完成は 2次関数の最大・最小 で扱う）。このグラフをさらに $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $4$ 動かすと、cor-trf-graph の 1 を $f(x)=x^2-4x+5$、$p=-3$、$q=4$ で使って
$$ y=f(x+3)+4=(x+3)^2-4(x+3)+5+4=x^2+2x+6 $$
となる。頂点で確かめると、$(2,1)$ が $(2-3,\ 1+4)=(-1,5)$ に移り、$x^2+2x+6=(x+1)^2+5$ の頂点と一致する。

$y=x^2$ を $T_{1,2}$ で移すと $y=(x-1)^2+2$ である。これを $T_{3,-5}$ で移すと、cor-trf-graph の 1 を使って
$$ y=\bigl((x-3)-1\bigr)^2+2-5=(x-4)^2-3 $$
となる。prop-trf-compose の 1 より、これは $y=x^2$ を $T_{4,-3}$ で一度に移したもの $y=(x-4)^2-3$ と同じである。

$y=x^2$ に、「$x$ 軸方向に $1$ の平行移動」と「$y$ 軸に関する対称移動」を行う（図3）。

• 先に平行移動：$y=(x-1)^2$。次に $y$ 軸に関して対称に移すと、$x$ を $-x$ に替えて $y=(-x-1)^2=(x+1)^2$。頂点は $(-1,0)$。
• 先に対称移動：$y=(-x)^2=x^2$（$y=x^2$ は $y$ 軸に関して対称なので変わらない）。次に平行移動すると $y=(x-1)^2$。頂点は $(1,0)$。
  頂点 $(0,0)$ の行き先を点で追っても、前者は $(0,0)\to(1,0)\to(-1,0)$、後者は $(0,0)\to(0,0)\to(1,0)$ で、それぞれ上で求めた頂点 $(-1,0)$、$(1,0)$ と一致する。2 つの順番で行き先が異なるので、できる図形も異なる。

1. $y=x^2$ を直線 $x=1$ に関して対称に移すと、$y=(2-x)^2=(x-2)^2$ になる。頂点 $(0,0)$ は $(2,0)$ に移る。直線 $x=1$ 上の点 $(1,1)$ は動かず、実際 $(2-1)^2=1$ である。点 $(-1,1)$ は $(3,1)$ に移り、$(3-2)^2=1$ を満たす。
2. $y=x^2$ を点 $(1,1)$ に関して対称に移すと、$y=2-(2-x)^2=-x^2+4x-2$ になる。頂点 $(0,0)$ は $(2,2)$ に移り、$-4+8-2=2$ を満たす。点 $(1,1)$ はもとのグラフ上にあって動かず、$-1+4-2=1$ である。

定義域はすべての実数とする。

1. $f(x)=x^4-3x^2$：$f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x)$ なので偶関数。たとえば $f(1)=f(-1)=-2$。
2. $f(x)=x^3-x$：$f(-x)=-x^3+x=-f(x)$ なので奇関数。たとえば $f(2)=6$、$f(-2)=-6$。
3. $f(x)=x^2+x$：$f(1)=2$、$f(-1)=0$ である。$f(-1)\ne f(1)$ なので偶関数でなく、$f(-1)\ne-f(1)$ なので奇関数でもない。
4. $f(x)=x^3+1$：$f(1)=2$、$f(-1)=0$ で、3 と同じ理由でどちらでもない。$x^3$ は奇関数だが、定数 $1$ を足すと奇関数でなくなる。

1. $f(x)=x^2-4x+5$ について、$f(2+t)=(2+t)^2-4(2+t)+5=t^2+1$、$f(2-t)=(2-t)^2-4(2-t)+5=t^2+1$ である。等しいので、グラフは直線 $x=2$ に関して対称である。これは放物線の軸が $x=2$ であることの言いかえで、2次関数の最大・最小 の「値は軸からの距離で決まる」と同じ内容である。
2. $f(x)=x^3-3x^2+2x$ について、$f(1+t)=(1+t)^3-3(1+t)^2+2(1+t)=t^3-t$ である（$f(x)=x(x-1)(x-2)$ に $x=1+t$ を入れると $(1+t)\,t\,(t-1)=t^3-t$ とも計算できる）。$f(1-t)=(-t)^3-(-t)=-t^3+t$ なので、$f(1+t)+f(1-t)=0=2\cdot0$ である。グラフは点 $(1,0)$ に関して対称である（図4）。数で確かめると、$f\bigl(\frac32\bigr)=-\frac38$、$f\bigl(\frac12\bigr)=\frac38$ で和は $0$ である。

$y=x^2$ を $x$ 軸方向に $2$ 動かすつもりで、$x$ に $T_{2,0}$ の座標 $x+2$ を代入すると、$y=(x+2)^2$ になる。このグラフの頂点は $(-2,0)$ で、左へ $2$ 動いている。
満たさない性質：代入するのが逆の移動 $T^{-1}$ であること。破る主張：「移した図形の方程式は $F(T(x,y))=0$」。thm-trf-main の $T$ を $T^{-1}$ に替えた式 $F(T(x,y))=0$ は、$C$ を $T^{-1}$ で移した図形、つまり逆向きに動かした図形を表す。

点 $(x,y)$ を $(y,x)$ に移す移動 $\mu$（直線 $y=x$ に関する対称移動）を考える。$\mu$ を 2 回行うと元に戻るので、$\mu$ は自分自身が逆の移動であり、prf-prop-trf-line-point の段 4 と同じ理由で thm-trf-main の形の結論が成り立つ。$y=x^2$、つまり $y-x^2=0$ を $\mu$ で移すと $x-y^2=0$、つまり $x=y^2$ になる。
ところが $x=y^2$ は関数のグラフではない。たとえば $x=1$ のとき $y=1$ と $y=-1$ の 2 点がある。満たさない性質：移動が cor-trf-graph の 4 種類（と prop-trf-line-point の 2 種類）のどれかであること。破る主張：「関数のグラフを移すと、また関数のグラフになる」。$\mu$ で移したグラフが関数のグラフになるのは、もとの関数に 逆関数 があるときである。

$f(x)=x^2$ を定義域 $-1\le x\le2$ で考える。$-1\le x\le1$ では $-x$ も定義域に入り、$f(-x)=f(x)$ が成り立つ。しかし、グラフの点 $(2,4)$ を $y$ 軸に関して移した点 $(-2,4)$ は、$x=-2$ が定義域の外なのでグラフに乗らない。グラフは $y$ 軸に関して対称ではない。
満たさない性質：定義域が「$x$ が入れば $-x$ も入る」を満たすこと。破る主張：「式の上で $f(-x)=f(x)$ ならグラフは $y$ 軸に関して対称」。def-trf-even-odd で定義域の条件を先に置いたのはこのためである。

ex-trf-order の 1 つ目の順番を、prop-trf-action で計算する。$T=T_{1,0}$、$S=\sigma_y$、$F=y-x^2$ とする。

• $S\circ T$ は $(x,y)\to(x+1,y)\to(-x-1,\ y)$ と動かす。これを 2 回行うと $\bigl(-(-x-1)-1,\ y\bigr)=(x,y)$ なので、$S\circ T$ は自分自身が逆の移動である（直線 $x=-\frac12$ に関する対称移動 $\rho_{-1/2}$ である）。
• $(S\circ T)\cdot F=F(-x-1,\ y)=y-(-x-1)^2=y-(x+1)^2$ である。
  これは ex-trf-order で 2 回に分けて代入した結果 $y=(x+1)^2$ と一致する。

prop-trf-compose の 2 と lem-trf-inverse をまとめると、4 つの移動 $\mathrm{id},\sigma_x,\sigma_y,\sigma_o$ の合成は次の表になる（行の移動を、列の移動のあとに行う）。

合成してもこの 4 つの外に出ず、何も動かさない $\mathrm{id}$ を含み、どの移動の逆の移動もこの 4 つの中にある。このような集まりを 群 という（群の条件には結合法則 $U\circ(S\circ T)=(U\circ S)\circ T$ も入るが、これはどちらも「$T$、$S$、$U$ の順に行う」移動なので、移動の合成ではつねに成り立つ）。この群では、表の対角線がすべて $\mathrm{id}$ であることから分かるように、どの移動も自分自身が逆の移動である。この 4 つの群は Kleinの四元群 と呼ばれる。自分自身が逆であることは群の条件ではない。実際、平行移動の全体も、prop-trf-compose の 1 から、ベクトル $(p,q)$ の足し算と同じ規則で合成される群であるが、たとえば $T_{1,0}$ の逆の移動は $T_{-1,0}$ で、自分自身ではない。

1. $f(x)=x^3+x^2+x+1$：$f(-x)=-x^3+x^2-x+1$ なので、$g(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}2=x^2+1$、$h(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}2=x^3+x$ である。多項式では、偶数次の項が偶関数の部分、奇数次の項が奇関数の部分になる。
2. $f(x)=e^x$：$g(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}2$、$h(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}2$ である。この 2 つは 双曲線関数 $\cosh x$、$\sinh x$ と呼ばれる。$x=0$ では $g(0)=1$、$h(0)=0$ で、和は $e^0=1$ である。