極値的長さ

計量 $\rho$ と $\gamma\in\Gamma$ について、$\gamma$ の部分曲線 $\gamma|_J\in\Gamma'$ をとると、被積分関数が $0$ 以上なので $\ell_\rho(\gamma)\geq\ell_\rho(\gamma|_J)\geq L(\Gamma',\rho)$ である。$\gamma$ について下限をとって $L(\Gamma,\rho)\geq L(\Gamma',\rho)$ であり、両辺を $A(\rho)$ で割って上限をとればよい。$\square$

開写像定理(複素解析) の系「単射な正則写像の逆写像」により $f^{-1}$ も正則で、$f'$ は $0$ にならない。$\Omega'$ 上の計量 $\rho'$ に対し、$\Omega$ 上の計量 $\rho:=(\rho'\circ f)\,|f'|$ を対応させる。逆の対応は $\rho\mapsto(\rho\circ f^{-1})\,|(f^{-1})'|$ で与えられる（$(f^{-1})'(f(z))=1/f'(z)$）ので、これは計量全体の間の全単射である。
長さ：$\gamma\in\Gamma$ について $f\circ\gamma$ は各有界閉部分区間で区分的に $C^1$ 級で、$(f\circ\gamma)'(t)=f'(\gamma(t))\gamma'(t)$ なので
$$\ell_{\rho'}(f\circ\gamma)=\int_I\rho'(f(\gamma(t)))\,|f'(\gamma(t))|\,|\gamma'(t)|\,dt=\ell_\rho(\gamma)$$
である。よって $L(f(\Gamma),\rho')=L(\Gamma,\rho)$ である。
面積：$f=u+iv$ を平面の写像とみると、Cauchy–Riemann の方程式 $u_x=v_y$、$u_y=-v_x$ により Jacobi 行列式は $u_xv_y-u_yv_x=u_x^2+v_x^2=|f'|^2$ である。$K\subset\Omega$ をコンパクトな Jordan 可測集合とすると、$f(K)$ もそうであり（Leb26b Proposition 10.5.9）、変数変換の公式（Leb26b Theorem 10.7.2）により
$$\iint_{f(K)}\rho'^2\,dx\,dy=\iint_K(\rho'\circ f)^2|f'|^2\,dx\,dy=\iint_K\rho^2\,dx\,dy$$
である。$\Omega'$ のコンパクトな Jordan 可測集合 $K'$ はどれも $f(f^{-1}(K'))$ の形で、$f^{-1}(K')$ は同じ命題によりコンパクトな Jordan 可測集合である。上限をとって $A(\rho')=A(\rho)$ を得る。
したがって $\{L(f(\Gamma),\rho')^2/A(\rho')\}$ と $\{L(\Gamma,\rho)^2/A(\rho)\}$ は同じ集合であり、上限も等しい。$\square$

必要性は、$A_{r,R}\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$ と 回転数 の系「ホモトピー不変性の帰結」の 1 による。十分性：回転数 の命題「基本群との関係」の単射性の証明で $a=0$、$b=\gamma(\alpha)$ として作ったホモトピー $H$、$K$ は、点の絶対値を $|\gamma(t)|$ のまま、または $|\gamma(t)|$ と $|b|$ のあいだの値に保つので、どちらも $A_{r,R}$ の中にある。よって $\gamma$ は $A_{r,R}$ の中で定数の曲線とホモトピックである。円周の回転数は $1$ なので、後半が従う。$\square$

どの場合も、特定の計量で下から、すべての計量について Cauchy–Schwarz の不等式で上から評価する。上からの評価では、計量 $\rho$ を $0< A(\rho)<\infty$ のものとし、$L:=L(\Gamma,\rho)$ とおく。積分はまず領域に含まれる閉長方形（閉円環）の上で Fubini の定理（Fubiniの定理）や極座標の変数変換（極座標 の定理「極座標による重積分の変数変換」）で書き直し、それを広げる極限をとる。
1． 下から：$\rho\equiv1$ とすると $A(\rho)=ab$ である。$\gamma\in\Gamma_{a,b}$ について $|\gamma'|\geq|(\operatorname{Re}\gamma)'|$ なので、$\alpha< t_1< t_2<\beta$ で $\int_{t_1}^{t_2}|\gamma'|\,dt\geq\operatorname{Re}\gamma(t_2)-\operatorname{Re}\gamma(t_1)$ であり、$t_1\to\alpha$、$t_2\to\beta$ として $\ell_\rho(\gamma)\geq a$ である。よって $\lambda(\Gamma_{a,b})\geq a^2/(ab)=a/b$ である。上から：$0< y< b$ について水平な線分 $t\mapsto t+iy$（$0< t< a$）は $\Gamma_{a,b}$ に属するので、Cauchy–Schwarz の不等式により
$$L^2\leq\Bigl(\int_0^a\rho(x+iy)\,dx\Bigr)^2\leq a\int_0^a\rho(x+iy)^2\,dx$$
である。$y$ について $0$ から $b$ まで積分すると $bL^2\leq aA(\rho)$、すなわち $L^2/A(\rho)\leq a/b$ である（$L=\infty$ ならすべての $y$ で右辺が $\infty$ となり $A(\rho)<\infty$ に反するので、$L<\infty$ である）。
2． 下から：$\rho(z):=1/|z|$ とすると、極座標で $A(\rho)=\int_r^R\int_0^{2\pi}t^{-2}\,t\,d\theta\,dt=2\pi\log(R/r)$ である。$\gamma\in\Gamma^{\mathrm{join}}_{r,R}$ について、$|\gamma|$ は区分的に $C^1$ 級で $\bigl|\frac{d}{dt}|\gamma(t)|\bigr|=|\operatorname{Re}(\overline{\gamma}\gamma')|/|\gamma|\leq|\gamma'|$ なので、1 と同じ議論で
$$\ell_\rho(\gamma)=\int\frac{|\gamma'(t)|}{|\gamma(t)|}\,dt\geq\int\Bigl|\frac{d}{dt}\log|\gamma(t)|\Bigr|\,dt\geq\log R-\log r$$
である。よって $\lambda\geq\log^2(R/r)/(2\pi\log(R/r))=\frac1{2\pi}\log\frac Rr$ である。上から：各 $\theta$ について半径の線分 $t\mapsto te^{i\theta}$（$r< t< R$）は $\Gamma^{\mathrm{join}}_{r,R}$ に属するので
$$L^2\leq\Bigl(\int_r^R\rho(te^{i\theta})\sqrt t\cdot\frac1{\sqrt t}\,dt\Bigr)^2\leq\log\frac Rr\int_r^R\rho(te^{i\theta})^2\,t\,dt$$
である。$\theta$ について積分して $2\pi L^2\leq\log(R/r)\,A(\rho)$ を得る。
3． 下から：$\rho(z):=1/(2\pi|z|)$ とすると $A(\rho)=\frac1{4\pi^2}\cdot2\pi\log\frac Rr=\frac1{2\pi}\log\frac Rr$ である。$\gamma\in\Gamma^{\mathrm{sep}}_{r,R}$ は lem-el-winding により $n(\gamma,0)\neq0$ を満たし、回転数 の命題「積分による表示」により
$$\ell_\rho(\gamma)=\frac1{2\pi}\int_\alpha^\beta\frac{|\gamma'(t)|}{|\gamma(t)|}\,dt\geq\frac1{2\pi}\Bigl|\int_\alpha^\beta\frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)}\,dt\Bigr|=|n(\gamma,0)|\geq1$$
である。よって $\lambda\geq1\big/\bigl(\frac1{2\pi}\log\frac Rr\bigr)$ である。上から：$r< t< R$ について円周 $\theta\mapsto te^{i\theta}$（$0\leq\theta\leq2\pi$）は lem-el-winding により $\Gamma^{\mathrm{sep}}_{r,R}$ に属するので
$$L^2\leq\Bigl(\int_0^{2\pi}\rho(te^{i\theta})\,t\,d\theta\Bigr)^2\leq2\pi t\int_0^{2\pi}\rho(te^{i\theta})^2\,t\,d\theta$$
である。両辺を $2\pi t$ で割って $t$ について $r$ から $R$ まで積分すると $\frac{L^2}{2\pi}\log\frac Rr\leq A(\rho)$ である。$\square$

$R_1/r_1=R_2/r_2$ なら $z\mapsto(r_2/r_1)z$ が双正則写像である。逆に $f\colon A_{r_1,R_1}\to A_{r_2,R_2}$ を双正則写像とする。$\gamma\in\Gamma^{\mathrm{sep}}_{r_1,R_1}$ について、$f\circ\gamma$ が $A_{r_2,R_2}$ の中で定数の曲線とホモトピックなら、そのホモトピーに $f^{-1}$ を合成すると $\gamma$ も $A_{r_1,R_1}$ の中で定数の曲線とホモトピックになって矛盾する。よって $f(\Gamma^{\mathrm{sep}}_{r_1,R_1})\subset\Gamma^{\mathrm{sep}}_{r_2,R_2}$ であり、$f^{-1}$ についても同じなので等号が成り立つ。thm-el-conformal と thm-el-main の 3 により $2\pi/\log(R_1/r_1)=2\pi/\log(R_2/r_2)$、すなわち $R_1/r_1=R_2/r_2$ である。$\square$

閉長方形の点 $z$ の左の辺までの距離は $\operatorname{Re}z$ である。$F$ はコンパクトな閉長方形の上で一様連続なので、$\operatorname{Re}z\to0$ なら $F(z)$ の左の辺までの距離、すなわち $\operatorname{Re}F(z)$ も $0$ に近づく。右の辺についても同じなので、$f(\Gamma_{a,b})\subset\Gamma_{a',b'}$ であり、$F^{-1}$ についても同じ議論で等号が成り立つ。thm-el-conformal と thm-el-main の 1 による。$\square$