大域体

2 の前半：定数体に属さない元は定義により $\mathbb{F}_p$ 上代数的でない。超越次数の加法性（超越次数 の記事の定理「超越次数の加法性」）により $1=\operatorname{trdeg}_{\mathbb{F}_p}K=\operatorname{trdeg}_{\mathbb{F}_p}\mathbb{F}_p(x)+\operatorname{trdeg}_{\mathbb{F}_p(x)}K=1+\operatorname{trdeg}_{\mathbb{F}_p(x)}K$ なので、$K$ は $\mathbb{F}_p(x)$ 上代数的である。$K$ は $\mathbb{F}_p$ 上有限生成なので $\mathbb{F}_p(x)$ 上も有限個の代数的な元で生成され、$n:=[K:\mathbb{F}_p(x)]$ は有限である。

1：超越次数が $1$ なので定数でない元 $x$ がある。まず $\mathbb{F}_p$ が $\mathbb{F}_p(x)$ の中で代数的に閉じていることを示す。$r=f(x)/g(x)\in\mathbb{F}_p(x)\setminus\mathbb{F}_p$（$f,g\in\mathbb{F}_p[T]$、$g\ne0$）とすると、$x$ は多項式 $f(T)-r\,g(T)\in\mathbb{F}_p(r)[T]$ の根である。この多項式が $0$ なら各係数で $f_i=r\,g_i$ となり、$r\notin\mathbb{F}_p$ から $f_i=g_i=0$ がすべての $i$ で従って $g=0$ に反する。よって $x$ は $\mathbb{F}_p(r)$ 上代数的であり、$r$ が $\mathbb{F}_p$ 上代数的なら $x$ も代数的になって矛盾する。

次に定数 $\alpha$ の $\mathbb{F}_p$ 上の最小多項式 $g$ をとり、$h\in\mathbb{F}_p(x)[T]$ をその $\mathbb{F}_p(x)$ 上のモニックな既約因子とする。$h$ の係数は $g$ のいくつかの根の基本対称式なので $\mathbb{F}_p$ 上代数的であり、前段により $\mathbb{F}_p$ に属する。$g$ は $\mathbb{F}_p$ 上既約なので $h=g$ である。したがって $[\mathbb{F}_p(x)(\alpha):\mathbb{F}_p(x)]=\deg g$ であり、$\deg g\le n$ である。

こうして定数体 $k$ の元はすべて $\mathbb{F}_p$ 上の次数が $n$ 以下である。$k$ の有限部分体のうち $\mathbb{F}_p$ 上の次数が最大のもの $k_0$ をとる。$\alpha\in k$ について、有限体 $k_0(\alpha)$ は乗法群の生成元 $\beta$ による単拡大 $\mathbb{F}_p(\beta)$ なので（有限体 の記事の定理「有限体の乗法群の構造」）次数は $n$ 以下であり、最大性から $k_0(\alpha)=k_0$、すなわち $\alpha\in k_0$ である。よって $k=k_0$ は有限体である。

2 の後半：$\mathbb{F}_p(x)\subset\mathbb{F}_q(x)\subset K$ なので $[K:\mathbb{F}_q(x)]\le n$ である。

3：$\mathbb{F}_p(t)$ の有限次拡大体は $\mathbb{F}_p(t)$ 上有限個の元で生成されるので $\mathbb{F}_p$ 上有限生成であり、加法性から超越次数は $1$ である。$\square$

1：代数体では 整閉包の有限性 の系「単項イデアル整域の場合は自由加群」により $B$ は階数 $n$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群である。大域関数体では、thm-gf-constant の 2 により $K$ は $F=\mathbb{F}_q(x)$ の有限次拡大であり、$A=\mathbb{F}_q[x]$ は体 $\mathbb{F}_q$ 上有限生成な整域なので、整閉包の有限性 の定理「体上有限生成な整域の整閉包の有限性」により $B$ は有限 $A$ 加群である。$B$ は $K$ の部分環なので捩れをもたず、単項イデアル整域 の記事の定理「単項イデアル整域上の加群」の 4 により自由である。整閉包 の記事の命題「分母を払うことと正規化」の 1・2 により、任意の $y\in K$ に $ay\in B$ となる $0$ でない $a\in A$ があり、$B$ の商体は $K$ である。よって $B$ の $A$ 基底は $K$ の $F$ 基底であり、階数は $n$ である。$B$ が Dedekind 整域であることは Dedekind整域 の記事の定理「整閉包へのDedekind性の遺伝」による。

2：$0\ne b\in\mathfrak{P}$ は $A$ 上整なので、次数が最小のモニックな関係式 $b^m+a_{m-1}b^{m-1}+\cdots+a_0=0$（$a_i\in A$）がある。$a_0=0$ なら整域で $b$ を約して次数が下がるので $a_0\ne0$ であり、$a_0\in bB\cap A\subset\mathfrak{p}$ である。$\mathfrak{p}$ は素イデアルなので、$A$ の素元で生成され、$A/\mathfrak{p}$ は有限体（$\mathbb{F}_\ell$ か $\mathbb{F}_q[x]/(P)$）である。1 により $B/\mathfrak{p}B\cong(A/\mathfrak{p})^n$ は $A/\mathfrak{p}$ 上 $n$ 次元であり、$B/\mathfrak{P}$ はその商なので $A/\mathfrak{p}$ 上の次元が $n$ 以下の有限な整域、すなわち有限体である。$\square$

$\mathfrak{P}$ は素イデアル $\mathfrak{m}_{\mathcal{O}}$ の引き戻しなので素イデアルである。$\mathfrak{P}=0$ なら $B$ の $0$ でない元はすべて $\mathcal{O}$ の単元であり、$K=\operatorname{Frac}B\subset\mathcal{O}$ となって仮定に反する。$B\setminus\mathfrak{P}$ の元は $\mathfrak{m}_{\mathcal{O}}$ に入らないので $\mathcal{O}$ の単元であり、$B_{\mathfrak{P}}\subset\mathcal{O}$ である。Dedekind整域 の記事の定理「Noether整域におけるDedekind整域の特徴づけ」により $B_{\mathfrak{P}}$ は離散付値環なので、素元 $\pi$ をとると $K^\times$ の元は $u\pi^k$（$u\in B_{\mathfrak{P}}^\times$、$k\in\mathbb{Z}$）と書ける（離散付値環 の記事の命題「離散付値環の基本構造」）。$\mathcal{O}$ が $B_{\mathfrak{P}}$ に入らない元 $u\pi^k$ を含むなら $k<0$ であり、$\pi^{-1}=(u\pi^k)\,u^{-1}\pi^{-k-1}\in\mathcal{O}$ となる。すると任意の $u'\pi^{k'}$ が $\mathcal{O}$ に入り $\mathcal{O}=K$ となって矛盾する。よって $\mathcal{O}=B_{\mathfrak{P}}$ である。$\square$

有限素点 $v$ の付値環 $\mathcal{O}_v$ は整閉である（付値環 の記事の命題「付値環は整閉」）。代数体では、非アルキメデス性から $\lvert1+\cdots+1\rvert_v\le1$ なので $\mathbb{Z}\subset\mathcal{O}_v$ であり、整閉性から $\mathcal{O}_K\subset\mathcal{O}_v$ である。大域関数体では、標数が正なので素点はすべて非アルキメデス的であり（付値 の記事の系「正標数の体と有限体」の 1）、$0$ でない定数 $c$ は $c^{q-1}=1$ を満たすので $\lvert c\rvert_v=1$ である。$\lvert x\rvert_v\le1$ なら $\mathbb{F}_q[x]\subset\mathcal{O}_v$、$\lvert x\rvert_v>1$ なら $\lvert1/x\rvert_v<1$ で $\mathbb{F}_q[1/x]\subset\mathcal{O}_v$ であり、整閉性からそれぞれ $B\subset\mathcal{O}_v$、$B'\subset\mathcal{O}_v$ となる。

どの場合も lem-gf-integral の 1 により整閉包は Dedekind 整域なので、lem-gf-valuation-ring により $\mathcal{O}_v=B_{\mathfrak{P}}$（$\mathfrak{P}=\mathfrak{m}_v\cap B$）となる。$\lvert x\rvert_v>1$ の場合は $1/x\in\mathfrak{m}_v\cap B'$ である。逆に、$0$ でない素イデアル $\mathfrak{P}$ について $B_{\mathfrak{P}}$ は離散付値環で、その正規化された付値 $v_{\mathfrak{P}}$ から絶対値 $c^{-v_{\mathfrak{P}}(\cdot)}$（$0< c< 1$）が定まり、その付値環は $B_{\mathfrak{P}}\supset B$ である。$1/x\in\mathfrak{P}\subset B'$ なら $\lvert1/x\rvert<1$ である。素点から $\mathfrak{P}=\mathfrak{m}_v\cap B$ が、$\mathfrak{P}$ から付値環 $B_{\mathfrak{P}}$ が決まり、付値 の記事の定理「絶対値が同値であるための条件」の 2 により付値環が同じ絶対値は同値なので、対応は 1 対 1 である。$1/x$ を含む素イデアルは、Dedekind 整域での $(1/x)B'$ の素イデアル分解に現れるものなので有限個である。これで 1・2 が示された。

3：$\mathcal{O}_v=B_{\mathfrak{P}}$ は離散付値環であり、剰余体は $B_{\mathfrak{P}}/\mathfrak{P}B_{\mathfrak{P}}\cong B/\mathfrak{P}$ で、lem-gf-integral の 2 により有限体である。完備化では付値が同じ値群のまま延び、付値環と剰余体は $\hat{\mathcal{O}}_v/\hat{\mathfrak{m}}_v\cong\mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$ を満たす（Neu99 Chapter II, (4.3) Proposition、p. 126）。よって $K_v$ は離散付値について完備で剰余体が有限であり、局所体 の記事の定義「局所体」の 2 条件を満たす。$\square$

$\pi=P$ の場合を示す（$\pi=1/x$ の場合は $x$ を $1/x$ に、$\mathbb{F}_q[x]$ を $\mathbb{F}_q[1/x]$ に替えて同じである）。$v(P)>0$ なら $\lvert x\rvert_v\le1$ である。実際 $\lvert x\rvert_v>1$ なら、$P$ の最高次の項の絶対値 $\lvert x\rvert_v^{\deg P}$ がほかの項より真に大きいので $\lvert P\rvert_v=\lvert x\rvert_v^{\deg P}>1$ となる。よって thm-gf-places の 2 により、$v(P)>0$ の素点は $B$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ で $P\in\mathfrak{P}$ となるもの、すなわち $PB$ の素イデアル分解 $PB=\mathfrak{P}_1^{a_1}\cdots\mathfrak{P}_g^{a_g}$ に現れるものに対応し、有限個である。$B_{\mathfrak{P}_i}$ で局所化すると $PB_{\mathfrak{P}_i}=\mathfrak{P}_i^{a_i}B_{\mathfrak{P}_i}$ なので $a_i=v_i(P)=e_i$ である。

$\mathfrak{P}_i^{e_i}$ は対ごとに互いに素なので（両方を含む極大イデアルは $\mathfrak{P}_i=\mathfrak{P}_j$ を導く）、中国剰余定理 の記事の定理「可換環における中国剰余定理」により $B/PB\cong\prod_iB/\mathfrak{P}_i^{e_i}$ であり、これは $\kappa_P$ 上のベクトル空間の同型である。左辺は lem-gf-integral の 1 により $(\mathbb{F}_q[x]/(P))^n$ と同型で $n$ 次元である。右辺の各因子については、列 $B\supset\mathfrak{P}\supset\cdots\supset\mathfrak{P}^{e}$ の各段 $\mathfrak{P}^j/\mathfrak{P}^{j+1}$ が $B/\mathfrak{P}$ 上 1 次元である（間にあるイデアルは素イデアル分解の一意性から $\mathfrak{P}^j$ か $\mathfrak{P}^{j+1}$ だけ。代数体における素イデアルの分解 の補題「素イデアルの冪による剰余環」の証明は Dedekind 整域の性質しか使わない）。$B/\mathfrak{P}_i\cong\kappa_{v_i}$ なので $\dim_{\kappa_P}B/\mathfrak{P}_i^{e_i}=e_if_i$ であり、和をとれば $n=\sum_ie_if_i$ を得る。$\square$