モジュラー形式
概要
モジュラー形式（modular form）とは、上半平面上の正則関数 $f$ で、すべての $\gamma\in\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ について $f(\gamma\tau)=(c\tau+d)^kf(\tau)$ を満たし、無限遠で有界なもののことであり、整数 $k$ を重さという。$0$ でないモジュラー形式の零点を、$i$ と $e^{2\pi i/3}$ の軌道では $\frac12$、$\frac13$ の重みを付け、無限遠での位数も加えて数えると $k/12$ になる。その結果、重さ $k$ の空間は有限次元で、Eisenstein 級数 $G_4$、$G_6$ の単項式を基底にもつ。$q=e^{2\pi i\tau}$ による展開の係数には約数の和や格子の点の個数が現れ、数論の恒等式がこの有限次元性から導かれる。
モジュラー形式（modular form）は、上半平面 $\mathfrak{H}=\{\tau\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Im}\tau>0\}$ 上の正則関数で、モジュラー群 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ の 1 次分数変換に対して $f(\gamma\tau)=(c\tau+d)^kf(\tau)$ と決まった形で変換し、無限遠でも正則なものである。格子の言葉では、格子 $\Lambda$ の関数で $F(\alpha\Lambda)=\alpha^{-k}F(\Lambda)$ を満たすものにあたり、Weierstrassの楕円関数 の Eisenstein 級数がその最初の例である（thm-mf-eisenstein）。条件は強く、$0$ でないモジュラー形式の零点の個数は、$i$ と $e^{2\pi i/3}$ の軌道に重みを付けて数えると、重さ $k$ だけで $k/12$ に決まる（thm-mf-valence）。そのため重さ $k$ のモジュラー形式の空間は有限次元で、重さ $4$ と $6$ の Eisenstein 級数の多項式で書きつくされる（thm-mf-structure）。$q=e^{2\pi i\tau}$ による展開の係数には約数の和や格子の点の個数が現れ、数論の恒等式がこの有限次元性から導かれる。
上半平面への作用・基本領域・生成元は 上半平面、群としての構造と合同部分群は モジュラー群 の記事で扱う。この記事はそれらの結果を引いて、モジュラー形式の空間を決定する。
定義
以下 $\Gamma:=\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ とし、$\gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\Gamma$ は $\gamma\tau=(a\tau+b)/(c\tau+d)$ で $\mathfrak{H}$ に作用する。$S=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$、$T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ とおく。
$k$ を整数とする。$\mathfrak{H}$ 上の正則関数 $f$ が重さ $k$ のモジュラー形式（modular form of weight $k$）であるとは、次の 2 条件を満たすことをいう。
- すべての $\gamma\in\Gamma$ と $\tau\in\mathfrak{H}$ について $f(\gamma\tau)=(c\tau+d)^kf(\tau)$ である。
- （無限遠での正則性）$f$ は $\{\tau\mid\operatorname{Im}\tau\ge1\}$ の上で有界である。
重さ $k$ のモジュラー形式の全体を $M_k$ と書く。$M_k$ は $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間であり、$f\in M_k$、$g\in M_l$ なら $fg\in M_{k+l}$ である。
$T\in\Gamma$ なので、条件 1 から $f(\tau+1)=f(\tau)$ である。上半平面 の記事の例「平行移動で不変な関数と $q$」により、$0<\lvert q\rvert<1$ 上の正則関数 $F$ で $f(\tau)=F(e^{2\pi i\tau})$ となるものがあり、$F$ は Laurent 級数 $\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nq^n$ に展開される。$\operatorname{Im}\tau\ge1$ は $0<\lvert q\rvert\le e^{-2\pi}$ に対応するので、条件 2 は $F$ が $q=0$ の近くで有界であることと同値であり、Riemannの拡張定理 によって $n<0$ の $a_n$ がすべて $0$ であることと同値である。こうして
$$
f(\tau)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nq^n,\qquad q=e^{2\pi i\tau}
$$
と書ける。これを $f$ の $q$ 展開（Fourier 展開）という。$a_0=\lim_{\operatorname{Im}\tau\to\infty}f(\tau)$ を $f(\infty)$ と書く。$a_0=0$ のとき $f$ を 尖点形式（cusp form）といい、重さ $k$ の尖点形式の全体を $S_k$ と書く。$f\neq0$ について $a_n\neq0$ となる最小の $n$ を $\operatorname{ord}_\infty(f)$ と書く。
条件 2 の代わりに「$q$ 展開が負冪を含まない」ことを要求する文献も多い（Sil09 Appendix C, §C.12, pp. 431–432）。上で見たとおり同じ条件である。$\gamma=-I$ を条件 1 に入れると $f=(-1)^kf$ なので、$k$ が奇数なら $M_k=0$ である。
格子 $\Lambda\subset\mathbb{C}$ の関数 $F$ で $F(\alpha\Lambda)=\alpha^{-k}F(\Lambda)$（$\alpha\in\mathbb{C}^\times$）を満たすものがあれば、$f(\tau):=F(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau)$ は条件 1 を満たす。$\Lambda_{\gamma\tau}=(c\tau+d)^{-1}\Lambda_\tau$（上半平面 の記事の命題「格子の相似類とモジュラー群の軌道」の証明の式）から $f(\gamma\tau)=(c\tau+d)^kf(\tau)$ となるからである。重さ $k$ は、格子を $\alpha$ 倍したときの「次数」$-k$ を表している。
$f$ を $\mathfrak{H}$ 上の関数とする。すべての $\tau\in\mathfrak{H}$ について $f(\tau+1)=f(\tau)$ と $f(-1/\tau)=\tau^kf(\tau)$ が成り立てば、def-mf-main の条件 1 が成り立つ。
要点：$j(g,\tau):=c\tau+d$ が $j(gh,\tau)=j(g,h\tau)\,j(h,\tau)$ を満たすので、条件 1 を満たす $\gamma$ の全体は部分群になり、$S,T$ を含むから $\Gamma$ 全体である。
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$g=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$、$h=\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}$ なら、$gh$ の下の行は $(ca'+dc',\ cb'+dd')$ で、$j(g,h\tau)j(h,\tau)=\bigl(c\frac{a'\tau+b'}{c'\tau+d'}+d\bigr)(c'\tau+d')=c(a'\tau+b')+d(c'\tau+d')=j(gh,\tau)$ である。$H:=\{\gamma\in\Gamma\mid f(\gamma\tau)=j(\gamma,\tau)^kf(\tau)\ (\tau\in\mathfrak{H})\}$ とおく。$g,h\in H$ なら $f(gh\tau)=j(g,h\tau)^kf(h\tau)=j(g,h\tau)^kj(h,\tau)^kf(\tau)=j(gh,\tau)^kf(\tau)$ で $gh\in H$ である。$g\in H$ なら、$\tau$ を $g^{-1}\tau$ に替えて $f(\tau)=j(g,g^{-1}\tau)^kf(g^{-1}\tau)$ と $1=j(I,\tau)=j(g,g^{-1}\tau)j(g^{-1},\tau)$ から $g^{-1}\in H$ である。仮定は $T,S\in H$ を意味し、$\Gamma$ は $S,T$ で生成される（上半平面 の記事の定理「$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ の生成元」）ので $H=\Gamma$ である。$\square$
直感
$d(\gamma\tau)/d\tau=(c\tau+d)^{-2}$ なので、条件 1 は「$f(\tau)(d\tau)^{k/2}$ が $\Gamma$ の作用で変わらない」と言い換えられる。モジュラー形式は、商 $\Gamma\backslash\mathfrak{H}$ に無限遠の 1 点を加えた空間の上の「$k/2$ 次の微分形式」のようなものである。コンパクトな Riemann 面の上の有理型の微分形式では、零点の個数から極の個数を引いた値が種数と次数だけで決まる。それと同じく、モジュラー形式の零点の個数も重さだけで決まる。ただし $i$ と $\rho=e^{2\pi i/3}$ では固定部分群が大きいので（上半平面 の記事の定理「基本領域」の 3）、零点は $\frac12$、$\frac13$ の重みで数えられる。これが thm-mf-valence の形である。
Eisenstein 級数
整数 $k\ge3$ と $\tau\in\mathfrak{H}$ について
$$
G_k(\tau):=\sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}}\frac1{(m\tau+n)^k}
$$
とおく。$k$ が偶数のとき、これは Weierstrassの楕円関数 の記事の定義「Eisenstein級数と不変量」の格子 $\Lambda_\tau=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau$ に対する値である。$k$ が奇数なら $(m,n)$ と $(-m,-n)$ の項が打ち消しあって $0$ になる。
$A>0$、$y_0>0$ とし、$c:=\min\{\frac14,\ y_0^2/(1+4A^2)\}$ とおく。$\lvert\operatorname{Re}\tau\rvert\le A$、$\operatorname{Im}\tau\ge y_0$ を満たす $\tau$ とすべての $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$ について
$$
\lvert m\tau+n\rvert^2\ge c\,(m^2+n^2)
$$
である。
要点：$\lvert n\rvert\ge2A\lvert m\rvert$ なら実部が、そうでなければ虚部が大きい。
詳しい証明を開く
$\tau=x+iy$ とすると $\lvert m\tau+n\rvert^2=(mx+n)^2+m^2y^2$ である。$\lvert n\rvert\ge2A\lvert m\rvert$ のときは $\lvert mx+n\rvert\ge\lvert n\rvert-A\lvert m\rvert\ge\lvert n\rvert/2$ なので、値は $\frac14n^2+y_0^2m^2\ge c(m^2+n^2)$ 以上である。$\lvert n\rvert<2A\lvert m\rvert$ のときは $m^2+n^2<(1+4A^2)m^2$ なので、値は $y_0^2m^2>\frac{y_0^2}{1+4A^2}(m^2+n^2)$ 以上である。$\square$
$k\ge4$ を偶数とする。
- $G_k$ を定める級数は $\mathfrak{H}$ の各コンパクト部分集合の上で絶対かつ一様に収束し、$G_k$ は $\mathfrak{H}$ 上の正則関数である。
- $G_k\in M_k$ であり、$G_k(\infty)=2\zeta(k)\neq0$ である。ここで $\zeta(k)=\sum_{n\ge1}n^{-k}$ である。
- $q=e^{2\pi i\tau}$ について次の $q$ 展開が成り立つ。$\sigma_{k-1}(n)$ は $n$ の正の約数の $k-1$ 乗の和である。
$$ G_k(\tau)=2\zeta(k)+\frac{2(2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{k-1}(n)\,q^n . $$
要点：1 は lem-mf-bound で $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i$ の冪和と比べる。2 の変換則は $(m,n)$ の並べ替え $(m,m+n)$、$(n,-m)$ と prop-mf-generators による。$m\neq0$ の項は $\operatorname{Im}\tau\to\infty$ で $(\operatorname{Im}\tau)^{-(k-3)}$ の速さで消えるので、$G_k(\infty)=\sum_{n\neq0}n^{-k}=2\zeta(k)$ である。
1 と 2 の詳しい証明を開く
1．$\mathfrak{H}$ のコンパクト部分集合は、ある $A,y_0>0$ について $V_{A,y_0}:=\{\lvert\operatorname{Re}\tau\rvert\le A,\ \operatorname{Im}\tau\ge y_0\}$ に含まれる。lem-mf-bound により $V_{A,y_0}$ の上で各項の絶対値は $c^{-k/2}(m^2+n^2)^{-k/2}$ 以下である。$m^2+n^2=\lvert mi+n\rvert^2$ なので、この和は格子 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i$ の冪和であり、$k>2$ だから収束する（Weierstrassの楕円関数 の記事の補題「格子上の冪和の収束」）。Weierstrass の M 判定法により級数は $V_{A,y_0}$ の上で絶対かつ一様に収束し、正則関数の局所一様収束極限は正則なので（Cauchyの積分公式 の記事の系「Weierstrass の定理」）、$G_k$ は正則である。
2．絶対収束するので和の順序を自由に替えられる。$m(\tau+1)+n=m\tau+(m+n)$ で $(m,n)\mapsto(m,m+n)$ は $\mathbb{Z}^2\setminus\{0\}$ の全単射だから $G_k(\tau+1)=G_k(\tau)$ である。また $-m/\tau+n=\tau^{-1}(n\tau-m)$ で $(m,n)\mapsto(n,-m)$ も全単射だから $G_k(-1/\tau)=\tau^kG_k(\tau)$ である。prop-mf-generators により条件 1 が成り立つ。
条件 2 と $G_k(\infty)$ を示す。$\tau\in V_{1/2,1}$ とし、lem-mf-bound の定数を $c$ とする。$m\neq0$ の項については $\lvert m\tau+n\rvert\ge\lvert m\rvert\operatorname{Im}\tau\ge\operatorname{Im}\tau$ なので、$k\ge4$ から $$\lvert m\tau+n\rvert^{-k}\le(\operatorname{Im}\tau)^{-(k-3)}\lvert m\tau+n\rvert^{-3}\le(\operatorname{Im}\tau)^{-(k-3)}c^{-3/2}(m^2+n^2)^{-3/2}$$ である。$\sum(m^2+n^2)^{-3/2}$ は 1 と同じ理由で収束するので、その値を $C$ とすると $$\Bigl\lvert G_k(\tau)-\sum_{n\neq0}n^{-k}\Bigr\rvert\le c^{-3/2}C\,(\operatorname{Im}\tau)^{-(k-3)}$$ となる。右辺は $\operatorname{Im}\tau\to\infty$ で $0$ に近づき、$\operatorname{Im}\tau\ge1$ で有界である。$G_k$ は周期 $1$ なので $\lvert\operatorname{Re}\tau\rvert\le\frac12$ に限ってよく、$G_k$ は $\operatorname{Im}\tau\ge1$ で有界で、$G_k(\infty)=\sum_{n\neq0}n^{-k}=2\zeta(k)>0$ である。
3．要点：余接関数の部分分数展開を $k-1$ 回微分して Lipschitz の公式 $\sum_{n\in\mathbb{Z}}(\tau+n)^{-k}=\frac{(-2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{r\ge1}r^{k-1}q^r$ を得て、$m\ge1$ ごとに $\tau$ を $m\tau$ に替えて足す。
詳しい証明を開く
Bernoulli数 の記事の補題「余接関数の部分分数展開」は、整数でない実数 $x$ について $\pi\cot\pi x=\frac1x+\sum_{n\ge1}\frac{2x}{x^2-n^2}$ を示している。$\lvert z\rvert\le R$、$n\ge2R$ なら $\lvert z^2-n^2\rvert\ge\frac34n^2$ なので、右辺の級数は $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ で局所一様収束し、両辺は $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ 上の正則関数である。連結な開集合 $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ の中の $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$ で一致するので、一致の定理 により $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ 全体で一致する。
$\tau\in\mathfrak{H}$ では $\lvert q\rvert<1$ で、$\pi\cot\pi\tau=\pi i\frac{e^{\pi i\tau}+e^{-\pi i\tau}}{e^{\pi i\tau}-e^{-\pi i\tau}}=\pi i\frac{q+1}{q-1}=-\pi i\bigl(1+2\sum_{r\ge1}q^r\bigr)$ である。両辺を $\tau$ で $k-1$ 回微分する。左辺の $\frac1\tau+\sum_{n\ge1}\bigl(\frac1{\tau+n}+\frac1{\tau-n}\bigr)$ は局所一様収束するので項別に微分でき（同じ「Weierstrass の定理」）、$(-1)^{k-1}(k-1)!\sum_{n\in\mathbb{Z}}(\tau+n)^{-k}$ になる（$k\ge2$ でこの級数は絶対収束する）。右辺は $\frac{d}{d\tau}q^r=2\pi i\,r\,q^r$ から $-(2\pi i)^k\sum_{r\ge1}r^{k-1}q^r$ になる。これで Lipschitz の公式を得る。
$k$ は偶数なので $(-2\pi i)^k=(2\pi i)^k$ で、$(m,n)$ と $(-m,-n)$ の項は等しい。$m=0$ の項の和は $2\zeta(k)$ で、$$G_k(\tau)=2\zeta(k)+2\sum_{m\ge1}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac1{(m\tau+n)^k}=2\zeta(k)+\frac{2(2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{m\ge1}\sum_{r\ge1}r^{k-1}q^{mr}$$である。$\sum_{m,r}r^{k-1}\lvert q\rvert^{mr}\le\sum_{N\ge1}N^k\lvert q\rvert^N<\infty$ なので、$mr=N$ ごとにまとめてよく、$\sum_{r\mid N}r^{k-1}=\sigma_{k-1}(N)$ から主張の式を得る。$\square$
$G_k$ を定数項で割った $E_k:=G_k/(2\zeta(k))$ を正規化された Eisenstein 級数という。$\zeta(k)=(-1)^{k/2+1}(2\pi)^kB_k/(2\cdot k!)$（Bernoulli数 の記事の定理「$\zeta(2k)$ の値」、$B_k$ は Bernoulli 数）を代入すると、thm-mf-eisenstein の 3 は
$$
E_k(\tau)=1-\frac{2k}{B_k}\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{k-1}(n)\,q^n
$$
となる。$B_4=-\frac1{30}$、$B_6=\frac1{42}$、$B_8=-\frac1{30}$ から
$$
E_4=1+240\sum_{n\ge1}\sigma_3(n)q^n,\qquad E_6=1-504\sum_{n\ge1}\sigma_5(n)q^n,\qquad E_8=1+480\sum_{n\ge1}\sigma_7(n)q^n
$$
である（Zag08 Proposition 5 と直後の例, pp. 16–17。同書は $G_k$ に $\frac12$ を掛けたものを $G_k$ と書き、Proposition 5 はそれをさらに $(k-1)!/(2\pi i)^k$ 倍したものの展開である）。
零点の個数の公式
$f\in M_k$ と $\gamma\in\Gamma$ について $f(\gamma\tau)=(c\tau+d)^kf(\tau)$ で、$c\tau+d\neq0$、$\tau\mapsto\gamma\tau$ は双正則なので、$f$ の $\tau$ での零点の位数 $\operatorname{ord}_\tau(f)$ は軌道 $\Gamma\tau$ だけで決まる。これを $\operatorname{ord}_p(f)$（$p\in\Gamma\backslash\mathfrak{H}$）と書く。$\rho:=e^{2\pi i/3}$ とし、
$$
\mathcal{F}:=\Bigl\{\tau\in\mathfrak{H}\ \Big|\ \lvert\operatorname{Re}\tau\rvert\le\tfrac12,\ \lvert\tau\rvert\ge1\Bigr\}
$$
を 上半平面 の記事の基本領域とする。
$f\in M_k$、$f\neq0$ とする。このとき
$$
\operatorname{ord}_\infty(f)+\frac12\operatorname{ord}_i(f)+\frac13\operatorname{ord}_\rho(f)+\sum_{p}{}^{*}\operatorname{ord}_p(f)=\frac{k}{12}
$$
が成り立つ。$\sum^*$ は $i$ と $\rho$ の軌道以外の $p\in\Gamma\backslash\mathfrak{H}$ にわたる和で、$0$ でない項は有限個である。
零点の有限性．$f=\sum_{n\ge m}a_nq^n$（$a_m\neq0$、$m=\operatorname{ord}_\infty(f)$）と書くと $f=q^mg(q)$ で、$g$ は $q=0$ の近くで $0$ にならない。よって $Y>1$ を大きくとれば、$f$ は $\operatorname{Im}\tau\ge Y$ に零点をもたない。$\mathcal{F}\cap\{\operatorname{Im}\tau\le Y\}$ はコンパクトで $f\not\equiv0$ なので、そこにある零点は有限個である（一致の定理）。どの軌道も $\mathcal{F}$ と交わる（上半平面 の記事の定理「基本領域」の 1）ので、零点をもつ軌道は有限個である。
積分路．$\varepsilon>0$ を小さくとり、領域 $\mathcal{F}\cap\{\operatorname{Im}\tau\le Y\}$ の境界を正の向きに一周する閉曲線 $\mathcal{C}_\varepsilon$ を次の 4 つの部分からつくる。上辺 $\ell_Y$（$\frac12+iY$ から $-\frac12+iY$）、左辺 $L$（$-\frac12+iY$ から $\rho$ の近くまで）、単位円の弧 $C$（$\rho$ の近くから $i$ の近くを経て $\rho+1$ の近くまで）、右辺 $R$（$\rho+1$ の近くから $\frac12+iY$）。ただし $\rho$、$i$、$\rho+1$ のまわりは半径 $\varepsilon$ の円弧で迂回して、これらの点を外に出す。境界上のほかの零点 $p$ は、$T$ または $S$ で移り合う 2 点の組になる（同定理の 2）ので、組の一方だけが内側に入るように小さく迂回し、迂回のあとも $T(L)$ が $R$ の向きを逆にしたものに、$S$ が $C$ の左半分を右半分（向きは逆）に移すようにする。すると $i$、$\rho$ の軌道以外の零点をもつ軌道は、それぞれちょうど 1 点で $\mathcal{C}_\varepsilon$ の内側に代表される（同定理の 2）。$\mathcal{C}_\varepsilon$ は凸な開集合 $\{\lvert\operatorname{Re}\tau\rvert<1,\ \frac12<\operatorname{Im}\tau< Y+1\}$ の中にあり、そこでの $f$ の零点は有限個なので、偏角の原理 の記事の定理「偏角の原理」により
$$
\frac1{2\pi i}\oint_{\mathcal{C}_\varepsilon}\frac{f'(\tau)}{f(\tau)}\,d\tau=\sum_p{}^{*}\operatorname{ord}_p(f)
$$
である。左辺を部分ごとに計算し、$\varepsilon\to0$ とする（左辺は $\varepsilon$ によらない）。
各部分の寄与．$\frac1{2\pi i}\int\frac{f'}{f}d\tau$ の値は次のとおりである。
- 上辺 $\ell_Y$：$-\operatorname{ord}_\infty(f)$。$q$ で見ると $\ell_Y$ は円 $\lvert q\rvert=e^{-2\pi Y}$ を時計回りに一周する。
- 左辺と右辺：合わせて $0$。$T$ が $L$ を $R$ の逆向きに移し、$f'/f$ は周期 $1$ をもつ。
- $\rho$、$\rho+1$、$i$ を迂回する円弧：$\varepsilon\to0$ で順に $-\frac16\operatorname{ord}_\rho(f)$、$-\frac16\operatorname{ord}_{\rho+1}(f)$、$-\frac12\operatorname{ord}_i(f)$ に近づく。$\mathcal{F}$ の角は $\rho$、$\rho+1$ で $\frac\pi3$、$i$ で $\pi$ であり、$\operatorname{ord}_{\rho+1}=\operatorname{ord}_\rho$ である。
- 単位円の弧 $C$：$\varepsilon\to0$ で $\frac{k}{12}$ に近づく。$f(-1/\tau)=\tau^kf(\tau)$ の対数微分から、$C$ の左半分と右半分の寄与の和は $-k\int_{C\text{ の左半分}}\frac{d\tau}{\tau}$ になり、偏角は $\frac{2\pi}3$ から $\frac\pi2$ まで動く。
和をとると $\sum^*\operatorname{ord}_p(f)=-\operatorname{ord}_\infty(f)-\frac13\operatorname{ord}_\rho(f)-\frac12\operatorname{ord}_i(f)+\frac k{12}$ となり、定理を得る。各部分の計算の詳細を開く
1．$f(\tau)=F(q)$、$q=e^{2\pi i\tau}$ とすると、合成関数の微分により $\frac{f'(\tau)}{f(\tau)}d\tau=\frac{F'(q)}{F(q)}dq$ である。$F=q^mg$ と書くと $\frac{F'}{F}=\frac mq+\frac{g'}g$ で、$g'/g$ は円板 $\lvert q\rvert\le e^{-2\pi Y}$ の近くで正則なので、その一周積分は $0$ である（Cauchyの積分定理）。$\tau=x+iY$ で $x$ が $\frac12$ から $-\frac12$ へ減ると $\arg q=2\pi x$ が減るので、円は時計回りに 1 周し、$\oint\frac mq\,dq=-2\pi i\,m$ である。
2．$L$ は $-\frac12+iY$ から下り、$R$ は $\frac12+iY$ へ上るので、$\tau\mapsto\tau+1$ は $L$ を $R$ の逆向きの道に移す（迂回もそのように選んだ）。$f(\tau+1)=f(\tau)$ から $f'/f$ も周期 $1$ をもち、$\int_L+\int_R=0$ である。
3．$f$ の点 $a$ での零点の位数を $r$（零点でなければ $r=0$）とすると、$a$ の近くで $\frac{f'}{f}=\frac r{\tau-a}+h(\tau)$、$h$ は有界である。中心 $a$、半径 $\varepsilon$、中心角 $\theta_\varepsilon$ の円弧を時計回りにたどる積分は、$\int\frac{r\,d\tau}{\tau-a}=-ir\theta_\varepsilon$ と $\bigl\lvert\int h\,d\tau\bigr\rvert\le\varepsilon\theta_\varepsilon\sup\lvert h\rvert\to0$ から $-ir\theta_0+o(1)$ になる。ここで $\theta_0=\lim\theta_\varepsilon$ は $\mathcal{F}$ の $a$ での角である。$i$ では単位円の外側の半円で $\theta_0=\pi$。$\rho$ では、縦線 $\operatorname{Re}\tau=-\frac12$ の上向きと、単位円の $\rho$ での接線（$i$ に向かう向き、偏角 $\frac\pi6$）のなす角で $\theta_0=\frac\pi3$。$\rho+1$ も対称に $\frac\pi3$ である。$\frac{1}{2\pi i}\cdot(-ir\theta_0)=-\frac{r\theta_0}{2\pi}$ から主張の値を得る。$\rho+1=T\rho$ なので $\operatorname{ord}_{\rho+1}(f)=\operatorname{ord}_\rho(f)$ である。
4．$C$ の左半分 $C_1$ を $\rho_\varepsilon$（単位円上で $\rho$ から距離 $\varepsilon$ の点）から $i_\varepsilon$（$i$ の左で距離 $\varepsilon$ の点）までの道、右半分 $C_2$ を $i$ の右の点から $\rho+1$ の近くまでの道とする。単位円の上では $S\tau=-1/\tau=-\bar\tau$ は虚軸に関する折り返しで、距離を保ち $S\rho=\rho+1$、$Si=i$ なので、$S$ は $C_1$ を $C_2$ の逆向きに移す（迂回もそのように選んだ）。$f(S\tau)=\tau^kf(\tau)$ の対数微分は $\frac{f'}{f}(S\tau)\,S'(\tau)=\frac k\tau+\frac{f'}{f}(\tau)$ なので、$$-\int_{C_2}\frac{f'}{f}\,d\tau=\int_{C_1}\frac{f'}{f}(S\tau)\,S'(\tau)\,d\tau=k\int_{C_1}\frac{d\tau}\tau+\int_{C_1}\frac{f'}{f}\,d\tau$$であり、$\int_{C_1}+\int_{C_2}=-k\int_{C_1}\frac{d\tau}{\tau}$ となる。$\log\tau$ は単位円の近くで正則な原始関数をもつので、この積分は端点だけで決まり、$\varepsilon\to0$ で $\log i-\log\rho=i\bigl(\frac\pi2-\frac{2\pi}3\bigr)=-\frac{\pi i}6$ に近づく。よって $\frac1{2\pi i}\bigl(\int_{C_1}+\int_{C_2}\bigr)\to\frac1{2\pi i}\cdot\frac{k\pi i}{6}=\frac k{12}$ である。$\square$
同じ公式は Zag08 Proposition 2（p. 9）に積分路の概略とともにある。左辺の各項は $0$ 以上なので、公式から直ちに次が従う。
- $k<0$、$k$ が奇数、$k=2$ のいずれかなら $M_k=0$ である。
- $M_0=\mathbb{C}$（定数関数だけ）である。
- $G_4$ は $\rho$ の軌道だけに 1 位の零点をもち、$G_6$ は $i$ の軌道だけに 1 位の零点をもつ。
1．$k<0$ なら左辺 $\ge0>k/12$ である。奇数の場合は rem-mf-conventions による。$k=2$ なら $\frac16=n+\frac a2+\frac b3$（$n,a,b\ge0$ は整数）となるが、6 倍すると $1=6n+3a+2b$ で、これを満たす $n,a,b$ はない。2．$f\in M_0$ と $\tau_0\in\mathfrak{H}$ について $f-f(\tau_0)\in M_0$ は $\tau_0$ に零点をもつので、公式の右辺 $0$ と比べて $f-f(\tau_0)=0$ である。3．$G_4\neq0$（thm-mf-eisenstein）について $\frac13=n+\frac a2+\frac b3+\sum^*$ を満たすのは $b=1$、他は $0$ だけである。$G_6$ では $\frac12$ を満たすのは $a=1$、他は $0$ だけである。$\square$
モジュラー形式の空間の決定
Weierstrassの楕円関数 の記事の定義「Eisenstein級数と不変量」にならって $g_2:=60G_4$、$g_3:=140G_6$ とおき、
$$
\Delta(\tau):=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2\in M_{12}
$$
を判別式関数という。
$\Delta$ は重さ $12$ の尖点形式で、$\mathfrak{H}$ のどの点でも $0$ にならず、$\operatorname{ord}_\infty(\Delta)=1$ である。$q$ 展開は $\Delta=(2\pi)^{12}(q-24q^2+252q^3-1472q^4+\cdots)$ で始まる。
要点：$\Delta(\tau)$ は格子 $\Lambda_\tau$ の判別式なので $0$ でなく、定数項は $\zeta(4),\zeta(6)$ の値から打ち消しあう。あとは thm-mf-valence で $k=12$ とする。
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各 $\tau$ で $\Delta(\tau)$ は格子 $\Lambda_\tau$ の判別式なので $0$ でない（Weierstrassの楕円関数 の記事の定理「半周期での値と判別式」の 4）。とくに $\Delta\neq0$ である。$\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$、$\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}$ から $g_2(\infty)=120\zeta(4)=\frac43\pi^4$、$g_3(\infty)=280\zeta(6)=\frac8{27}\pi^6$ で、$g_2(\infty)^3=\frac{64}{27}\pi^{12}=27g_3(\infty)^2$ なので $\Delta(\infty)=0$ である。thm-mf-valence で $k=12$ とすると、$\operatorname{ord}_\infty(\Delta)\ge1$ から $\operatorname{ord}_\infty(\Delta)=1$ で、ほかの項はすべて $0$ である。最後に $g_2=\frac43\pi^4E_4$、$g_3=\frac8{27}\pi^6E_6$ なので $\Delta=\frac{64}{27}\pi^{12}(E_4^3-E_6^2)$ で、$E_4,E_6$ の $q$ 展開を掛け合わせると $E_4^3-E_6^2=1728q-41472q^2+435456q^3-2543616q^4+\cdots$ である。$\frac{64}{27}\cdot1728=2^{12}$ から主張の展開を得る。$\square$
$k\ge0$ を偶数とする（$k<0$ では $M_k=0$ とみる）。
- $f\mapsto\Delta f$ は線形同型 $M_{k-12}\to S_k$ である。
- $k\ge4$ なら $M_k=\mathbb{C}G_k\oplus S_k$ である。
- $\dim M_k=\lfloor k/12\rfloor$（$k\equiv2\pmod{12}$ のとき）、$\dim M_k=\lfloor k/12\rfloor+1$（それ以外）である。
- $G_4^aG_6^b$（$a,b\ge0$ は整数で $4a+6b=k$）の全体は $M_k$ の基底である。
1．$g\in M_{k-12}$ なら $\Delta g\in M_k$ で、$\operatorname{ord}_\infty(\Delta g)\ge1$ なので $\Delta g\in S_k$ である。逆に $f\in S_k$ とする。$\Delta$ は $\mathfrak{H}$ で $0$ にならないので $f/\Delta$ は $\mathfrak{H}$ 上で正則で、重さ $k-12$ の変換則を満たす。$q$ 展開では $f=q\cdot(\text{正則})$、$\Delta=q\cdot(q=0\text{ で }0\text{ でない正則})$ なので、$f/\Delta$ は $q=0$ で正則である。よって $f/\Delta\in M_{k-12}$ で、$f\mapsto f/\Delta$ が逆写像を与える。
2．$G_k(\infty)\neq0$ なので、$f\in M_k$ について $f-\frac{f(\infty)}{G_k(\infty)}G_k\in S_k$ である。$G_k\notin S_k$ なので和は直和である。
3．$M_0=\mathbb{C}$、$M_2=0$（cor-mf-low-weight）。$k\ge4$ では 1 と 2 から $\dim M_k=1+\dim M_{k-12}$ で、$k=4,6,8,10$ では $M_{k-12}=0$ から $\dim M_k=1$ である。$k$ を $12$ ずつ増やす帰納法で式を得る。
4．$k$ についての帰納法で、重さ $k$ の単項式 $G_4^aG_6^b$ が $M_k$ を張ることを示す。$k=0,2$ は明らかである。$k\ge4$ のとき、$4a+6b=k$ となる $(a,b)$ が 1 つある（$4\mid k$ なら $(k/4,0)$、そうでなければ $((k-6)/4,1)$）。$h:=G_4^aG_6^b$ は $h(\infty)\neq0$ なので、2 と同じ理由で $M_k=\mathbb{C}h\oplus S_k$ である。1 により $S_k=\Delta M_{k-12}$ で、$\Delta=60^3G_4^3-27\cdot140^2G_6^2$ と帰納法の仮定から $S_k$ も単項式で張られる。次に単項式の個数 $N(k)$ を数える。$4a=k-6b$ が $4$ の倍数になる条件は $b\equiv k/2\pmod2$ なので、$N(k)$ は $0\le b\le k/6$ でこの偶奇の $b$ の個数である。$k$ を $k+12$ に替えると $b$ の範囲が $2$ だけ延びて偶奇の条件は変わらないので $N(k+12)=N(k)+1$ で、$N(0),N(2),\dots,N(10)=1,0,1,1,1,1$ は 3 の値と一致する。$\dim M_k$ 個の元で $M_k$ を張るので基底である。$\square$
この定理は、$G_4$ と $G_6$ が代数的に独立で、すべてのモジュラー形式が $G_4,G_6$ の多項式に一意に書けることを言っている（Zag08 Proposition 4 と系, p. 15、Sil09 Theorem 12.8（pp. 434–435。証明は他書に委ねている））。
$j:=1728\,g_2^3/\Delta$ は $\mathfrak{H}$ 上の正則関数で、$\Gamma$ の作用で不変であり、$q$ 展開は $j=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots$ である。さらに各 $c\in\mathbb{C}$ について、$j(\tau)=c$ となる $\tau$ はちょうど 1 つの軌道をなす。
要点：$c$ ごとに $1728g_2^3-c\Delta\in M_{12}$ の零点を thm-mf-valence で数える。
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$\Delta$ は $0$ にならないので $j$ は正則で、分子と分母がともに重さ $12$ なので不変である。$j=1728E_4^3/(E_4^3-E_6^2)$ を $q$ の級数として割り算すれば展開を得る。$c\in\mathbb{C}$ について $f_c:=1728g_2^3-c\Delta\in M_{12}$ とおくと、$f_c(\infty)=1728g_2(\infty)^3\neq0$ なので $f_c\neq0$、$\operatorname{ord}_\infty(f_c)=0$ である。thm-mf-valence の $\frac12a+\frac13b+\sum^*=1$ の解は「$\sum^*$ の 1 項が 1」「$a=2$」「$b=3$」のどれかで、いずれも零点の軌道はちょうど 1 つである。$j(\tau)=c$ と $f_c(\tau)=0$ は同値なので主張が従う。$\square$
この $j$ は j不変量 の記事の $j(\tau)$ と同じもので、同記事で証明を他書に委ねた正則性と $q$ 展開の初めの項がここで得られた。
例
$E_4^2$ と $E_8$ はどちらも $M_8$ の元で定数項が $1$ である。$\dim M_8=1$（thm-mf-structure の 3）なので $E_4^2=E_8$ であり、$q^n$ の係数を比べると
$$
\sigma_7(n)=\sigma_3(n)+120\sum_{m=1}^{n-1}\sigma_3(m)\,\sigma_3(n-m)
$$
が得られる。$n=2$ では $129=9+120\cdot1\cdot1$ である。約数の和の間の恒等式が、空間の次元を数えるだけで出てくる。
反例
各行は、記事の主張の仮定を 1 つだけ外したときに結論が崩れる例である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 重さ $k\ge4$（thm-mf-eisenstein の 1） | $k=2$ の級数 $\sum'\lvert m\tau+n\rvert^{-2}$ | 絶対収束すること |
| 無限遠での正則性（cor-mf-low-weight の 2） | $j$ | 重さ $0$ では定数しかないこと |
| $\mathfrak{H}$ 上の正則性（cor-mf-low-weight の 1） | $1/G_4$ | 負の重さでは $0$ しかないこと |
| $S$ についての変換則（cor-mf-low-weight の 2） | $q=e^{2\pi i\tau}$ | 重さ $0$ では定数しかないこと |
各行で、外した条件以外は満たされている。
各行の確認を開く
1 行目：$m^2+n^2=\lvert mi+n\rvert^2$ で、$\tau=i$ での級数は格子 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i$ の $2$ 乗の冪和なので発散する（Weierstrassの楕円関数 の記事の補題「格子上の冪和の収束」）。2 行目：$j$ は $\mathfrak{H}$ で正則で $\Gamma$ で不変だが（prop-mf-j）、$q^{-1}$ の項のため $\operatorname{Im}\tau\to\infty$ で有界でなく、定数でもない。3 行目：$1/G_4$ は $\Gamma$ について重さ $-4$ の変換則を満たし、$1/G_4(\infty)=1/(2\zeta(4))$ で無限遠では有界だが、$\rho$ で極をもつ（cor-mf-low-weight の 3）。4 行目：$q$ は正則で $T$ で不変、$\operatorname{Im}\tau\ge1$ で $\lvert q\rvert\le e^{-2\pi}$ と有界だが、$q(-1/\tau)=q(\tau)$ は成り立たない（$\tau=2i$ で $e^{-4\pi}$ と $e^{-\pi}$）。定数でない。
補足
$\Gamma$ を合同部分群（モジュラー群 の記事の定義「合同部分群」）に替え、各尖点での正則性を課したものをレベル $N$ のモジュラー形式という（Sil09 Appendix C, p. 438）。重さ $12$ の尖点形式 $\Delta$ の係数を $\Delta=(2\pi)^{12}\sum\tau(n)q^n$ と書くと、Ramanujan の $\tau$ 関数について $\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)$（$\gcd(m,n)=1$）が成り立ち、Hecke 作用素の固有関数であることから従う（Sil09 Example 12.10.1, p. 436。この記事では証明しない）。
関連項目
参考文献
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