蝶の定理

点 $t(\cos\alpha,\sin\alpha)$ を円の方程式に代入すると、$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ から
$$ t^2-2k\sin\alpha\cdot t+f=0 $$
となる。交点の $t_1$、$t_2$ はこの 2 次方程式の 2 つの解なので、解と係数の関係 により $t_1+t_2=2k\sin\alpha$、$t_1t_2=f$ である。$f\ne0$ なので $t_1$、$t_2$ は $0$ でなく、$\dfrac1{t_1}+\dfrac1{t_2}=\dfrac{t_1+t_2}{t_1t_2}=\dfrac{2k\sin\alpha}f$ である。$\square$

段 1（$x$ 切片の式）。2 点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$（$y_1\ne y_2$）を通る直線は $(y_2-y_1)(X-x_1)-(x_2-x_1)(Y-y_1)=0$ である。$Y=0$ とおいて $X$ について解くと
$$ X=x_1-\frac{(x_2-x_1)y_1}{y_2-y_1}=\frac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1} $$
である。直線 $UV$ が $x$ 軸と 1 点で交わるので $x$ 軸に平行でなく、$y_1\ne y_2$ である。
段 2（代入）。$x_1=u\cos\alpha$、$y_1=u\sin\alpha$、$x_2=v\cos\beta$、$y_2=v\sin\beta$ を代入すると、分子は加法定理（加法定理）により
$$ uv(\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta)=uv\sin(\beta-\alpha) $$
で、分母は $v\sin\beta-u\sin\alpha$ である。よって $x=\dfrac{uv\sin(\beta-\alpha)}{v\sin\beta-u\sin\alpha}$ である。
段 3（逆数）。$x\ne0$ なので分子 $uv\sin(\beta-\alpha)\ne0$ で、逆数をとって分子を $uv$ で割ると
$$ \frac1x=\frac{v\sin\beta-u\sin\alpha}{uv\sin(\beta-\alpha)}=\frac1{\sin(\beta-\alpha)}\left(\frac{\sin\beta}u-\frac{\sin\alpha}v\right) $$
である。$\square$

方針：$M$ を原点、直線 $PQ$ を $x$ 軸にとり、$X$、$Y$ の $x$ 座標の逆数を lem-bf-intercept で書く。2 つを足すと、lem-bf-param の $\dfrac1{t_1}+\dfrac1{t_2}$ が現れて $0$ になる。
段 1（座標）。「準備」の節のとおり、円は $x^2+y^2-2ky+f=0$、$f=-p^2\ne0$ と書ける。弦 $AB$ の向きを $\alpha$、弦 $CD$ の向きを $\beta$ とする。2 本は $PQ$ と異なる直線なので $\sin\alpha\ne0$、$\sin\beta\ne0$ で、互いに異なる直線なので $\alpha\ne\beta$、つまり $\sin(\beta-\alpha)\ne0$ である。
$$ A=t_A(\cos\alpha,\sin\alpha),\quad B=t_B(\cos\alpha,\sin\alpha),\quad C=t_C(\cos\beta,\sin\beta),\quad D=t_D(\cos\beta,\sin\beta) $$
と書く。lem-bf-param により $t_A$、$t_B$、$t_C$、$t_D$ は $0$ でない。
段 2（$X$、$Y$ は $M$ と異なる）。$X=M$ とすると、直線 $AD$ が $M$ を通り、$D$ が直線 $AM$、つまり直線 $AB$ の上にあることになる。直線 $AB$ と円の共有点は $A$、$B$ だけなので $D=A$ または $D=B$ となる。$D$ は直線 $CD$ の上にもあり、直線 $AB$ と $CD$ の共有点は $M$ だけなので $D=M$ となるが、$M$ は円の内部にあって円の上にないので矛盾する。同じく $Y\ne M$ である。$X$、$Y$ の $x$ 座標を $x_X$、$x_Y$ とすると、どちらも $0$ でない。
段 3（逆数を書く）。lem-bf-intercept を $U=A$、$V=D$ に使うと
$$ \frac1{x_X}=\frac1{\sin(\beta-\alpha)}\left(\frac{\sin\beta}{t_A}-\frac{\sin\alpha}{t_D}\right) $$
である。$U=B$、$V=C$ に使うと
$$ \frac1{x_Y}=\frac1{\sin(\beta-\alpha)}\left(\frac{\sin\beta}{t_B}-\frac{\sin\alpha}{t_C}\right) $$
である。
段 4（足す）。2 式を足して、lem-bf-param の $\dfrac1{t_A}+\dfrac1{t_B}=\dfrac{2k\sin\alpha}f$、$\dfrac1{t_C}+\dfrac1{t_D}=\dfrac{2k\sin\beta}f$ を代入すると
$$ \frac1{x_X}+\frac1{x_Y}=\frac1{\sin(\beta-\alpha)}\left(\sin\beta\cdot\underbrace{\left(\frac1{t_A}+\frac1{t_B}\right)}_{=\frac{2k\sin\alpha}f}-\sin\alpha\cdot\underbrace{\left(\frac1{t_C}+\frac1{t_D}\right)}_{=\frac{2k\sin\beta}f}\right)=\frac{2k\sin\alpha\sin\beta-2k\sin\alpha\sin\beta}{f\sin(\beta-\alpha)}=0 $$
である。
段 5（結論）。$\dfrac1{x_Y}=-\dfrac1{x_X}$ なので $x_Y=-x_X$ で、$X$ と $Y$ は原点 $M$ について対称である。よって $MX=MY$ である。$AC$、$BD$ の組は、段 3・段 4 で $t_C$ と $t_D$ の役割を入れかえた計算になり、段 4 の式は $t_C$、$t_D$ について対称なので、同じく $MX'=MY'$ である。$\square$

要点：$M$ を原点、$PQ$ を $x$ 軸にとると、円は $x^2+y^2+dx+ey+f=0$（$f\ne0$）と書ける。prf-bf-main と同じ計算で、左辺も右辺も $-\dfrac df$ になる。

要点：$M$ を原点、$PQ$ を $x$ 軸にとり、$\Gamma$ を $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ と書く。$y=0$ とおいた $ax^2+dx+f=0$ は 2 つの解 $\pm p$ をもつので $a\ne0$ で（$a=0$ なら解は 1 つまで）、解と係数の関係から $d=0$ で、$M$ が $\Gamma$ の上にないので $f\ne0$ である。点 $t(\cos\alpha,\sin\alpha)$ を代入すると $(a\cos^2\alpha+b\cos\alpha\sin\alpha+c\sin^2\alpha)t^2+e\sin\alpha\cdot t+f=0$ で、弦 $AB$ の 2 つの端点を与えるので $t^2$ の係数は $0$ でない。解と係数の関係から $\dfrac1{t_A}+\dfrac1{t_B}=-\dfrac{e\sin\alpha}f$ で、やはり $\sin\alpha$ に比例する。あとは prf-bf-main の段 2〜段 5 と同じである（$\dfrac{2k}f$ を $-\dfrac ef$ に替え、段 2 の「直線 $AB$ と $\Gamma$ の共有点は $A$、$B$ だけ」は $t$ の 2 次方程式の解が 2 つまでであることから従う）。$\square$

要点：円の式 $S$、2 直線 $AB$、$CD$ の式の積 $G$、2 直線 $AD$、$BC$ の式の積 $H$ は、どれも 4 点 $A$、$B$、$C$、$D$ で $0$ になる 2 次式なので、束の定理から $H=\lambda S+\mu G$ と書ける。$y=0$ とおくと、$S$ は $x^2+f$、$G$ は $x^2$ の定数倍になり、どちらも $x$ の 1 次の項がない。したがって $H$ に $y=0$ を代入した式にも $x$ の 1 次の項がなく、その 2 つの解 $x_X$、$x_Y$ の和は $0$ である。