積の微分とLeibnizの公式

$f(x)=x^2+1$、$g(x)=x^3-2x$ とする。
展開してから微分する：$f(x)g(x)=x^5-2x^3+x^3-2x=x^5-x^3-2x$ なので
$$ \{f(x)g(x)\}'=5x^4-3x^2-2 $$
である。
積の微分を使う：$f'(x)=2x$、$g'(x)=3x^2-2$ なので
$$ \begin{aligned} f'(x)g(x)+f(x)g'(x)&=2x(x^3-2x)+(x^2+1)(3x^2-2)\\ &=(2x^4-4x^2)+(3x^4-2x^2+3x^2-2)\\ &=5x^4-3x^2-2 \end{aligned} $$
となり、一致する。$x=1$ ではどちらも $5-3-2=0$ である。
一方、導関数の積は $f'(x)g'(x)=2x(3x^2-2)=6x^3-4x$ で、$x=1$ では $2$ になる。正しい値 $0$ とは違う。

$y=x^2e^x$ を 2 回微分する。$(x^2)'=2x$、$(e^x)'=e^x$ なので、積の微分により
$$ y'=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=(x^2+2x)e^x $$
である。これをもう一度、積の微分で微分する。$(x^2+2x)'=2x+2$ なので
$$ y''=(2x+2)e^x+(x^2+2x)e^x=(x^2+4x+2)e^x $$
である。
同じことを $f=x^2$、$g=e^x$ の記号で行う。$y'=f'g+fg'$ の 2 つの項をそれぞれ積の微分で微分すると
$$ y''=(f''g+f'g')+(f'g'+fg'')=f''g+2f'g'+fg'' $$
となる。$f''=2$、$f'=2x$、$f=x^2$、$g=g'=g''=e^x$ を入れると $2e^x+2\cdot2x\,e^x+x^2e^x=(x^2+4x+2)e^x$ で、上の結果と一致する。係数 $1,2,1$ は $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ の係数と同じである。

$f(x)=x^2$、$g(x)=e^x$、$a=1$ とする。定理により
$$ (fg)'(1)=f'(1)g(1)+f(1)g'(1)=2\cdot e+1\cdot e=3e=8.15484\ldots $$
である。平均変化率 $\dfrac{(1+h)^2e^{1+h}-e}h$ を計算すると

となり、$h$ を小さくすると $3e=8.15484\ldots$ に近づく。導関数の積 $f'(1)g'(1)=2e=5.43\ldots$ には近づかない。

1. $(x\log x)'=1\cdot\log x+x\cdot\dfrac1x=\log x+1$（$x>0$）。
2. $(e^x\sin x)'=e^x\sin x+e^x\cos x=e^x(\sin x+\cos x)$。
3. $\{(x-1)^2(x+2)\}'=2(x-1)(x+2)+(x-1)^2=(x-1)\{2(x+2)+(x-1)\}=(x-1)(3x+3)=3(x-1)(x+1)$。展開した $x^3-3x+2$ を微分しても $3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ で一致する。3 では、展開せずに積の微分を使うと、導関数が因数分解された形で出てくる。増減表を作るときに便利である（関数の増減と極値）。

1. $\{(x^2+1)^3\}'=3(x^2+1)^2\cdot2x=6x(x^2+1)^2$。展開した $x^6+3x^4+3x^2+1$ を微分すると $6x^5+12x^3+6x=6x(x^4+2x^2+1)=6x(x^2+1)^2$ で一致する。
2. $(\sin^2x)'=2\sin x\cos x$。これは $\sin2x$ に等しい。

1. $\Bigl(\dfrac{x^2+1}{x-1}\Bigr)'=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)\cdot1}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$（$x\ne1$）。
2. $(\tan x)'=\Bigl(\dfrac{\sin x}{\cos x}\Bigr)'=\dfrac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2x}=\dfrac1{\cos^2x}$（$\cos x\ne0$）。
3. $\Bigl(\dfrac1{x^n}\Bigr)'=-\dfrac{nx^{n-1}}{x^{2n}}=-\dfrac n{x^{n+1}}$（$x\ne0$、$n$ は正の整数）。つまり $(x^{-n})'=-nx^{-n-1}$ で、$(x^m)'=mx^{m-1}$ は負の整数 $m$ でも成り立つ。

1. $f(x)=x^3$：$f'=3x^2$、$f''=6x$、$f'''=6$、$f^{(4)}=0$。$k\ge4$ では $f^{(k)}=0$ である。
2. $f(x)=e^{2x}$：$f'=2e^{2x}$、$f''=4e^{2x}$ で、一般に $f^{(n)}=2^ne^{2x}$。
3. $f(x)=\sin x$：$f'=\cos x$、$f''=-\sin x$、$f'''=-\cos x$、$f^{(4)}=\sin x$ で、4 回ごとに元に戻る。

$y=x^2e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める（$n\ge2$）。$f=x^2$、$g=e^x$ とすると、$f'=2x$、$f''=2$、$k\ge3$ で $f^{(k)}=0$、また $g^{(k)}=e^x$ である。Leibniz の公式は $g$ を先、$f$ を後に書いても同じ（$fg=gf$ なので、$\sum\binom nkg^{(n-k)}f^{(k)}$ としてよい）ので
$$ \begin{aligned} (x^2e^x)^{(n)}&=\binom n0e^x\cdot x^2+\binom n1e^x\cdot2x+\binom n2e^x\cdot2\\ &=e^x\bigl(x^2+2nx+n(n-1)\bigr) \end{aligned} $$
となる（$\binom n2\cdot2=n(n-1)$）。$f^{(3)}$ 以降が $0$ なので、残りの項はすべて消えた。
確かめ：$n=2$ では $e^x(x^2+4x+2)$ で、ex-plf-start-second と一致する。$n=1$ でも $e^x(x^2+2x)$ となり、$y'$ と一致する。$x=0$ では $(x^2e^x)^{(n)}\big|_{x=0}=n(n-1)$ で、たとえば $n=5$ なら $20$ である。

1. $(xe^{2x})^{(n)}$：$f=x$（$f'=1$、$f''=0$）、$g=e^{2x}$（$g^{(k)}=2^ke^{2x}$）として
   $$ (xe^{2x})^{(n)}=\binom n0 2^ne^{2x}\cdot x+\binom n12^{n-1}e^{2x}\cdot1=2^{n-1}e^{2x}(2x+n). $$
   $n=1$ では $e^{2x}(2x+1)$ で、積の微分 $e^{2x}+2xe^{2x}$ と一致する。
2. $(x^3\cdot x^3)'''$ を 2 通りに計算する。直接には $(x^6)'''=6\cdot5\cdot4\,x^3=120x^3$ である。Leibniz の公式では、$(x^3)^{(j)}=\dfrac{3!}{(3-j)!}x^{3-j}$（$0\le j\le3$）を使って
   $$ \sum_{k=0}^3\binom3k\frac{3!}{k!}x^k\cdot\frac{3!}{(3-k)!}x^{3-k}=3!\,x^3\sum_{k=0}^3\binom3k^2=6x^3(1+9+9+1)=120x^3 $$
   となり一致する。一般に $(x^n\cdot x^n)^{(n)}$ を同じように 2 通りに計算すると、$\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom nk^2=\binom{2n}n$ が得られる。これは 二項定理と組合せの恒等式 の Vandermonde の恒等式の特別な場合である。

1. $f(x)=x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2)$、$a=-1$、$m=2$、$q(x)=x-2$。命題から $f(-1)=f'(-1)=0$、$f''(-1)=2!\,q(-1)=2\cdot(-3)=-6$ である。直接には $f'(x)=3x^2-3$、$f''(x)=6x$ で、$f'(-1)=0$、$f''(-1)=-6$ と一致する。
2. $f(x)=(x-1)^3(x+2)=x^4-x^3-3x^2+5x-2$、$a=1$、$m=3$、$q(x)=x+2$。命題から $f(1)=f'(1)=f''(1)=0$、$f'''(1)=3!\cdot3=18$ である。直接には $f'(x)=4x^3-3x^2-6x+5$、$f''(x)=12x^2-6x-6$、$f'''(x)=24x-6$ で、$f'(1)=4-3-6+5=0$、$f''(1)=12-6-6=0$、$f'''(1)=18$ と一致する。

$f(x)=x+1$、$g(x)=|x|$、$a=0$ とする。$f$ は微分可能だが、$g$ は $x=0$ で微分可能でない。積 $F(x)=(x+1)|x|$ の $x=0$ での平均変化率は、$F(0)=0$ なので
$$ \frac{F(h)-F(0)}h=\frac{(h+1)|h|}h=\begin{cases}h+1&(h>0)\\-(h+1)&(h<0)\end{cases} $$
である。$h\to0$ のとき、右からは $1$、左からは $-1$ に近づくので、極限は存在しない。よって $F$ は $x=0$ で微分可能でない。積の微分の式に形式的に入れようとしても、$g'(0)$ がないので右辺が作れない。

$f(x)=1$、$g(x)=x$、$a=0$ とする。$f$、$g$ はどちらも $x=0$ で微分可能だが、$g(0)=0$ である。$\frac fg=\frac1x$ は $x=0$ で値をもたないので、$x=0$ で微分可能ではない。$x=0$ の近くでは $\frac1x$ の値は、$x=0.01$ で $100$、$x=-0.01$ で $-100$ のように、いくらでも大きく、また小さくなる。

$f(x)=x|x|$、$g(x)=x+1$ とし、$n=2$、$x=0$ を考える。
段 1（$f$ は 1 回微分可能）。$x>0$ では $f(x)=x^2$ で $f'(x)=2x$、$x<0$ では $f(x)=-x^2$ で $f'(x)=-2x$ である。$x=0$ では $\dfrac{f(h)-f(0)}h=\dfrac{h|h|}h=|h|\to0$ なので $f'(0)=0$ である。まとめると $f'(x)=2|x|$ である。
段 2（$f$ は 2 回は微分できない）。$f'(x)=2|x|$ は $x=0$ で微分可能でない（ex-plf-not-differentiable と同じく、右からの平均変化率は $2$、左からは $-2$）。よって $f''(0)$ は存在せず、Leibniz の公式の右辺の $f''g$ が作れない。
段 3（積も 2 回は微分できない）。$F(x)=f(x)g(x)=x|x|(x+1)$ とする。$x>0$ では $F=x^3+x^2$、$x<0$ では $F=-x^3-x^2$ である。段 1 と同じ計算で $F'(x)=|x|(3x+2)$ となる（$x>0$ で $x(3x+2)=3x^2+2x$、$x<0$ で $-x(3x+2)=-3x^2-2x$、$x=0$ で $0$）。$F'$ の $x=0$ での平均変化率は $\dfrac{|h|(3h+2)}h$ で、右からは $2$、左からは $-2$ に近づく。よって $F''(0)$ は存在しない。

1. $f(x)=x$、$g(x)=|x|$ とする。$g$ は $x=0$ で微分可能でないが、$F(x)=x|x|$ は ex-plf-not-twice の段 1 のとおり $x=0$ で微分可能で、$F'(0)=0$ である。
2. $g(x)=\sin\dfrac1x$（$x\ne0$）、$g(0)=0$ とする。$g$ は $x=0$ で連続でもない（$x=\dfrac1{(2k+\frac12)\pi}$ では $g=1$、$x=\dfrac1{2k\pi}$ では $g=0$ で、$k$ を大きくするとどちらの $x$ も $0$ に近づく）ので、微分可能でない。しかし $F(x)=x^2g(x)$ は $x=0$ で微分可能で $F'(0)=0$ である。実際 $h\ne0$ で $\Bigl|\dfrac{F(h)-F(0)}h\Bigr|=\Bigl|h\sin\dfrac1h\Bigr|\le|h|$ で、右辺は $h\to0$ で $0$ に近づくので、はさみうち（はさみうちと評価の技法）により平均変化率は $0$ に近づく。これは Leb26 Exercise 4.1.11（p. 160）の状況（$g$ が有界、$x^2$ は値と微分係数がともに $0$）の例である。
3. $f(x)=x|x|$、$g(x)=x$ とする。$f$ は 2 回微分可能でないが、$F(x)=x^2|x|$ は $x>0$ で $x^3$、$x<0$ で $-x^3$ なので、ex-plf-not-twice と同じ計算で $F'(x)=3x|x|$、$F''(x)=6|x|$ となり、2 回微分可能である。
   積の微分と Leibniz の公式は「これだけあれば積も微分できる」という十分条件を与えるが、必要条件ではない。

1. 微分 $D(p)=p'$ は導分である（1 は和と定数倍の微分、2 は thm-plf-product）。
2. $D(p)=x\,p'$ も導分である。1 は $x(p+q)'=xp'+xq'$、$x(cp)'=c\,xp'$ から成り立ち、2 は $D(pq)=x(p'q+pq')=(xp')q+p(xq')$ から分かる。この $D$ では $D(x^n)=x\cdot nx^{n-1}=nx^n$ で、$x^n$ は $n$ 倍されるだけである。
3. $D(p)=p''$（2 回微分）は導分ではない。$p=q=x$ とすると $D(x\cdot x)=(x^2)''=2$ だが、$D(x)x+xD(x)=0+0=0$ である。Leibniz の公式 $(pq)''=p''q+2p'q'+pq''$ の真ん中の項 $2p'q'$ だけ、積の規則からずれている。