可算鎖条件

ccc なら極大な反鎖も反鎖なので高々可算である。逆に、極大な反鎖がすべて高々可算とし、反鎖 $B$ をとる。Zornの補題により $B$ はある極大な反鎖 $A$ に含まれる（反鎖の「反鎖の極大拡張」）。$A$ は高々可算なので、その部分集合 $B$ も高々可算である。$\square$

$P=\bigcup_{n\in\omega}C_n$ で各 $C_n$ が中心化されているとする。非可算な反鎖 $A$ があれば、$A=\bigcup_n(A\cap C_n)$ のうちどれかの $A\cap C_n$ は非可算であり、特に相異なる二元 $a,b$ を含む。$C_n$ は中心化されているので $a,b$ は共通の強化を持ち、反鎖であることに反する。$\square$

$\mathcal F\subset\operatorname{Fn}(I,J)$ を非可算とし、$\mathcal F$ が両立する相異なる二条件を含むことを示す。

段 1（定義域は非可算種類）．$I$ の有限部分集合 $K$ を一つ固定すると、定義域が $K$ である条件は $K$ から $J$ への関数なので高々可算個である。定義域の族 $\mathcal E=\{\operatorname{dom}p\mid p\in\mathcal F\}$ が可算なら、$\mathcal F$ は可算個の可算集合の和集合で可算になってしまう。よって $\mathcal E$ は非可算個の有限集合からなる族である。

段 2（定義域をそろえる）．$\Delta$-システム補題により、根 $\Delta$ を持つ非可算な $\Delta$-システム $\mathcal E'\subset\mathcal E$ がある。各 $K\in\mathcal E'$ について $\operatorname{dom}p_K=K$ となる $p_K\in\mathcal F$ を一つ選ぶ。定義域が異なるので、$K\mapsto p_K$ は単射であり、$\{p_K\mid K\in\mathcal E'\}$ は非可算である。

段 3（根の上の値をそろえる）．各 $p_K$ の $\Delta$ への制限 $p_K\restriction\Delta$ は $\Delta$ から $J$ への関数で、$\Delta$ が有限、$J$ が可算なので、そのような関数は可算個しかない。非可算個の $p_K$ を可算個の値で分類すると、どれかの類は非可算であり、特に $p_K\restriction\Delta=p_{K'}\restriction\Delta$ となる相異なる $K,K'\in\mathcal E'$ がある。

段 4（両立）．$\operatorname{dom}p_K\cap\operatorname{dom}p_{K'}=K\cap K'=\Delta$ であり、$\Delta$ の上で $p_K$ と $p_{K'}$ の値は一致する。よって $p_K\cup p_{K'}$ は関数で、$p_K,p_{K'}$ の共通の強化である。$\square$

二条件 $A,B$ が両立することは $\lambda(A\cap B)>0$ と同値である（強制概念の「ランダム強制」）。$\mathcal A$ を反鎖とし、$n\ge1$ について $\mathcal A_n=\{A\in\mathcal A\mid\lambda(A)>1/n\}$ とおく。$A_1,\ldots,A_k$ を $\mathcal A_n$ の相異なる元とすると、$i\ne j$ なら $\lambda(A_i\cap A_j)=0$ である。$A_i'=A_i\setminus\bigcup_{j< i}A_j$ とおくと $A_i'$ は互いに交わらず、$\lambda(A_i')=\lambda(A_i)$ である。よって
$$ 1\ge\lambda\Bigl(\bigcup_{i=1}^kA_i\Bigr)=\sum_{i=1}^k\lambda(A_i')=\sum_{i=1}^k\lambda(A_i)>\frac kn $$
となり $k< n$ である。したがって $\mathcal A_n$ は $n$ 個未満の元しか持たない。$\lambda(A)>0$ なら $\lambda(A)>1/n$ となる $n$ があるので $\mathcal A=\bigcup_{n\ge1}\mathcal A_n$ であり、$\mathcal A$ は高々可算である。$\square$

$f$ の名前 $\dot f\in M$ をとる。$M[G]$ で「$f$ は $A$ から $B$ への関数」が成り立つので、強制定理から
$$ p\Vdash\text{「}\dot f\text{ は }\check A\text{ から }\check B\text{ への関数」} $$
となる $p\in G$ がある。$M$ の中で
$$ F(a)=\{b\in B\mid(\exists q\le p)\ q\Vdash\dot f(\check a)=\check b\} $$
と定める。強制関係が $M$ の中で定義できるので、分出公理と置換公理により $F\in M$ である。

$f(a)\in F(a)$ を示す。$b=f(a)$ とすると $M[G]\models\dot f(\check a)=\check b$ なので、$q'\Vdash\dot f(\check a)=\check b$ となる $q'\in G$ がある。$q\le p$ かつ $q\le q'$ となる $q\in G$ をとると、単調性から $q\Vdash\dot f(\check a)=\check b$ であり、$b\in F(a)$ である。

$M\models F(a)$ は高々可算、を示す。$M$ の中で選択公理を使い、各 $b\in F(a)$ に $q_b\le p$ かつ $q_b\Vdash\dot f(\check a)=\check b$ となる $q_b$ を選ぶ。$b\ne b'$ なら $q_b\perp q_{b'}$ である。実際、共通の強化 $r$ があれば、単調性から $r$ は $\dot f(\check a)=\check b$ と $\dot f(\check a)=\check b'$ の両方を強制する。$r$ を含む $M$ 上ジェネリックなフィルター $G'$ をとると（ジェネリックフィルターの「可算推移モデル上の存在」）、$r\le p$ なので $p\in G'$ であり、$M[G']$ で $\dot f^{G'}$ は関数で、$a$ での値が $b$ と $b'$ の両方になって矛盾する。よって $\{q_b\mid b\in F(a)\}$ は $M$ に属する反鎖で、$b\mapsto q_b$ は単射である。$M\models\mathbb P$ は ccc なので、$M$ の中でこの反鎖は高々可算であり、$F(a)$ も高々可算である。$\square$

$M$ の中の共終な写像 $\operatorname{cf}^M(\gamma)\to\gamma$ は $M[G]$ でも共終な写像なので、$\operatorname{cf}^{M[G]}(\gamma)\le\operatorname{cf}^M(\gamma)$ である。

逆向きを示す。$\mu=\operatorname{cf}^{M[G]}(\gamma)$ とし、$M[G]$ の中の共終な写像 $f\colon\mu\to\gamma$ をとる。$\gamma$ は極限順序数なので $\mu$ は無限である。近似補題を $A=\mu$、$B=\gamma$ に使い、$F\in M$ をとる。$M$ の中で
$$ Y=\bigcup_{\alpha<\mu}F(\alpha)\subset\gamma $$
とおく。$f$ の値域は $Y$ に含まれ、$f$ の値域は $\gamma$ で上に有界でないので、$Y$ も $\gamma$ で上に有界でない。$M$ の中で $Y$ は $\mu$ 個の高々可算な集合の和集合なので、$M\models|Y|\le|\mu|\cdot\aleph_0\le\mu$ である（$\mu$ が無限なので）。$M$ の中で、$\gamma$ の上に有界でない部分集合 $Y$ があれば $\operatorname{cf}(\gamma)\le|Y|$ である（$Y$ を $|Y|$ で番号づけた写像が共終だから）。よって $\operatorname{cf}^M(\gamma)\le\mu=\operatorname{cf}^{M[G]}(\gamma)$ である。$\square$

有限の順序数と $\omega$ は、推移的モデルの間で「基数である」ことが変わらない。

$\kappa$ を $M$ の非可算な正則基数とする。$\operatorname{cf}^{M[G]}(\kappa)=\operatorname{cf}^M(\kappa)=\kappa$ である。$M[G]$ で $\kappa$ が基数でなければ、$M[G]$ の中で $|\kappa|<\kappa$ であり、全射 $|\kappa|\to\kappa$ から $\operatorname{cf}^{M[G]}(\kappa)\le|\kappa|<\kappa$ となって矛盾する。よって $\kappa$ は $M[G]$ でも基数である。

$\lambda$ を $M$ の非可算な極限基数とする。$M$ の中で、$\lambda$ より小さい後続基数は正則であり（選択公理を使う）、その上限は $\lambda$ である。前段によりそれらは $M[G]$ でも基数である。基数の集合の上限は基数なので、$\lambda$ は $M[G]$ でも基数である。$M$ の非可算な基数は後続基数（したがって正則）か極限基数なので、すべての基数が保たれる。$\square$

thm-ccc-cofinality と lem-ccc-cardinals から従う。$\omega_1^M$ は $M$ の基数なので $M[G]$ でも基数であり、$\omega$ より大きいから可算でない。$\square$