Whitehead三角形分割
概要
Whitehead三角形分割（Whitehead triangulation）とは、滑らかな多様体の三角形分割で、各単体の上で $C^1$ 級かつ微分が単射な（$C^1$ 三角形分割）ものである。Cairns–Whitehead の定理により、滑らかな多様体はいつも $C^1$ 三角形分割をもち、その単体複体は組合せ多様体で、どの 2 つの多面体も PL 同相なので、滑らかな多様体には PL 構造が PL 同相を除いてただ 1 つ定まる。証明の基本の道具は、頂点で値を合わせた単体ごとのアフィン写像（secant 写像）による近似で、形のそろった細かい単体では secant 写像が微分まで込めて元の写像に近づき、埋め込みの近似も埋め込みになる。
前提知識: 可微分多様体, 単体複体, PL多様体, 三角形分割可能な多様体
滑らかな多様体を三角形分割するとき、各単体を多様体の中へ滑らかに（微分が単射になるように）埋め込むことを要求したものを Whitehead 三角形分割（Whitehead triangulation）あるいは $C^1$ 三角形分割（$C^1$ triangulation）という。Cairns–Whitehead の定理は、滑らかな多様体がいつも $C^1$ 三角形分割をもち、その単体複体は組合せ多様体で、どの 2 つの $C^1$ 三角形分割の多面体も PL 同相であることを主張する。こうして滑らかな多様体には PL 構造が PL 同相を除いてただ 1 つ定まり、滑らかな構造は PL 構造を定める（多様体の構造の階層の DIFF $\to$ PL の矢印）。
一般の三角形分割は組合せ的とは限らず（三角形分割可能な多様体）、同相写像は微分可能性を何も保たない。単体ごとに $C^1$ 級という条件によって、各単体の小さな部分はアフィン写像で近似でき、滑らかな多様体の三角形分割を PL の世界へつなぐことができる。この記事では、$C^1$ 三角形分割を定義し、微分同相と細分で保たれること、球面の $C^1$ 三角形分割の例を示す。そのうえで、定理の証明の基本の道具である secant 写像（頂点で値を合わせたアフィン写像による近似）の評価と、細かい三角形分割の secant 写像が埋め込みになることを完全に証明する。主定理の全体は長いので、この記事では証明しない。
$C^1$ 三角形分割
以下、単体・単体複体の用語は単体複体の記事、PL 写像・組合せ多様体の用語はPL多様体の記事にしたがう。単体複体は $\mathbb{R}^N$ の中の局所有限なものとする。$k$ 単体 $\sigma\subset\mathbb{R}^N$（$k\ge1$）の張る $k$ 次元アフィン部分空間を $E(\sigma)$、その方向の線形部分空間を $W(\sigma)$ と書く。$\mathbb{R}^N$ の内積から $W(\sigma)$ にノルム $\lvert\cdot\rvert$ を入れ、線形写像 $A\colon W(\sigma)\to\mathbb{R}^m$ の作用素ノルムを $\|A\|:=\max_{\lvert u\rvert=1}\lvert Au\rvert$ と書く。
$\sigma$ を $k$ 単体（$k\ge1$）とする。写像 $f\colon\sigma\to\mathbb{R}^m$ が $C^1$ 級であるとは、$E(\sigma)$ の中の $\sigma$ のある開近傍 $V$ と $C^1$ 級写像 $F\colon V\to\mathbb{R}^m$ で $F|_\sigma=f$ となるものがあることをいう。$x\in\sigma$ における $f$ の微分 $Df(x):=DF(x)\colon W(\sigma)\to\mathbb{R}^m$ が単射のとき、$f$ は $x$ ではめ込みであるという。$0$ 単体の上の写像はすべて $C^1$ 級のはめ込みとみなす。
$Df(x)$ は拡張 $F$ の選び方によらない。$\sigma$ の内部の点では $DF$ は $f$ の値から決まり、$\sigma$ の各点は内部の点の極限で $DF$ は連続だからである。
$M$ を $n$ 次元の滑らかな多様体（可微分多様体）とする。$M$ の三角形分割 $(K,h)$（単体複体 $K$ と同相写像 $h\colon|K|\to M$）が $C^1$ 三角形分割あるいは Whitehead 三角形分割であるとは、$K$ の各単体 $\sigma$ と各点 $x\in\sigma$ について、$h(x)$ のまわりの座標近傍 $(U,\varphi)$ をとると、$E(\sigma)$ の中の $x$ のある開近傍 $V$（$h(V\cap\sigma)\subset U$）と $C^1$ 級写像 $F\colon V\to\mathbb{R}^n$ で、$V\cap\sigma$ の上で $F=\varphi\circ h$ であり、各 $y\in V\cap\sigma$ で $DF(y)$ が $W(\sigma)$ の上で単射になるものがあることをいう。
座標近傍の取り替えは微分同相写像なので、連鎖律によりこの条件は座標近傍の選び方によらない。$h$ は単射なので、$h|_\sigma$ は単体 $\sigma$ の $C^1$ 級の埋め込みである。$M\subset\mathbb{R}^m$ が滑らかな部分多様体のときは、$h|_\sigma$ を $\mathbb{R}^m$ への写像とみて $C^1$ 級のはめ込みであればよい（部分多様体の座標近傍は $\mathbb{R}^m$ の開集合の上の滑らかな写像の制限で書け、その微分は接空間の上で単射だからである）。
$(K,h)$ を滑らかな多様体 $M$ の $C^1$ 三角形分割とする。
(R1) $G\colon M\to M'$ が微分同相写像なら、$(K,G\circ h)$ は $M'$ の $C^1$ 三角形分割である。
(R2) $K'$ が $K$ の細分（重心細分の記事の定義「単体複体の細分」）なら、$(K',h)$ は $M$ の $C^1$ 三角形分割である。
(i)：座標近傍 $\varphi$、$\psi$ について $\psi\circ G\circ h|_\sigma=(\psi\circ G\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ h|_\sigma)$ であり、$\psi\circ G\circ\varphi^{-1}$ は微分が可逆な滑らかな写像なので、連鎖律によりはめ込みははめ込みのまま保たれる。(ii)：$K'$ の単体 $\sigma'$ は $K$ のある単体 $\sigma$ に含まれ、$E(\sigma')\subset E(\sigma)$、$W(\sigma')\subset W(\sigma)$ である。$\varphi\circ h|_\sigma$ の $C^1$ 級の拡張 $F$ を $E(\sigma')$ に制限すれば $\varphi\circ h|_{\sigma'}$ の拡張になり、その微分は $DF(x)$ の $W(\sigma')$ への制限なので単射である。$\square$
$n\ge1$ とし、$(n+1)$ 単体 $\Delta\subset\mathbb{R}^{n+1}$ をその重心が原点になるようにとる。$\partial\Delta$ の単体複体を $K$ とし、$r(x):=x/\lvert x\rvert$ とおく。$r\colon|K|=\partial\Delta\to S^n$ は同相写像で（単体複体の命題「単体は閉球体と同相」の証明の段 2）、$(K,r)$ は $S^n$ の $C^1$ 三角形分割である。
実際、$r$ は $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ の上で滑らかで、$\partial\Delta$ の各 $n$ 単体 $\sigma$ について $E(\sigma)$ は原点を通らない（原点は $\Delta$ の内部にある）ので、$r$ 自身が $E(\sigma)$ の上の拡張である。$Dr(x)u=\bigl(u-\langle x,u\rangle x/\lvert x\rvert^2\bigr)/\lvert x\rvert$ なので、$u\in W(\sigma)$ で $Dr(x)u=0$ なら $u=\lambda x$ である。$\lambda\ne0$ なら $x\in W(\sigma)$ となり、$E(\sigma)=x+W(\sigma)=W(\sigma)$ が原点を含むことになって矛盾する。よって $u=0$ で、$Dr(x)$ は $W(\sigma)$ の上で単射である。$\sigma$ の面の上では prop-wht-invariance の (ii) の証明と同じく制限すればよい。したがって、$S^n$ の Whitehead 三角形分割が定める PL 構造は $\partial\Delta^{n+1}$ のものである。
$\mathbb{R}$ を整数点で分けた単体複体 $K$（頂点 $k\in\mathbb{Z}$、辺 $[k,k+1]$）と、$h(t):=2t$（$t\ge0$）、$h(t):=t$（$t<0$）を考える。$h$ は $0$ で微分可能でないが、各辺の上ではアフィンで傾きが $0$ でないので、$(K,h)$ は $\mathbb{R}$ の $C^1$ 三角形分割である。$C^1$ 三角形分割は各単体の上で別々に $C^1$ 級であることしか要求しない。一方 $h(t):=t^3$ は $\mathbb{R}$ の滑らかな同相写像だが、辺 $[0,1]$ の上で $h'(0)=0$ なので、$(K,h)$ は $C^1$ 三角形分割でない。満たす性質は「滑らかな同相写像」、満たさない性質は「各単体の上で微分が単射」である。
Cairns–Whitehead の定理
$M$ を滑らかな多様体とする。
(R1) $M$ は $C^1$ 三角形分割をもつ。
(R2) $C^1$ 三角形分割 $(K,h)$ の $K$ は組合せ多様体である。
(R3) $M$ の 2 つの $C^1$ 三角形分割 $(K_1,h_1)$、$(K_2,h_2)$ について、$K_1$ と $K_2$ の細分で互いに線形同型なものがある。とくに $|K_1|$ と $|K_2|$ は PL 同相である。
この定理はこの記事では証明しない。Cairns（1934）が三角形分割の存在を示し、Whitehead（1940）が $C^1$ 三角形分割の理論を整えて、微分同相な滑らかな多様体の $C^1$ 三角形分割が組合せ的に同値であることを示した（Kos93 Ch. II §6、p. 40）。証明は Mun66 第 II 章にある：(i) は Theorem 10.6（pp. 103–104）、(ii) は Exercise 8.4 (a)（p. 82、演習）、(iii) は Theorem 10.5（p. 103）。Mun66 の $C^r$ triangulation（Definition 8.3、pp. 80–81）は、Theorem 8.4（p. 81）によりこの記事の $C^1$ 三角形分割（$r=1$）と同じものである。滑らかな多様体はこの定理によって標準的に PL 多様体に変えられる（Rud01 Remark 3.11、pp. 33–34）。(ii) により、$h$ で $|K|$ の PL 座標近傍を $M$ へ移すと $M$ の PL 構造が得られ、(iii) によりそれは $C^1$ 三角形分割の選び方によらず PL 同相を除いて一意である（アトラスそのものは選び方で変わりうる）。これを $M$ の Whitehead PL 構造という。
prop-wht-invariance の (i) と定理の (iii) から、微分同相写像 $G\colon M\to M'$ があれば、$M$、$M'$ の Whitehead PL 構造は PL 同相である：$(K,h)$ を $M$ の $C^1$ 三角形分割とすると $(K,G\circ h)$ は $M'$ の $C^1$ 三角形分割で、この 2 つで PL 構造を定めれば $G$ は $|K|$ の恒等写像にあたる。微分同相を同相に弱めることはできない：同相だが Whitehead PL 構造が PL 同相でない $5$ 次元の滑らかな多様体がある（Siebenmann。Kos93 Ch. II §6、p. 40）。
存在の証明の骨格（BKW21 による）．コンパクトな多様体は Euclid 空間に埋め込める（Whitneyの埋め込み定理）ので、$M$ を $\mathbb{R}^d$ のコンパクトな $C^2$ 級部分多様体とする。(1) $\mathbb{R}^d$ を十分細かい単体に分け（Coxeter 型の三角形分割を少し摂動したもの）、(2) 各 $d$ 単体と $M$ の共通部分が、わずかに変形した凸多面体であることを示し、(3) その凸多面体を「まっすぐにした」ものの重心細分として単体複体 $K$ を作り、(4) $|K|$ に沿って選んだ「法線」の方向への射影が $M$ から $|K|$ への同相写像になることを示す。この同相写像は単体ごとに滑らかである（BKW21 序論と Theorem 1.1、pp. 386–388、§6・§7）。各単体の上で微分が単射であること（$C^1$ 三角形分割であること）は、この記事では扱わない。コンパクトでない場合を含む $C^1$ 三角形分割の存在は Mun66 Theorem 10.6（pp. 103–104）による。
一意性の証明の骨格（Mun66 による）．$M$ を $\mathbb{R}^N$ の境界のない部分多様体とし、$f\colon K\to M$、$g\colon L\to M$ を 2 つの $C^1$ 三角形分割とする。(1) 道具：単体を細かく、しかも形（Munkres の「厚さ」、Definition 9.2、p. 90）がつぶれないように細分すれば、secant 写像はもとの写像を微分まで込めて近似する（§9、Lemma 9.3、p. 90）。この記事の形の定数 $\kappa$ は厚さと同じ役割で、lem-wht-secant・thm-wht-secant-embedding はこの段の局所版である。(2) $L$ の単体を面が先に来る順に並べ、帰納法で 1 つずつ処理して、$f$、$g$ をわずかに動かした $C^1$ 埋め込み $f'\colon K'\to M$、$g'\colon L'\to M$（$K'$、$L'$ は細分）で、2 つの像が共通の完全部分複体で交わり、和が $C^1$ 埋め込みになるものを作る（Theorem 10.4、p. 101）。(3) 動かし方が十分小さければ $f'$、$g'$ はどちらも $M$ の上への $C^1$ 三角形分割で、$(f')^{-1}\circ g'$ は $L'$ から $K'$ への線形同型になる（Theorem 10.5、p. 103）。これが (iii) である。
$C^1$ 写像と PL 写像を比べるときの基本の評価は、「単体が十分小さく形がつぶれていなければ、$C^1$ 写像は、頂点で値を合わせた単体ごとのアフィン写像で、微分まで込めてよく近似できる」というものである。次の節でこれを証明し、細かい三角形分割に沿ったアフィン近似が埋め込みになることを示す。
secant 写像の評価
$\sigma=[v_0,\dots,v_k]$ を $k$ 単体（$k\ge1$）とする。写像 $f\colon\sigma\to\mathbb{R}^m$ に対し、$L_\sigma f(v_i)=f(v_i)$（$i=0,\dots,k$）を満たすアフィン写像 $L_\sigma f\colon E(\sigma)\to\mathbb{R}^m$ がただ 1 つある（頂点はアフィン独立）。これを $f$ の $\sigma$ 上の secant 写像という。単体複体 $K$ と写像 $f\colon|K|\to\mathbb{R}^m$ については、各単体の上で $L_\sigma f$ に一致する写像 $L_Kf\colon|K|\to\mathbb{R}^m$ を $f$ の $K$ に関する secant 写像という（共通の面の上では頂点の値だけで決まるので一致し、$L_Kf$ は PL 写像である）。また
$$
\kappa(\sigma):=\max\Bigl\{\sum_{i=1}^k\lvert c_i\rvert\,\lvert v_i-v_0\rvert\ \Bigm|\ u=\sum_{i=1}^kc_i(v_i-v_0)\in W(\sigma),\ \lvert u\rvert=1\Bigr\}
$$
を $\sigma$ の形の定数という。
$u\mapsto(c_1,\dots,c_k)$ は線形なので最大値は存在する。$u=(v_1-v_0)/\lvert v_1-v_0\rvert$ をとれば和は $1$ なので $\kappa(\sigma)\ge1$ であり、$\kappa$ は平行移動・相似拡大・直交変換で変わらない（相似拡大では $c_i$ が $1/\lambda$ 倍、$\lvert v_i-v_0\rvert$ が $\lambda$ 倍になる）。$\kappa(\sigma)$ が大きいのは、$\sigma$ が平たくつぶれているときである（ex-wht-thin）。
$\sigma$ を $k$ 単体（$k\ge1$）、$f\colon\sigma\to\mathbb{R}^m$ を $C^1$ 級とし、$\omega(\sigma):=\max_{x,y\in\sigma}\|Df(x)-Df(y)\|$ とおく。すべての $x\in\sigma$ について
$$
\|D(L_\sigma f)-Df(x)\|\le\kappa(\sigma)\,\omega(\sigma),\qquad\lvert L_\sigma f(x)-f(x)\rvert\le\kappa(\sigma)\,\omega(\sigma)\operatorname{diam}\sigma
$$
が成り立つ。ここで $D(L_\sigma f)$ はアフィン写像 $L_\sigma f$ の線形部分である。
$\gamma_i(s):=v_0+s(v_i-v_0)$ とおく。$\sigma$ は凸なので $\gamma_i(s)\in\sigma$ であり、微積分の基本定理（成分ごと）により
$$
D(L_\sigma f)(v_i-v_0)=f(v_i)-f(v_0)=\int_0^1Df(\gamma_i(s))(v_i-v_0)\,ds
$$
である。よって $x\in\sigma$ について
$$
\bigl\lvert\bigl(D(L_\sigma f)-Df(x)\bigr)(v_i-v_0)\bigr\rvert=\Bigl\lvert\int_0^1\bigl(Df(\gamma_i(s))-Df(x)\bigr)(v_i-v_0)\,ds\Bigr\rvert\le\omega(\sigma)\lvert v_i-v_0\rvert
$$
である。$u=\sum_ic_i(v_i-v_0)$、$\lvert u\rvert=1$ なら、三角不等式により $\lvert(D(L_\sigma f)-Df(x))u\rvert\le\omega(\sigma)\sum_i\lvert c_i\rvert\lvert v_i-v_0\rvert\le\kappa(\sigma)\omega(\sigma)$ となり、第 1 の不等式を得る。第 2 の不等式：$g:=f-L_\sigma f$ は $g(v_0)=0$ で、$\|Dg(y)\|\le\kappa(\sigma)\omega(\sigma)$（$y\in\sigma$）なので、$g(x)=\int_0^1Dg(v_0+s(x-v_0))(x-v_0)\,ds$ から $\lvert g(x)\rvert\le\kappa(\sigma)\omega(\sigma)\lvert x-v_0\rvert\le\kappa(\sigma)\omega(\sigma)\operatorname{diam}\sigma$ である。$\square$
$f$ の微分が一様連続なら、$\omega(\sigma)$ は $\operatorname{diam}\sigma\to0$ で $0$ に近づく。したがって、形の定数が有界なまま単体を小さくすれば、secant 写像は $f$ に微分まで込めて一様に近づく。形の定数の有界性は外せない（ex-wht-thin）。
$C\subset\mathbb{R}^N$ を凸集合とし、$E$ を $C$ を含むアフィン部分空間、$W$ をその方向の空間とする。$g\colon C\to\mathbb{R}^m$ が $E$ の中の $C$ のある開近傍の上の $C^1$ 級写像の制限であり、線形写像 $A\colon W\to\mathbb{R}^m$ と $0\le\varepsilon<\mu$ について、$\lvert Au\rvert\ge\mu\lvert u\rvert$（$u\in W$）かつ $\|Dg(x)-A\|\le\varepsilon$（$x\in C$）とする。このとき
$$
\lvert g(x)-g(y)\rvert\ge(\mu-\varepsilon)\lvert x-y\rvert\qquad(x,y\in C)
$$
であり、とくに $g$ は単射で、各 $Dg(x)$ も単射である。
$g(x)-g(y)=\int_0^1Dg(y+s(x-y))(x-y)\,ds=A(x-y)+\int_0^1\bigl(Dg(y+s(x-y))-A\bigr)(x-y)\,ds$ なので、$\lvert g(x)-g(y)\rvert\ge\mu\lvert x-y\rvert-\varepsilon\lvert x-y\rvert$ である。微分についても $\lvert Dg(x)u\rvert\ge\lvert Au\rvert-\varepsilon\lvert u\rvert$ である。$\square$
2 つの補題を合わせると、次のことがわかる：$f$ が $\sigma$ の上ではめ込みで、$\mu:=\min_{\lvert u\rvert=1}\lvert Df(x_0)u\rvert$（$x_0\in\sigma$）について $(1+\kappa(\sigma))\,\omega(\sigma)<\mu$ なら、$0\le t\le1$ のすべての $f_t:=(1-t)f+tL_\sigma f$ は $\sigma$ の上で単射なはめ込みであり、とくに $L_\sigma f$ は $\sigma$ を単体の上へアフィン同型に写す。実際 $\|Df_t(x)-Df(x_0)\|\le\|Df(x)-Df(x_0)\|+t\|D(L_\sigma f)-Df(x)\|\le(1+\kappa(\sigma))\omega(\sigma)$ なので、lem-wht-lower-bound を $A=Df(x_0)$ で使えばよい。この条件を満たす単体の上では、$C^1$ 級のはめ込みを secant 写像へ直線的に変形しても、ずっと埋め込みのままである。
形のそろった細かい三角形分割
$a\in\mathbb{Z}^n$ と $\{1,\dots,n\}$ の置換 $\pi$ について
$$
\sigma(a,\pi):=\bigl\{x\in\mathbb{R}^n\ \bigm|\ 1\ge x_{\pi(1)}-a_{\pi(1)}\ge x_{\pi(2)}-a_{\pi(2)}\ge\dots\ge x_{\pi(n)}-a_{\pi(n)}\ge0\bigr\}
$$
とおく。$\sigma(a,\pi)$ は $n$ 単体であり、それらとその面の全体 $F_n$ は $|F_n|=\mathbb{R}^n$ となる局所有限な単体複体である。$F_n$ の単体は、有限個の単体を平行移動と座標の置換で写したものなので、$F_n$ とその相似拡大 $\varepsilon F_n$（$\varepsilon>0$）の単体の形の定数は、$n$ だけで決まる定数 $\kappa_n$ 以下である。
要点：$\sigma(a,\pi)$ は、アフィン関数 $x_i-k$、$x_i-x_j-k$（$k\in\mathbb{Z}$）の零点集合（超平面）の配置で切り分けた領域の閉包であり、2 つの領域の閉包の共通部分は、両者で符号の食い違う関数を $0$ とおいた共通の面になる。
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段 1（単体であること）．$y:=x-a$、$w_0:=0$、$w_i:=e_{\pi(1)}+\dots+e_{\pi(i)}$（$e_j$ は標準基底）とおく。$z_0:=1-y_{\pi(1)}$、$z_i:=y_{\pi(i)}-y_{\pi(i+1)}$（$1\le i< n$）、$z_n:=y_{\pi(n)}$ は $\sum_iz_i=1$ を満たし、$y=\sum_iz_iw_i$ である。$w_1-w_0,\dots,w_n-w_0$ は線形独立なので、$z_i$ は $a+w_0,\dots,a+w_n$ に関する重心座標であり、$\sigma(a,\pi)=\{z_i\ge0\}$ はこれらを頂点とする $n$ 単体である。$\sigma(0,\pi)$ は $\sigma(0,\mathrm{id})$ を座標の置換で写したもので、$\sigma(a,\pi)$ はその平行移動である。
段 2（符号）．$\Phi$ を関数 $x_i-k$、$x_i-x_j-k$（$i\ne j$、$k\in\mathbb{Z}$）の全体とする。$\sigma=\sigma(a,\pi)$ を定める関数 $z_0,\dots,z_n$ は、いずれも $\Phi$ の元かその $-1$ 倍である。$\sigma$ の内部（すべての $z_i>0$）では $0< y_i<1$ で $y_i$ は互いに異なるので、$x_i\notin\mathbb{Z}$、$x_i-x_j=(a_i-a_j)+(y_i-y_j)\notin\mathbb{Z}$ であり、どの $\varphi\in\Phi$ も内部で $0$ にならない。内部は連結なので、各 $\varphi$ は内部で一定の符号 $s_\sigma(\varphi)\in\{\pm1\}$ をもち、閉包 $\sigma$ の上では $\operatorname{sgn}\varphi\in\{0,s_\sigma(\varphi)\}$ である。逆に、すべての $\varphi\in\Phi$ で $\operatorname{sgn}\varphi(x)\in\{0,s_\sigma(\varphi)\}$ なら、とくに $z_i(x)\ge0$ なので $x\in\sigma$ である。
段 3（共通部分は共通の面）．2 つの単体 $\sigma$、$\sigma'$ について、$D:=\{\varphi\in\Phi\mid s_\sigma(\varphi)\ne s_{\sigma'}(\varphi)\}$ とおくと、段 2 により $\sigma\cap\sigma'=\{x\in\sigma\mid\varphi(x)=0\ (\varphi\in D)\}$ である。$\sigma$ の上で $0$ にならない $\varphi\in D$ があれば共通部分は空である。そうでなければ $D$ は $\sigma$ と交わる零点集合をもつ関数からなり、$\sigma$ は有界なのでそれは有限個である。$\psi:=\sum_{\varphi\in D}s_\sigma(\varphi)\varphi$ は $\sigma$ の上で $0$ 以上のアフィン関数で、$\sigma\cap\sigma'=\sigma\cap\{\psi=0\}$ である。$0$ 以上のアフィン関数の零点と単体の共通部分は、$\psi$ が $0$ になる頂点の張る面である（重心座標で書けば $\psi=\sum_iz_i\psi(v_i)$）。同じ集合が $\sigma'$ の面でもある。面どうしの共通部分も、$\sigma\cap\sigma'$ と面の共通部分として共通の面になる。
段 4（覆うことと局所有限性）．$x\in\mathbb{R}^n$ について $a_i:=\lfloor x_i\rfloor$ とし、$x_i-a_i\in[0,1)$ を大きい順に並べる置換を $\pi$ とすれば $x\in\sigma(a,\pi)$ である。有界集合と交わる $\sigma(a,\pi)$ は、$a$ が有限個に限られるので有限個である。形の定数は平行移動・座標の置換（直交変換）・相似拡大で変わらないので、$F_n$ と $\varepsilon F_n$ の単体の形の定数は、$\sigma(0,\mathrm{id})$ の面（有限個）の形の定数の最大値 $\kappa_n$ 以下である。$\square$
各単位立方体 $a+[0,1]^n$ は $n!$ 個の単体 $\sigma(a,\pi)$ の和である。したがって、辺の長さが $\varepsilon$ の整数倍の立方体 $Q$ は $\varepsilon F_n$ の平行移動のいくつかの単体の和で、それらの単体の全体は $|\cdot|=Q$ となる部分複体である。
$V\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、$f\colon V\to\mathbb{R}^m$ を $C^1$ 級の埋め込み（単射で、各点で微分が単射）、$Q\subset V$ を辺の長さ $\ell$ の立方体とする。正の整数 $N$ について、$\varepsilon:=\ell/N$ とし、$Q$ に含まれる $\varepsilon F_n$ の平行移動の単体の全体を $K_N$（$|K_N|=Q$）、$g_N:=L_{K_N}f$ とする。$N$ が十分大きければ、$g_N\colon Q\to\mathbb{R}^m$ は単射な PL 写像であり、$\max_Q\lvert g_N-f\rvert\to0$（$N\to\infty$）である。とくに $\{g_N(\sigma)\mid\sigma\in K_N\}$ は $\mathbb{R}^m$ の単体複体で、その多面体 $g_N(Q)$ は $Q$ と PL 同相である。
記号を用意する。$\mu:=\min\{\lvert Df(x)u\rvert\mid x\in Q,\ \lvert u\rvert=1\}>0$（連続関数のコンパクト集合上の最小値）、$\omega(r):=\max\{\|Df(x)-Df(y)\|\mid x,y\in Q,\ \lvert x-y\rvert\le r\}$ とおく。$Df$ は $Q$ の上で一様連続なので $\omega(r)\to0$（$r\to0$）である。$K_N$ の単体の直径は $\varepsilon\sqrt n$ 以下で、形の定数は $\kappa_n$ 以下である。
段 1（$f$ の下からの評価）．ある $c>0$ で $\lvert f(x)-f(y)\rvert\ge c\lvert x-y\rvert$（$x,y\in Q$）となる。
詳細
そうでなければ $x_k,y_k\in Q$、$x_k\ne y_k$ で $\lvert f(x_k)-f(y_k)\rvert<\lvert x_k-y_k\rvert/k$ となるものがあり、部分列をとって $x_k\to x$、$y_k\to y$ としてよい。$x\ne y$ なら極限で $f(x)=f(y)$ となり単射性に反する。$x=y$ なら、$x$ を中心とする凸な近傍 $B\subset V$ で $\|Df-Df(x)\|\le\mu_x/2$（$\mu_x:=\min_{\lvert u\rvert=1}\lvert Df(x)u\rvert>0$）となるものをとると、lem-wht-lower-bound により十分大きい $k$ で $\lvert f(x_k)-f(y_k)\rvert\ge(\mu_x/2)\lvert x_k-y_k\rvert$ となり、やはり矛盾する。
段 2（近い点）．$r_0>0$ を $\omega(r_0)\le\mu/4$ となるように、$N$ を $\kappa_n\,\omega(\varepsilon\sqrt n)\le\mu/4$ となるようにとる。$x,y\in Q$、$0<\lvert x-y\rvert\le r_0$ とする。$Q$ は凸なので線分 $[x,y]\subset Q$ である。線分と $K_N$ の各単体の共通部分は閉区間（空でもよい）で、線分と交わる単体は有限個なので、それらの区間の端点を並べて $x=p_0,p_1,\dots,p_L=y$ と分ければ、各 $[p_{l-1},p_l]$ は $K_N$ のある単体 $\sigma_l$ に含まれる（多様体の構造の階層の命題「PL 構造は LIP 構造を定める」の証明と同じ議論）。$\sigma_l$ の上で $g_N$ はアフィンなので
$$ g_N(y)-g_N(x)=\sum_lD(L_{\sigma_l}f)(p_l-p_{l-1})=Df(x)(y-x)+\sum_lE_l(p_l-p_{l-1}),\qquad E_l:=D(L_{\sigma_l}f)-Df(x) $$
である。$q_l:=p_l\in\sigma_l$ とすると、lem-wht-secant により $\|E_l\|\le\|D(L_{\sigma_l}f)-Df(q_l)\|+\|Df(q_l)-Df(x)\|\le\kappa_n\,\omega(\varepsilon\sqrt n)+\omega(r_0)\le\mu/2$ なので、$\lvert g_N(y)-g_N(x)\rvert\ge(\mu-\mu/2)\lvert y-x\rvert>0$ である。
段 3（遠い点）．lem-wht-secant の第 2 の不等式により $\max_Q\lvert g_N-f\rvert\le\kappa_n\,\omega(\varepsilon\sqrt n)\,\varepsilon\sqrt n$ で、これは $N\to\infty$ で $0$ に近づく。$N$ をさらに大きくとり、これが $cr_0/3$ より小さいとする。$\lvert x-y\rvert>r_0$ なら、段 1 により $\lvert g_N(x)-g_N(y)\rvert\ge\lvert f(x)-f(y)\rvert-2\max_Q\lvert g_N-f\rvert>cr_0-2cr_0/3>0$ である。
以上で $g_N$ は単射である。$g_N$ は各単体の上でアフィンかつ単射なので、PL多様体の補題「リンクの PL 不変性」の証明の段 2 と同じく、$\{g_N(\sigma)\}$ は単体複体で、$g_N$ はその多面体への PL 同相写像である（PL多様体の命題「PL 写像と PL 同相写像の基本性質」の (iv)）。$\square$
段 2 で $\|E_l\|\le\mu/2$ としたことにより、$g_N$ の各単体の上の微分も $Df$ に近く、$(1-t)f+tg_N$（$0\le t\le1$）も同じ議論で単射になる。こうして、$C^1$ 級の埋め込みは、細かい三角形分割に沿った PL 埋め込みで $C^1$ の意味でも近似され、その間を埋め込みのまま直線で結べる。これがこの記事で証明する局所的な段である。thm-wht-main を得るには、さらに多様体全体で近似を整合させることと、近似の像を多様体へ戻す同相写像を作ることが要り、それは上に述べたとおりこの記事では扱わない。
例と反例
$f(x,y):=(x,y,x^2)$（$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$ の滑らかな埋め込み）と、頂点 $(-s,0)$、$(s,0)$、$(0,s^2)$ の三角形 $\sigma_s$（$0< s<1$）を考える。secant 写像の第 3 成分は、頂点で値 $s^2$、$s^2$、$0$ をとるアフィン関数 $s^2-y$ なので、その $y$ 方向の偏微分は $-1$ であり、$f$ の第 3 成分 $x^2$ の $y$ 方向の偏微分 $0$ との差は $s$ によらず $1$ である。一方 $\operatorname{diam}\sigma_s\to0$、$\omega(\sigma_s)\le4s\to0$ である。lem-wht-secant と比べると $\kappa(\sigma_s)\ge1/(4s)\to\infty$ でなければならず、実際 $u=(0,1)=-\frac{1}{2s^2}(2s,0)+\frac{1}{s^2}(s,s^2)$ から $\kappa(\sigma_s)\ge\frac1s$ である。満たす性質は「単体が小さい」、満たさない性質は「形の定数が有界」で、成り立たなくなるのは「secant 写像の微分が $Df$ に近い」である。
$f(t):=t(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$（$1/2< t<4$）は平面への $C^1$ 級の埋め込みである（$\lvert f(t)\rvert=t$ なので単射、$f'(t)$ の動径方向の成分は $1$ なので $f'(t)\ne0$）。区間 $[1,3]$ を頂点 $1,\frac32,\frac52,3$ で分けた単体複体 $K$ について、$f(1)=(1,0)$、$f(\frac32)=(-\frac32,0)$、$f(\frac52)=(-\frac52,0)$、$f(3)=(3,0)$ なので、secant 写像 $L_Kf$ は辺 $[1,\frac32]$ を線分 $[(1,0),(-\frac32,0)]$ に、辺 $[\frac52,3]$ を線分 $[(-\frac52,0),(3,0)]$ に写し、どちらも原点を通る。よって $L_Kf$ は単射でない。満たす性質は「$f$ は $C^1$ 級の埋め込み」、満たさない性質は「単体が十分小さい」で、thm-wht-secant-embedding の結論が崩れる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 各単体の上で微分が単射 | $h(t)=t^3$ と整数点の三角形分割（ex-wht-piecewise） | $C^1$ 三角形分割であること |
| 各単体の上で $C^1$ 級（位相的な三角形分割だけ） | Poincaré ホモロジー球面の二重懸垂による $S^5$ の三角形分割 | 単体複体が組合せ多様体（thm-wht-main の (ii)） |
| 微分同相（同相だけ） | Siebenmann の $5$ 次元の例 | Whitehead PL 構造が PL 同相 |
| 単体が十分小さい | 螺旋の粗い分割（ex-wht-spiral） | secant 写像が単射 |
| 形の定数が有界 | 平たい三角形（ex-wht-thin） | secant 写像の微分が $Df$ に近い |
2 行目：二重懸垂による三角形分割は組合せ的でない（三角形分割可能な多様体の系「5 次元球面の組合せ的でない三角形分割」）ので、thm-wht-main の (ii) により、その同相写像 $|K|\to S^5$ はどう選んでも $C^1$ 三角形分割にならない。3 行目は Kos93 Ch. II §6（p. 40）による。1・4・5 行目はこの記事で確かめた。
補足
Cairns–Whitehead の定理は、滑らかな構造から PL 構造への写像を与える。この写像は全射でも単射でもない：滑らかな構造をもたない PL 多様体があり（Kervaire、Kos93 Ch. II §6、p. 40）、Milnor の異種 $7$ 次元球面は標準的な $S^7$ と PL 同相だが微分同相でない（Rud01 Example 3.13、pp. 34–35。異種球面、Kervaire多様体）。PL 多様体がいつ滑らかな構造をもち、それがいくつあるかを調べるのが平滑化理論で、$7$ 次元以下の PL 多様体は滑らかな構造をもち、$6$ 次元以下ではそれは一意である（Rud01 Remark 6.7、p. 41。平滑化理論）。$C^r$ 構造（$r\ge1$）については、$C^\infty$ 構造への平滑化が一意にできるので（C^r構造の平滑化）、$C^1$ 多様体にも Whitehead PL 構造が一意に定まる。
関連項目
- 前提: 可微分多様体, 単体複体, PL多様体
- 比較: 三角形分割可能な多様体, C^r構造の平滑化
- 直後に読む: 多様体の構造の階層, 異種球面
- 発展: 平滑化理論, Kervaire多様体, Whitneyの埋め込み定理
参考文献
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