Krein–Šmulianの定理

有限集合 $F_1,F_2,\dots\subset X$ を、$F_k\subset\frac1kB_X$ であって、すべての $n\ge0$ について
$$ (R_n)\qquad C\cap(n+1)B^*\cap P(F_1\cup\dots\cup F_n)=\emptyset $$
となるように帰納的に選ぶ。$(R_0)$ は仮定 $C\cap B^*=\emptyset$ そのものである。
$n\ge1$ とし、$F_1,\dots,F_{n-1}$ が $(R_{n-1})$ を満たすように選ばれているとする。$G=F_1\cup\dots\cup F_{n-1}$ とおき、有限集合 $F\subset\frac1nB_X$ に対して
$$ K_F=C\cap(n+1)B^*\cap P(G)\cap P(F) $$
とおく。どの $F$ についても $K_F\ne\emptyset$ であると仮定して矛盾を導く。$K_F$ は弱スターコンパクトな $C\cap(n+1)B^*$ の弱スター閉部分集合であり、$K_F\cap K_{F'}\supset K_{F\cup F'}\ne\emptyset$ だから、族 $\{K_F\}$ は有限交叉性をもつ。コンパクト性により、すべての $K_F$ に属する $\varphi$ がある。$\varphi\in C\cap(n+1)B^*\cap P(G)$ であり、さらに一点集合 $F=\{x\}$ を考えると、$\|x\|\le1/n$ を満たすすべての $x$ で $\varphi(x)\le1$ である。$-x$ にも使えば $|\varphi(x)|\le1$ なので、
$$ \|\varphi\|=n\sup_{\|x\|\le1/n}|\varphi(x)|\le n $$
となる。すると $\varphi\in C\cap nB^*\cap P(G)$ となり、$(R_{n-1})$ に反する。したがってある有限集合 $F_n\subset\frac1nB_X$ で $K_{F_n}=\emptyset$ となり、これが $(R_n)$ である。
こうして得た有限集合 $F_1,F_2,\dots$ の元を、$F_1$ の元、$F_2$ の元、…の順に並べて点列 $(x_j)$ とする（元が有限個しかなければ、後に $0$ を並べる）。各 $k$ について、$F_1\cup\dots\cup F_k$ の元は有限個なので、十分先の $x_j$ は $m>k$ の $F_m$ の元か $0$ であり、$\|x_j\|\le1/k$ となる。よって $\|x_j\|\to0$ である。$\varphi\in C$ を取り、$\|\varphi\|\le n+1$ となる $n$ を選ぶと、$(R_n)$ により $\varphi\notin P(F_1\cup\dots\cup F_n)$ である。すなわち、ある $x_j$ で $\varphi(x_j)>1$ となる。

lem-ks-sequence の点列 $(x_j)$ を取り、$M=\sup_j\|x_j\|$ とおく。$\varphi\in X^*$ に対し $T\varphi=(\varphi(x_j))_{j\ge1}$ とおく。$|\varphi(x_j)|\le\|\varphi\|\,\|x_j\|\to0$ なので $T\varphi\in c_0$ であり、$T\colon X^*\to c_0$ は線形で $\|T\varphi\|_\infty\le M\|\varphi\|$ を満たす。
$U=\{u\in c_0:\|u\|_\infty<1\}$ は開凸集合で、$T(C)$ は空でない凸集合である。$\varphi\in C$ なら $\sup_j\varphi(x_j)>1$ なので $\|T\varphi\|_\infty>1$ であり、$U\cap T(C)=\emptyset$ である。Hahn–Banachの定理 の定理「Hahn–Banachの定理（第一幾何形）」により、$0$ でない連続線形汎関数 $\ell$ と実数 $\alpha$ で、$\ell(u)<\alpha\le\ell(T\varphi)$（$u\in U$、$\varphi\in C$）となるものがある。ℓp空間 の定理「$\ell^p$ と $c_0$ の双対」により、$\ell(u)=\sum_ja_ju_j$ となる $a\in\ell^1$ があり、$\|a\|_1=\|\ell\|>0$ である。$\sup_{u\in U}\ell(u)=\|\ell\|$ なので $\alpha\ge\|a\|_1$ である。
$\sum_j|a_j|\,\|x_j\|\le M\|a\|_1<\infty$ であり、$X$ は完備なので、級数 $y=\sum_ja_jx_j$ は $X$ で収束する。$\varphi\in X^*$ は連続なので $\varphi(y)=\sum_ja_j\varphi(x_j)=\ell(T\varphi)$ である。よって $\varphi\in C$ なら $\varphi(y)\ge\alpha\ge\|a\|_1$ であり、$x=y/\|a\|_1$ が求める元である。

$C=\emptyset$ なら明らかなので、$C\ne\emptyset$ とする。$\psi\in X^*\setminus C$ を取り、$\psi$ の弱スター近傍で $C$ と交わらないものを作る。
$D=C-\psi=\{\varphi-\psi:\varphi\in C\}$ とおく。$D$ は空でない凸集合で $0\notin D$ である。$r\ge0$ に対し、整数 $N\ge r+\|\psi\|$ を取ると、$\varphi\in C$ かつ $\|\varphi-\psi\|\le r$ なら $\|\varphi\|\le N$ だから
$$ D\cap rB^*=\bigl((C\cap NB^*)\cap(\psi+rB^*)\bigr)-\psi $$
である。平行移動 $\varphi\mapsto\varphi+\psi$ は弱スター位相についての同相写像なので、$D\cap rB^*$ は弱スター閉であり、$rB^*$ の閉部分集合として弱スターコンパクトである。
$d=\inf\{\|\theta\|:\theta\in D\}>0$ を示す。$d=0$ なら、各 $k$ で $D\cap\frac1kB^*$ は空でない弱スターコンパクト集合で、$k$ について減少する。有限交叉性によりそれらの共通部分は空でなく、その元 $\theta$ は $\|\theta\|=0$、すなわち $0\in D$ となって矛盾する。
$E=\frac2dD$ とおく。$E$ は凸で、$\theta\in E$ なら $\|\theta\|\ge2$ なので $E\cap B^*=\emptyset$ である。また $E\cap nB^*=\frac2d\bigl(D\cap\frac{nd}2B^*\bigr)$ はスカラー倍（弱スター位相についての同相写像）による弱スター閉集合の像なので弱スター閉である。lem-ks-c0 を $E$ に使うと、$x\in X$ で、すべての $\theta\in E$ について $\theta(x)\ge1$ となるものがある。$\theta=\frac2d(\varphi-\psi)$（$\varphi\in C$）と書けば、
$$ \varphi(x)\ge\psi(x)+\frac d2\qquad(\varphi\in C) $$
である。したがって $O=\{\varphi\in X^*:\varphi(x)<\psi(x)+d/2\}$ は $\psi$ を含む弱スター開集合で、$C$ と交わらない。$\psi\in X^*\setminus C$ は任意だったので、$X^*\setminus C$ は弱スター開であり、$C$ は弱スター閉である。

必要性は定理の後で述べたとおりである。十分性：$M$ は部分空間なので $M\cap nB^*=n(M\cap B^*)$ であり、スカラー倍 $\varphi\mapsto n\varphi$ は弱スター位相についての同相写像だから、$M\cap nB^*$ は弱スター閉である。$M$ は凸なので thm-ks が使える。

必要性は、弱スター収束する点列の極限が閉包に属することから従う。十分性を示す。$n$ を正の整数とする。$X$ は可分なので、$nB^*$ の上の弱スター位相はある距離 $d$ で定まる（弱スター位相 の命題「可分な空間の双対閉球」）。$\varphi\in nB^*$ が $nB^*$ の中で $C\cap nB^*$ の閉包に属するとする。$d$ について $\varphi$ を中心とする半径 $1/k$ の球から $\varphi_k\in C\cap nB^*$ を選ぶと、$\varphi_k$ は $\varphi$ に弱スター収束するので、仮定により $\varphi\in C$ である。よって $C\cap nB^*$ は $nB^*$ の中で閉じており、$nB^*$ は弱スター閉なので $X^*$ の中でも弱スター閉である。thm-ks により $C$ は弱スター閉である。

1 ⇒ 2 は明らかである。2 ⇒ 1 を示す。$\Phi(\varphi)=n\Phi(\varphi/n)$ であり、$\varphi\mapsto\varphi/n$ は $nB^*$ から $B^*$ への弱スター位相についての同相写像なので、$\Phi$ の $nB^*$ への制限も連続である。よって $\ker\Phi\cap nB^*$ は $nB^*$ の中で閉じており、$nB^*$ が弱スター閉なので $X^*$ の中でも弱スター閉である。$\ker\Phi$ は部分空間なので、thm-ks により弱スター閉である。
$\Phi=0$ なら明らかなので、$\Phi(\psi)=1$ となる $\psi$ を取る。$\psi\notin\ker\Phi$ で $\ker\Phi$ は弱スター閉なので、有限個の $x_1,\dots,x_m\in X$ と $\varepsilon>0$ で、$V=\{\varphi:|\varphi(x_i)|<\varepsilon\ (i\le m)\}$ について $(\psi+V)\cap\ker\Phi=\emptyset$ となるものがある。$\varphi\in V$ なら $|\Phi(\varphi)|<1$ である。実際、$|\Phi(\varphi)|\ge1$ なら $\varphi'=-\varphi/\Phi(\varphi)$ も $V$ に属し、$\Phi(\psi+\varphi')=1-1=0$ となって矛盾する。$t>0$ について $tV$ の上で $|\Phi|< t$ なので、$\Phi$ は $0$ で弱スター連続であり、線形性から各点で連続である。
最後の主張は 弱スター位相 の命題「弱スター連続な線形汎関数」による。一意性は、$\varphi(x)=\varphi(x')$ がすべての $\varphi\in X^*$ で成り立てば $x=x'$ となること（連続双対空間 の定理「点でノルムを実現する汎関数」を $x-x'$ に使う）による。