トポス
概要
トポス（topos）とは、Grothendieck 位相を備えた圏（景）の上の層の全体がなす圏、およびそれと圏同値な圏のことである。位相空間上の層の圏から空間を忘れ、圏としての性質だけを残したもので、Giraud の公理（有限極限、互いに素で普遍的な余積、効果的な同値関係、小さい生成集合）で景を使わずに特徴づけられる。任意の小さい極限と余極限、指数対象、部分対象分類子をもち、集合の圏に似た圏として内部論理（直観主義論理）をもつ。トポスの射は逆像関手と順像関手の随伴対 $f^*\dashv f_*$ で $f^*$ が有限極限を保つものであり、点は集合の圏からの射である。集合の圏、位相空間の層の圏、$G$ 集合の圏、スキームのエタールトポス、無限小トポス・結晶トポスが代表例で、エタールコホモロジーや結晶コホモロジーはトポスのアーベル群対象のコホモロジーとして定義される。
前提知識: 圏, 関手, 随伴関手, 極限(圏論), 前層, 層, Grothendieck位相
定義
トポスは、位相空間の上の層の全体がなす圏から「空間」を忘れ、圏としての性質だけを取り出したものである。Grothendieck は Grothendieck位相 を備えた圏（景）の上の層の圏をトポスと呼び、位相空間ではなくトポスこそが「層コホモロジーを定義できる空間の概念」だと考えた。本記事では Grothendieck トポスを主題とし、Lawvere–Tierney による初等トポスは反例の節で区別のために触れる。
記事を単独で読めるように、景と景上の層の定義をここに述べる。詳しい説明と例は Grothendieck位相 にある。
$\mathcal C$ をファイバー積をもつ小さい圏とする。$\mathcal C$ 上の Grothendieck 位相（正確には前位相）とは、各対象 $U$ に対し $U$ を終域とする射の族 $\{U_i\to U\}_{i\in I}$ の集まり $\operatorname{Cov}(U)$（その元を $U$ の被覆という）を指定したもので、同型射からなる 1 元族は被覆、被覆の被覆は被覆、被覆の底変換 $\{U_i\times_UV\to V\}$ は被覆、の 3 条件を満たすものをいう。圏 $\mathcal C$ と Grothendieck 位相 $\tau$ の組 $(\mathcal C,\tau)$ を景（site）という。
景上の前層とは関手 $F\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ であり、射 $V\to U$ による $F(U)\to F(V)$ を $s\mapsto s|_V$ と書く。前層 $F$ が層であるとは、任意の被覆 $\{U_i\to U\}_{i\in I}$ について図式
$$
F(U)\longrightarrow\prod_{i\in I}F(U_i)\ \rightrightarrows\ \prod_{(i,j)\in I\times I}F(U_i\times_UU_j)
$$
が等化子であることをいう。左の射は $s\mapsto(s|_{U_i})_i$、右の 2 本の射は $(s_i)_i$ をそれぞれ $(s_i|_{U_i\times_UU_j})_{i,j}$、$(s_j|_{U_i\times_UU_j})_{i,j}$ に送る。前層の圏（関手圏 $\mathbf{Set}^{\mathcal C^{\mathrm{op}}}$）を $\widehat{\mathcal C}$、層のなす充満部分圏を $\operatorname{Sh}(\mathcal C,\tau)$ または $\widetilde{\mathcal C}$ と書く。
圏 $\mathcal E$ が Grothendieck トポス（Grothendieck topos）であるとは、ある小さい景 $(\mathcal C,\tau)$ が存在して $\mathcal E$ が層の圏 $\operatorname{Sh}(\mathcal C,\tau)$ と圏同値になることをいう。景 $(\mathcal C,\tau)$ を $\mathcal E$ の定義景といい、$\mathcal E$ を景 $\mathcal C$ のトポスともいう。トポスの対象を単に「層」と呼ぶことがある。
定義景は一意ではない。同じトポスが多くの景から作られること（比較補題）が、トポスを景より本質的な対象と見る理由である。景の条件「ファイバー積をもつ」は、篩（sieve）による定式化を使えば外せる（SGA4 II 1、MLM92 III.2）。本記事の結果はすべてその一般の場合にも成り立つ。
Grothendieck トポスを景を使わずに特徴づけるのが Giraud の定理である。教科書の範囲を超えるので言明にとどめる。
圏 $\mathcal E$ について、次は同値である。
- $\mathcal E$ は Grothendieck トポスである。
- $\mathcal E$ は次の 4 条件（Giraud の公理）を満たす。
- (a) $\mathcal E$ は有限極限(圏論)をもつ。
- (b) $\mathcal E$ は小さい余積(圏論)をもち、それは互いに素（相異なる成分の引き戻しは始対象）かつ普遍的（引き戻しで保たれる）である。
- (c) $\mathcal E$ の同値関係 $R\rightrightarrows X$ はすべて効果的（$R$ が商 $X\to X/R$ の核対 $X\times_{X/R}X$ に一致する）で、その商射は普遍的なエピ射である。
- (d) $\mathcal E$ は小さい生成集合をもつ。すなわち対象の集合 $\{G_\alpha\}$ で、相異なる射 $f,g\colon X\to Y$ に対しつねにある $u\colon G_\alpha\to X$ で $fu\ne gu$ となるものがある。
証明は SGA4 IV 1.2 および MLM92 Appendix に譲る。2 ⇒ 1 の証明の要点は、生成集合 $\{G_\alpha\}$ のなす充満部分圏 $\mathcal C$ に、$\mathcal E$ で合わせてエピ射になる族（jointly epimorphic な族）を被覆とする位相を入れ、$\mathcal E\to\operatorname{Sh}(\mathcal C)$、$X\mapsto\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(-,X)|_{\mathcal C}$ が圏同値になることを示す点にある。1 ⇒ 2 は、本記事の prop-topos-complete と、余積・同値関係の性質を前層の圏（すなわち $\mathbf{Set}$）から層化で移すことによる。条件 (d) は $\mathcal E$ が小さい景から得られることを保証する条件である。初等トポスは (b) の小さい余積をもつとは限らない（ex-topos-finset）。
Giraud の定理により、トポスは「集合の圏に似た圏」であることがわかる。集合の圏に似ていることを、極限・指数対象・部分対象分類子という 3 つの構造で公理化したのが初等トポスである。
圏 $\mathcal E$ が初等トポス（elementary topos）であるとは、次の 3 条件を満たすことをいう。
- $\mathcal E$ は有限極限をもつ。
- $\mathcal E$ は指数対象をもつ。すなわち任意の対象 $A,B$ に対し対象 $B^A$ と射 $\mathrm{ev}\colon B^A\times A\to B$ があって、任意の $X$ について $\operatorname{Hom}(X\times A,B)\to\operatorname{Hom}(X,B^A)$ が全単射になる（$\mathcal E$ は Cartesian 閉、Cartesian閉圏）。
- $\mathcal E$ は部分対象分類子をもつ。すなわち対象 $\Omega$ とモノ射 $\mathrm{true}\colon1\to\Omega$（$1$ は終対象）があって、任意の対象 $X$ とその部分対象 $S\rightarrowtail X$ に対し、$S$ が $\mathrm{true}$ の $\chi_S$ による引き戻しになるような射 $\chi_S\colon X\to\Omega$ がただ 1 つ存在する。
Grothendieck トポスは初等トポスである（prop-topos-complete・prop-topos-exponential・thm-topos-omega）。逆は成り立たない（ex-topos-finset）。
トポスの間の射は、位相空間の連続写像が層に引き起こす操作 $f^{-1}\dashv f_*$ を型にして定める。
トポス $\mathcal E,\mathcal E'$ の間の射（トポスの射、幾何学的射、geometric morphism）$f\colon\mathcal E\to\mathcal E'$ とは、関手の組 $f^*\colon\mathcal E'\to\mathcal E$、$f_*\colon\mathcal E\to\mathcal E'$ であって、$f^*$ が $f_*$ の左随伴（$f^*\dashv f_*$、随伴関手）であり、$f^*$ が有限極限を保つ（左完全、完全関手）ものをいう。$f^*$ を逆像関手、$f_*$ を順像関手という。$f^*$ を $f^{-1}$ と書く文献も多い。射の合成は $(g\circ f)^*=f^*\circ g^*$、$(g\circ f)_*=g_*\circ f_*$ で定める。
左随伴はつねに余極限(圏論)を保つので、$f^*$ は有限極限と任意の余極限を保つ。とくに $f^*$ は完全関手であり、これがコホモロジーの比較に効く（thm-topos-cohomology）。
トポス $\mathcal E$ の点（point）とは、集合の圏 $\mathbf{Set}$ からの幾何学的射 $x\colon\mathbf{Set}\to\mathcal E$ をいう。その逆像関手 $x^*\colon\mathcal E\to\mathbf{Set}$ を点 $x$ における茎（stalk）の関手またはファイバー関手といい、$F_x:=x^*F$ と書く。定義景 $(\mathcal C,\tau)$ で述べれば、$\mathcal E$ の点は、関手 $\mathcal C\to\mathbf{Set}$ で平坦（$\mathcal C$ が有限極限をもつときは、有限極限を保つことと同値）かつ被覆 $\{U_i\to U\}$ を全射族に写すもの（これを前層に左 Kan拡張し層に制限したものが $x^*$）と同じである（SGA4 IV 6.3、MLM92 VII.5）。
直感
位相空間 $X$ の層は「開集合ごとの情報を、重なりの上で貼り合わせる」ものであり、貼り合わせに使うのは開集合の包含関係と共通部分だけである。この骨組みだけを残したのが景であり、その上の層の全体がトポスである。位相空間 $X$ を、その開集合系ではなく層の圏 $\operatorname{Sh}(X)$ によって記述すると、点のない「空間」や、$X$ への射で「開集合」を置き換えた空間（エタール景・無限小景）を同じ言葉で扱える。
同時に、トポスは集合の圏 $\mathbf{Set}$ の一般化でもある。$\mathbf{Set}$ が 1 点の上の層の圏だからである。$\mathbf{Set}$ で行える構成のうち、極限・余極限・冪集合（部分対象分類子）・写像の集合（指数対象）で書けるものはどのトポスでも行える。ただし内部の論理は古典論理ではなく直観主義論理になり、排中律や選択公理は一般には成り立たない。この 2 つの顔、「一般化された空間」と「一般化された集合の宇宙」を、同じ公理が支えている。
例と反例
1 つの対象 $*$ と恒等射だけからなる圏 $\mathbf 1$ に、同型からなる 1 元族だけを被覆とする位相（自明な位相）を入れる。前層は集合 $F(*)$ にほかならず、被覆が同型だけなので任意の前層が層である。よって $\operatorname{Sh}(\mathbf 1)\simeq\mathbf{Set}$ であり、集合の圏は Grothendieck トポスである。$\mathbf{Set}$ の点は $\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$ の幾何学的射で、恒等関手を逆像とするものと同型なものしかない。
一般に、小さい圏 $\mathcal C$ に自明な位相を入れると、すべての前層が層になり、前層の圏 $\widehat{\mathcal C}=\mathbf{Set}^{\mathcal C^{\mathrm{op}}}$ が Grothendieck トポスになる。これを前層トポスという。
位相空間 $X$ の開集合を対象、包含を射とする圏 $\operatorname{Op}(X)$ に、$\bigcup_iU_i=U$ となる族 $\{U_i\subset U\}$ を被覆とする位相を入れる。ファイバー積は共通部分 $U\cap V$ である。この景上の層は $X$ 上の通常の層であり、そのトポスを $\operatorname{Sh}(X)$ と書く。$X$ の各点 $x$ は $\operatorname{Sh}(X)$ の点を与える（prop-topos-continuous-map を 1 点空間からの連続写像 $\{x\}\to X$ に適用する）。その茎の関手は通常の茎 $F_x=\varinjlim_{U\ni x}F(U)$ である（帰納極限）。
$X$ が sober（既約閉集合がすべてただ 1 つの生成点をもつ。Hausdorff空間とスキームの底空間はそうである）なら、$\operatorname{Sh}(X)$ の点の同型類は $X$ の点と 1 対 1 に対応し、さらに位相空間 $X$ 自身が $\operatorname{Sh}(X)$ から復元される（MLM92 IX.2–IX.3）。
2 点集合 $X=\{a,b\}$ に密着位相（開集合は $\emptyset$ と $X$ のみ）を入れる。層 $F$ は $F(X)$ と $F(\emptyset)$ で決まり、$\emptyset$ は空な族で被覆されるので $F(\emptyset)$ は 1 点集合である。よって $F\mapsto F(X)$ は圏同値 $\operatorname{Sh}(X)\simeq\mathbf{Set}\simeq\operatorname{Sh}(\{\mathrm{pt}\})$ を与える。$X$ と 1 点空間は同相でないが、層のトポスは同値である。したがって「層のトポスが同値なら空間は同相」という含意は sober でない空間では破れる。$\operatorname{Sh}(X)$ の点は同型を除いてただ 1 つであり、$X$ の 2 点 $a,b$ は同じ点を与える。
群 $G$ に対し、対象が $*$ ただ 1 つで $\operatorname{Hom}(*,*)=G$（合成は群の積）である圏を $BG$ と書く。$BG$ 上の任意の Grothendieck 位相 $\tau$ について、次のいずれかが成り立つ。
- 空な族が $*$ の被覆でないとき、すべての前層が層であり、$\operatorname{Sh}(BG,\tau)=\widehat{BG}\simeq G\text{-}\mathbf{Set}$ である。
- 空な族が $*$ の被覆であるとき、層は終対象だけであり、$\operatorname{Sh}(BG,\tau)$ は 1 点集合と同値な圏である。
とくに $G\text{-}\mathbf{Set}$ は Grothendieck トポスである。
ファイバー積。$BG$ の射はすべて同型である。$g,h\in G$ に対し、$g\colon*\to*$ と $h\colon*\to*$ のファイバー積は、$*$ に射影 $p=g^{-1}h$、$q=1$ を付けたものである。実際 $gp=h=hq$ であり、$gx=hy$ を満たす任意の組 $x,y\in G$ に対し $u:=y$ とおけば $pu=g^{-1}hy=x$、$qu=y$ で、この $u$ は $q=1$ により一意である。したがって $BG$ はファイバー積をもち、景の定義の前提を満たす。
2 の場合。空な族が被覆なら、層の条件を空な族に適用すると、空な積は 1 点集合だから $F(*)$ は 1 点集合であり、層は終対象だけになる。
1 の場合。被覆はすべて空でない族 $\{g_i\colon*\to*\}_{i\in I}$ で、各 $g_i$ は同型である。任意の前層 $F$ がこの族について等化子の条件を満たすことを示す。$g_i$ と $g_j$ のファイバー積を上のように $*$、$p_{ij}=g_i^{-1}g_j$、$q_{ij}=1$ にとる（ファイバー積の取り替えは等化子の図式を同型な図式に替えるだけなので、条件はこの選び方によらない）。両立条件は $F(p_{ij})(s_i)=F(q_{ij})(s_j)=s_j$、すなわち $F(g_i^{-1}g_j)(s_i)=s_j$ である。両立する族 $(s_i)_i$ に対し、$i_0\in I$ を 1 つ固定して $s:=F(g_{i_0}^{-1})(s_{i_0})$ とおくと、$F$ が反変関手であることから
$$
F(g_i)(s)=F(g_i)\bigl(F(g_{i_0}^{-1})(s_{i_0})\bigr)=F(g_{i_0}^{-1}g_i)(s_{i_0})=s_i
$$
であり（最後の等号は $(i_0,i)$ についての両立条件）、$(s_i)$ は $s$ の像である。像であることの一意性は、各 $F(g_i)$ が全単射（$F(g_i^{-1})$ が逆写像）であることから従う。よって $F$ は層である。
前層と $G$ 集合の対応。前層 $F\colon BG^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ は集合 $S:=F(*)$ と、各 $g\in G$ に対する写像 $F(g)\colon S\to S$ で、$F(gh)=F(h)\circ F(g)$、$F(1)=\mathrm{id}$ を満たすものである。これは $S$ への右作用 $s\cdot g:=F(g)(s)$ にほかならない。左作用 $g\cdot s:=s\cdot g^{-1}$ とおけば $(gh)\cdot s=s\cdot h^{-1}g^{-1}=g\cdot(h\cdot s)$ で、右作用と左作用は 1 対 1 に対応する。前層の射 $\varphi\colon F\to F'$（自然変換）とは写像 $\varphi_*\colon S\to S'$ で $\varphi_*\circ F(g)=F'(g)\circ\varphi_*$、すなわち $\varphi_*(s\cdot g)=\varphi_*(s)\cdot g$ を満たすもの、つまり $G$ 同変写像である。逆に左 $G$ 集合 $S$ から $F(*)=S$、$F(g)(s)=g^{-1}\cdot s$ で前層が定まり、この 2 つの対応は互いに逆で、射についても互いに逆である。よって $\widehat{BG}\simeq G\text{-}\mathbf{Set}$（実際には圏の同型）である。
$G$ 集合の圏では、終対象は自明な作用をもつ 1 点集合であり、忘却関手 $S\mapsto S$ は極限と余極限をともに保つので点を与える（小さい余極限を保つ関手は右随伴をもつ）。この関手は、$G$ の左からの積による $G$ 集合 $G$ が表す関手 $\operatorname{Hom}_G(G,-)$ と同型である。同じトポスは（圏の大きさの問題を無視すれば）、$G\text{-}\mathbf{Set}$ 自身に全射族を被覆とする位相（標準位相）を入れた景、および推移的 $G$ 集合 $G/H$ のなす充満部分圏に誘導される位相を入れた景からも得られる（前者は SGA4 IV 1.2、後者はすべての $G$ 集合が軌道の直和であることと thm-topos-comparison による）。$G$ が副有限群のときは、連続な作用をもつ有限 $G$ 集合の圏と有限エタール被覆の関係が Galois圏 の主題である。
$X$ をスキームとし、$X$ 上エタール射であるスキーム $U\to X$ を対象、$X$ 上の射を射とする圏に、像の合併が全体になるエタール射の族を被覆とする位相を入れた景を $X$ の小エタール景 $X_{\mathrm{et}}$ という（Grothendieck位相）。そのトポス $\widetilde{X}_{\mathrm{et}}$ を $X$ のエタールトポスという。エタールトポスのアーベル群対象のコホモロジーがエタールコホモロジーである。
$X$ の幾何学的点 $\bar x\colon\operatorname{Spec}\Omega\to X$（$\Omega$ は分離閉体）はエタールトポスの点を与え、その茎 $F_{\bar x}=\varinjlim F(U)$（$U$ は $\bar x$ のエタール近傍を動く）は、構造層 $\mathcal O_X$ については $x$ での狭義Hensel局所環 $\mathcal O_{X,\bar x}^{\mathrm{sh}}$ になる（Milne80 II.2–3）。すべての幾何学的点の茎で同型性を判定できること（点の十分性）はエタールコホモロジーの基本的な道具である（thm-topos-enough-points）。同じスキームに Zariski位相・fppf位相を入れれば別のトポスが得られ、これらは互いに幾何学的射 $\widetilde X_{\mathrm{fppf}}\to\widetilde X_{\mathrm{et}}\to\widetilde X_{\mathrm{Zar}}$ で結ばれる。
$S$ をスキーム、$X$ を $S$ スキームとする。$X$ の開部分スキーム $U$ と、$U$ の $S$ 上の冪零はめ込み $U\hookrightarrow T$（$T$ は $S$ スキームで、$U$ は冪零イデアルで定まる閉部分スキーム）を対象とし、$U\subset U'$ と両立する $S$ 射 $T\to T'$ を射とする圏に、$T$ の Zariski 開被覆で生成する位相を入れたものを $X/S$ の無限小景 $\operatorname{Inf}(X/S)$、そのトポスを無限小トポス $(X/S)_{\inf}$ という。はめ込みのイデアルに冪零な divided power 構造（分割冪構造）を添えたものを対象にすると結晶景と結晶トポス $(X/S)_{\mathrm{cris}}$ になる（Gro68 §4・§7）。
この景には一般に終対象がない（$X$ 自身の冪零はめ込みの「最大のもの」はない）が、トポスには終対象（1 点集合の定数層）がつねにある。無限小トポスの層 $\mathcal F$ は、各対象 $(U\hookrightarrow T)$ 上の Zariski 層 $\mathcal F_{(U,T)}$ の族と、射 $g\colon(U\hookrightarrow T)\to(U'\hookrightarrow T')$ ごとの遷移写像 $g^{-1}\mathcal F_{(U',T')}\to\mathcal F_{(U,T)}$（開埋め込みでは同型、合成に関して推移的）の系と同じものである。$X/S$ が滑らか（滑らかな射）で $S$ が標数 $0$ のとき、無限小トポスの構造層のコホモロジーは de Rhamコホモロジー と一致する（Gro68 Theorem 4.1）。これが結晶コホモロジーの出発点である。
有限集合と写像の圏 $\mathbf{FinSet}$ は初等トポスである。実際、有限極限は $\mathbf{Set}$ での極限（有限集合の有限個の積・等化子は有限）、指数対象は写像の集合 $B^A$（有限）、部分対象分類子は $2=\{0,1\}$ と $\mathrm{true}=1$ であり、部分集合 $S\subset X$ はその特性関数 $\chi_S\colon X\to2$ でただ 1 通りに分類される。
しかし $\mathbf{FinSet}$ は Grothendieck トポスではない。Giraud の公理 (b) の小さい余積が存在しないからである。実際、1 点集合 $1$ の可算個の余積 $\coprod_{n\in\mathbb N}1$ が $\mathbf{FinSet}$ に存在したとして、それを $S$、入射を $i_n\colon1\to S$ とすると、余積の普遍性により
$$
\operatorname{Hom}(S,2)\cong\prod_{n\in\mathbb N}\operatorname{Hom}(1,2)=2^{\mathbb N}
$$
であるが、左辺は有限集合 $S$ からの写像の集合で有限、右辺は非可算であり矛盾する。したがって prop-topos-complete により $\mathbf{FinSet}$ はどの景の層の圏とも同値でない。この例は「初等トポスならば Grothendieck トポス」という含意を破る。破れる原因は Giraud の公理 (b)（小さい余積）だけであり、(a)・(c)・(d)（生成集合は $\{1\}$）は満たす。逆に Grothendieck トポスはつねに初等トポスである。
性質
極限と余極限
前層の圏 $\widehat{\mathcal C}$ の極限・余極限は対象ごと（$U$ ごと）に $\mathbf{Set}$ で計算される。層の圏へ移すのに使う道具が層化である。
景 $(\mathcal C,\tau)$ について、包含関手 $i\colon\operatorname{Sh}(\mathcal C,\tau)\to\widehat{\mathcal C}$ は左随伴 $a\colon\widehat{\mathcal C}\to\operatorname{Sh}(\mathcal C,\tau)$（層化、層化）をもち、$a$ は有限極限を保ち、$a\circ i\cong\mathrm{id}$ である。
証明は SGA4 II 3.4、MLM92 III.5、Stacks「Sites and Sheaves」の章に譲る。構成は、前層 $F$ に対し $F^+(U):=\varinjlim_{\{U_i\to U\}}\operatorname{eq}\bigl(\prod_iF(U_i)\rightrightarrows\prod_{i,j}F(U_i\times_UU_j)\bigr)$（被覆の細分について帰納極限）とおき、$a F:=(F^+)^+$ とするものである。$F^+$ はフィルター付き帰納極限と有限極限で書けており、$\mathbf{Set}$ でフィルター付き帰納極限は有限極限と交換するので $a$ は有限極限を保つ。
Grothendieck トポス $\mathcal E=\operatorname{Sh}(\mathcal C,\tau)$ は任意の小さい極限と小さい余極限をもつ。極限は前層の圏で（したがって各 $U$ ごとに $\mathbf{Set}$ で）計算したものがそのまま層になり、余極限は前層の圏で計算したものを層化したものである。とくに $\mathcal E$ は終対象（1 点集合の定数前層。これは層である）と始対象（空な前層の層化）をもつ。
$D\colon\mathcal J\to\mathcal E$ を小さい図式とし、前層の圏での極限 $L=\varprojlim_jD(j)$ をとる。$L(U)=\varprojlim_jD(j)(U)$ である。被覆 $\{U_i\to U\}$ に対し、図式
$$
L(U)\to\prod_iL(U_i)\rightrightarrows\prod_{i,j}L(U_i\times_UU_j)
$$
は、各 $D(j)$ についての等化子の図式の $j$ に関する極限である。$\mathbf{Set}$ で極限は極限と交換する（極限(圏論)）から、極限の等化子は等化子の極限であり、この図式は等化子である。よって $L$ は層であり、層の圏での極限になる（層の圏は充満部分圏なので、錐の普遍性は前層の圏でのものがそのまま使える）。
余極限については、前層の圏での余極限 $M=\varinjlim_jiD(j)$ をとり、$aM$ を考える。任意の層 $F$ に対し、随伴と $a\circ i\cong\mathrm{id}$ から
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(aM,F)\cong\operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal C}}(M,iF)\cong\varprojlim_j\operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal C}}(iD(j),iF)=\varprojlim_j\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(D(j),F)
$$
であり、これは $aM$ が $\mathcal E$ での余極限であることを意味する（余極限(圏論)）。定数前層 $U\mapsto\{*\}$ が層であることは、空でない積の等化子が 1 点集合であることと、空な族についての条件（空な積は 1 点集合）から従う。
前層トポス（自明な位相）では $a=\mathrm{id}$ なので余極限も対象ごとに計算される。一般には余極限は対象ごとには計算されない。たとえば $\operatorname{Sh}(X)$ でエピ射 $F\to G$ とは、各 $U$ で $F(U)\to G(U)$ が全射であることではなく、$G(U)$ の各元が局所的には $F$ の元の像になることである。
指数対象と部分対象分類子
小さい圏 $\mathcal C$ 上の前層 $F,G$ に対し、$h_U:=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,U)$ とおき
$$
G^F(U):=\operatorname{Hom}_{\widehat{\mathcal C}}(h_U\times F,\,G)
$$
と定めると（射 $V\to U$ による制限は $h_V\to h_U$ との合成）、$G^F$ は前層であり、任意の前層 $H$ について自然な全単射 $\operatorname{Hom}(H\times F,G)\cong\operatorname{Hom}(H,G^F)$ がある。すなわち前層トポスは Cartesian 閉である。$G$ が層なら $G^F$ も層であり、したがって Grothendieck トポスも Cartesian 閉である。
前層の場合を示す。米田の補題により $G^F(U)\cong\operatorname{Hom}(h_U,G^F)$ が成り立つべきなので、上の定義は指数対象がもし存在すればこの形しかないことを言っている。$\varphi\colon H\times F\to G$ が与えられたとき、$\tilde\varphi\colon H\to G^F$ を、$x\in H(U)$ に対し $\tilde\varphi_U(x)\colon h_U\times F\to G$、$(v\colon V\to U,\ s\in F(V))\mapsto\varphi_V(x|_V,s)$ で定める。これは $V$ について自然であり、$x$ の制限と両立する。逆に $\psi\colon H\to G^F$ に対し $\hat\psi\colon H\times F\to G$ を $\hat\psi_U(x,s):=\psi_U(x)(\mathrm{id}_U,s)$ で定める。$\hat{\tilde\varphi}_U(x,s)=\varphi_U(x,s)$ は明らかであり、$\tilde{\hat\psi}_U(x)(v,s)=\hat\psi_V(x|_V,s)=\psi_V(x|_V)(\mathrm{id}_V,s)=\psi_U(x)(v,s)$ は $\psi$ の自然性による。$\hat\psi$ が前層の射であることも、$\psi_U(x)$ の $V$ についての自然性と $\psi$ の自然性から同様に従う。よって 2 つの対応は互いに逆であり、$H$ について自然である。
層の場合の証明の筋は次のとおりである。$G$ が層で $\{U_i\to U\}$ が被覆のとき、$h_{U_i}$ の族から生成される部分前層 $R\subset h_U$（被覆篩）は $\coprod_{i,j}h_{U_i\times_UU_j}\rightrightarrows\coprod_ih_{U_i}$ の余等化子であり、$-\times F$ は対象ごとの計算なので余極限を保つ。ゆえに $G^F$ についての被覆の等化子条件は $\operatorname{Hom}(h_U\times F,G)\to\operatorname{Hom}(R\times F,G)$ が全単射であることと同値になる。$R\times F\subset h_U\times F$ は各切断が局所的に $R\times F$ に入る「稠密な」部分前層であり、層 $G$ への射は稠密な部分前層からの射に一意に延びる（MLM92 III.7）。詳細は MLM92 III.6–III.7 に譲る。
位相空間 $X$ に対し、前層 $\Omega$ を、$\Omega(U)$ は $U$ に含まれる $X$ の開集合 $V$ の全体、制限を $V\mapsto V\cap U'$（$U'\subset U$）で定め、$\mathrm{true}\colon1\to\Omega$ を $U\mapsto U$ で定める。このとき $\Omega$ は層であり、$(\Omega,\mathrm{true})$ は $\operatorname{Sh}(X)$ の部分対象分類子である。
$\Omega$ が層であること。$\{U_i\}$ を $U$ の開被覆とする。$V,V'\in\Omega(U)$ が各 $i$ で $V\cap U_i=V'\cap U_i$ なら、和をとって $V=V\cap U=V'$ である。$V_i\in\Omega(U_i)$ が $V_i\cap U_j=V_j\cap U_i$ を満たすとき $V:=\bigcup_iV_i$ とおくと、$V_i\subset V\cap U_i$ であり、$V\cap U_i=\bigcup_j(V_j\cap U_i)=\bigcup_j(V_i\cap U_j)\subset V_i$ だから $V\cap U_i=V_i$ である。$\mathrm{true}$ は $U\cap U'=U'$ により自然変換である。
部分対象は部分層であること。prop-topos-complete により $\operatorname{Sh}(X)$ の極限は各 $U$ ごとに計算されるので、射 $S\to F$ がモノ射であること（$S\to S\times_FS$ が同型）は各 $S(U)\to F(U)$ が単射であることと同値である。ゆえに $F$ の部分対象は、各 $U$ で $S(U)\subset F(U)$ であって制限で閉じ、それ自身層であるもの（部分層）と同一視できる。
分類射の構成。部分層 $S\subset F$ と $s\in F(U)$ に対し、$s|_V\in S(V)$ となる開集合 $V\subset U$ の全体を $\mathcal V_s$ とおく。$\mathcal V_s$ は有限個の共通部分と任意の和で閉じる。実際、$V_\alpha\in\mathcal V_s$ なら、$s|_{V_\alpha}\in S(V_\alpha)$ は共通部分の上で一致するので $S$ が層であることから $t\in S(\bigcup V_\alpha)$ に貼り合い、$F$ が層（とくに分離的）だから $t=s|_{\bigcup V_\alpha}$、すなわち $\bigcup V_\alpha\in\mathcal V_s$ である。そこで $\chi_S(s):=\bigcup\mathcal V_s\in\Omega(U)$ とおく。これは $s|_V\in S(V)$ となる最大の $V$ である。$U'\subset U$ に対し $\chi_S(s|_{U'})=\chi_S(s)\cap U'$ が成り立つ。$\supset$ は $s|_{\chi_S(s)\cap U'}\in S(\chi_S(s)\cap U')$ から、$\subset$ は $V\subset U'$、$s|_V\in S(V)$ なら $V\subset\chi_S(s)$ からわかる。よって $\chi_S\colon F\to\Omega$ は層の射である。
引き戻し。$\mathrm{true}$ の $\chi_S$ による引き戻しは、各 $U$ で $\{s\in F(U)\mid\chi_S(s)=U\}=\{s\mid s|_U\in S(U)\}=S(U)$ である。
一意性。$\chi\colon F\to\Omega$ が $\mathrm{true}$ の引き戻しとして $S$ を与えるとする。$s\in F(U)$、$V:=\chi(s)$ とおくと、自然性から $\chi(s|_V)=V\cap V=V$ なので $s|_V\in S(V)$、ゆえに $V\subset\chi_S(s)$。逆に $W:=\chi_S(s)$ とすると $s|_W\in S(W)$ だから $\chi(s|_W)=W$、自然性から $\chi(s)\cap W=W$、すなわち $W\subset\chi(s)$。よって $\chi=\chi_S$ である。
$\Omega(X)=\operatorname{Sub}(1)$ は $X$ の開集合系そのものであり、開集合系はHeyting代数をなす（開集合）。一般のトポスでも $\Omega$ は内部 Heyting 代数であり、各対象の部分対象の全体は Heyting 代数になる。これがトポスの内部論理が直観主義的である理由である。
任意の Grothendieck トポス $\operatorname{Sh}(\mathcal C,\tau)$ は部分対象分類子をもつ。$\Omega(U)$ は $U$ 上の閉じた篩（$V\to U$ で「その引き戻しが被覆篩になる」ものをすべて含む篩）の全体であり、$\mathrm{true}_U$ は最大の篩 $h_U$ である。
証明は MLM92 III.7、SGA4 IV 8 に譲る。$\operatorname{Op}(X)$ の場合、$U$ 上の篩は $U$ の開部分集合の下方閉な族で、閉じた篩は「その和集合 $V$ の開部分集合すべて」の形のものだから、$V$ と同一視して prop-topos-space-omega の $\Omega$ に戻る。prop-topos-complete・prop-topos-exponential・本定理により、Grothendieck トポスは初等トポスである。
トポスの射と点
$f\colon X\to Y$ を位相空間の連続写像とする。$X$ 上の層 $F$ に対し $(f_*F)(V):=F(f^{-1}(V))$ とおくと $f_*F$ は $Y$ 上の層であり、$f_*\colon\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)$ は有限極限を保つ左随伴 $f^*$ をもつ。すなわち $(f^*,f_*)$ は幾何学的射 $\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)$ である。$f^*G$ は前層 $U\mapsto\varinjlim_{V\supset f(U)}G(V)$ の層化である。
$f_*F$ が層であること。$V$ の開被覆 $\{V_i\}$ に対し $\{f^{-1}(V_i)\}$ は $f^{-1}(V)$ の開被覆であり、$f^{-1}(V_i\cap V_j)=f^{-1}(V_i)\cap f^{-1}(V_j)$ だから、$f_*F$ についての被覆 $\{V_i\}$ の等化子の図式は $F$ についての被覆 $\{f^{-1}(V_i)\}$ の図式そのものであり、等化子である。
前層の段階の随伴。$Y$ 上の前層 $G$ に対し $(f^pG)(U):=\varinjlim_{V\supset f(U)}G(V)$ とおく。$f(U)$ を含む開集合の全体は共通部分で閉じるので、逆包含についてこれは有向集合上の帰納極限（帰納極限）であり、$U'\subset U$ なら $f(U')\subset f(U)$ だから制限写像が定まり、$f^pG$ は前層である。前層の射 $\varphi\colon f^pG\to F$ を与えることは、$f(U)\subset V$ なる各組に写像 $\varphi_{U,V}\colon G(V)\to F(U)$ を、$U,V$ の制限と両立するように与えることである。$U=f^{-1}(V)$ の成分だけを取り出せば、$V$ について自然な写像 $G(V)\to F(f^{-1}(V))=(f_*F)(V)$、すなわち射 $G\to f_*F$ が得られ、逆に $\psi\colon G\to f_*F$ から $\varphi_{U,V}:=(\text{制限 }F(f^{-1}(V))\to F(U))\circ\psi_V$ で戻る。両立条件からこの 2 つは互いに逆であり、$\operatorname{Hom}_{\widehat{X}}(f^pG,F)\cong\operatorname{Hom}_{\widehat{Y}}(G,f_*F)$ が前層について成り立つ。
層への移行。$f^*:=a\circ f^p$ とおくと、層 $F$ に対し thm-topos-sheafification により
$$
\operatorname{Hom}_{\operatorname{Sh}(X)}(af^pG,F)\cong\operatorname{Hom}(f^pG,iF)\cong\operatorname{Hom}(G,f_*F)
$$
だから $f^*\dashv f_*$ である。$f^p$ は $\mathbf{Set}$ の有向帰納極限で書けており、有向帰納極限は有限極限と交換するから、$f^p$ は有限極限を保つ。$a$ も有限極限を保つので $f^*$ は有限極限を保つ。
$f^*G$ の茎は $(f^*G)_x=G_{f(x)}$ であり、$f$ が開埋め込みなら $f^*$ は制限 $G|_U$ である。景の間の関手についても同様である。$\mathcal C$ が有限極限をもち、$u\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が被覆を被覆に写し有限極限を保つ関手（景の射）なら、$u_*F:=F\circ u$ は層を層に写し、左随伴 $u^*$ をもち、$u^*$ は有限極限を保つ（SGA4 III 1、Stacks「Sites and Sheaves」の章。本記事では証明しない）。スキームの射 $f\colon X\to Y$ がエタールトポスの間に引き起こす射はこの型であり、Grothendieck位相 の記事で順像が層を層に写すことを示している。
$(\mathcal D,\tau)$ を景、$\mathcal C$ を小さい圏、$u\colon\mathcal C\to\mathcal D$ を充満忠実関手とし、$\mathcal C$ には、$u$ による像が $\tau$ の被覆篩を生成する篩を被覆篩とする位相（誘導位相。篩による位相であり、$\mathcal C$ がファイバー積をもつことは仮定しない）を入れる。$\mathcal D$ の任意の対象 $V$ が、$\mathcal C$ の対象の像 $u(U_i)$ からなる族 $\{u(U_i)\to V\}$ で被覆されるなら、制限関手 $F\mapsto F\circ u$ は圏同値 $\operatorname{Sh}(\mathcal D,\tau)\simeq\operatorname{Sh}(\mathcal C)$ を与える。
証明は SGA4 III 4.1、Stacks「Sites and Sheaves」の章の Comparison lemma に譲る。位相空間 $X$ の開基 $\mathcal B$ を対象とする景は $\operatorname{Op}(X)$ と同じトポスを与え（開基の元の上の層の貼り合わせで $X$ 上の層が決まる）、スキーム $X$ のアフィン開部分スキームだけからなる Zariski 景は $X_{\mathrm{Zar}}$ と同じトポスを与える。エタール景では、$X$ 上エタールなアフィンスキームだけを対象にしてよい。ex-topos-g-set の後で述べた推移的 $G$ 集合の景も同じ型である。トポスが景より本質的であるとは、この定理のように、景を取り替えても同じトポスが得られることを指す。
1 は SGA4 VI 9.0、MLM92 IX.11、2 は SGA4 VIII 7.9、Stacks「Étale Cohomology」の章（Points in general の節）、Milne80 II.2（幾何学的点の茎）に譲る。一方、点をまったくもたない Grothendieck トポスも存在する。たとえば原子をもたない完備 Boole代数（Lebesgue可測集合の零集合による商など）を開集合系とみなした locale 上の層のトポスがそうである（Joh02 C1.2、MLM92 IX.11）。したがって「すべての点で同型なら同型」という判定法は連接トポスの性質であり、トポス一般の性質ではない。
環付きトポスとコホモロジー
トポス $\mathcal E$ とその可換環対象 $\mathcal O$（定義景の各対象 $U$ で $\mathcal O(U)$ が可換環で、制限が環準同型）の組 $(\mathcal E,\mathcal O)$ を環付きトポス（ringed topos）という。$\mathcal O$ 加群とは、$\mathcal E$ のアーベル群対象 $\mathcal M$ に作用 $\mathcal O\times\mathcal M\to\mathcal M$ を与えたものである。環付きトポスの射 $(\mathcal E,\mathcal O)\to(\mathcal E',\mathcal O')$ とは、幾何学的射 $f$ と環の射 $f^\sharp\colon\mathcal O'\to f_*\mathcal O$（同じことだが $f^*\mathcal O'\to\mathcal O$）の組であり、加群の逆像は、幾何学的射の逆像関手を $f^{-1}$ と書いて $f^*\mathcal M':=f^{-1}\mathcal M'\otimes_{f^{-1}\mathcal O'}\mathcal O$ で定める（加群については $f^*$ をこの意味に使う）。定義景の各対象 $U$ と $f\in\mathcal O(U)$ に対し $f$ が可逆になる $U$ の最大の部分対象を $U_f$ とするとき、つねに $U_f\cup U_{1-f}=U$ が成り立つなら $(\mathcal E,\mathcal O)$ を局所環付きトポスという（$\mathcal O(U)$ が零環になるのは $U$ が始対象のときに限る、という条件を加える流儀もある）。
位相空間と連続関数の層、スキームと構造層（Zariski トポスでもエタールトポスでも）、環付き空間一般は環付きトポスの例であり、局所環付き空間は局所環付きトポスである（$\mathcal O$ の茎が局所環なら、各点で $f$ か $1-f$ が可逆なので $U_f\cup U_{1-f}=U$）。Azumaya代数とBrauer群は「局所的に行列環 $M_n(\mathcal O)$ に同型な $\mathcal O$ 代数」として局所環付きトポスの上で定義でき（スキームではエタールトポスをとる）、位相空間・スキームの Brauer 群を統一的に扱える（Brauer群）。
Grothendieck トポス $\mathcal E$ のアーベル群対象の圏 $\operatorname{Ab}(\mathcal E)$ は十分多くの入射対象（入射対象・射影対象）をもつアーベル圏である。大域切断の関手 $\Gamma(\mathcal E,-):=\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(1,-)\colon\operatorname{Ab}(\mathcal E)\to\mathbf{Ab}$ は左完全であり、その右導来関手を $H^q(\mathcal E,-)$ と書く（層コホモロジー）。幾何学的射 $f\colon\mathcal E\to\mathcal E'$ に対し $f_*$ は左完全で、$f^*$ は完全であり、Lerayスペクトル系列
$$
E_2^{p,q}=H^p(\mathcal E',R^qf_*F)\Rightarrow H^{p+q}(\mathcal E,F)
$$
が収束する。
証明は SGA4 V、Milne80 III.1、Stacks「Cohomology on Sites」の章に譲る。$\mathcal E=\operatorname{Sh}(X)$ なら $H^q(\mathcal E,F)$ は通常の層コホモロジー $H^q(X,F)$、$\mathcal E=\widetilde X_{\mathrm{et}}$ ならエタールコホモロジー、$\mathcal E=(X/S)_{\mathrm{cris}}$ なら結晶コホモロジーである。$f^*$ が完全であることから、$f$ はコホモロジーの引き戻し $H^q(\mathcal E',G)\to H^q(\mathcal E,f^*G)$ を引き起こす。景に終対象 $X$ があれば $\Gamma(\mathcal E,F)=F(X)$ だが、無限小景のように終対象のない景でも、トポスの終対象 $1$ を使えばコホモロジーは定義される。
関連項目
参考文献
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