表現可能関手
概要
表現可能関手（representable functor）とは、集合値関手であって、ある対象からのHom関手 $\operatorname{Hom}(A,-)$ と自然同型になるもののことをいう。米田の補題により、この自然同型は $F(A)$ のただ一つの元（普遍元）によって完全に決まり、対象 $A$ 自身も表現される関手ごとに同型を除いて一意に定まる。群の台集合関手が整数の加法群で表現されるなど、忘却関手や自由対象の普遍性を記述する標準的な言葉である。
前提知識: 圏, 関手, 自然変換, 米田の補題, 充満忠実関手
定義
局所小圏 $\mathcal C$ とする。関手 $F\colon\mathcal C\to\mathbf{Set}$ が表現可能（representable）であるとは、ある対象 $A\in\mathcal C$ と自然同型
$$
\eta\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,-)\xrightarrow{\ \cong\ }F
$$
が存在することをいう。このとき対象 $A$ は $F$ を表現する（represent）といい、組 $(A,\eta)$ を $F$ の表現（representation）と呼ぶ。米田の補題の対応 $\Phi\colon\operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}(A,-),F)\to F(A)$ による $\eta$ の像 $u:=\Phi(\eta)=\eta_A(\operatorname{id}_A)\in F(A)$ を、この表現の普遍元（universal element）と呼ぶ。
双対に、反変関手 $G\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$（すなわち $\mathcal C$ 上の前層）が表現可能であるとは、ある対象 $A$ と自然同型 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,A)\cong G$ が存在することをいう。これは $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 上で共変版の定義を適用したものにほかならない。
直感
米田の補題は、任意の自然変換 $\operatorname{Hom}(A,-)\to F$ が $F(A)$ のただ一つの元によって完全に決定されることを述べていた。表現可能性は、この対応のもとで自然変換が同型射になるという特別な状況を指す。したがって表現可能関手を与えることと、対象 $A$ と普遍元 $u\in F(A)$ の組であって「あらゆる元 $x\in F(X)$ が $A$ から $X$ へのただ一つの射を通して $u$ から生成される」という性質を持つものを与えることは、同じ内容の言い換えである（後述の性質参照）。この普遍元による特徴づけこそが、表現可能関手が「普遍性を持つ構成」——自由対象・極限・随伴関手の右（左）随伴の値——を統一的に記述できる理由である（標準的な教科書としてMac98参照）。
対象 $A$ が $F$ を表現するとき、$A$ 自身は $F$ から（同型を除いて）一意に復元できる（米田の補題の表現対象の一意性）。これは、関手 $F$ が「何を分類しているか」を知っていれば、それを表現する対象を——存在しさえすれば——本質的に一通りに特定できることを意味する。
例
単位的環の圏から集合の圏への忘却関手 $U\colon\mathbf{Ring}\to\mathbf{Set}$ を考える。$\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb Z[x],R)\to U(R)$ を、環準同型 $f\colon\mathbb Z[x]\to R$ にその値 $f(x)\in R$ を対応させる写像とする。$\mathbb Z[x]$ が自由対象であることから、$f\mapsto f(x)$ はあらゆる $r\in R$ に対しちょうど一つの $f$（$x\mapsto r$ で生成される環準同型）を与えるので全単射であり、これは環準同型 $R\to R'$ との合成と両立する（自然性）。ゆえに $U\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{Ring}}(\mathbb Z[x],-)$ であり、$U$ は $\mathbb Z[x]$ で表現される。普遍元は $x\in U(\mathbb Z[x])$ 自身である。
$\mathbf{Set}$ の冪集合関手 $\mathcal P\colon\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$（$X\mapsto 2^X$、射は逆像を取る）を考える。$2:=\{0,1\}$ とし、部分集合 $S\subseteq X$ をその特性関数 $\chi_S\colon X\to 2$ に対応させる写像 $2^X\to\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(X,2)$ は全単射であり、写像の引き戻しと両立する。ゆえに $\mathcal P\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(-,2)$ であり、$\mathcal P$ は反変版の意味で $2$ によって表現される（普遍元は $\operatorname{id}_2\in\operatorname{Hom}(2,2)=\mathcal P(2)$ に対応する部分集合 $\{1\}\subseteq2$）。
性質
関手 $F\colon\mathcal C\to\mathbf{Set}$ と対象 $A\in\mathcal C$、元 $u\in F(A)$ が与えられたとする。$u$ に対応する自然変換 $\alpha^u\colon\operatorname{Hom}(A,-)\to F$（$\alpha^u_X(f):=F(f)(u)$、米田の補題参照）が自然同型であること、すなわち組 $(A,u)$ が $F$ の表現を与えることは、次と同値である：
任意の対象 $X$ と任意の元 $x\in F(X)$ に対し、$F(f)(u)=x$ を満たす射 $f\colon A\to X$ がただ一つ存在する。
$\alpha^u$ が自然同型であることは、定義によりすべての成分 $\alpha^u_X\colon\operatorname{Hom}(A,X)\to F(X)$ が全単射であることと同値である。$\alpha^u_X$ の全射性は「任意の $x\in F(X)$ に対し $\alpha^u_X(f)=F(f)(u)=x$ を満たす $f$ が存在すること」に他ならず、単射性は「そのような $f$ が高々一つであること」に他ならない。全射性と単射性を合わせたものが、まさに主張の「ただ一つ存在する」という条件である。$\blacksquare$
関連項目
参考文献
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