j不変量

$(2y+a_1x+a_3)^2=4(y^2+a_1xy+a_3y)+(a_1x+a_3)^2$ であり、$$4(x^3+a_2x^2+a_4x+a_6)+(a_1x+a_3)^2=4x^3+(a_1^2+4a_2)x^2+(4a_4+2a_1a_3)x+(a_3^2+4a_6)=g(x)$$なので、$\eta^2-g(x)=4(y^2+a_1xy+a_3y)-4(x^3+a_2x^2+a_4x+a_6)=4F$ である。後半は展開して$$b_2b_6-b_4^2=(a_1^2+4a_2)(a_3^2+4a_6)-(2a_4+a_1a_3)^2=4(a_1^2a_6+4a_2a_6+a_2a_3^2-a_4^2-a_1a_3a_4)=4b_8$$となる（$a_1^2a_3^2$ の項が打ち消し合う）。$\square$

$g(x)=4(x^3+px^2+qx+r_0)$、$p=b_2/4$、$q=b_4/2$、$r_0=b_6/4$ とおく。根と係数の関係から $e_1+e_2+e_3=-p$、$e_1e_2+e_1e_3+e_2e_3=q$ で、$$\textstyle\sum_{i< j}(e_i-e_j)^2=2(e_1+e_2+e_3)^2-6\sum_{i< j}e_ie_j=2(p^2-3q)$$である。一方 $16(p^2-3q)=b_2^2-24b_4=c_4$ なので、1 つ目の式が従う。

2 つ目には、モニックな 3 次式の判別式の公式（判別式(多項式)）$$\textstyle\prod_{i< j}(e_i-e_j)^2=p^2q^2-4q^3-4p^3r_0-27r_0^2+18pqr_0$$を使う。右辺に $p,q,r_0$ を代入して $16$ 倍すると$$\frac{b_2^2b_4^2}{4}-8b_4^3-\frac{b_2^3b_6}{4}-27b_6^2+9b_2b_4b_6$$になる。lem-jinv-square の $4b_8=b_2b_6-b_4^2$ より $-b_2^2b_8=-\frac{b_2^3b_6}{4}+\frac{b_2^2b_4^2}{4}$ なので、これは $\Delta$ の定義式に等しい。$\square$

標数が $2,3$ 以外： $y=y'-(a_1x+a_3)/2$ で $a_1=a_3=0$ とし、次に $x=x'-a_2/3$ で $x^2$ の項を消す。$a_1=a_2=a_3=0$、$a_4=A$、$a_6=B$ では $b_2=0$、$b_4=2A$、$b_6=4B$、$b_8=-A^2$、$c_4=-48A$ で、$\Delta=-8(2A)^3-27(4B)^2=-16(4A^3+27B^2)$、$j=(-48A)^3/\Delta=1728\cdot4A^3/(4A^3+27B^2)$ である。

標数 $3$： $2$ は可逆なので、同じく $y$ を取り替えて $y^2=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$ にする。このとき $b_2=4a_2$、$b_4=2a_4$、$b_6=4a_6$、$b_8=4a_2a_6-a_4^2$ で、$3=0$ を使うと $c_4=b_2^2-24b_4=a_2^2$、$$\Delta=-16a_2^2(4a_2a_6-a_4^2)-64a_4^3-432a_6^2+288a_2a_4a_6=a_2^2a_4^2-a_2^3a_6-a_4^3$$である（$16\equiv64\equiv1$、$432\equiv288\equiv0$）。よって $j=0$ と $a_2=0$ は同値である。$a_2=0$ ならこれが表の形で、$\Delta=-a_4^3$ である。$a_2\neq0$ なら $x=x'+r$、$r=a_4/a_2$ とおく。$x'$ の 1 次の係数は $3r^2+2a_2r+a_4=2a_4+a_4=3a_4=0$ になるので、$y^2=x^3+a_2x^2+a_6$ の形になり、$\Delta=-a_2^3a_6$、$j=a_2^6/\Delta=-a_2^3/a_6$ である。

標数 $2$： $b_2=a_1^2$ で $24b_4=0$ なので $c_4=a_1^4$、$j=a_1^{12}/\Delta$ であり、$j=0$ と $a_1=0$ は同値である。

$a_1\ne0$ のとき、まず $x=a_1^2x'$、$y=a_1^3y'$ とおくと $a_i$ は $a_i/a_1^i$ に変わり、$a_1=1$ になる。次に $x=x'+a_3$ とおくと、$y$ の 1 次の係数は $a_3+a_1a_3=2a_3=0$ になる（prf-jinv-invariance の $A_3'$ の式で $S=T=0$、$U=1$）。最後に $y=y'+a_4$ とおくと、$(y'+a_4)^2+x(y'+a_4)=y'^2+xy'+a_4x+a_4^2$ なので、$x$ の 1 次の係数は $a_4+a_4=0$ になる。こうして $y^2+xy=x^3+a_2x^2+a_6$ を得る。この形では $b_2=1$、$b_4=b_6=0$、$b_8=a_6$ で、$\Delta=-a_6=a_6$、$c_4=1$、$j=1/a_6$ である。

$a_1=0$ のとき、$x=x'+a_2$ とおくと、$x'^2$ の係数は $3a_2+a_2=4a_2=0$ になり、左辺 $y^2+a_3y$ は変わらない。こうして $y^2+a_3y=x^3+a_4x+a_6$ を得る。$b_2=b_4=0$、$b_6=a_3^2$ なので $\Delta=-27a_3^4=a_3^4$ である。$\square$

prf-jinv-invariance で求めた式から $a_1'=(a_1+2s)/u=2s/u$、$a_3'=(a_3+a_1r+2t)/u^3=2t/u^3$ である。$a_1'=a_3'=0$ と標数が $2$ でないことから $s=t=0$ を得る。すると $x=u^2x'+r$、$y=u^3y'$ で、$x'^2$ の係数は $(u^2x'+r)^3$ の展開から来る $3ru^4$ を $u^6$ で割ったものなので、標数が $3$ でないことから $r=0$ を得る。残る $x=u^2x'$、$y=u^3y'$ で $A,B$ が $u^{-4}A,u^{-6}B$ に変わる。同型は座標の取り替えで与えられる（楕円曲線 の記事の定理「Weierstrass 形の存在と一意性」の 2）ので、後半が従う。$\square$

$E:y^2=x^3+Ax+B$ とする。lem-jinv-short-change により、自己同型は $x=u^2x'$、$y=u^3y'$ の形で、$u^{-4}A=A$ かつ $u^{-6}B=B$ を満たす $u$ と一対一に対応し、合成は $u$ の積に対応する。$j=1728\cdot4A^3/(4A^3+27B^2)$ なので、$j\ne0,1728$ は $AB\ne0$、$j=1728$ は $B=0$、$j=0$ は $A=0$ と同値である。$AB\ne0$ なら $u^4=u^6=1$ より $u^2=1$、$B=0$ なら $u^4=1$ だけ、$A=0$ なら $u^6=1$ だけが条件になる。標数が $2,3$ でないので $x^n-1$（$n=2,4,6$）は重根をもたず、$\mu_n$ の位数は $n$ である。$\square$

$j(E^{(d)})=1728\cdot4d^6A^3/(4d^6A^3+27d^6B^2)=j(E)$ である。

1．$E'$ を短い形 $y^2=x^3+A'x+B'$ で表す。$j\ne0,1728$ なので $A,B,A',B'$ はどれも $0$ でなく、$j(E)=j(E')$ は $A^3B'^2=A'^3B^2$ と同値である（prf-jinv-classification の (i)）。$d=AB'/(A'B)\in k^\times$ とおくと$$d^2A=\frac{A^3B'^2}{A'^2B^2}=\frac{A'^3B^2}{A'^2B^2}=A',\qquad d^3B=\frac{A^3B'^3}{A'^3B^2}=\frac{A^3B'^2}{A'^3B^2}\,B'=B'$$なので、$E'$ は $E^{(d)}$ そのものである。

2．lem-jinv-short-change により、$E^{(d)}\cong E$ は $d^2A=u^{-4}A$、$d^3B=u^{-6}B$ となる $u\in k^\times$ の存在と同値で、$AB\ne0$ なので $d^2=u^{-4}$、$d^3=u^{-6}$ と同値である。これが成り立てば $d=d^3/d^2=u^{-2}$ は平方である。逆に $d=w^2$ なら $u=w^{-1}$ が条件を満たす。後半は、$E^{(d')}$ の係数 $(d'^2A,d'^3B)$ に $e=d/d'$ による捩りを施すと $(e^2d'^2A,e^3d'^3B)=(d^2A,d^3B)$ となり、$E^{(d)}=(E^{(d')})^{(e)}$ であることから、前半を $E^{(d')}$ に当てはめればよい。$\square$

1．級数は絶対収束するので、$\omega$ を $\alpha\omega$ に替えて $g_2(\alpha\Lambda)=\alpha^{-4}g_2(\Lambda)$、$g_3(\alpha\Lambda)=\alpha^{-6}g_3(\Lambda)$ である。分子と分母がともに $\alpha^{-12}$ 倍されるので $j$ は変わらない。

2．$\Lambda_{\tau+1}=\mathbb Z+\mathbb Z(\tau+1)=\Lambda_\tau$ である。$\Lambda_{-1/\tau}=\mathbb Z+\mathbb Z(-1/\tau)=\tau^{-1}(\mathbb Z\tau+\mathbb Z)=\tau^{-1}\Lambda_\tau$ なので、1 から $j(-1/\tau)=j(\tau)$ である。

3．$i\Lambda_i=\mathbb Zi+\mathbb Z(-1)=\Lambda_i$ なので、1 の計算から $g_3(\Lambda_i)=i^{-6}g_3(\Lambda_i)=-g_3(\Lambda_i)$、すなわち $g_3(\Lambda_i)=0$ である。$g_2^3-27g_3^2\neq0$ より $g_2(\Lambda_i)\ne0$ で、$j(i)=1728$ である。同様に $\rho^2=-1-\rho$ から $\rho\Lambda_\rho=\mathbb Z\rho+\mathbb Z\rho^2=\Lambda_\rho$ で、$g_2(\Lambda_\rho)=\rho^{-4}g_2(\Lambda_\rho)=\rho^{-1}g_2(\Lambda_\rho)$、$\rho\ne1$ より $g_2(\Lambda_\rho)=0$、$j(\rho)=0$ である。$\square$