収縮定理(極小モデル理論)

段階 1：$aH-K_X$ の豊富性。thm-ct-support の $H$ と、豊富な因子 $A$ をとる。$S:=\{z\in\overline{NE}(X)\mid A\cdot z=1\}$ はコンパクトである（錐定理 の補題「錐の切り口のコンパクト性」）。$R\cap S$ は 1 点 $r$ で、$K_X\cdot r<0$ である。$r$ の $S$ の中の開近傍 $W$ で $K_X$ が負になるものをとる。$S\setminus W$ はコンパクトで $H>0$ なので、$a>0$ を十分大きくとれば $S\setminus W$ の上で $aH-K_X>0$ である。$W$ の上でも $H\ge0$、$-K_X>0$ から $aH-K_X>0$ である。よって $aH-K_X$ は $\overline{NE}(X)\setminus\{0\}$ の上で正で、Kleimanの判定法(豊富性) により豊富である。

段階 2：射の構成。thm-ct-bpf（$S$ は 1 点）により、$|mH|$ に基点のない $m\ge1$ がある。対応する射を $\psi\colon X\to\mathbb{P}^M$、その Stein 分解を $X\xrightarrow{\varphi}Y\xrightarrow{g}\psi(X)$ とする。$g$ は有限射で、$\psi(X)$ は射影多様体なので $Y$ は射影的であり、$\varphi_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ である。$X$ は正規なので $Y$ も正規である（Stein分解 の命題「正規化としての Stein 分解」）。曲線 $C$ について、$g$ が有限なので $\varphi(C)$ が 1 点であることと $\psi(C)$ が 1 点であることは同値で、これは $mH\cdot C=0$、すなわち $[C]\in\overline{NE}(X)\cap H^\perp=R$ と同値である。$\varphi$ は $R$ の収縮である。一意性は cor-ct-unique である。

段階 3：$\mathcal{L}$ の下降。$\mathbb{P}^M$ の $\mathcal{O}(1)$ の $Y$ への引き戻しを $\mathcal{A}_Y$ とすると、$\mathcal{A}_Y$ は $Y$ の豊富な可逆層で $\mathcal{O}_X(mH)\cong\varphi^*\mathcal{A}_Y$ である。$m(aH-K_X)$ は豊富で、$\varphi$ のファイバーの上では $mH$ は自明なので、$-K_X$ は各ファイバーの上で豊富である。$\mathcal{L}\cdot C_0=0$ なら $\varphi$ が潰す曲線 $C$ はすべて $\mathcal{L}\cdot C=0$ をみたす。$\varphi$ の各ファイバーの上で $\mathcal{L}\otimes\mathcal{O}(-K_X)$ は $\mathcal{O}(-K_X)$ と数値的に同値なので、やはり豊富であり（Kleimanの判定法(豊富性)）、EGA3 定理 4.7.1（p. 145。この記事では証明しない）により $\mathcal{L}\otimes\mathcal{O}(-K_X)$ は $\varphi$ 豊富である。$\mathcal{L}$ は $\varphi$ ネフなので、thm-ct-bpf（$\pi=\varphi$、$a=1$）により十分大きい $n$ で $\mathcal{L}^{\otimes n}$ と $\mathcal{L}^{\otimes(n+1)}$ は $\varphi$ の上で切断で生成される。

$\mathcal{M}$ を $\varphi$ の上で切断で生成され、$\varphi$ が潰す曲線との交点数が $0$ の可逆層とする。点 $y\in Y$ のアフィン近傍 $V$ をとると、$\varphi^{-1}(V)$ の上の有限個の切断が $\mathcal{M}$ を生成し、射 $\varphi^{-1}(V)\to\mathbb{P}^r$ を定める。この射はファイバー $G=\varphi^{-1}(y)$ の曲線を潰すので、$G$ の連結性から $G$ の点をすべて 1 点 $p$ へ送る。$p$ で $0$ でない 1 次形式の引き戻しを $t$ とすると、$t$ は $\varphi^{-1}(V)$ の上の切断で、$G$ のどの点でも消えない（消えないことは点ごとの条件なので、$G$ が被約でなくてもよい）。$t$ の零点の集合の像は閉集合で $y$ を含まないので、$V$ を小さくとれば $t$ は $\varphi^{-1}(V)$ で消えない。よって $\mathcal{M}|_{\varphi^{-1}(V)}$ は自明で、$\mathcal{M}_Y:=\varphi_*\mathcal{M}$ は可逆層、$\mathcal{M}\cong\varphi^*\mathcal{M}_Y$ である。これを $\mathcal{L}^{\otimes n}$、$\mathcal{L}^{\otimes(n+1)}$ に当てて差をとると $\mathcal{L}\cong\varphi^*\mathcal{L}_Y$ である。

段階 4：完全列と Picard 数。$\varphi^*\mathcal{N}$ が自明なら、射影公式から $\mathcal{N}\cong\mathcal{N}\otimes\varphi_*\mathcal{O}_X=\varphi_*\varphi^*\mathcal{N}\cong\mathcal{O}_Y$ である。$\varphi^*\mathcal{N}\cdot C_0=0$ と 1 を合わせて 2 を得る。3：$Y$ の曲線は $X$ の曲線の像なので、射影公式により $\varphi^*\colon N^1(Y)\to N^1(X)$ は単射である。像は $[C_0]^\perp$ に含まれ、$[C_0]^\perp$ は可逆層の類で張られる（$[C_0]$ は整数値の 1 次形式で、$0$ でない）ので、1 により像は $[C_0]^\perp$ に等しい。$\square$

ファイバー型．$\dim Y< n$ とする。標数 $0$ なので一般のファイバー $F$ は滑らかで、連結なので多様体である。$F$ の法束は自明なので $K_F=K_X|_F$ である。$-K_X$ は各ファイバーの上で豊富（prf-ct-main の段階 3）なので $-K_F$ は豊富である。$\dim Y=n$ なら、$\varphi$ は全射で一般に有限で、$\varphi_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y$ から次数 $1$ なので双有理である。

因子があれば既約．$\varphi$ が双有理で、$\operatorname{Exc}(\varphi)$ が素因子 $E$ を含むとする。$E\to\varphi(E)$ が一般に有限なら $\varphi(E)$ は $Y$ の素因子で、$Y$ は正規なので有理写像 $\varphi^{-1}$ はその生成点で定義され、$\varphi$ は $E$ の生成点で局所同型になり矛盾する。よって $d:=\dim\varphi(E)\le n-2$ である。

$H_Y$ を $Y$ の非常に豊富な因子、$A$ を $X$ の非常に豊富な因子とする。$|\varphi^*H_Y|$ と $|A|$ は基点がないので、Bertini の定理（Bertiniの定理）により一般の元 $D_1,\dots,D_d\in|\varphi^*H_Y|$ と $A_1,\dots,A_{n-d-2}\in|A|$ の交わり $T$ は滑らかな曲面である。$\varphi(E)$ は一般の超平面 $d$ 枚と空でない有限集合で交わるので、$E\cap T$ は空でない曲線で、$\varphi$ はそれを有限個の点へ送る。$\operatorname{Exc}(\varphi)$ の既約成分 $W$ について、$\dim\varphi(W)< d$ なら $W$ は $D_i$ の交わりと交わらず、そうでなければ次元が $d$ 下がるので、$\operatorname{Exc}(\varphi)\cap T$ の次元は $1$ 以下である。$E$ と交わる $T$ の連結成分 $T_0$ をとると、$T_0\not\subset\operatorname{Exc}(\varphi)$ なので $T_0$ の上で $\varphi$ は一般に単射で、$M:=\varphi^*H_Y|_{T_0}$ は $M^2>0$ をみたす。$D:=E|_{T_0}$ は $0$ でない有効因子で、その成分は $\varphi$ が潰すので $M\cdot D=0$ である。曲面の交点形式の符号は $(1,\rho-1)$ なので（Hodge指数定理、Har77 V 定理 1.9・注意 1.9.1）、$M^\perp$ は負定値である。$A\cdot D>0$ より $D\not\equiv0$ なので $D^2<0$ であり、$D$ のある成分 $C$ で $D\cdot C<0$、すなわち $E\cdot C<0$ である。$C$ は $\varphi$ が潰す曲線なので $[C]\in R$ で、$E\cdot C_0<0$ である。

すると $[C']\in R$ なる曲線 $C'$ はすべて $E\cdot C'<0$ をみたし、$C'\subset E$ である。したがって $\operatorname{Exc}(\varphi)\subset E$、すなわち $\operatorname{Exc}(\varphi)=E$ である。$\operatorname{Exc}(\varphi)$ が素因子を含まなければ、余次元は $2$ 以上である。これで 3 種類が尽きる。

因子収縮の $\mathbb{Q}$ 分解性．$\Gamma$ を $Y$ の素因子、$\Gamma'$ をその固有変換とする。$X$ は滑らかなので $\Gamma'$ は Cartier である。$t:=-(\Gamma'\cdot C_0)/(E\cdot C_0)\in\mathbb{Q}$ とし、$mt\in\mathbb{Z}$ なる $m\ge1$ をとると、$\mathcal{L}:=\mathcal{O}_X(m\Gamma'+mtE)$ は $\mathcal{L}\cdot C_0=0$ をみたす。thm-ct-main の 1 により $\mathcal{L}\cong\varphi^*\mathcal{L}_Y$ である。$\varphi$ は $X\setminus E\to Y\setminus\varphi(E)$ の同型で、この上で $\mathcal{L}_Y$ は $\mathcal{O}_Y(m\Gamma)$ に等しい。$Y$ は正規で $\varphi(E)$ の余次元は $2$ 以上なので、$\mathcal{O}_Y(m\Gamma)\cong\mathcal{L}_Y$ は可逆層である。

小収縮．$mK_Y$ が Cartier（$m\ge1$）だとする。$Z:=\operatorname{Exc}(\varphi)$ の余次元は $2$ 以上で、$X\setminus Z\cong Y\setminus\varphi(Z)$ の上で $\varphi^*\mathcal{O}_Y(mK_Y)$ と $\mathcal{O}_X(mK_X)$ は一致する。$X$ は滑らかなので全体でも一致し、$mK_X\cdot C_0=\varphi^*\mathcal{O}_Y(mK_Y)\cdot C_0=0$ となって $K_X\cdot C_0<0$ に反する。$\square$

$\dim Y=2$．$\operatorname{Exc}(\varphi)$ は曲線を含むので、thm-ct-types の 2 により既約な曲線 $C$ で、$R=\mathbb{R}_{\ge0}[C]$ である。$M$ を $Y$ の豊富な因子の引き戻しとすると $M^2>0$、$M\cdot C=0$ で、$C\not\equiv0$ なので交点形式の符号から $C^2<0$ である。$K_X\cdot C<0$ と合わせて、$C$ は $(-1)$ 曲線である（錐定理 の系「$K_X$ 負の負曲線は $(-1)$ 曲線」）。Castelnuovoの収縮定理 の縮約 $\pi\colon X\to Y'$ は $C$ だけを潰す収縮である。cor-ct-unique により $Y\cong Y'$ で、$Y$ は滑らかである。

$\dim Y=1$．$Y$ は正規な曲線なので滑らかで、thm-ct-main の 3 から $\rho(X)=2$ である。一般のファイバー $F$ は thm-ct-types の 1 により滑らかで $K_X\cdot F<0$、$F^2=0$ なので、随伴公式 $2g(F)-2=K_X\cdot F$ から $F\cong\mathbb{P}^1$、$K_X\cdot F=-2$ である。任意のファイバー $G$ の成分 $C$ は $\varphi$ が潰すので $[C]\in R$ で、$[F]\in R$ に比例する。よって成分どうしの交点数はすべて $0$ である。$G$ は連結なので成分は 1 つで、$G=aC$（$a\ge1$）である。$-2=K_X\cdot G=aK_X\cdot C$ で、$C^2=0$ と随伴公式 $K_X\cdot C+C^2=2p_a(C)-2$ から $K_X\cdot C$ は偶数である。よって $a=1$、$K_X\cdot C=-2$、$p_a(C)=0$ で、$C\cong\mathbb{P}^1$ である（双有理幾何学 の補題「算術種数 0 の整曲線」）。

$\dim Y=0$．すべての曲線の類が $R$ に入るので $\rho(X)=1$ で、$-K_X$ は $\overline{NE}(X)\setminus\{0\}$ の上で正、したがって豊富である。小平の消滅定理 により $H^1(X,\mathcal{O}_X)=H^1(X,K_X+(-K_X))=0$ である。$2K_X$ は豊富な因子との交点数が負なので $P_2(X)=0$ である。有理曲面 の定理「有理曲面の判定」により $X$ は有理曲面で、同じ記事の定理「標準因子の自己交点数と Picard 数」から $K_X^2=10-\rho(X)=9$、よって $X\cong\mathbb{P}^2$ である。$\square$