開写像定理

前提知識: Banach空間, Baireのカテゴリー定理, 開写像

何を主張する定理か

この記事の開写像定理は関数解析の定理で、領域上の定数でない正則関数が開写像であるという複素解析の定理（開写像定理(複素解析)）とは、名前が同じだけの別の定理である。どちらも、ある種の写像が開写像（開集合の像が開集合になる写像）であることを主張する。
有限次元では、全射な線形写像 $A\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ はつねに開写像である（開写像 の記事の命題「全射な線形写像は開写像」）。証明では、$A$ の右逆写像 $S$（$AS=\mathrm{id}$）を有限個の基底ベクトルの行き先を決めて作り、有限次元の線形写像 $S$ が連続であることを使っていた。無限次元ではこの作り方ができず、この議論は使えない。開写像定理は、定義域と値域がともに完備なノルム空間（Banach 空間）なら、それでも全射な有界線形写像は開写像であることを主張する。
開写像であることは、「値域の各点 $w$ に、大きさが $\|w\|$ に比例する程度の元 $v$ で $Tv=w$ となるものがとれる」という量的な主張と同値である（lem-open-mapping-theorem-criterion）。とくに全単射なら逆写像が有界になる（有界逆写像定理）。さらに写像のグラフが閉集合であるだけで有界性が従う閉グラフ定理が得られ、無限次元で「連続性を確かめる」ための強力な道具になる。

開写像であることの言い換え

以下、$F$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$、$V,W$ は $F$ 上のノルム空間とし、原点を中心とする半径 $s$ の開球を $B_V(s):=\{x\in V\mid\|x\|< s\}$ と書く。$V$ から $W$ への有界線形写像の全体を $B(V,W)$ と書く（ノルム空間 の記事の定義「有界線形写像と作用素ノルム」）。

条件 3 は、方程式 $Tv=w$ が解けるだけでなく、「データ $w$ が小さければ解 $v$ も小さく選べる」という安定性を述べている。$T$ が全単射なら $v=T^{-1}w$ なので、条件 3 は $\|T^{-1}w\|\le C\|w\|$、すなわち $T^{-1}$ が有界であることにほかならない。

開写像定理

定理の証明は 2 つの補題に分かれ、1 つ目で値域 $W$ の完備性、2 つ目で定義域 $V$ の完備性を使う。以下 $\overline A$ は $A\subset W$ の閉包を表す。

2 つの補題を合わせると、次の定理が得られる。

この証明は Banach空間 の記事の定理「開写像定理」の証明と同じ筋である。2 つの補題の役割ははっきり分かれている。Baire のカテゴリー定理（値域の完備性）は「像の閉包が太い」ことまでしか言わず、それを「像そのものが太い」ことに上げるのが級数の収束（定義域の完備性）である。どちらの完備性を外しても定理は成り立たない（後の「仮定を外すと成り立たなくなること」の節）。

有界逆写像定理とその系

片側の評価だけで同値性が従うのは、両方のノルムが完備なときに限る。$C([0,1])$ の上限ノルムと積分のノルム $\|f\|_1=\int_0^1|f|$ は $\|f\|_1\le\|f\|_\infty$ を満たすが同値でなく、この場合は後者が完備でない（Banach空間 の記事の例「反例：値域が完備でないときの有界逆写像定理」）。

商空間と全射

閉部分空間 $U\subset V$ について、商ベクトル空間 $V/U$ に
$$ \|x+U\|:=\inf_{u\in U}\|x+u\|\qquad(\text{$x$ と $U$ の距離}) $$
を入れる（商ノルム）。$U$ が閉なので $\|x+U\|=0$ なら $x\in\overline U=U$ であり、これは $V/U$ のノルムになる。

この系は、Banach 空間の間の全射な有界線形写像は「商写像と同型の合成」にほかならないことを述べている。ノルムの言葉では、$w=Tx$ のとき $\|w\|$ と、$x$ から $\ker T$ までの距離 $\|x+U\|$ が定数倍の範囲で比べられる。

閉グラフ定理

線形写像 $T\colon V\to W$ の写像のグラフ $\Gamma(T):=\{(x,Tx)\mid x\in V\}$ は、直積 $V\times W$ の部分空間である。$V\times W$ にはノルム $\|(x,y)\|:=\max(\|x\|,\|y\|)$ を入れる。このノルムでの収束は、成分ごとの収束 $x_n\to x$、$y_n\to y$ と同じである。$V,W$ が Banach 空間なら $V\times W$ も Banach 空間である（Cauchy 列の各成分が Cauchy 列になり、成分ごとの極限が極限になる）。
$T$ が連続なら $\Gamma(T)$ は閉集合である：$(x_n,Tx_n)\to(x,y)$ なら $Tx_n\to Tx$ なので $y=Tx$ である。閉グラフ定理は、Banach 空間の間ではこの逆が成り立つことを主張する。グラフが閉であるとは「$x_n\to x$ かつ $Tx_n\to y$ なら $y=Tx$」ということであり、連続性（「$x_n\to x$ なら $Tx_n$ は収束して極限は $Tx$」）と比べると、$Tx_n$ が収束することを仮定に含めてよい分だけ確かめやすい。

閉グラフ定理の典型的な使い方を 2 つ挙げる。どちらも、直接には連続性を示しにくい写像について、グラフが閉であることだけを確かめる。

$U,U'$ の一方が閉でないと射影は有界にならない。$P$ が有界なら $U'=\ker P$ と $U=\ker(I-P)$ はどちらも閉だからである。直和の代数的な構造（直和）だけでは位相的な分解にならず、閉性が要る。

$\ell^2$ で $(Tx)_k:=kx_k$ とおくと、$T$ は $\sum_kk^2|x_k|^2<\infty$ を満たす $x$ の部分空間（$c_{00}$ を含むので稠密）の上で定義され、そこで $\langle Tx,y\rangle=\sum_kkx_k\overline{y_k}=\langle x,Ty\rangle$ を満たすが、$\|Te_k\|=k$ なので有界でない。この定理によれば、このような作用素を対称性を保ったまま $\ell^2$ 全体に広げることはできない。量子力学で観測量を表す作用素（量子力学の関数解析的構造）に、全体では定義されないものが現れるのはこのためである。

仮定を外すと成り立たなくなること

1 行目は Banach空間 の記事の例「反例：値域が完備でないときの有界逆写像定理」である。恒等写像は $\|f\|_1\le\|f\|_\infty$ から有界な全単射だが、$f_n(t)=\max(0,1-nt)$ について $\|f_n\|_\infty=1$、$\|f_n\|_1=\frac1{2n}$ なので逆写像は有界でない。値域の $\|\cdot\|_1$ が完備でないことが、lem-open-mapping-theorem-baire の仮定を満たさない点である。2 行目の、定義域を完備でないノルム空間にすると成り立たなくなる例は Axl20 Exercises 6E の 11・14（pp. 191–192）に演習として挙げられている（lem-open-mapping-theorem-iteration の仮定が満たされない）。3・4 行目を確かめる。

補足

関連項目

• 前提: Banach空間, Baireのカテゴリー定理, 開写像
• 比較: 開写像定理(複素解析), 一様有界性原理, 写像のグラフ, 閉写像
• 直後に読む: Hilbert空間, Lp空間
• 発展: 量子力学の関数解析的構造, Banach環とC*-環のスペクトル理論