多重種数
概要
多重種数（plurigenus）とは、体 $k$ 上の滑らかな射影多様体 $X$ と $m\ge1$ に対して、標準層の $m$ 乗の大域切断の空間の次元 $P_m(X)=\dim_kH^0(X,\omega_X^{\otimes m})$ のことである。$P_1$ は幾何種数であり、すべての $P_m$ は双有理不変量で、$m$ に関する増大の度合いが小平次元を定める。$\mathbb{P}^n$（$n\ge2$）の次数 $d$ の滑らかな超曲面では、$d\le n$、$d=n+1$、$d\ge n+2$ に応じて $P_m$ はつねに $0$、つねに $1$、$m^{n-1}$ の程度の増大となる。$k$ が代数閉体なら、直積について $P_m(X\times Y)=P_m(X)P_m(Y)$ が成り立つ。
滑らかな射影曲線の種数 $g$ は、正則な 1 次微分形式の空間の次元 $h^0(\omega_C)$ に等しく、曲線を双有理同値類で分類する最初の不変量である。高い次元では、標準層 $\omega_X$ の切断だけでは足りない。標数 $2$ でない代数閉体の上で、$\mathbb{P}^2$ と Enriques曲面 は、どちらも $h^0(\omega)=h^1(\mathcal{O})=0$ だが、Enriques 曲面では $h^0(\omega^{\otimes2})=1$ であり、このことから有理曲面でないことがわかる。そこで標準層の冪 $\omega_X^{\otimes m}$ の切断を数え、$m$ を動かしたときの振る舞いを見る。この次元 $P_m(X)=h^0(\omega_X^{\otimes m})$ が 多重種数（plurigenus）である。
多重種数はすべて双有理不変量であり、$m\to\infty$ での増大の度合いから 小平次元 が決まる。小平次元は小平邦彦（Kunihiko Kodaira）にちなむ名で、代数多様体の分類（曲面では Enriques–小平の分類）の最も粗い区分を与える。
この記事では、多重種数と小平次元を定義し、射影空間の滑らかな超曲面の多重種数をすべて求め、次数による 3 つの場合（$\kappa=-\infty,0,\dim X$）を証明する。また、積空間の大域切断の Künneth 型の公式を証明して $P_m(X\times Y)=P_m(X)P_m(Y)$ を導き、双有理不変性が崩れる例や、「多重種数がすべて $0$ なら有理多様体」という誤解の反例を挙げる。
定義
$k$ を体とする。この記事で 多様体 は $k$ 上の分離的で有限型な整スキームとし、$n$ 次元の滑らかな多様体 $X$ の標準層を $\omega_X:=\Omega^n_{X/k}$ とする（標準層）。$\omega_X$ は可逆層であり、$m\ge1$ について $\omega_X^{\otimes m}$ も可逆層である。
$X$ を $k$ 上の滑らかな射影多様体とする。
- $m\ge1$ について
$$ P_m(X):=\dim_kH^0(X,\omega_X^{\otimes m}) $$
を $X$ の $m$ 重種数（$m$-th plurigenus）といい、これらを総称して 多重種数 という。$p_g(X):=P_1(X)$ を 幾何種数 という。 - すべての $m\ge1$ で $P_m(X)=0$ のとき 小平次元 を $\kappa(X):=-\infty$ とおく。そうでないとき、$P_m(X)/m^{\kappa}$ が $m\ge1$ について有界になる最小の整数 $\kappa\ge0$ を $\kappa(X)$ とおく。
- $\kappa(X)=\dim X$ のとき $X$ は 一般型 であるという。
$X$ は射影的なので、連接層のコホモロジーとして $P_m(X)$ は有限である（Har77 III, Theorem 5.2 (a), p. 228）。この定義は 双有理幾何学 の定義「多重種数と小平次元」と同じである。すべての $P_m$ が $0$ の場合を $\kappa=-1$ と書く流儀もある（Har77 V §6, pp. 421–422）。同所では、$\kappa(X)$ を標準環 $\bigoplus_{m\ge0}H^0(X,\omega_X^{\otimes m})$ の超越次数から $1$ を引いた数として定めている。この定義が上の定義と一致すること、および $\kappa(X)$ が $-\infty$ か $0$ 以上 $\dim X$ 以下の整数になることは、この記事では証明しない（双有理幾何学 の定義「多重種数と小平次元」の後の説明を参照）。
多重種数の基本性質
$X$ を滑らかな射影多様体、$m,m'\ge1$ とする。$P_{m'}(X)\ge1$ なら $P_{m+m'}(X)\ge P_m(X)$ である。とくに $P_{m'}(X)\ge1$ ならすべての $a\ge1$ で $P_{am'}(X)\ge1$ である。
$0$ でない切断 $t\in H^0(X,\omega_X^{\otimes m'})$ をとり、線形写像 $H^0(\omega_X^{\otimes m})\to H^0(\omega_X^{\otimes(m+m')})$、$s\mapsto s\otimes t$ が単射であることを示す。$s\otimes t=0$ とする。$\omega_X$ が自明になる空でないアフィン開集合 $U$ の上では、$s,t$ は整域 $\mathcal{O}_X(U)$ の元 $s_U,t_U$ で表され、$s_Ut_U=0$ である。$X$ は整なので、可逆層の $0$ でない切断は空でないどの開集合に制限しても $0$ でなく、$t_U\neq0$ である。よって $s_U=0$ であり、このような $U$ は $X$ を覆うので $s=0$ である。後半は前半を繰り返し使えばよい。$\square$
多重種数の最も重要な性質は、双有理同値で変わらないことである。
$k$ 上の滑らかな射影多様体 $X,X'$ が双有理同値ならば、すべての $m\ge1$ について $P_m(X)=P_m(X')$ であり、$\kappa(X)=\kappa(X')$ である。
証明は 双有理幾何学 の定理「多重種数の双有理不変性」にある。筋は次のとおりである。双有理写像 $X\dashrightarrow X'$ の定義域 $U$ の補集合は余次元 $2$ 以上であり、$\omega_{X'}^{\otimes m}$ の切断を $U$ に引き戻したものは、局所自由層の切断の延長（代数的 Hartogs の補題）によって $X$ 全体に延びる。こうして得た線形写像 $H^0(\omega_{X'}^{\otimes m})\to H^0(\omega_X^{\otimes m})$ は、双有理写像が稠密な開集合で同型を与えることから単射で、逆向きにも同じものが作れる。$k$ が代数閉体で $m=1$ の場合は Har77 II, Theorem 8.19（p. 181）、一般の $m$ は同書 II, Exercise 8.8（p. 190）にある。
$m\le-1$ では $h^0(\omega_X^{\otimes m})$ は双有理不変量でない（下の反例の表の 1 行目）。また、$\mathbb{P}^n$ では $\omega\cong\mathcal{O}(-n-1)$ なので $P_m(\mathbb{P}^n)=h^0(\mathcal{O}(-m(n+1)))=0$ であり、有理多様体（$\mathbb{P}^n$ と双有理同値な多様体）の多重種数はすべて $0$、小平次元は $-\infty$ である（双有理幾何学 の系「有理多様体の判定」）。
超曲面の多重種数
射影空間の滑らかな超曲面では、多重種数を次数から完全に計算できる。$n\ge1$ と整数 $j$ について
$$
N_n(j):=\dim_kk[x_0,\dots,x_n]_j=\begin{cases}\binom{j+n}{n}&(j\ge0)\\0&(j<0)\end{cases}
$$
とおく。
$n\ge2$、$d\ge1$ とし、$F\in k[x_0,\dots,x_n]$ を次数 $d$ の斉次多項式で、$X=V_+(F)\subset\mathbb{P}^n_k$ が $k$ 上滑らかなものとする。このとき $X$ は $n-1$ 次元の滑らかな射影多様体であり、$m\ge1$ について $e:=m(d-n-1)$ とおくと
$$
P_m(X)=N_n(e)-N_n(e-d)
$$
である。したがって次が成り立つ。
- $d\le n$ なら、すべての $m\ge1$ で $P_m(X)=0$ であり、$\kappa(X)=-\infty$ である。
- $d=n+1$ なら、すべての $m\ge1$ で $P_m(X)=1$ であり、$\kappa(X)=0$ である。
- $d\ge n+2$ なら
$$ \lim_{m\to\infty}\frac{P_m(X)}{m^{n-1}}=\frac{d\,(d-n-1)^{n-1}}{(n-1)!}>0 $$
であり、$\kappa(X)=n-1=\dim X$、すなわち $X$ は一般型である。
多様体であること．$F\neq0$ は整域 $S=k[x_0,\dots,x_n]$ の正則列なので、$X$ は余次元 $1$ の完全交叉であり、同記事の定理「構造層のひねりのコホモロジー」により $H^0(X,\mathcal{O}_X)=k$、とくに $X$ は連結である。$X$ は滑らかなので各局所環は正則局所環、とくに整域であり、連結な Noether スキームで局所環がすべて整域なら既約である。よって $X$ は整で、$n-1$ 次元の滑らかな射影多様体である。
標準層．標準層 の系「超曲面の標準層」により $\omega_X\cong\mathcal{O}_X(d-n-1)$ であり、$\omega_X^{\otimes m}\cong\mathcal{O}_X(e)$ である。
切断の次元．$X$ のイデアル層は $F$ 倍 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-d)\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}$ の像であり、この写像は単射なので（各 $D_+(x_i)$ で整域の $0$ でない元の倍）、完全列
$$
0\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(e-d)\xrightarrow{\ \cdot F\ }\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(e)\to\mathcal{O}_X(e)\to0
$$
がある。コホモロジー長完全列の初めの部分は
$$
0\to S_{e-d}\xrightarrow{\ \cdot F\ }S_e\to H^0(X,\mathcal{O}_X(e))\to H^1(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(e-d))
$$
であり、$n\ge2$ なので右端は $0$ である（層コホモロジー の定理「射影空間のコホモロジー」の 1 と 2）。よって $P_m(X)=h^0(\mathcal{O}_X(e))=N_n(e)-N_n(e-d)$ である。
場合分け．1：$d\le n$ なら $e<0$ なので $N_n(e)=N_n(e-d)=0$ である。2：$d=n+1$ なら $e=0$ で $P_m=N_n(0)-N_n(-d)=1$ である。$P_m$ は有界で $0$ でないので $\kappa=0$ である。3：$d\ge n+2$ とする。多項式 $h(z):=\binom{z+n}{n}-\binom{z-d+n}{n}$ は、$\binom{z+n}{n}=\frac1{n!}\prod_{i=1}^n(z+i)$ を展開すると
$$
h(z)=\frac1{n!}\Bigl(\sum_{i=1}^ni-\sum_{i=1}^n(i-d)\Bigr)z^{n-1}+(\text{$z$ の $n-2$ 次以下})=\frac{d}{(n-1)!}z^{n-1}+\cdots
$$
である。$\binom{z+n}{n}$ は $z=-1,\dots,-n$ で $0$ になるので、$e-d\ge-n$ をみたす $m$（十分大きい $m$）では $P_m(X)=h(e)$ である。$e=m(d-n-1)$ を代入すると $P_m(X)=\frac{d(d-n-1)^{n-1}}{(n-1)!}m^{n-1}+O(m^{n-2})$ となり、主張の極限を得る。$n-1\ge1$ なので、$P_m/m^{n-1}$ は有界で、$P_m/m^{n-2}$ は有界でない。よって $\kappa(X)=n-1$ である。$\square$
$n=2$ は平面曲線の場合で、$d\le2$（直線・2 次曲線、種数 $0$）なら $\kappa=-\infty$、$d=3$（種数 $1$）なら $\kappa=0$、$d\ge4$ なら $\kappa=1$ である。$n=3$ の場合（空間の曲面）は 代数曲面 の定理「空間の滑らかな曲面の不変量」にもあり、滑らかな 4 次曲面（K3曲面）は $P_m=1$ である。$n=4$、$d=5$ の 5 次 3 次元多様体は $\omega_X\cong\mathcal{O}_X$ の Calabi–Yau多様体 で、やはり $P_m=1$ である。
$k$ を代数閉体、$C$ を種数 $g$ の滑らかな射影曲線とする。双有理幾何学 の例「曲線の小平次元」により次の表のようになる。
| 種数 | $P_1$ | $P_m$（$m\ge2$） | $\kappa(C)$ |
|---|---|---|---|
| $g=0$ | $0$ | $0$ | $-\infty$ |
| $g=1$ | $1$ | $1$ | $0$ |
| $g\ge2$ | $g$ | $(2m-1)(g-1)$ | $1$ |
$g\ge2$、$m\ge2$ の値は、$\deg\omega_C^{\otimes m}=m(2g-2)>2g-2$ と Riemann–Rochの定理 による。
直積の多重種数
積空間の上の大域切断は、因子の大域切断のテンソル積になる。$X,Y$ を $k$ 上のスキーム、$p\colon X\times_kY\to X$、$q\colon X\times_kY\to Y$ を射影とし、$X$ 上の層 $\mathcal{E}$ と $Y$ 上の層 $\mathcal{F}$ について $\mathcal{E}\boxtimes\mathcal{F}:=p^*\mathcal{E}\otimes q^*\mathcal{F}$ と書く。
$X,Y$ を $k$ 上の分離的で準コンパクトなスキーム、$\mathcal{E},\mathcal{F}$ をそれぞれ $X,Y$ 上の準連接層とする。このとき $s\otimes t\mapsto p^*s\otimes q^*t$ は $k$ ベクトル空間の同型
$$
H^0(X,\mathcal{E})\otimes_kH^0(Y,\mathcal{F})\xrightarrow{\ \sim\ }H^0(X\times_kY,\mathcal{E}\boxtimes\mathcal{F})
$$
を与える。
要点：アフィンの場合は $\mathcal{E}\boxtimes\mathcal{F}$ の切断が加群のテンソル積 $M\otimes_kN$ そのものであり、一般の場合は有限個のアフィン開集合による被覆で大域切断を「貼り合わせの条件の核」として書き、体上のテンソル積が核と交換することを使う。
詳しい証明を開く
段 1（アフィンの場合）．$X=\operatorname{Spec}A$、$Y=\operatorname{Spec}B$、$\mathcal{E}=\tilde M$、$\mathcal{F}=\tilde N$ なら、$X\times_kY=\operatorname{Spec}(A\otimes_kB)$ で、$p^*\tilde M\otimes q^*\tilde N$ は $(M\otimes_A(A\otimes_kB))\otimes_{A\otimes_kB}((A\otimes_kB)\otimes_BN)\cong M\otimes_kN$ に対応する。よって大域切断は $M\otimes_kN$ で、写像は恒等写像である。
段 2（核としての表示）．$X$ を有限個のアフィン開集合 $U_1,\dots,U_a$ で、$Y$ を $V_1,\dots,V_b$ で覆う。$X,Y$ は分離的なので $U_{ii'}:=U_i\cap U_{i'}$、$V_{jj'}:=V_j\cap V_{j'}$ もアフィンである。$E^0:=\prod_i\mathcal{E}(U_i)$、$E^1:=\prod_{i,i'}\mathcal{E}(U_{ii'})$ とし、$\alpha\colon E^0\to E^1$ を $(s_i)\mapsto(s_i|_{U_{ii'}}-s_{i'}|_{U_{ii'}})$ とすると、層の条件から $H^0(X,\mathcal{E})=\operatorname{Ker}\alpha$ である。$\mathcal{F}$ についても同様に $\beta\colon F^0\to F^1$ を作ると $H^0(Y,\mathcal{F})=\operatorname{Ker}\beta$ である。
段 3（積の上の切断）．$X\times_kY$ はアフィン開集合 $W_{ij}:=U_i\times V_j$ で覆われ、$W_{ij}\cap W_{i'j'}=U_{ii'}\times V_{jj'}$ もアフィンである。段 1 により $\mathcal{G}:=\mathcal{E}\boxtimes\mathcal{F}$ の $W_{ij}$ 上の切断は $\mathcal{E}(U_i)\otimes\mathcal{F}(V_j)$ であり、$\prod_{i,j}\mathcal{G}(W_{ij})=E^0\otimes F^0$ である（有限積はテンソル積と交換する）。$g=(g_{ij})\in E^0\otimes F^0$ が大域切断を定めるのは、すべての $(i,j),(i',j')$ で $g_{ij}$ と $g_{i'j'}$ が $U_{ii'}\times V_{jj'}$ 上で一致するときである。$j=j'$ の条件をすべて集めたものは $(\alpha\otimes\mathrm{id})(g)=0$（$E^1\otimes F^0$ の中で）であり、$i=i'$ の条件を集めたものは $(\mathrm{id}\otimes\beta)(g)=0$ である。逆にこの 2 つが成り立てば、$g_{ij}$ と $g_{i'j}$ が $U_{ii'}\times V_j$ 上で一致し、$g_{i'j}$ と $g_{i'j'}$ が $U_{i'}\times V_{jj'}$ 上で一致するので、両方を $U_{ii'}\times V_{jj'}$ に制限して $g_{ij}$ と $g_{i'j'}$ が一致する。よって $H^0(X\times_kY,\mathcal{G})=\operatorname{Ker}(\alpha\otimes\mathrm{id})\cap\operatorname{Ker}(\mathrm{id}\otimes\beta)$ である。
段 4（線形代数）．体上のテンソル積は完全なので $\operatorname{Ker}(\alpha\otimes\mathrm{id})=\operatorname{Ker}\alpha\otimes F^0$、$\operatorname{Ker}(\mathrm{id}\otimes\beta)=E^0\otimes\operatorname{Ker}\beta$ である。部分空間 $A'\subset E^0$、$B'\subset F^0$ について $(A'\otimes F^0)\cap(E^0\otimes B')=A'\otimes B'$ である（$A'$ の基底を延ばした $E^0$ の基底と、$B'$ の基底を延ばした $F^0$ の基底をとって、テンソル積の基底の係数を比べればよい）。よって $H^0(X\times_kY,\mathcal{G})=\operatorname{Ker}\alpha\otimes\operatorname{Ker}\beta=H^0(X,\mathcal{E})\otimes H^0(Y,\mathcal{F})$ であり、この同一視は $s\otimes t\mapsto(s|_{U_i}\otimes t|_{V_j})_{i,j}=p^*s\otimes q^*t$ で与えられる。$\square$
$k$ を代数閉体、$X,Y$ を $k$ 上の滑らかな射影多様体とする。このとき $X\times_kY$ は滑らかな射影多様体であり、すべての $m\ge1$ について
$$
P_m(X\times_kY)=P_m(X)\,P_m(Y)
$$
である。
$k$ が代数閉体なので $X\times_kY$ は多様体（整）である（代数多様体 の注意「基礎体の拡大と積」）。滑らかな $k$ スキームの積は滑らかであり（滑らかな射 の命題「底変換と合成」の 3）、射影的なスキームの積は Segre埋め込み により射影的である。標準層 の命題「滑らかな射の標準層」により $\omega_{X\times Y}\cong p^*\omega_X\otimes q^*\omega_Y$ であり、引き戻しはテンソル積と交換するので
$$
\omega_{X\times Y}^{\otimes m}\cong p^*\omega_X^{\otimes m}\otimes q^*\omega_Y^{\otimes m}=\omega_X^{\otimes m}\boxtimes\omega_Y^{\otimes m}
$$
である。射影多様体は分離的かつ準コンパクトなので、lem-pg-kunneth により $H^0(X\times Y,\omega_{X\times Y}^{\otimes m})\cong H^0(X,\omega_X^{\otimes m})\otimes_kH^0(Y,\omega_Y^{\otimes m})$ であり、次元をとれば主張を得る。$\square$
ex-pg-curves と組み合わせると、曲線の積の多重種数と小平次元が次のように計算できる（$C_g$ は種数 $g$ の滑らかな射影曲線、$m\ge2$）。
| 曲面 | $P_1=p_g$ | $P_m$（$m\ge2$） | $\kappa$ |
|---|---|---|---|
| $C_g\times\mathbb{P}^1$ | $0$ | $0$ | $-\infty$ |
| $C_1\times C_1'$（2 つの楕円曲線） | $1$ | $1$ | $0$ |
| $C_1\times C_g$（$g\ge2$） | $g$ | $(2m-1)(g-1)$ | $1$ |
| $C_g\times C_h$（$g,h\ge2$） | $gh$ | $(2m-1)^2(g-1)(h-1)$ | $2$ |
最後の行では $P_m/m^2\to4(g-1)(h-1)>0$ なので $\kappa=2$ で、一般型の曲面である。
反例
def-pg の条件と thm-pg-birational の仮定を 1 つずつ外すと、次のように結論が崩れる。最後の行は、よくある誤解の反例である。
| 外す条件・誤解 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $m\ge1$ | $\mathbb{P}^2$ と $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の $h^0(\omega^{\otimes(-1)})$ | 双有理不変性（$10$ と $9$） |
| 射影的であること | $\mathbb{A}^1_k$ と $\mathbb{P}^1_k$ | 有限性と双有理不変性（$H^0(\mathbb{A}^1,\omega^{\otimes m})$ は無限次元、$P_m(\mathbb{P}^1)=0$） |
| 滑らかさ（標準層の代わりに双対化層を使う） | 結節点 3 次曲線 $C=V_+(y^2z-x^3-x^2z)$ と $\mathbb{P}^1$ | 双有理不変性（$h^0((\omega^\circ_C)^{\otimes m})=1$、$P_m(\mathbb{P}^1)=0$） |
| 誤解「$P_m$ がすべて $0$ なら有理多様体」 | $C_g\times\mathbb{P}^1$（$g\ge1$） | $P_m=0$（すべての $m$）だが有理曲面でない |
1 行目：$\mathbb{P}^2$ と $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ は双有理同値である（双有理写像 の例「反例：射影直線の積と射影平面」）。$\omega_{\mathbb{P}^2}^{\otimes(-1)}\cong\mathcal{O}(3)$ なので $h^0=\binom{5}{2}=10$ である。$\omega_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}\cong\mathcal{O}(-2)\boxtimes\mathcal{O}(-2)$（標準層 の命題「滑らかな射の標準層」）なので $\omega^{\otimes(-1)}\cong\mathcal{O}(2)\boxtimes\mathcal{O}(2)$ であり、lem-pg-kunneth により $h^0=3\cdot3=9$ である。
2 行目：$\mathbb{A}^1_k=\operatorname{Spec}k[x]$ では $\omega=\mathcal{O}\,dx$ は自明なので $H^0(\mathbb{A}^1,\omega^{\otimes m})=k[x]\,(dx)^{\otimes m}$ は無限次元である。$\mathbb{A}^1_k$ は $\mathbb{P}^1_k$ の稠密な開集合なので両者は双有理同値だが、$P_m(\mathbb{P}^1)=0$ である。
3 行目：$C$ は 3 次の平面曲線で、原点で特異（結節点）であり、$t=y/x$ による媒介変数表示 $x=t^2-1$、$y=t(t^2-1)$ により $\mathbb{P}^1$ と双有理同値である（種数 の注意「反例：特異曲線の算術種数と幾何種数」）。特異な曲線では $\Omega^1_C$ は可逆層でないので、代わりに双対化層 $\omega^\circ_C$ を使うと、双対化層 の例「超曲面と完全交叉」により $\omega^\circ_C\cong\mathcal{O}_C(3-3)=\mathcal{O}_C$ である。完全交叉 の定理「構造層のひねりのコホモロジー」の 3 により $H^0(C,\mathcal{O}_C)=k$ なので、すべての $m\ge1$ で $h^0((\omega^\circ_C)^{\otimes m})=1$ である。
4 行目：$X:=C_g\times\mathbb{P}^1$ の多重種数は thm-pg-product により $P_m(C_g)\cdot0=0$ である。$X$ が有理曲面なら、双有理写像 の定理「代表的な双有理不変量」の 1 により $h^0(\Omega^1_X)=h^0(\Omega^1_{\mathbb{P}^2})$ である。$\mathbb{P}^2$ の Euler 列 $0\to\Omega^1\to\mathcal{O}(-1)^{\oplus3}\to\mathcal{O}\to0$（Kähler微分 の例「射影空間の Euler 列」）と $H^0(\mathcal{O}(-1))=0$ から $h^0(\Omega^1_{\mathbb{P}^2})=0$ である。一方、射影 $p\colon X\to C_g$ は切断 $s\colon c\mapsto(c,\infty)$ をもち、微分形式の引き戻しは $s^*\circ p^*=(p\circ s)^*=\mathrm{id}$ をみたすので、$p^*\colon H^0(C_g,\Omega^1)\to H^0(X,\Omega^1_X)$ は単射で $h^0(\Omega^1_X)\ge g\ge1$ である。よって $X$ は有理曲面でない。
曲面については、Castelnuovo の判定法により「滑らかな射影曲面が有理曲面であるのは $p_a=P_2=0$ のときに限る」ことが知られている（$k$ は代数閉体。Har77 V, Theorem 6.2, p. 422。この記事では証明しない）。4 行目の $C_g\times\mathbb{P}^1$ は $P_2=0$ だが、$p_a=p_g-q\le-g<0$ なので（算術種数 の例「反例の確かめ」の 4 行目）、この判定法の条件 $p_a=0$ をみたさない。
関連項目
- 前提: 標準層, 双有理写像, 種数
- 比較: 算術種数, 双対化層
- 直後に読む: 双有理幾何学, 代数曲面
- 例: K3曲面, Enriques曲面, Calabi–Yau多様体
参考文献
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