ベクトル束の直和・テンソル積
概要
ベクトル束の直和・テンソル積（direct sum and tensor product of vector bundles）とは、同じ底空間上の束にファイバーごとの直和またはテンソル積を施し、局所自明化を貼り合わせて新しいベクトル束を作る操作である。階数は直和で和、テンソル積で積となる。
ファイバーごとの線形代数
ベクトル束の直和・テンソル積（direct sum and tensor product of vector bundles）とは、同じ底空間上の束にファイバーごとの直和またはテンソル積を施し、局所自明化を貼り合わせて新しいベクトル束を作る操作である。
以下、$B$ を位相空間、$\mathbb K$ を $\mathbb R$ または $\mathbb C$、$E\to B$、$F\to B$ を有限階数の $\mathbb K$-ベクトル束とする。滑らかな多様体上でも同じ構成が成り立つ。標準的な構成は Hus94 Chapter 3 に従う。
直和
ファイバー積
$$E\times_BF:=\{(e,f)\in E\times F\mid \pi_E(e)=\pi_F(f)\}$$
の点 $b\in B$ 上のファイバーを
$$(E\oplus F)_b:=E_b\oplus F_b$$
とする束を $E$ と $F$ の直和といい、$E\oplus F$ と書く。
$E,F$ の階数が $r,s$ なら、$E\oplus F$ は階数 $r+s$ のベクトル束である。
$U\subset B$ 上の同時局所自明化 $E|_U\cong U\times\mathbb K^r$、$F|_U\cong U\times\mathbb K^s$ をとる。すると
$$
(E\oplus F)|_U\longrightarrow U\times(\mathbb K^r\oplus\mathbb K^s),
\qquad(e,f)\longmapsto(b,(v,w))
$$
は各ファイバー上で線形な同相写像である。逆写像も二つの局所自明化の逆写像から連続である。よって局所自明性と階数 $r+s$ が従う。$\blacksquare$
$\underline{\mathbb K}^{r}:=B\times\mathbb K^r$ と書くと
$$\underline{\mathbb K}^{r}\oplus\underline{\mathbb K}^{s}\cong\underline{\mathbb K}^{r+s}.$$
一方、$E\oplus\underline{\mathbb K}$ が必ず自明になるわけではない。
テンソル積
各 $b\in B$ に対して
$$(E\otimes F)_b:=E_b\otimes_{\mathbb K}F_b$$
をファイバーとし、局所自明化で定まる位相を入れた束を $E$ と $F$ のテンソル積といい、$E\otimes F$ と書く。
$E,F$ の階数が $r,s$ なら、$E\otimes F$ は階数 $rs$ のベクトル束である。
共通の開被覆 $\{U_i\}$ 上で $E,F$ の変換関数を $g_{ij},h_{ij}$ と書く。すると
$$g_{ij}\otimes h_{ij}:U_i\cap U_j\to\operatorname{GL}(\mathbb K^r\otimes\mathbb K^s)$$
は連続で、
$$
(g_{ij}\otimes h_{ij})(g_{jk}\otimes h_{jk})=g_{ik}\otimes h_{ik}
$$
を満たす。よって局モデル $U_i\times(\mathbb K^r\otimes\mathbb K^s)$ を貼り合わせてベクトル束が得られる。ファイバー次元は $rs$ である。$\blacksquare$
$L\to B$ を階数1の束とする。評価 $v\otimes\lambda\mapsto\lambda(v)$ はファイバーごとの同型で、局所自明化と両立するから
$$L\otimes L^*\cong\underline{\mathbb K}$$
である。
$E,F$ がともに階数2なら $E\oplus F$ と $E\otimes F$ はともに階数4である。しかし直和では $(av,w)$ と $(v,aw)$ を同一視せず、テンソル積では $av\otimes w=v\otimes aw$ を課す。従って階数が同じという理由だけから両者の自然な同型は従わない。
変換関数と標準同型
変換関数が $g_{ij},h_{ij}$ なら、直和とテンソル積の変換関数は $g_{ij}\oplus h_{ij}$ と $g_{ij}\otimes h_{ij}$ である。ここから
$$
(E\oplus F)\oplus G\cong E\oplus(F\oplus G),
$$
$$
(E\otimes F)\otimes G\cong E\otimes(F\otimes G),
$$
$$
E\otimes(F\oplus G)\cong(E\otimes F)\oplus(E\otimes G)
$$
が得られる。同じ方法で双対束、準同型束、外積束、対称冪束も構成できる。双対束の変換関数は単なる転置ではなく逆転置 $(g_{ij}^{-1})^{\mathsf T}$ である。
連続写像 $f:X\to B$ に対して
$$
f^*(E\oplus F)\cong f^*E\oplus f^*F,
\qquad
f^*(E\otimes F)\cong f^*E\otimes f^*F
$$
という標準同型がある。
点 $x\in X$ 上では両辺のファイバーはそれぞれ $E_{f(x)}\oplus F_{f(x)}$ および $E_{f(x)}\otimes F_{f(x)}$ で一致する。この恒等写像は、局所自明化を $f^{-1}(U)$ へ引き戻したとき恒等写像として表される。よって連続な束同型を定める。$\blacksquare$
関連項目
参考文献
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