閉部分スキーム

要点：必要性は $f^\sharp=i_*(g^\sharp)\circ i^\sharp$ が $\ker i^\sharp=\mathcal{I}_Z$ を消すことから従う。十分性は、$X$ のアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$ の上で $i^{-1}(U)\cong\operatorname{Spec}A/I$ となることを使い、$f^{-1}(U)$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}B$ ごとに環準同型 $A\to B$ が $I$ を消すことから $A/I\to B$ を作り、得られた射を貼り合わせる。一意性と貼り合わせの整合は、$i$ がモノ射であることによる。

要点：$V(\mathcal{I})$ は閉集合で、$\mathcal{O}_X/\mathcal{I}$ はその外で茎が $0$ だから $j_*j^{-1}(\mathcal{O}_X/\mathcal{I})=\mathcal{O}_X/\mathcal{I}$ となり、閉埋め込みの 2 条件（閉集合の上への同相、層の射の全射性）と核が $\mathcal{I}$ であることはすぐに従う。スキームであることは、各アフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$ の上で、閉埋め込み $\operatorname{Spec}A/I\to U$ の構造層の押し出しが $\widetilde{A/I}=(\mathcal{O}_X/\mathcal{I})|_U$ に等しいことから、$(Z\cap U,\mathcal{O}_Z|_{Z\cap U})\cong\operatorname{Spec}A/I$ を読みとる。

写像が矛盾なく定まり、値が準連接であることは定義の後で見た。
包含の判定：$Z\subset Z'$ は閉埋め込み $i\colon Z\to X$ が $i'\colon Z'\to X$ を経由することであり、lem-closed-subscheme-factorization を $T=Z$、$f=i$ に使うと、これは $\mathcal{I}_{Z'}\to\mathcal{O}_X\to i_*\mathcal{O}_Z$ が $0$、すなわち $\mathcal{I}_{Z'}\subset\ker i^\sharp=\mathcal{I}_Z$ と同値である。
単射：$\mathcal{I}_Z=\mathcal{I}_{Z'}$ なら、上により $i=i'\circ g$、$i'=i\circ g'$ となる $g,g'$ がある。$i\circ(g'\circ g)=i'\circ g=i=i\circ\mathrm{id}_Z$ で、$i$ はモノ射なので $g'\circ g=\mathrm{id}_Z$、同様に $g\circ g'=\mathrm{id}_{Z'}$ である。よって $g$ は同型で、$i$ と $i'$ は同値である。
全射：lem-closed-subscheme-existence による。
アフィンの場合は、イデアル層 の記事の定理「アフィンスキーム上のイデアルとの対応」と合わせればよい。$\square$

1. $\mathcal{I}_k\subset\mathcal{I}_1+\mathcal{I}_2$ なので thm-closed-subscheme-ideal により $Z_1\cap Z_2\subset Z_k$ であり、包含の射 $a_k$ は $i_k\circ a_k=i_{12}$（$i_{12}$ は $Z_1\cap Z_2$ の閉埋め込み）をみたす。射 $f\colon T\to X$ について、$\mathcal{I}_1+\mathcal{I}_2\to f_*\mathcal{O}_T$ が $0$ であることは、$\mathcal{I}_1\oplus\mathcal{I}_2\to\mathcal{I}_1+\mathcal{I}_2$ が全射なので、$\mathcal{I}_1$ と $\mathcal{I}_2$ の上でともに $0$ であることと同値である。lem-closed-subscheme-factorization により、これは「$f$ が $Z_1\cap Z_2$ を経由する」と「$f$ が $Z_1$ と $Z_2$ の両方を経由する」が同値であることを意味する。
   ファイバー積の普遍性を確かめる。$u_k\colon T\to Z_k$ が $i_1\circ u_1=i_2\circ u_2=:f$ をみたすとする。$f$ は $Z_1$ と $Z_2$ を経由するので、$f=i_{12}\circ w$ となる $w\colon T\to Z_1\cap Z_2$ がある。$i_k\circ(a_k\circ w)=i_{12}\circ w=f=i_k\circ u_k$ で $i_k$ はモノ射なので $a_k\circ w=u_k$ である。$a_k\circ w'=u_k$ をみたす $w'$ があれば $i_{12}\circ w'=f=i_{12}\circ w$ で、$i_{12}$ がモノ射なので $w'=w$ である。
2. $\mathcal{I}_1\cap\mathcal{I}_2\subset\mathcal{I}_k$ なので $Z_k\subset Z_1\cup Z_2$ である。閉部分スキーム $W$ が $Z_1,Z_2$ を含めば $\mathcal{I}_W\subset\mathcal{I}_1$ かつ $\mathcal{I}_W\subset\mathcal{I}_2$、したがって $\mathcal{I}_W\subset\mathcal{I}_1\cap\mathcal{I}_2$ で、$Z_1\cup Z_2\subset W$ である。
3. 閉部分スキーム $Z$ の台は $V(\mathcal{I}_Z)$ である（イデアル層 の記事の命題「閉埋め込みのイデアル層は準連接」）。同記事の命題「準連接イデアル層の演算」の 2 により $V(\mathcal{I}_1+\mathcal{I}_2)=V(\mathcal{I}_1)\cap V(\mathcal{I}_2)$、$V(\mathcal{I}_1\cap\mathcal{I}_2)=V(\mathcal{I}_1)\cup V(\mathcal{I}_2)$ である。$\square$

1. 存在：条件が各点についてのもので、$f(t)=0$ をみたす $f$ は和と $\mathcal{O}_X(U)$ の元の積で閉じるので、$\mathcal{I}_T$ はイデアル層である。$U=\operatorname{Spec}A$ の上で、$\mathfrak{p}$ での $f\in A$ の値が $0$ であることは $f\in\mathfrak{p}$ と同値なので $\mathcal{I}_T(U)=I:=\bigcap_{\mathfrak{p}\in T\cap U}\mathfrak{p}$ である。$T\cap U=V(J)$ と書くと、$J$ を含む素イデアルの共通部分は $\sqrt{J}$ なので $I=\sqrt{J}$ で、$V(I)=T\cap U$ である。$g\in A$ について、同様に $\mathcal{I}_T(D(g))$ は $V(I)\cap D(g)$ の点に対応する $A_g$ の素イデアル、すなわち $IA_g$ を含む素イデアルの共通部分 $\sqrt{IA_g}$ であり、$A/I$ が被約なのでその局所化 $A_g/IA_g$ も被約（冪零根基 の記事の命題「局所化と冪零根基」）、したがって $\sqrt{IA_g}=IA_g=I_g$ である。$\mathcal{I}_T|_U$ と $\widetilde{I}$ は $\mathcal{O}_U$ の部分層で基本開集合の上の切断が一致するので等しく、$\mathcal{I}_T$ は準連接である。それが定める閉部分スキーム $T_{\mathrm{red}}$ は、$U$ の上で $\operatorname{Spec}A/I$（$A/I$ は被約）で台は $V(I)=T\cap U$ である。被約な環の局所化は被約なので、$T_{\mathrm{red}}$ の茎はすべて被約である。
   一意性：$Z'$ を台が $T$ の被約な閉部分スキームとし、$U=\operatorname{Spec}A$ の上で $Z'\cap U=\operatorname{Spec}A/I'$ とする。$A/I'=\mathcal{O}_{Z'}(Z'\cap U)$ は被約なので $I'=\sqrt{I'}$ であり、$V(I')=T\cap U$ から $I'=\sqrt{I'}=\bigcap_{\mathfrak{p}\supset I'}\mathfrak{p}=\bigcap_{\mathfrak{p}\in T\cap U}\mathfrak{p}=I$ である。イデアル層が一致するので、thm-closed-subscheme-ideal により $Z'=T_{\mathrm{red}}$ である。
2. lem-closed-subscheme-factorization により、$s\in\mathcal{I}_T(U)$ に対し $b:=f^\sharp(s)\in\mathcal{O}_Y(f^{-1}(U))$ が $0$ であることを示せばよい。$y\in f^{-1}(U)$ での $b$ の値 $b(y)\in\kappa(y)$ は、局所準同型 $f^\sharp_y$ が誘導する体の準同型 $\kappa(f(y))\to\kappa(y)$ による $s(f(y))$ の像であり、$f(y)\in T$ なので $0$ である。$f^{-1}(U)$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}B$ の上で、$b$ はすべての素イデアルに含まれるので $B$ の冪零元であり（冪零根基 の記事の定理「素イデアル全体の共通部分としての冪零根基」）、$B$ は被約なので $b=0$ である。経由の一意性は閉埋め込みがモノ射であることによる。$\square$