本田–Tateの定理
概要
本田–Tateの定理（Honda–Tate theorem）とは、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の単純アーベル多様体の同種類が、Frobenius 自己準同型 $A\mapsto\pi_A$ によって $q$ Weil 数の共役類と一対一に対応するという定理である。単射は Tate、全射は本田平による。$A$ の自己準同型代数と次元は $\pi_A$ の局所的な付値で決まり、楕円曲線の場合には現れる Frobenius の跡が完全に決まる。全射の証明には CM 型のアーベル多様体の還元と Shimura–Taniyama の公式を使う。
本田–Tateの定理（Honda–Tate theorem）とは、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の単純アーベル多様体の同種類が、$q$ Weil 数の共役類と一対一に対応するという定理である。単純アーベル多様体 $A$ の Frobenius 自己準同型 $\pi_A$ は、すべての複素埋め込みで絶対値 $\sqrt q$ をもつ代数的整数である。この対応 $A\mapsto\pi_A$ が同種類について単射であることは Tate が、全射であることは本田平（Taira Honda）が示した（Tat71 §§2–3）。これによって、幾何学的な対象の分類が、代数的数を並べる問題に置きかわる。
同じ定理の中で、$A$ の自己準同型代数は $\pi_A$ だけから決まる。その結果、$A$ の次元は $\pi_A$ の局所的な付値から計算できる。楕円曲線の場合には、どの跡 $a$ が現れるかという問いの完全な答えが得られる。全射の証明は虚数乗法をもつアーベル多様体の還元を使うので、志村の相互法則 と同じ Shimura–Taniyama の公式が鍵になる。
定理そのものは引用である（この記事では証明しない）。Weil 数の構造、単射性の導出、補題の一部、楕円曲線の判定法は証明する。
| 結果 | 内容 | 扱い |
|---|---|---|
| prop-ht-structure | Weil 数の体は実か CM 体で、$p$ の外で単数である | 証明 |
| thm-ht-main | 同種類と Weil 数の共役類の全単射 | 引用 |
| thm-ht-endomorphism | 自己準同型代数の局所不変量と次元の公式 | 引用 |
| prop-ht-injective | 共役な Frobenius をもつ単純多様体は同種 | Tate の定理からの導出 |
| prop-ht-elliptic | 楕円曲線の跡の判定法 | 定理からの導出 |
| lem-ht-descent・thm-ht-st・lem-ht-type | 全射の証明の部品 | 一部証明 |
定義
$q=p^r$ を素数冪、$k=\mathbb{F}_q$ とする。$k$ 上の $g$ 次元アーベル多様体 $A$ に対し、座標を $q$ 乗する Frobenius 自己準同型 $\pi_A\in\operatorname{End}_k(A)$ がある。$\ell\neq p$ について、$\pi_A$ の Tate 空間 $V_\ell A$ への作用の特性多項式を $P_A(T)$ と書く。$P_A$ は $\mathbb{Z}$ 係数の $2g$ 次モニック多項式で、$\ell$ によらない（Wat69 p. 526）。$\pi_A$ は $V_\ell A$ に半単純に作用する。
$A$ が $k$ 上単純とは、$0$ と $A$ のほかに $k$ 上の部分アーベル多様体がないことをいう。同種はこの記事ではつねに $k$ 上の同種である（同種写像）。$\operatorname{End}^0(A):=\operatorname{End}_k(A)\otimes\mathbb{Q}$ とおく。$A$ が単純なら $\operatorname{End}^0(A)$ は斜体で、$\pi_A$ はその中心の元なので、$\mathbb{Q}(\pi_A)$ は体である。
代数的整数 $\pi$ が $q$ Weil 数（Weil $q$-number）であるとは、すべての埋め込み $\iota\colon\mathbb{Q}(\pi)\to\mathbb{C}$ について $\lvert\iota(\pi)\rvert=\sqrt q$ であることをいう。2 つの $q$ Weil 数が共役であるとは、$\mathbb{Q}$ 上の最小多項式が同じことをいう。
Mil17 p. 102 は Weil $q$-integer と呼ぶ。Weil の定理（有限体上のアーベル多様体の Riemann 予想。Weil予想）により、単純な $A$ の $\pi_A$ は $q$ Weil 数である（Wat69 p. 527、Mil17 Theorem 10.7, p. 102。この記事では証明しない）。
$\pi$ を $q$ Weil 数、$F:=\mathbb{Q}(\pi)$ とする。
- $\pi\mapsto q/\pi$ は $F$ の自己同型 $c$ を与え、どの埋め込み $\iota$ についても $\iota\circ c$ は $\iota$ の複素共役である。
- $c=\mathrm{id}$ なら $\pi^2=q$ である。このとき $r$ が偶数なら $F=\mathbb{Q}$、$r$ が奇数なら $F=\mathbb{Q}(\sqrt p)$ である。$c\neq\mathrm{id}$ なら $F$ は CM 体（総実体の総虚な 2 次拡大）である。
- $p$ の上にない有限素点 $v$ で $v(\pi)=0$ である。
- $\pi,\pi'$ が同じ数体に含まれる $q$ Weil 数で、その数体の $p$ の上のすべての素点 $v$ で $v(\pi')=v(\pi)$ なら、$\pi'/\pi$ は 1 の冪根である。
要点：$\iota(\pi)\overline{\iota(\pi)}=q$ から共役が $q/\pi$ と分かり、あとは付値の計算と Kronecker の定理による。
詳しい証明を開く
1．$\iota(\pi)\overline{\iota(\pi)}=q$ なので $\overline{\iota(\pi)}=\iota(q/\pi)$ である。よって $\iota(F)$ は複素共役で保たれ、$\iota^{-1}\circ(\text{共役})\circ\iota$ は $\pi$ を $q/\pi$ に写す $F$ の自己同型で、$\iota$ によらない。
2．$c=\mathrm{id}$ なら $\pi=q/\pi$ である。逆に $c\neq\mathrm{id}$ なら 1 により $\iota(F)$ のどの像も実でなく、$c$ の固定体の埋め込みはすべて実なので、$F$ は CM 体である。
3．$c(\pi)=q/\pi$ も代数的整数である。$p$ の上にない $v$ では $v(\pi)+v(q/\pi)=v(q)=0$ で、両方 $0$ 以上なので $v(\pi)=0$ である。
4．$u:=\pi'/\pi$ はすべての有限素点で付値 $0$ なので代数的整数の単数で、すべての埋め込みで絶対値 $1$ である。Kronecker の定理により $u$ は 1 の冪根である（Mil17 Lemma 10.8, p. 102）。$\square$
主定理
$A\mapsto\pi_A$ は、$\mathbb{F}_q$ 上の単純アーベル多様体の同種類の集合から、$q$ Weil 数の共役類の集合への全単射を与える。
単射は prop-ht-injective で Tate の定理から導く。全射の証明はこの記事では全部は述べず、節「全射性の証明の筋」で筋を示す。
$A$ を $\mathbb{F}_q$ 上の単純アーベル多様体、$F=\mathbb{Q}(\pi_A)$、$D=\operatorname{End}^0(A)$ とする。$D$ は中心が $F$ の斜体で、その局所不変量は次のとおりである。
- 実素点：$\operatorname{inv}_v(D)=\tfrac12$
- $p$ の上にない有限素点：$\operatorname{inv}_v(D)=0$
- $p$ の上の素点：$\operatorname{inv}_v(D)\equiv\dfrac{v(\pi_A)}{v(q)}[F_v:\mathbb{Q}_p]\pmod 1$
$e:=[D:F]^{1/2}$ とおくと $e$ は不変量の分母の最小公倍数で、$2\dim A=e\,[F:\mathbb{Q}]$ であり、$P_A$ は $\pi_A$ の最小多項式の $e$ 乗である。
これらはこの記事では証明しない（Tat71 Théorème 1, p. 96、Wat69 pp. 526–527）。Tat71 の記述では、$D$ は実素点で分解せず、$p$ の外の有限素点で分解する。thm-ht-endomorphism から、$\pi$ だけで $A$ の次元と $P_A$ が決まる。$e=1$ は $\operatorname{End}^0(A)$ が可換であることと同値である（Wat69 p. 528）。
$\pi=\pm\sqrt q$ の場合である。$r$ が偶数なら $F=\mathbb{Q}$ で、$\operatorname{inv}_\infty=\operatorname{inv}_p=\frac12$、$e=2$、$\dim A=1$ である。$A$ は超特異楕円曲線で、$D$ は $p,\infty$ で分岐する四元数環である。$r$ が奇数なら $F=\mathbb{Q}(\sqrt p)$ で、実素点が 2 つ、$p$ の上の素点は 1 つでそこの不変量は $\frac12\cdot2\equiv0$ なので、$e=2$、$\dim A=2$ である（Tat71 p. 97、Wat69 pp. 527–528）。
単射性
同種な多様体は同じ $P_A$ をもつので、$A\mapsto\pi_A$ の共役類は同種類だけで決まる。Tate の定理（Tate予想 の定理「有限体上のアーベル多様体（Tate の定理）」）を使うと、単射性は次のように導ける。
$A,B$ を $\mathbb{F}_q$ 上の単純アーベル多様体とする。$\pi_A$ と $\pi_B$ が共役なら $A$ と $B$ は同種である。
$G:=\operatorname{Gal}(\bar k/k)$ の Frobenius の元は $V_\ell A$ に $\pi_A$ として、$V_\ell B$ に $\pi_B$ として作用する。共役なので $P_A$ と $P_B$ は共通の根 $\lambda\in\bar{\mathbb{Q}}_\ell$ をもち、作用は半単純なので、$V_\ell A$ と $V_\ell B$ は共通の既約成分をもつ。よって $\operatorname{Hom}_G(V_\ell A,V_\ell B)\neq0$ である。Tate の定理により $\operatorname{Hom}_k(A,B)\otimes\mathbb{Q}_\ell$ はこの空間に等しいので、$\operatorname{Hom}_k(A,B)\neq0$ である。$A,B$ は単純なので、$0$ でない準同型は同種である。$\square$
楕円曲線の判定法
1 次元の場合、thm-ht-endomorphism から現れる跡が決まる。1 次元のアーベル多様体は楕円曲線である。楕円曲線 $E$ の $P_E(T)=T^2-aT+q$ の $a$ が跡である（有限体上の楕円曲線）。
$a$ を $\lvert a\rvert< 2\sqrt q$ を満たす整数とする。$\mathbb{F}_q$ 上の楕円曲線で跡が $a$ のものがあるための必要十分条件は、$p\nmid a$ であるか、$p$ が $F=\mathbb{Q}(\sqrt{a^2-4q})$ で分解しないことである。
$T^2-aT+q$ の根 $\pi$ は判別式が負なので虚 2 次の $q$ Weil 数で、$F=\mathbb{Q}(\pi)$ である。thm-ht-main により $\pi$ に単純な $A$ が対応し、$\dim A=e$ である。$\dim A=1$ のとき $P_A=T^2-aT+q$ である。よって、跡 $a$ の楕円曲線があることは $e=1$ と同値で、これは $p$ の上のすべての不変量が $0$ であることと同値である（$F$ に実素点はない）。
$p$ が $F$ で分解しないとき、$p$ の上の素点 $v$ は 1 つで $\bar\pi$ でも付値は変わらない。$\pi\bar\pi=q$ から $v(\pi)/v(q)=\frac12$ で、$[F_v:\mathbb{Q}_p]=2$ なので不変量は $1\equiv0$ である。
$p$ が分解して $v,\bar v$ の 2 つになるとき、$[F_v:\mathbb{Q}_p]=1$、$v(q)=r$ で、不変量は $v(\pi)/r$ である。$v(\pi)+\bar v(\pi)=r$ で両方 $0$ 以上なので、$e=1$ は $v(\pi)\in\{0,r\}$ と同値である。これは $\pi$ か $\bar\pi$ が $v$ で単数であることと同値であり、$a=\pi+\bar\pi$ が $v$ で単数であること、すなわち $p\nmid a$ と同値である。実際、$v(\pi)=0$ なら $v(\bar\pi)=\bar v(\pi)=r>0$ なので $a$ は $v$ で単数であり、$0< v(\pi)< r$ なら $\pi,\bar\pi$ はともに $v,\bar v$ で正の付値をもつので $p\mid a$ である。$\square$
$a^2=4q$（$r$ は偶数）の場合は ex-ht-real により楕円曲線がある。これらを $a$ の値で書き下すと、有限体上の楕円曲線 が引いている次の表になる（Wat69 Theorem 4.1, p. 536）。$\mathbb{F}_q$ 上の楕円曲線の同種類は、次のどれかを満たす整数 $a$（$\lvert a\rvert\le2\sqrt q$）と一対一に対応する。
| 条件 | $a$ | 曲線 |
|---|---|---|
| $p\nmid a$ | すべて | 通常 |
| $r$ が偶数 | $\pm2\sqrt q$ | 超特異 |
| $r$ が偶数、$p\not\equiv1\pmod3$ | $\pm\sqrt q$ | 超特異 |
| $r$ が奇数、$p=2,3$ | $\pm p^{(r+1)/2}$ | 超特異 |
| $r$ が奇数、または $r$ が偶数で $p\not\equiv1\pmod4$ | $0$ | 超特異 |
$q=2$ では $\lvert a\rvert\le2$ の 5 個の整数がすべて現れる。$a=\pm2$ は $F=\mathbb{Q}(i)$、$a=0$ は $F=\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ で、$2$ は分岐する。$q=49$ では $\lvert a\rvert\le14$ の 29 個の整数のうち $a=\pm7$ だけが現れず、同種類は 27 個である（Wat69 p. 538）。$a=7$ の根 $\pi=7\zeta_6$ については ex-ht-dimension-two で見る。
次元が大きくなる例
$q=49$、$\pi=7\zeta_6$（$\pi^2-7\pi+49=0$）とする。$F=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ で $7$ は分解し、$(\pi)=(7)=\mathfrak{p}\bar{\mathfrak{p}}$ なので、不変量は $\frac12$、$\frac12$ である。よって $e=2$ で、対応する $A$ は単純なアーベル曲面で $P_A=(T^2-7T+49)^2$ である。$T^2-7T+49$ は Weil 数を根にもつが、どの楕円曲線の特性多項式でもない。
$q=8$、$\pi=-1+\sqrt{-7}$ とする。$\pi$ は $\pi^2+2\pi+8=0$ の根で、$F=\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ では $2=\mathfrak{p}\bar{\mathfrak{p}}$ と分解する。$\theta:=\frac{-1+\sqrt{-7}}2$ の素イデアル分解を $(\theta)=\mathfrak{p}$ とすると、$\pi=2\theta$ なので $v_{\mathfrak{p}}(\pi)=2$、$v_{\bar{\mathfrak{p}}}(\pi)=1$ である。不変量は $\frac23$、$\frac13$ で、$e=3$、$\dim A=3$、$P_A=(T^2+2T+8)^3$ である。
一般に、互いに素な $0\le n< n'$ と $m=n+n'$ について $\pi^2+p^n\pi+p^m=0$ の根は $p^m$ Weil 数で、$p$ は 2 つの素点に分解し、不変量は $n/m$、$n'/m$、$\dim A=m$ である。ex-ht-dimension-three は $n=1$、$n'=2$ の場合である。この $A$ の $p$ 可除群は $\bar k$ 上で、Dieudonné の理論の群 $G_{n,n'}\times G_{n',n}$ と同種になる。したがってこの群はアーベル多様体から来るものであり、これが Manin の問題の肯定的な解を与える（Tat71 p. 98）。
全射性の証明の筋
$q$ Weil 数 $\pi$ が、ある単純な $A$ の $\pi_A$ と共役であるとき、$\pi$ は実現されるという。全射性の証明は Tat71 §§3–4 の次の 3 段階である。
冪への帰着
$N\ge1$ とする。$\pi^N$（$q^N$ Weil 数）が $\mathbb{F}_{q^N}$ 上で実現されるなら、$\pi$ は $\mathbb{F}_q$ 上で実現される。
$A'$ を $\mathbb{F}_{q^N}$ 上の単純アーベル多様体で $\pi_{A'}$ が $\pi^N$ と共役なものとし、$A$ を $A'$ の $\mathbb{F}_q$ への Weil の係数制限とする。$V_\ell A$ は $V_\ell A'$ の誘導表現なので、$P_A(T)=P_{A'}(T^N)$ である（Tat71 式 (5), p. 100）。よって $P_A(\pi)=0$ である。$A$ は単純因子の積と同種で、$P_A$ はそれらの $P$ の積なので、$\pi$ はある単純因子 $A_1$ の $P_{A_1}$ の根である。$P_{A_1}$ は $\pi_{A_1}$ の最小多項式の冪なので、$\pi$ は $\pi_{A_1}$ と共役である。$\square$
CM 型の持ち上げ
$\pi$ を $q$ Weil 数、$F=\mathbb{Q}(\pi)$、$D$ を thm-ht-endomorphism の不変量をもつ $F$ 上の斜体、$e$ をその次数とする。$F$ を含み $D$ を分解する CM 体 $L$ で $[L:F]=e$ のものがとれる（Tat71 Lemme 2, pp. 100–101）。$\pi$ が実なら $L=F(\sqrt{-p})$ でよい。
CM 体 $L$ と CM 型 $\Phi$ の定義は 志村の相互法則 の定義「CM 型」のとおりである。$\mathbb{Q}_p$ の代数閉包 $C$ を固定し、定義の $\mathbb{C}$ を $C$ に替えて $\Phi\subset\operatorname{Hom}(L,C)$ とする。$p$ の上の $L$ の素点 $w$ に対して $H_w:=\operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_p}(L_w,C)$ を $\operatorname{Hom}(L,C)$ の部分集合とみなし、$\Phi_w:=\Phi\cap H_w$ とおく。
$A$ を $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大の整数環の上の、CM 型 $(L,\Phi)$ のアーベルスキームとし、$A_0$ をその閉点への還元、$q_0$ を剰余体の位数とする。$L$ の元 $\pi_0$ で $A_0$ の Frobenius を引き起こすものがあり、$p$ の上の素点 $w$ について
$$
\frac{w(\pi_0)}{w(q_0)}=\frac{\lvert\Phi_w\rvert}{\lvert H_w\rvert}
$$
である。
この公式はこの記事では証明しない（Tat71 Lemme 5, p. 103、Mil17 Theorem 10.10, p. 103）。$L=\mathbb{Q}(i)$、$\Phi=\{\mathbb{Q}(i)\subset\mathbb{C}\}$ の場合は、志村の相互法則 の命題「Frobenius は $\psi(\mathfrak{p})$ である」の段階 2 で直接確かめられる。Frobenius の生成するイデアルは $\mathfrak{p}$ で、共役の $\bar{\mathfrak{p}}$ ではない。
また、どの CM 型 $(L,\Phi)$ についても、数体の整数環の上にこの型のアーベルスキームがある（Tat71 Lemme 4, p. 102。この記事では証明しない）。複素トーラスの構成に、数体への降下と潜在的な良い還元の定理を組み合わせる。
CM 型の選び方
$L$ を上の CM 体とする。CM 型 $\Phi$ を選んで、$p$ の上のすべての素点 $w$ で $\dfrac{w(\pi)}{w(q)}=\dfrac{\lvert\Phi_w\rvert}{\lvert H_w\rvert}$ とできる。
$n_w:=\dfrac{w(\pi)}{w(q)}\lvert H_w\rvert$ とおく。$w$ の下の $F$ の素点を $v$ とすると $\lvert H_w\rvert=[L_w:F_v][F_v:\mathbb{Q}_p]$ なので、$n_w\equiv[L_w:F_v]\operatorname{inv}_v(D)\pmod{[L_w:F_v]\mathbb{Z}}$ である。$L$ が $D$ を分解するので右辺は整数で、$n_w\in\mathbb{Z}$ である。$w(\pi)\ge0$ から $n_w\ge0$ である。$L$ の複素共役を $\rho$ とすると、$\pi\rho(\pi)=q$（$\pi$ が実でも成り立つ）から $n_w+n_{\rho w}=\lvert H_w\rvert$ である。
$\rho w\neq w$ の組では、$H_w$ から $n_w$ 個を選んで $\Phi_w$ とし、$\Phi_{\rho w}:=H_{\rho w}\setminus\Phi_w\rho$ とする。$\rho w=w$ では $n_w=\frac12\lvert H_w\rvert$ なので、$\rho$ の自由な作用の各軌道から 1 つずつ選ぶ。$\Phi=\bigcup_w\Phi_w$ は CM 型である。$\square$
以上を合わせる。lem-ht-type の $\Phi$ について、Tat71 Lemme 4 の $A$ と thm-ht-st から $L$ の中の $q_0$ Weil 数 $\pi_0$ で $w(\pi_0)/w(q_0)=w(\pi)/w(q)$ となるものを得る。両方を冪にして $q$ をそろえると、prop-ht-structure の 4 により比は 1 の冪根なので、ある正の整数 $N,N_0$ で $\pi^N=\pi_0^{N_0}$ である（Tat71 Lemme 6, p. 105）。$A$ の基礎体を $N_0$ 次の不分岐拡大に替えると、還元の Frobenius は $\pi_0^{N_0}=\pi^N$ に替わる。$\pi_0\in L$ なので、この還元の単純因子の Frobenius はどれも $\pi^N$ と共役であり、$\pi^N$ は実現される。lem-ht-descent により $\pi$ が実現される。
同じ議論から、有限体上の単純アーベル多様体は、基礎体の有限次拡大の上で、CM 型の標数 $0$ のアーベル多様体の還元と同種になる（Tat71 Théorème 2, p. 102）。
反例
各行は、定理の条件を 1 つ外すと結論が崩れる例である。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $A$ が単純 | $E\times E'$（$E,E'$ は跡の異なる楕円曲線） | $P_A$ が 1 つの最小多項式の冪であること |
| $\pi$ が代数的整数 | $q=2$、$\pi=(1+i)(3+4i)/5$ | Frobenius として実現されること |
| すべての埋め込みで $\lvert\pi\rvert=\sqrt q$ | $q=4$、$\pi=2\alpha$（$\alpha$ は $x^4-x^3-x^2-x+1$ の絶対値 $1$ の根） | Frobenius として実現されること |
| 同種を $\mathbb{F}_q$ 上で考えること | $r$ が偶数、$a=\pm2\sqrt q$ の楕円曲線 | 同種類から $\pi_A$ の共役類が定まること |
どの反例も、定理の主張から外れていることを確かめる。
確認を開く
積：$P_{E\times E'}=P_EP_{E'}$ は異なる 2 次式の積であり、$E\times E'$ は単純でないので定理の対象外である。
整数でない例：$\pi=(-1+7i)/5$ は $\lvert\pi\rvert^2=2$ で、$\mathbb{Q}(i)$ のどちらの埋め込みでも絶対値 $\sqrt2$ だが、跡が $-\frac25$ なので代数的整数でない。Frobenius は $\mathbb{Z}$ 係数の $P_A$ の根なので、これは実現されない。
一部の埋め込みだけの例：$x^4-x^3-x^2-x+1$ は実根 $\tau\approx1.72$、$\tau^{-1}$ と、絶対値 $1$ の共役な 2 根 $\alpha,\bar\alpha$ をもつ。$\pi=2\alpha$ は $T^4-2T^3-4T^2-8T+16$ の根で代数的整数であり、$\alpha$ の埋め込みでは $\lvert\pi\rvert=2=\sqrt4$ だが、$\tau$ の埋め込みでは $2\tau\neq2$ である。
基礎体：$\mathbb{F}_q$ 上の $a=2\sqrt q$ と $a=-2\sqrt q$ の曲線は Frobenius が $\pm\sqrt q$ で同種でない。$\mathbb{F}_{q^2}$ 上では Frobenius がどちらも $q$ になるので、thm-ht-main により同種である（Wat69 p. 538）。よって同種を $\mathbb{F}_{q^2}$ 上で考えると、同じ同種類に共役でない $\sqrt q$ と $-\sqrt q$ が対応する。
関連項目
参考文献
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