Quillen随伴

分解公理で $B\to *$ を自明コファイブレーション $r\colon B\to B'$ とファイブレーション $B'\to *$ に分解し、さらに $rc\colon A\to B'$ を自明コファイブレーション $k\colon A\to E$ とファイブレーション $p\colon E\to B'$ に分解する。$B'$ はファイブラントで、$E$ もファイブラント（$p$ と $B'\to *$ の合成）なので、$p$ はファイブラントな対象の間のファイブレーションである。$c$ を左辺、$p$ を右辺、上辺を $k$、下辺を $r$ とする正方形は $pk=rc$ により可換なので、仮定から $hc=k$、$ph=r$ となる $h\colon B\to E$ がある。

$\gamma\colon\mathcal N\to\operatorname{Ho}(\mathcal N)$ を局所化（モデル圏 の定理「ホモトピー圏の計算」）とすると、$\gamma(h)\gamma(c)=\gamma(k)$ と $\gamma(p)\gamma(h)=\gamma(r)$ は同型射である。よって $\gamma(h)$ は右逆 $\gamma(c)\gamma(k)^{-1}$ と左逆 $\gamma(r)^{-1}\gamma(p)$ をもつので同型射であり、$\gamma(c)=\gamma(h)^{-1}\gamma(k)$ も同型射である。モデル圏 の系「弱同値の飽和」により $c$ は弱同値である。双対の主張は、すべての矢印を逆にした同じ議論で得られる。$\square$

1 から 2 と 3 が従うことは thm-qa-criterion による。

2 ⇒ 1：thm-qa-criterion の (a) により、$G$ が自明ファイブレーションを保つので $F$ はコファイブレーションを保つ。$F$ が自明コファイブレーションを保つことを示せば、thm-qa-criterion の条件 1 が成り立つ。$j$ を $\mathcal M$ の自明コファイブレーションとする。$F(j)$ はコファイブレーションである。$\mathcal N$ のファイブラントな対象の間のファイブレーション $p$ について、仮定から $G(p)$ はファイブレーションなので $j$ は $G(p)$ に対する左持ち上げ性質をもち、lem-qa-lifting により $F(j)$ は $p$ に対する左持ち上げ性質をもつ。lem-qa-fibrant-fibrations により $F(j)$ は弱同値、すなわち自明コファイブレーションである。

3 ⇒ 1：双対である。(a) と同じ議論の (b) 版により、$F$ が自明コファイブレーションを保つので $G$ はファイブレーションを保つ。$\mathcal N$ の自明ファイブレーション $p$ について $G(p)$ はファイブレーションで、$\mathcal M$ のコファイブラントな対象の間のコファイブレーション $c$ について $F(c)$ はコファイブレーションなので $F(c)$ は $p$ に対する左持ち上げ性質をもち、lem-qa-lifting により $c$ は $G(p)$ に対する左持ち上げ性質をもつ。lem-qa-fibrant-fibrations の双対により $G(p)$ は弱同値である。よって $G$ は自明ファイブレーションも保ち、thm-qa-criterion の条件 2 が成り立つ。$\square$

1。$u,u'$ を $f$ に対する二つの選び方とし、$QX$ のシリンダー対象 $(C,i,s)$ を 1 つとる。コファイブレーション $i$ と自明ファイブレーション $q_{X'}$ の正方形（上辺 $(u,u')$、下辺 $fq_Xs$）は可換なので、持ち上げ $L\colon C\to QX'$ は $u$ から $u'$ への左ホモトピーである。$QX\amalg QX$ と $C$ はコファイブラントで、$F$ は余積とコファイブレーションを保ち、prop-qa-ken-brown により $F(s)$ は弱同値なので、$(FC,F(i),F(s))$ は $FQX$ のシリンダー対象であり、$F(L)$ は $F(u)$ から $F(u')$ への左ホモトピーである。モデル圏 の定理「ホモトピー圏の計算」の 4 により $\gamma F(u)=\gamma F(u')$ である。$\mathrm{id}_X$ には $u=\mathrm{id}$ が、合成 $f'f$ には $u_{f'}u_f$ がとれる（$q_{X''}u_{f'}u_f=f'q_{X'}u_f=f'fq_X$）ので、$X\mapsto FQX$、$f\mapsto\gamma F(u_f)$ は関手 $\Phi_F\colon\mathcal M\to\operatorname{Ho}\mathcal N$ である。$f$ が弱同値なら 2 out of 3 により $u_f$ はコファイブラントな対象の間の弱同値で、prop-qa-ken-brown により $F(u_f)$ は弱同値、$\gamma F(u_f)$ は同型射である。局所化の普遍性により、$\mathbf LF\circ\gamma=\Phi_F$ となる $\mathbf LF$ がただ 1 つある。

2。$q_{X'}u_f=fq_X$ に $\gamma F$ を施すと $\gamma F(f)\circ\lambda_X=\lambda_{X'}\circ\mathbf LF(\gamma f)$ なので、$\lambda$ は自然である。$X$ がコファイブラントなら $q_X=\mathrm{id}$ である。$\zeta$ が与えられたとき、$\theta_X:=\zeta_{QX}\circ L'(\gamma q_X)^{-1}$ とおく。$\gamma q_{X'}\circ\gamma u_f=\gamma f\circ\gamma q_X$ から $L'(\gamma q_{X'})^{-1}L'(\gamma f)=L'(\gamma u_f)L'(\gamma q_X)^{-1}$ であり、$\zeta$ の $u_f$ についての自然性 $\zeta_{QX'}L'(\gamma u_f)=\gamma F(u_f)\zeta_{QX}$ と合わせて $\theta_{X'}L'(\gamma f)=\mathbf LF(\gamma f)\theta_X$ を得る。$\operatorname{Ho}\mathcal M$ の射は $\gamma$ の像と弱同値の像の逆射の合成なので（同じ定理の 1）、$\theta$ は自然である。$\zeta$ の $q_X$ についての自然性 $\zeta_XL'(\gamma q_X)=\gamma F(q_X)\zeta_{QX}$ から $\lambda_X\theta_X=\zeta_X$ である。一意性：$\theta'$ も条件をみたすとする。$QX$ はコファイブラントなので $Q(QX)=QX$、$\lambda_{QX}=\mathrm{id}$ であり、$\theta'_{QX}=\zeta_{QX}$ である。また $q_X$ には $u_{q_X}=\mathrm{id}_{QX}$ がとれるので $\mathbf LF(\gamma q_X)=\mathrm{id}$ であり、$\theta'$ の $\gamma q_X$ についての自然性から $\theta'_X=\theta'_{QX}L'(\gamma q_X)^{-1}=\theta_X$ である。

3。すべての矢印を逆にした同じ議論である（$u_f$ の代わりに $v_g$、シリンダー対象の代わりに道対象を使う）。$\square$

thm-qa-derived の証明により、$\operatorname{Hom}_{\operatorname{Ho}\mathcal N}(FQX,Y)$ の元はどれも $\gamma(r_Y)^{-1}\gamma(k)$（$k\colon FQX\to RY$）と書け、$\Psi_{X,Y}$ はその証明の全単射そのものである。どちらの変数についても、$\operatorname{Ho}$ の射は $\gamma$ の像と弱同値の像の逆射の合成なので、$\gamma$ の像について自然性を確かめれば足りる。

$Y$ について：$g\colon Y\to Y'$ について $\gamma(g)\gamma(r_Y)^{-1}=\gamma(r_{Y'})^{-1}\gamma(v_g)$ なので、$\gamma(g)\circ\gamma(r_Y)^{-1}\gamma(k)=\gamma(r_{Y'})^{-1}\gamma(v_gk)$ である。随伴の自然性 $\Phi(v_gk)=G(v_g)\Phi(k)$ から、その $\Psi$ による像は $\gamma G(v_g)\circ\gamma(\Phi k)\gamma(q_X)^{-1}=\mathbf RG(\gamma g)\circ\Psi_{X,Y}(\gamma(r_Y)^{-1}\gamma(k))$ である。

$X$ について：$f\colon X\to X'$ と $k\colon FQX'\to RY$ について、$\gamma(r_Y)^{-1}\gamma(k)\circ\mathbf LF(\gamma f)=\gamma(r_Y)^{-1}\gamma(k\circ F(u_f))$ であり、$\Phi(k\circ F(u_f))=\Phi(k)u_f$ である。$\gamma(u_f)\gamma(q_X)^{-1}=\gamma(q_{X'})^{-1}\gamma(f)$ なので、その $\Psi$ による像は $\gamma(\Phi k)\gamma(q_{X'})^{-1}\gamma(f)=\Psi_{X',Y}(\gamma(r_Y)^{-1}\gamma(k))\circ\gamma(f)$ である。$\square$

$\Phi(h)=G(h)\eta$、$\Phi^{-1}(h')=\varepsilon F(h')$ である。

1 ⇒ 2。$X$ がコファイブラントなら $r_{FX}\colon FX\to RFX$ は弱同値で $RFX$ はファイブラントなので、Quillen 同値の定義から $\Phi(r_{FX})=G(r_{FX})\eta_X$ は弱同値である。$Y$ がファイブラントなら $QGY$ はコファイブラントで $q_{GY}\colon QGY\to GY$ は弱同値なので、$\Phi^{-1}(q_{GY})=\varepsilon_YF(q_{GY})$ は弱同値である。

2 ⇒ 3。上で書いた導来随伴の単位は $\gamma(G(r_{FQX})\eta_{QX})\gamma(q_X)^{-1}$ で、$QX$ はコファイブラントなので 2 により $G(r_{FQX})\eta_{QX}$ は弱同値、したがって単位は同型射である。余単位は $\gamma(r_Y)^{-1}\gamma(\varepsilon_{RY}F(q_{GRY}))$ で、$RY$ はファイブラントなので同様に同型射である。単位と余単位が同型射である随伴は圏同値を与える。

3 ⇒ 1。$X$ をコファイブラント、$Y$ をファイブラントとすると $QX=X$、$RY=Y$ であり、$f\colon FX\to Y$ について $\Psi_{X,Y}(\gamma f)=\gamma(\Phi f)$ である。随伴の全単射は、導来随伴の単位 $\eta^{\mathbf L}$ を使って $\Psi_{X,Y}(\alpha)=\mathbf RG(\alpha)\circ\eta^{\mathbf L}_X$ と書ける（prop-qa-derived-natural の自然性）。$\eta^{\mathbf L}_X$ は同型射で、$\mathbf RG$ は圏同値なので同型射を同型射に写し、同型射でない射を同型射に写さない。よって $\gamma(f)$ が同型射であることと $\gamma(\Phi f)$ が同型射であることは同値である。モデル圏 の系「弱同値の飽和」により、$f$ が弱同値であることと $\Phi(f)$ が弱同値であることは同値である。$\square$