半連続性定理

要点：$\mathcal F$ の Čech 複体 $C^\bullet$ は平坦な $A$ 加群からなり、係数 $M$ をテンソルすれば $\mathcal F\otimes_AM$ の Čech 複体になる。$C^\bullet$ のコホモロジーは有限生成なので、有限生成自由加群の複体 $L^\bullet$ と擬同型 $L^\bullet\to C^\bullet$ を下の次数へ向かって構成でき、平坦性から $M$ をテンソルしても擬同型のままである。

まず、有限生成 $A$ 加群 $W$ が $\operatorname{Tor}^A_1(W,k)=0$ をみたせば自由であることを確かめる。$W\otimes_Ak$ の基底を持ち上げて $u\colon A^n\to W$ を作ると、Nakayamaの補題により $u$ は全射である。核 $K$ は有限生成で、$\operatorname{Tor}_1(W,k)=0$ から $0\to K\otimes k\to k^n\to W\otimes k\to0$ は完全、右の写像は同型なので $K\otimes k=0$、再び Nakayama の補題により $K=0$ である（局所自由層 の補題「Noether 局所環上の有限生成平坦加群は自由」の証明と同じ）。
1 ⟹ 2：$\pi\colon L^p\to\bar L^p:=L^p\otimes k$ を射影とし、$\bar L^\bullet$ の核を $\bar Z^p$、像を $\bar B^p$ と書く。1 は $\bar Z^i=\pi(Z^i)+\bar B^i$ と言い換えられる。$\pi$ は全射で微分と可換だから $\bar B^i=\pi(d(L^{i-1}))\subset\pi(Z^i)$ であり、1 は $\bar Z^i=\pi(Z^i)$ と同値である。一方、$0\to B^{i+1}\to L^{i+1}\to W^{i+1}\to0$ と $L^{i+1}$ の自由性から $\operatorname{Tor}_1(W^{i+1},k)=\ker(B^{i+1}\otimes k\to\bar L^{i+1})$ である。$B^{i+1}\cong L^i/Z^i$ でテンソル積は右完全だから $B^{i+1}\otimes k=\bar L^i/\pi(Z^i)$ であり、$\bar L^{i+1}$ への写像は $\bar d^i$ が引き起こすので、その核は $\bar Z^i/\pi(Z^i)$ である。よって
$$ \operatorname{Tor}_1^A(W^{i+1},k)\cong\bar Z^i/\pi(Z^i) $$
であり、1 のもとでこれは $0$、冒頭の事実により $W^{i+1}$ は自由である。逆にこの式から 2 ⟹ 1 も分かる。
2 ⟹ 3：$W^{i+1}$ が自由なら $0\to B^{i+1}\to L^{i+1}\to W^{i+1}\to0$ は分裂し、$B^{i+1}$ は $L^{i+1}$ の直和因子である。$\operatorname{Tor}_1(B^{i+1},k)$ は $\operatorname{Tor}_1(L^{i+1},k)=0$ の直和因子なので $B^{i+1}$ も自由で、$0\to Z^i\to L^i\xrightarrow{d^i}B^{i+1}\to0$ も分裂する。$L^i=Z^i\oplus S$ と書けば $d^i|_S\colon S\to B^{i+1}$ は同型である。$A$ 加群 $M$ をテンソルすると、$d^i\otimes M$ は $Z^i\otimes M$ を $0$ に送り、$S\otimes M$ を $L^{i+1}\otimes M$ の直和因子 $B^{i+1}\otimes M$ の上へ同型に写すので、$\ker(d^i\otimes M)=Z^i\otimes M$ である。$d^{i-1}$ は $Z^i$ に値をとるので、$d'\colon L^{i-1}\to Z^i$ と書けば
$$ h^i(L^\bullet\otimes M)=\operatorname{coker}(d'\otimes M)=\operatorname{coker}(d')\otimes M=h^i(L^\bullet)\otimes M $$
であり、この同型は自然な写像そのものである。3 ⟹ 1 は $M=k$ とすればよい。
最後の主張：2 のもとで $W^i=L^i/B^i=(Z^i/B^i)\oplus S\cong h^i(L^\bullet)\oplus S$ で、$S\cong B^{i+1}$ は自由である。$h^i(L^\bullet)$ が自由なら $W^i$ も自由である。逆に $W^i$ が自由なら $\operatorname{Tor}_1(h^i(L^\bullet),k)$ は $\operatorname{Tor}_1(W^i,k)=0$ の直和因子なので、冒頭の事実により $h^i(L^\bullet)$ は自由である。$\square$

閉集合であることは局所的に確かめればよいので、$Y=\operatorname{Spec}A$ としてよい。thm-sc-grothendieck-complex の複体 $L^\bullet$ をとり、$L^p=A^{r_p}$ の基底を固定して $d^p$ を成分が $A$ の元である行列とみる。点 $y=\mathfrak p$ で $L^\bullet\otimes_A\kappa(y)$ は $\kappa(y)$ 上の有限次元線型空間の複体で、その微分は $d^p$ の成分を $\kappa(y)$ に送った行列 $d^p(y)$ である。$\rho_p(y):=\operatorname{rank}d^p(y)$ とおくと、
$$ h^i(y)=\dim_{\kappa(y)}h^i(L^\bullet\otimes\kappa(y))=\dim\ker d^i(y)-\dim\operatorname{im}d^{i-1}(y)=r_i-\rho_i(y)-\rho_{i-1}(y) $$
である。$\rho_p(y)\ge s$ は「$d^p$ のある $s\times s$ 小行列式 $\Delta$ が $\mathfrak p$ に属さない」ことと同値なので、$\{y\mid\rho_p(y)\ge s\}$ は有限個の基本開集合 $D(\Delta)$ の和で、開集合である。整数 $n$ について
$$ \{y\mid h^i(y)< n\}=\{y\mid\rho_i(y)+\rho_{i-1}(y)>r_i-n\}=\bigcup_{s}\bigl(\{\rho_i\ge s\}\cap\{\rho_{i-1}\ge r_i-n+1-s\}\bigr) $$
は開集合なので、$\{y\mid h^i(y)\ge n\}$ は閉集合である。$\square$

閉集合 $\{h^i\ge h^i(\eta)\}$ は $\eta$ を含むので $Y$ 全体であり、前半が従う。閉集合 $\{h^i\ge h^i(\eta)+1\}$ は $\eta$ を含まないので、その補集合が求める開集合である。$\square$

$y$ のアフィン開近傍に制限して $Y=\operatorname{Spec}A$ とし、thm-sc-grothendieck-complex の複体 $L^\bullet$ をとる。$y=\mathfrak p$ とし、$L_{\mathfrak p}^\bullet:=L^\bullet\otimes_AA_{\mathfrak p}$ は Noether 局所環 $A_{\mathfrak p}$ 上の有限生成自由加群の複体である。$A_{\mathfrak p}$ 加群 $N$ について $L^\bullet\otimes_AN=L_{\mathfrak p}^\bullet\otimes_{A_{\mathfrak p}}N$、また局所化は完全なので $h^i(L^\bullet)_{\mathfrak p}=h^i(L_{\mathfrak p}^\bullet)$ である。よって $\varphi^i(y)$ は $h^i(L_{\mathfrak p}^\bullet)\otimes\kappa(y)\to h^i(L_{\mathfrak p}^\bullet\otimes\kappa(y))$ と同一視される。
1：lem-sc-key の 1 ⟹ 2 により $(W^{i+1})_{\mathfrak p}=\operatorname{coker}d^i_{\mathfrak p}$ は自由である。$W^{i+1}$ は有限生成 $A$ 加群で、連接層 $\widetilde{W^{i+1}}$ の茎が $y$ で自由だから、ある $g\notin\mathfrak p$ について $D(g)$ の上で自由である（局所自由層 の定理「局所自由層の特徴づけ」の証明の 2 ⟹ 1）。$U=D(g)=\operatorname{Spec}A_g$ とおく。$A_g$ 加群 $M$ は $A$ 加群でもあり、prf-sc-grothendieck-complex の段 1 の Čech 複体 $C^\bullet$ について、$\mathcal F\otimes_AM$ の Čech 複体は $C^\bullet\otimes_AM=(C^\bullet\otimes_AA_g)\otimes_{A_g}M$ なので、$L^\bullet\otimes_AA_g$ は $f^{-1}(U)\to U$ の Grothendieck の複体である。$U$ の各素イデアル $\mathfrak q$ で $(W^{i+1})_{\mathfrak q}$ は自由なので、lem-sc-key の 3 により $h^i(L_{\mathfrak q}^\bullet)\otimes M_{\mathfrak q}\to h^i(L_{\mathfrak q}^\bullet\otimes M_{\mathfrak q})$ は同型である。これは $\varphi_M$ を $\mathfrak q$ で局所化したものだから（局所化はテンソル積とコホモロジーの両方と交換する）、$\varphi_M$ はすべての素イデアルで局所化して同型であり、同型である。
2：1 の証明のとおり $(W^{i+1})_{\mathfrak p}$ は自由である。lem-sc-key を次数 $i-1$ に当てると、$\varphi^{i-1}(y)$ が全射であることは $(W^i)_{\mathfrak p}$ が自由であることと同値であり、同じ補題の最後の主張により、これは $h^i(L_{\mathfrak p}^\bullet)=(R^if_*\mathcal F)_y$ が自由であることと同値である。連接層の茎が自由であることと、その点の近傍で局所自由であることは同値なので（同じ定理）、2 が従う。$\square$

$\varphi^i(y)$ の値域は $0$ なので全射である。thm-sc-base-change の 1 により $R^if_*\mathcal F\otimes\kappa(y)\cong0$ で、Nakayamaの補題により連接層 $R^if_*\mathcal F$ の $y$ での茎は $0$、よって $y$ の近傍で $R^if_*\mathcal F=0$ である（連接層 の命題「台と茎」）。$0$ は局所自由なので、同じ定理の 2 により $\varphi^{i-1}(y)$ は全射であり、1 を次数 $i-1$ に当てればよい。$\square$

要点：$A$ 加群 $M$ について、$T^\bullet(M)$ は $3\times3$ 行列 $E$ が定める複体 $M^3\xrightarrow{E}M^3$ のコホモロジーであり、$\det E=t$ である。