正規拡大

同義語：normal extension

概要

前提知識: 体, 体の拡大, 代数拡大, 最小多項式, 既約多項式, 分解体

定義

$L/K$ を体の拡大とする。$L$ のすべての元が $K$ 上代数的（$K$ 係数の $0$ でない多項式の根になる）であるとき $L/K$ を代数拡大という。$K$ 上代数的な $\alpha\in L$ に対し、$\alpha$ を根にもつ $K$ 係数のモニック多項式のうち次数最小のものを $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式といい、$m_{\alpha,K}$ と書く。$m_{\alpha,K}$ は既約多項式であり、$g\in K[x]$ が $g(\alpha)=0$ を満たすことと $m_{\alpha,K}\mid g$ は同値である（体の拡大の記事の命題「最小多項式の存在と一意性」）。多項式 $f\in K[x]$ が $L$ で分解するとは、$L[x]$ において $f$ が 1 次式の積に書けることをいう。

正規拡大

代数拡大 $L/K$ が正規拡大（normal extension）であるとは、任意の $\alpha\in L$ について、最小多項式 $m_{\alpha,K}$ が $L$ で分解することをいう。このとき $L$ は $K$ 上正規であるともいう。

この定義は Galois拡大の記事の定義「正規拡大と分離拡大」、分解体の記事の「正規拡大との関係」の節の定義と同じである。言い換えると、$L/K$ が正規拡大であることは、次の条件と同値である。

$K[x]$ の既約多項式 $p$ が $L$ に根を 1 つでももてば、$p$ は $L$ で分解する。
実際、既約多項式 $p$ が根 $\alpha\in L$ をもてば、$m_{\alpha,K}\mid p$ と $p$ の既約性から $p$ は $m_{\alpha,K}$ の $0$ でない定数倍である。逆に最小多項式は既約で $\alpha$ を根にもつ。
$m_{\alpha,K}$ が 1 次式の積に分解する拡大体における $m_{\alpha,K}$ の根を $\alpha$ の $K$ 上の共役という。正規拡大とは、各元の共役がすべて $L$ の中にある代数拡大である。
$L$ と体 $\Omega$ がともに $K$ を含むとき、$K$ の元を動かさない体の準同型 $L\to\Omega$ を $L$ の $K$ 上の埋め込みという。体の準同型は単射である。$L=\Omega$ で全単射のものが $L$ の $K$ 上の自己同型である。

直感

$\mathbb{Q}(\sqrt2)$ は $x^2-2$ の根 $\sqrt2$ を含み、もう 1 つの根 $-\sqrt2$ も含む。$\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ は $x^3-2$ の実数の根を含むが、残る 2 つの虚数の根を含まない。$\mathbb{Q}$ の元だけを見ている限り、1 つの既約多項式の根どうしは区別がつかない。それなのに体が根の一部だけを含むと、「どの根を選んだか」という余分な情報が体に入り込み、体は根の入れ替えについて対称でなくなる。正規拡大は、この非対称が起こらない拡大である。
有限次の場合、正規拡大であることは、ある多項式の根を「すべて、かつそれだけ」添加した体、すなわち分解体であることと同値である（thm-normal-ext-splitting-field）。また、$K$ 上正規な大きな体の中へのどの埋め込みでも自分自身に移ること（thm-normal-ext-embedding）とも同値であり、この形が Galois理論で使われる。正規性は Galois拡大の定義の半分であり、もう半分は根が重ならないという分離性（分離拡大）である。

例と反例

分解体として得られる正規拡大

次の拡大はいずれも、ある多項式の分解体なので、thm-normal-ext-splitting-field により正規拡大である。

$\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q}$ は $x^2-2$ の、$\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb{Q}$ は $(x^2-2)(x^2-3)$ の分解体である。
$\omega=(-1+\sqrt{-3})/2$ とすると、$\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)/\mathbb{Q}$ は $x^3-2$ の分解体であり、次数は $6$ である（分解体の記事の例「$x^3-2$ の分解体」）。
$n\ge1$、$\zeta_n=e^{2\pi i/n}$ とすると、$\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$ は $x^n-1$ の分解体である（Galois拡大の記事の例「$\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}$」）。円分体はすべて $\mathbb{Q}$ 上正規である。
$p$ を素数、$n\ge1$ とすると、位数 $p^n$ の有限体 $\mathbb{F}_{p^n}$ は $\mathbb{F}_p$ 上の $x^{p^n}-x$ の分解体である（有限体の記事の定理「有限体の存在と一意性」）。よって有限体の有限次拡大 $\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p$ は正規拡大である。
2 次拡大は分解体を持ち出さなくても常に正規である（prop-normal-ext-quadratic）。

代数的数全体の体

$\overline{\mathbb{Q}}\subset\mathbb{C}$ を $\mathbb{Q}$ 上代数的な複素数全体とすると、$\overline{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{C}$ の部分体である（体の拡大の記事の系「代数的な元のなす部分体と推移性」）。$\alpha\in\overline{\mathbb{Q}}$ の最小多項式 $m_{\alpha,\mathbb{Q}}$ は代数学の基本定理により $\mathbb{C}$ で分解し、その根はどれも $m_{\alpha,\mathbb{Q}}$ の根なので $\mathbb{Q}$ 上代数的、すなわち $\overline{\mathbb{Q}}$ に属する。よって $m_{\alpha,\mathbb{Q}}$ は $\overline{\mathbb{Q}}$ で分解し、$\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ は正規拡大である。この拡大は無限次であり（体の拡大の記事の例「反例：代数拡大だが有限次でない拡大」）、正規拡大は有限次とは限らない。同じ議論で、任意の体 $K$ の代数閉包は $K$ 上正規である。

反例：2 の立方根を添加した体

$\alpha=\sqrt[3]2\in\mathbb{R}$、$L=\mathbb{Q}(\alpha)$ とする。$x^3-2$ は $\mathbb{Q}$ 上既約で（既約多項式の記事の例「Eisenstein の判定法の適用例」の 1）、$L$ に根 $\alpha$ をもつ。しかし残りの根 $\omega\alpha,\omega^2\alpha$ は実数でないので $L\subset\mathbb{R}$ に属さず、$x^3-2$ は $L$ で分解しない。よって $L/\mathbb{Q}$ は正規拡大でない。
埋め込みで見ると、$\alpha$ を $\omega\alpha$ に送る $\mathbb{Q}$ 上の埋め込み $\sigma\colon L\to\mathbb{C}$ があり（Galois拡大の記事の補題「単純拡大への同型の延長」）、その像 $\mathbb{Q}(\omega\alpha)$ は実数でない元 $\omega\alpha$ を含むので $L$ と異なる。これは thm-normal-ext-embedding の条件が破れていることを示す。
この例は「有限次の代数拡大」「分離拡大」を満たすが「正規拡大」を満たさず、含意「既約多項式の根を 1 つ添加した体では、その多項式が分解する」を破る。

反例：正規拡大の正規拡大

$K=\mathbb{Q}$、$M=\mathbb{Q}(\sqrt2)$、$L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]2)$（$\sqrt[4]2>0$ は実数）とすると、$\sqrt2=(\sqrt[4]2)^2$ なので $K\subset M\subset L$ である。$x^4-2$ は $\mathbb{Q}$ 上既約（同じ例の 1）なので $[L:K]=4$、拡大次数の乗法性により $[L:M]=2$、$[M:K]=2$ である。prop-normal-ext-quadratic により $M/K$ と $L/M$ はともに正規拡大である。
しかし $L/K$ は正規拡大でない。$x^4-2$ は $L$ に根 $\sqrt[4]2$ をもつが、根 $i\sqrt[4]2$ は実数でないので $L\subset\mathbb{R}$ に属さないからである。
この例は「$L/M$ と $M/K$ がともに正規」を満たすが「$L/K$ が正規」を満たさず、含意「正規拡大の正規拡大は正規拡大である」（正規性の推移律）を破る。同じ例は Galois拡大の記事の例「反例：Galois 拡大の Galois 拡大は Galois 拡大とは限らない」でも使われている。

反例：正規拡大の中間体

$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)$、$M=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ とする。$L/\mathbb{Q}$ は正規拡大であり（ex-normal-ext-splitting の 2）、prop-normal-ext-intermediate により $L/M$ も正規拡大である。しかし $M/\mathbb{Q}$ は正規拡大でない（ex-normal-ext-cbrt2）。
この例は「$L/K$ が正規」を満たすが「中間体 $M$ について $M/K$ が正規」を満たさず、含意「正規拡大の中間体は基礎体上正規である」を破る。どの中間体が基礎体上正規になるかは、Galois 拡大の場合には Galois 群の正規部分群で判定できる（Galois理論）。

反例：分離的でない正規拡大

$p$ を素数、$K=\mathbb{F}_p(t)$ を有理関数体、$L=K(u)$ を $u^p=t$ となる元 $u$ を添加した体とする。$L/K$ は正規拡大であるが、$u$ の最小多項式 $x^p-t=(x-u)^p$ は重根をもつので分離拡大でない（Galois拡大の記事の例「反例：分離でない拡大 $\mathbb{F}_p(t)(t^{1/p})/\mathbb{F}_p(t)$」。正規性もそこで示されている）。
この例は「正規拡大」を満たすが「分離拡大」を満たさず、含意「正規拡大ならば Galois 拡大である」を破る。正規性と分離性は互いに独立な条件である（逆向きの反例は ex-normal-ext-cbrt2）。

性質

分解体による特徴づけ

有限次正規拡大と多項式の分解体

$L/K$ を有限次拡大とする。$L/K$ が正規拡大であることと、$L$ がある多項式 $f\in K[x]$ の $K$ 上の分解体であることは同値である。

分解体による特徴づけの証明の所在

証明は分解体の記事の定理「有限次正規拡大と分解体」にある。正規 ⇒ 分解体は、$L$ の $K$ 上の基底 $\beta_1,\dots,\beta_s$ をとり $f=\prod_jm_{\beta_j,K}$ とすれば、正規性から $f$ が $L$ で分解し、その根が $L$ を生成することによる。分解体 ⇒ 正規は、$\alpha\in L$ の最小多項式の任意の根 $\beta$ をとり、分解体の同型の延長（分解体の記事の定理「分解体の同型の延長」）を用いて $[L(\beta):L]=1$ を次数の比較で示す。有限個の多項式 $f_1,\dots,f_r$ を同時に分解する最小の体は積 $f_1\cdots f_r$ の分解体なので、分解体であるという条件は「$L$ が $K$ 上の有限個の多項式の根全体で生成され、それらの多項式が $L$ で分解する」と言っても同じである。

2 次拡大

2 次拡大の正規性

$[L:K]=2$ ならば $L/K$ は正規拡大である。

残りの根を和で表す

有限次拡大は代数拡大である（体の拡大の記事の命題「有限次拡大と有限生成な代数拡大」）。$\alpha\in L$ をとり $m=m_{\alpha,K}$ とする。$\deg m=[K(\alpha):K]$ は $[L:K]=2$ を割り切る（体の拡大の記事の系「中間体の次数と元の次数」）。$\deg m=1$ なら $m=x-\alpha$ は $L$ で分解する。$\deg m=2$ なら $m=x^2+bx+c$（$b,c\in K$）と書くと、$L[x]$ で $m=(x-\alpha)(x-\alpha')$、$\alpha':=-b-\alpha\in L$ である。実際 $(x-\alpha)(x-\alpha')=x^2-(\alpha+\alpha')x+\alpha\alpha'=x^2+bx-\alpha(b+\alpha)$ であり、$m(\alpha)=0$ から $-\alpha(b+\alpha)=c$ である。いずれの場合も $m$ は $L$ で分解する。$\square$

この証明は標数によらない。標数 $2$ の 2 次拡大は平方根の添加とは限らないが（拡大次数の記事の例「反例：標数 2 では 2 次拡大が平方根の添加とは限らない」）、それでも正規である。ただし標数 $2$ では、2 次拡大が分離的でないことはある（$\mathbb{F}_2(t)(\sqrt t)/\mathbb{F}_2(t)$。ex-normal-ext-inseparable で $p=2$ とした場合）。

埋め込みによる特徴づけ

埋め込みによる正規性の判定

$L/K$ を有限次拡大とし、$\Omega$ を $L$ を含む体で $\Omega/K$ が有限次正規拡大であるものとする（たとえば thm-normal-ext-closure の正規閉包）。次の 3 条件は同値である。

$L/K$ は正規拡大である。
$K$ 上の任意の埋め込み $\sigma\colon L\to\Omega$ について $\sigma(L)=L$ である。
$K$ 上の任意の埋め込み $\sigma\colon L\to\Omega$ について $\sigma(L)\subset L$ である。

分解体の同型の延長による

1 ⇒ 2：$\sigma$ を $K$ 上の埋め込み、$\alpha\in L$ とし、$m=m_{\alpha,K}=\sum_ic_ix^i$ とする。$m(\sigma(\alpha))=\sigma(m(\alpha))=0$ なので $\sigma(\alpha)$ は $m$ の $\Omega$ における根である。正規性により $L[x]$ で $m=\prod_k(x-\alpha_k)$（$\alpha_k\in L$）と書け、$\Omega$ は体なので $m(\sigma(\alpha))=\prod_k(\sigma(\alpha)-\alpha_k)=0$ からある $k$ で $\sigma(\alpha)=\alpha_k\in L$ である。よって $\sigma(L)\subset L$ である。$\sigma$ は単射な $K$ 線形写像なので $\dim_K\sigma(L)=[L:K]<\infty$ であり、$L$ の部分空間 $\sigma(L)$ は $L$ と次元が等しいので $\sigma(L)=L$ である。
2 ⇒ 3 は明らかである。
3 ⇒ 1：$\alpha\in L$、$m=m_{\alpha,K}$ とし、$\beta\in\Omega$ を $m$ の $\Omega$ における任意の根とする。$\alpha\in\Omega$ で $\Omega/K$ は正規なので $m$ は $\Omega$ で分解する。したがって $\beta\in L$ を示せば、$m$ の $\Omega$ での 1 次因子はすべて $L[x]$ の元になり、$m$ は $L$ で分解する。
thm-normal-ext-splitting-field により、$\Omega$ はある $f\in K[x]$ の $K$ 上の分解体である。$f$ の根で $K$ 上生成される $\Omega$ は、$f$ の根で $K(\alpha)$ 上、$K(\beta)$ 上にも生成されるので、$\Omega$ は $f$ の $K(\alpha)$ 上の分解体でもあり、$K(\beta)$ 上の分解体でもある。Galois拡大の記事の補題「単純拡大への同型の延長」により、$\alpha$ を $\beta$ に送る $K$ 上の同型 $\sigma_1\colon K(\alpha)\to K(\beta)$ がある。$f$ の係数は $K$ に属するので $\sigma_1$ で動かない。分解体の記事の定理「分解体の同型の延長」を $\sigma_1$ と $f$ に適用すると、$\sigma_1$ を延長する体の同型 $\tau\colon\Omega\to\Omega$ が得られる。$\tau$ の $L$ への制限は $K$ 上の埋め込み $L\to\Omega$ なので、3 により $\beta=\tau(\alpha)\in\tau(L)\subset L$ である。$\square$

$\Omega$ が正規であるという仮定は 3 ⇒ 1 で使った。$\Omega=L$ とすると 2 と 3 は自明に成り立つので、この仮定は外せない。たとえば $L=\Omega=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ では、$K$ 上の埋め込み $L\to L$ は恒等写像だけであり（ex-normal-ext-cbrt2 のとおり $x^3-2$ の根は $L$ に 1 つしかない）、2 は成り立つが $L/\mathbb{Q}$ は正規でない。
thm-normal-ext-embedding の 2 により、有限次正規拡大 $L/K$ では、$L$ から $\Omega$ への $K$ 上の埋め込みはすべて $L$ の $K$ 上の自己同型を与える。さらに次が成り立つ。

共役への自己同型の存在

$L/K$ を有限次正規拡大、$p\in K[x]$ を既約多項式、$\alpha,\beta\in L$ を $p$ の根とする。このとき $\sigma(\alpha)=\beta$ を満たす $\sigma\in\operatorname{Aut}(L/K)$ が存在する。したがって $\alpha\in L$ の $\operatorname{Aut}(L/K)$ による軌道は、$m_{\alpha,K}$ の相異なる根全体に一致する。

分解体の同型の延長による

$p$ をその最高次の係数で割っても根は変わらないので、$p$ はモニックとしてよく、このとき $p=m_{\alpha,K}=m_{\beta,K}$ である。Galois拡大の記事の補題「単純拡大への同型の延長」により、$\alpha$ を $\beta$ に送る $K$ 上の同型 $\sigma_1\colon K(\alpha)\to K(\beta)$ がある。thm-normal-ext-splitting-field により $L$ はある $f\in K[x]$ の分解体であり、prf-normal-ext-embedding と同じ理由で $f$ の $K(\alpha)$ 上の分解体でも $K(\beta)$ 上の分解体でもある。分解体の記事の定理「分解体の同型の延長」により $\sigma_1$ は同型 $\sigma\colon L\to L$ に延び、$\sigma$ は $K$ の元を動かさないので $\sigma\in\operatorname{Aut}(L/K)$、$\sigma(\alpha)=\beta$ である。後半：自己同型は $\alpha$ を $m_{\alpha,K}$ の根に送り（prf-normal-ext-embedding の 1 ⇒ 2 と同じ計算）、正規性により $m_{\alpha,K}$ の根はすべて $L$ にあるので、前半と合わせて軌道は根全体である。$\square$

正規でない拡大ではこれが破れる。$\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)$ の $\mathbb{Q}$ 上の自己同型は $\sqrt2$ を $\pm\sqrt2$ のどちらにも送れるが、$\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ の自己同型は $\sqrt[3]2$ をどこにも動かせない。

中間体と塔

上の段への正規性の遺伝

$L/K$ を正規拡大、$M$ を中間体（$K\subset M\subset L$）とする。このとき $L/M$ は正規拡大である。

最小多項式の整除による

$\alpha\in L$ をとる。$m_{\alpha,K}\in K[x]\subset M[x]$ は $\alpha$ を根にもつので、$\alpha$ は $M$ 上代数的であり、$M[x]$ で $m_{\alpha,M}\mid m_{\alpha,K}$ である。正規性により $L[x]$ で $m_{\alpha,K}=\prod_k(x-\alpha_k)$（$\alpha_k\in L$）と書ける。$L[x]$ は一意分解整域で 1 次式は既約なので、$m_{\alpha,K}$ のモニックな約元 $m_{\alpha,M}$ はこれらの 1 次式のいくつかの積であり、$L$ で分解する。よって $L/M$ は正規拡大である。$\square$

一方、下の段 $M/K$ は正規とは限らず（ex-normal-ext-intermediate）、2 つの段が正規でも全体は正規とは限らない（ex-normal-ext-tower）。正規性は「上の段」にだけ遺伝する。

合成体と共通部分

体 $\Omega$ の 2 つの部分体 $L_1,L_2$ について、両者を含む $\Omega$ の最小の部分体を合成体といい $L_1L_2$ と書く。

合成体と共通部分の正規性

$\Omega/K$ を体の拡大、$L_1,L_2$ を $K$ を含む $\Omega$ の部分体で、$L_1/K$ と $L_2/K$ がともに正規拡大であるものとする。

$(L_1\cap L_2)/K$ は正規拡大である。
$L_1/K$ と $L_2/K$ が有限次拡大ならば、$L_1L_2/K$ は有限次正規拡大である。

根の集合の比較と分解体

1：$\alpha\in L_1\cap L_2$、$m=m_{\alpha,K}$ とする。正規性により $m=\prod_k(x-a_k)$（$a_k\in L_1$）、$m=\prod_k(x-b_k)$（$b_k\in L_2$）と書ける。$\Omega[x]$ は一意分解整域なので、1 次式の重複を込めた並び $(a_k)$ と $(b_k)$ は順序を除いて一致し、各 $a_k$ は $L_1\cap L_2$ に属する。よって $m$ は $L_1\cap L_2$ で分解する。$L_1\cap L_2$ の元は $K$ 上代数的なので、$(L_1\cap L_2)/K$ は正規拡大である。
2：thm-normal-ext-splitting-field により、$L_i$ は $f_i\in K[x]$ の $K$ 上の分解体である（$i=1,2$）。$f_i$ は $L_i$ で分解するので、1 と同じ理由で $f_i$ の $\Omega$ における根はすべて $L_i$ に属し、$L_i$ は $f_i$ の $\Omega$ における根で $K$ 上生成される。よって $L_1L_2$ は $f_1f_2$ の $\Omega$ における根全体で $K$ 上生成され、$f_1f_2$ は $L_1L_2$ で分解する。すなわち $L_1L_2$ は $f_1f_2$ の $K$ 上の分解体であり、有限個の代数的な元で生成されるので有限次であり（体の拡大の記事の命題「有限次拡大と有限生成な代数拡大」）、thm-normal-ext-splitting-field により正規拡大である。$\square$

2 は有限次の仮定なしでも成り立つ（Lan02 Chapter V §3）。

正規閉包

正規でない拡大は、根を補って正規拡大に広げることができる。

正規閉包

$L/K$ を代数拡大とする。$L$ の拡大体 $N$ が $L/K$ の正規閉包（normal closure）であるとは、$N/K$ が正規拡大であり、$L\subset E\subset N$ を満たす $N$ の部分体 $E$ で $E/K$ が正規拡大であるものが $E=N$ に限ることをいう。

有限次拡大の正規閉包

$L/K$ を有限次拡大とし、$L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_s)$ と書き、$f=\prod_{j=1}^sm_{\alpha_j,K}\in K[x]$ とおく。

$f$ の $L$ 上の分解体 $N$ は $L/K$ の正規閉包であり、$N/K$ は有限次拡大である。
$L/K$ の正規閉包は、$L$ の元を動かさない同型を除いて一意である。
$\Omega$ が $L$ を含み $\Omega/K$ が正規拡大ならば、$f$ の $\Omega$ における根で $L$ 上生成される $\Omega$ の部分体は $L/K$ の正規閉包である。

最小多項式の根の添加

まず次を示す。
(＊) $L\subset E$ で $E/K$ が正規拡大なら、$f$ は $E$ で分解する。
実際、各 $m_{\alpha_j,K}$ は $E$ に根 $\alpha_j$ をもつ既約多項式なので、正規性により $E$ で分解する。
1：$N$ は $f$ の根で $L$ 上生成される。$L$ は $f$ の根 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ で $K$ 上生成されるので、$N$ は $f$ の根で $K$ 上生成され、$f$ は $N$ で分解する。よって $N$ は $f$ の $K$ 上の分解体であり、有限次で、thm-normal-ext-splitting-field により $N/K$ は正規拡大である。$L\subset E\subset N$、$E/K$ 正規とすると、(＊) により $f$ は $E$ で分解し、prf-normal-ext-compositum の 1 と同じ理由で $f$ の $N$ における根はすべて $E$ に属する。$N$ はそれらで $L$ 上生成されるので $N\subset E$、すなわち $E=N$ である。
3：$\Omega$ における $f$ の根で $L$ 上生成される体を $N'$ とする。(＊) により $f$ は $\Omega$ で分解するので、$N'$ は $f$ の $L$ 上の分解体である。1 の証明は $f$ の $L$ 上のどの分解体にも当てはまるので、$N'$ は $L/K$ の正規閉包である。
2：$N_1$ を $L/K$ の任意の正規閉包とする。(＊) により $f$ は $N_1$ で分解する。$f$ の $N_1$ における根で $L$ 上生成される体を $N_1'$ とすると、3 を $\Omega=N_1$ に適用して $N_1'/K$ は正規拡大であり、$L\subset N_1'\subset N_1$ なので正規閉包の定義により $N_1'=N_1$ である。よって $N_1$ は $f$ の $L$ 上の分解体である。分解体の記事の定理「分解体の同型の延長」を $\mathrm{id}_L$ に適用すると、$f$ の $L$ 上の 2 つの分解体 $N$ と $N_1$ は $L$ の元を動かさない同型で結ばれる。$\square$

3 により、$\Omega$ の中の正規閉包は「$L$ の生成元のすべての共役を $L$ に添加した体」であり、生成元の選び方によらない（2 と同じ議論で、$L\subset E\subset\Omega$、$E/K$ 正規となる最小の $E$ に一致する）。たとえば $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)/\mathbb{Q}$ の正規閉包は $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)$（次数 $6$）、$\mathbb{Q}(\sqrt[4]2)/\mathbb{Q}$ の正規閉包は $x^4-2$ の分解体 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]2,i)$（次数 $8$。$i\notin\mathbb{Q}(\sqrt[4]2)\subset\mathbb{R}$ なので $[\mathbb{Q}(\sqrt[4]2,i):\mathbb{Q}(\sqrt[4]2)]=2$）である。$L/K$ がすでに正規なら、正規閉包は $L$ 自身である。

補足

無限次の代数拡大

無限次を含む代数拡大 $L/K$ についても、$\overline{K}$ を $L$ を含む代数閉包とするとき、次の 3 条件は同値である（Lan02 Chapter V §3）。(i) $L/K$ は正規拡大である。(ii) $K$ 上の任意の埋め込み $L\to\overline{K}$ は $L$ をそれ自身に移す。(iii) $L$ は $K[x]$ のある多項式の族の分解体である、すなわちその族の多項式の根全体で $K$ 上生成され、族の各多項式は $L$ で分解する。有限次の場合の証明（thm-normal-ext-embedding、thm-normal-ext-splitting-field）と違い、一般の場合には埋め込みを代数拡大全体に延長するために Zornの補題を用いる（代数閉体の記事の注意「代数閉包の証明と選択公理」）。(iii) を用いると、$\overline{K}$ の中で $L$ のすべての元の共役を $L$ に添加した体が、無限次の場合にも $L/K$ の正規閉包になることが分かる。

Galois 拡大と Galois 理論との関係

Galois拡大は正規かつ分離的な代数拡大である。$L/K$ が有限次分離拡大なら、その正規閉包は $K$ 上の Galois 拡大である。実際、thm-normal-ext-closure の $f$ の相異なる既約因子 $m_{\alpha_j,K}$ はそれぞれ重根をもたず、相異なるモニック既約多項式は共通の根をもたないので、それらの積 $g$ は重根をもたない多項式（分離多項式）である。$g$ と $f$ の根の集合は同じなので正規閉包は $g$ の分解体であり、Galois拡大の記事の定理「有限次Galois拡大の特徴づけ」により Galois 拡大である。これを $L/K$ の Galois 閉包という。
有限次 Galois 拡大 $L/K$ の中間体 $M$ について、$M/K$ が正規拡大であることと、$M$ に対応する部分群 $\operatorname{Gal}(L/M)$ が $\operatorname{Gal}(L/K)$ の正規部分群であることは同値である。これは Galois理論の基本定理の一部であり、「正規」という名前の 2 つの用法はここで結びつく。