Reinhardt領域

$G\setminus H_j$ は空でない（空でない開集合は超平面に含まれない）。$p\in G\cap H_j$ ごとに $p$ を中心とする多重円板 $P_p\subset G$ を 1 つとる。$P_p\setminus H_j$ は、第 $j$ 因子が穴あき円板で残りが円板の直積なので連結で、空でない。また $P_p$ の点はどれも $P_p\setminus H_j$ の点の極限なので、$G\setminus H_j$ は $G$ で稠密である。

$G\setminus H_j=A\sqcup B$（$A$、$B$ は互いに交わらない開集合）とする。各 $p\in G\cap H_j$ について、連結な $P_p\setminus H_j$ は $A$ と $B$ の一方に含まれる。$\tilde A:=A\cup\{p\in G\cap H_j\mid P_p\setminus H_j\subset A\}$ とし、$\tilde B$ も同様に定めると、$G=\tilde A\sqcup\tilde B$ である。$\tilde A$ は開である。実際 $p\in\tilde A\cap H_j$ と $p'\in P_p$ について、$p'\notin H_j$ なら $p'\in P_p\setminus H_j\subset A$ であり、$p'\in H_j$ なら $P_{p'}\cap P_p$ は $p'$ を含む空でない開集合なので $(P_{p'}\cap P_p)\setminus H_j\ne\emptyset$ で、連結な $P_{p'}\setminus H_j$ は $A$ と交わるから $A$ に含まれ、$p'\in\tilde A$ である。よって $P_p\subset\tilde A$ である。$\tilde B$ も開である。$G$ は連結なので $\tilde A$ と $\tilde B$ の一方は空で、$A$ と $B$ の一方は空である。よって $G\setminus H_j$ は連結である。$G\setminus H_1$ は連結な開集合なので、同じ議論を $H_2,\dots,H_n$ について繰り返せばよい。$\square$

段 1（回転の平均）．$\alpha\in\mathbb Z^n$ と $z\in\Omega$ について $f_\alpha(z):=(2\pi)^{-n}\int_{[0,2\pi]^n}f(e^{i\theta}\cdot z)e^{-i\alpha\cdot\theta}\,d\theta$ とおく。被積分関数は $(\theta,z)$ について連続で $z$ について正則なので、Riemann 和は $z$ の正則関数で $z$ のコンパクト集合の上で一様に $f_\alpha$ に収束し、多変数の正則関数 の定理「局所一様極限」により $f_\alpha\in\mathcal O(\Omega)$ である。積分変数を $\theta-\varphi$ にずらすと、周期性から $f_\alpha(e^{i\varphi}\cdot z)=e^{i\alpha\cdot\varphi}f_\alpha(z)$ である。$\varphi_j$ で微分して $\varphi=0$ とおくと、左辺の微分は $\partial_jf_\alpha(z)\cdot iz_j$ なので、次が成り立つ。

$$z_j\,\partial_jf_\alpha(z)=\alpha_j\,f_\alpha(z)\qquad(z\in\Omega)$$

段 2（単項式であること）．$G:=\Omega\cap(\mathbb C^*)^n$ の上で $h:=f_\alpha z^{-\alpha}$ は正則で、$\partial_jh=z^{-\alpha}(\partial_jf_\alpha-\alpha_jf_\alpha/z_j)=0$（$j=1,\dots,n$）である。すべての偏導関数が $0$ の正則関数は、各点のまわりの多重円板で Taylor 展開が定数項だけになるので局所的に定数である。lem-rd-connected により $G$ は連結なので、$h$ は定数 $a_\alpha$ であり、$G$ の上で $f_\alpha=a_\alpha z^\alpha$ である。$w\in G$ について $\zeta=e^{i\theta}\cdot w$ とおくと $d\zeta_j=i\zeta_jd\theta_j$ なので、$a_\alpha=f_\alpha(w)w^{-\alpha}$ は 1 の積分の式になる。

段 3（係数の評価）．$K\subset\Omega$ をコンパクトとする。$\Omega=\mathbb C^n$ でなければ、回転で動かした集合 $T\!K:=\{e^{i\theta}\cdot z\mid z\in K\}$ は $\Omega$ のコンパクト集合（連続写像の像）なので、最大値ノルムで測った $\mathbb C^n\setminus\Omega$ までの距離が正の数 $2\eta$ 以上である。$R:=\max_K\|z\|_\infty$ とし、$(e^{2\delta}-1)R< 2\eta$ となる $\delta>0$ をとる。$e^{-2\delta}\le|t_j|\le e^{2\delta}$ なら $\|t\cdot z-(t/|t|)\cdot z\|_\infty\le(e^{2\delta}-1)R$ なので $t\cdot z\in\Omega$ であり、$K_\delta:=\{t\cdot z\mid z\in K,\ e^{-\delta}\le|t_j|\le e^\delta\}$ は $\Omega$ のコンパクト集合である（$\Omega=\mathbb C^n$ なら $\delta=1$ とする）。$M:=\max_{K_\delta}|f|$ とおく。$z\in K$ を固定すると、$g(t):=f(t\cdot z)$ は $\{e^{-2\delta}<|t_j|< e^{2\delta}\}$ の上で正則で、$f_\alpha(z)=(2\pi i)^{-n}\int_{|t_j|=1}g(t)t^{-\alpha-\mathbf 1}dt$ である。Laurent展開 の補題「同心円周上の積分の不変性」を変数ごとに使うと、円周 $|t_j|=1$ を $|t_j|=\rho_j\in[e^{-\delta},e^\delta]$ に替えてよい。$\alpha_j\ge0$ なら $\rho_j=e^\delta$、$\alpha_j< 0$ なら $\rho_j=e^{-\delta}$ にとると $|f_\alpha(z)|\le M\rho^{-\alpha}=Me^{-\delta|\alpha|}$ である。$\sum_{\alpha\in\mathbb Z^n}e^{-\delta|\alpha|}=\bigl(\sum_{k\in\mathbb Z}e^{-\delta|k|}\bigr)^n<\infty$ なので、$\sum_\alpha\sup_K|f_\alpha|<\infty$ である。

段 4（和が $f$ であること）．$z\in\Omega$ を固定し、段 3 の $g$ と $c_\alpha:=(2\pi i)^{-n}\int_{|t_j|=1}g(t)t^{-\alpha-\mathbf 1}dt=f_\alpha(z)$ を考える。「$m$ 変数の関数 $\phi$ が多重円環 $\{e^{-2\delta}<|t_j|< e^{2\delta}\}$ の上で正則で、係数 $c_\alpha(\phi):=(2\pi i)^{-m}\int_{|t_j|=1}\phi(t)t^{-\alpha-\mathbf 1}dt$ が $\sum_\alpha|c_\alpha(\phi)|<\infty$ をみたせば $\phi(\mathbf 1)=\sum_\alpha c_\alpha(\phi)$」を $m$ についての帰納法で示し、$\phi=g$ に当てる。$m=1$ は Laurent展開 の定理「Laurent 展開の存在」で $t=1$ とおいたものである。$m\ge2$ では、第 1 変数について Laurent 展開して $\phi(t_1,t')=\sum_kh_k(t')t_1^k$、$h_k(t'):=\frac1{2\pi i}\int_{|s|=1}\phi(s,t')s^{-k-1}ds$ とする。$h_k$ は段 1 と同じ理由で $t'$ について正則で、$c_{\alpha'}(h_k)=c_{(k,\alpha')}(\phi)$ なので、帰納法の仮定から $h_k(\mathbf 1')=\sum_{\alpha'}c_{(k,\alpha')}(\phi)$ である。$\sum_\alpha|c_\alpha(\phi)|<\infty$ なので和の順序を替えてよく、$\phi(\mathbf 1)=\sum_kh_k(\mathbf 1')=\sum_\alpha c_\alpha(\phi)$ となる。$g$ については段 3 により $\sum_\alpha|c_\alpha|<\infty$ である。よって $f(z)=\sum_\alpha f_\alpha(z)$ であり、1 の存在と正規収束が示された（$K\subset G$ のとき段 3 を使う）。

段 5（一意性）．$\sum_\beta b_\beta z^\beta$ が $G$ のコンパクト集合の上で正規収束して $f$ に等しければ、$w\in G$ で $f(e^{i\theta}\cdot w)=\sum_\beta b_\beta w^\beta e^{i\beta\cdot\theta}$ を項別に積分して $f_\alpha(w)=b_\alpha w^\alpha$、すなわち $b_\alpha=a_\alpha$ である。

段 6（2 の証明）．$p\in\Omega\cap H_j$ とする。$\Omega$ は開なので、第 $j$ 成分が $0$ で他の成分が $0$ でない点 $q\in\Omega$ がとれ、小さい $s\ne0$ について $q$ の第 $j$ 成分を $s$ に替えた点 $q(s)$ も $G$ に属する。$\alpha_j< 0$ なら $f_\alpha(q(s))=a_\alpha s^{\alpha_j}\prod_{k\ne j}q_k^{\alpha_k}$ は $s\to0$ で $f_\alpha(q)$ に収束するので、$a_\alpha=0$ である。よって $a_\alpha\ne0$ となる $\alpha$ の負の成分は $\Omega$ の上で $0$ にならない座標にしかなく、$a_\alpha z^\alpha$ は $\Omega$ の上の正則関数である。$G$ は $\Omega$ で稠密（lem-rd-connected）なので、連続性から $\Omega$ 全体で $f_\alpha=a_\alpha z^\alpha$ であり、段 3・段 4 は $\Omega$ のすべての点とコンパクト集合で成り立つ。$\square$

1：$z\in D$ なら $z$ で絶対収束するので項は有界で $z\in B$ であり、$D$ は開なので $D\subset B^\circ$ である。逆に $z\in B^\circ$ とする。$B^\circ$ は開なので、小さい $\eta>0$ について、$z_j\ne0$ なら $w_j:=(1+\eta)z_j$、$z_j=0$ なら $w_j:=\eta$ とおいた $w$ は $B$ に属する。$w$ の成分はすべて $0$ でなく $|w_j|>|z_j|$ なので、多重円板 の命題「Abel の補題（多変数）」により級数は $\Delta(0,|w|)$ のコンパクト集合の上で正規収束し、とくに $z\in D$ である。$D$ のコンパクト集合はこのような多重円板の有限個で覆えるので正規収束し、和の正則性も同じ命題による。

2：$B$ は回転で不変で、$z\in B$ かつ $|w_j|\le|z_j|$ なら $w\in B$ である。$z\in D$、$|w_j|\le|z_j|$ とすると、1 の $w'$（すべての $j$ で $|w'_j|>|z_j|$、$w'\in B$）について $w\in\Delta(0,|w'|)\subset D$ である。よって $D$ は完全な Reinhardt 領域である。$B^*:=\{\xi\mid e^\xi\in B\}$ とおく。$\xi,\eta\in B^*$ で $|c_\alpha|e^{\alpha\cdot\xi}\le C_1$、$|c_\alpha|e^{\alpha\cdot\eta}\le C_2$ なら、$0\le\lambda\le1$ について $|c_\alpha|e^{\alpha\cdot(\lambda\xi+(1-\lambda)\eta)}\le C_1^\lambda C_2^{1-\lambda}$ なので、$B^*$ は凸である。$D^*$ は $B^*$ の内部に等しい。実際 $e^\xi\in D=B^\circ$ なら $\xi$ の近傍は $B^*$ に入り、逆に $\xi\in(B^*)^\circ$ なら小さい $\varepsilon>0$ について $\xi+\varepsilon\mathbf 1\in B^*$ で、1 と同じく $e^\xi\in\Delta(0,e^{\xi+\varepsilon\mathbf 1})\subset D$ である。凸集合の内部は凸なので（2 点のまわりの球の凸結合は、凸結合の点のまわりの球を含む）、$D^*$ は凸である。下に閉じていることと (1) は、完全性による（def-rd-main の後の注意）。$\square$

$\operatorname{conv}\Omega^*$ は開である：その点 $\sum_i\lambda_i\xi^i$（$\xi^i\in\Omega^*$）で $\lambda_i>0$ となる $i$ を 1 つとると、$\xi^i$ のまわりの球 $U\subset\Omega^*$ について、$\xi^i$ を $U$ の点に替えた凸結合は $\sum_i\lambda_i\xi^i$ のまわりの球を覆う。開集合と任意の集合の和は開なので $L$ は開で、凸集合の和なので凸で、$L+(-\infty,0]^n=L$ から下に閉じている。

$\widehat\Omega$ は多重円板の和なので開で、回転で不変で完全である。$\xi\in L$ なら $L$ が開なので $\xi+\varepsilon\mathbf 1\in L$ となる $\varepsilon>0$ があり、$e^\xi\in\widehat\Omega$ である。逆に $e^\eta\in\widehat\Omega$ なら $\eta_j<\xi_j$ となる $\xi\in L$ があり、下に閉じていることから $\eta\in L$ である。よって $\widehat\Omega^*=L$ で、$\widehat\Omega$ は対数凸である。$z\in\Omega$ なら、def-rd-main の後の注意と同じく $|w_j|>|z_j|$、$w_j\ne0$ となる $w\in\Omega$ がとれ、$\xi:=(\log|w_j|)_j\in\Omega^*\subset L$ について $|z_j|< e^{\xi_j}$ なので $z\in\widehat\Omega$ である。

$U\supset\Omega$ を完全で対数凸な Reinhardt 領域とすると、$U^*\supset\Omega^*$ で、$U^*$ は凸で下に閉じているので $U^*\supset L$ である。$z\in\widehat\Omega$ なら $|z_j|< e^{\xi_j}$、$\xi\in L\subset U^*$ で、$e^\xi\in U$ と完全性から $z\in U$ である。$\square$

3 を仮定し、$L:=\Omega^*$ とおく。$L$ は空でない下に閉じた開凸集合で、$\Omega$ は (1) で $L$ から定まる。

段 1（分離）．$C\subset\mathbb R^m$ を空でない閉凸集合で $C+(-\infty,0]^m\subset C$ を満たすもの、$\eta\in\mathbb R^m\setminus C$ とする。このとき $\beta\in[0,\infty)^m$ で $\beta\cdot\eta>\sup_{c\in C}\beta\cdot c$ となるものがある。実際、$\eta$ に最も近い $C$ の点 $c^*$ をとり（$C$ は閉）、$\beta:=\eta-c^*\ne0$ とおく。$c\in C$、$0< t\le1$ について $|\eta-c^*-t(c-c^*)|^2\ge|\eta-c^*|^2$ を展開して $t\to0$ とすると $\beta\cdot(c-c^*)\le0$ である。$c=c^*-se_j$（$s>0$）とおくと $\beta_j\ge0$ であり、$\beta\cdot\eta=\beta\cdot c^*+|\beta|^2>\sup_C\beta\cdot c$ である。

段 2（コンパクト集合を多重円板で覆う）．コンパクト集合 $K\subset\Omega$ の各点 $w$ に (1) の $\xi\in L$ をとり、$L$ が開なので $\xi+\varepsilon_w\mathbf 1\in L$ となる $\varepsilon_w>0$ をとる。開集合 $\{|z_j|< e^{\xi_j}\ (j=1,\dots,n)\}$ の有限個で $K$ を覆い、その $\xi$ を $\xi^1,\dots,\xi^m$、$\varepsilon_w$ の最小値を $\varepsilon$ とする。$\alpha\in\mathbb N^n\setminus\{0\}$ について $M_\alpha:=\max_ie^{\alpha\cdot\xi^i}$ とおくと、$K$ の各点 $w$ で $|w^\alpha|< M_\alpha$ であり、$K$ はコンパクトなので $\sup_K|z^\alpha|< M_\alpha$ である。$J\subset\{1,\dots,n\}$ を空でない部分集合とし、$\eta\in\mathbb R^J$ が $C_J:=\operatorname{conv}\{\xi^i_J\}+(-\infty,0]^J$（$\xi_J$ は $J$ の成分だけを並べたもの）に属さないとする。$C_J$ はコンパクト集合と閉集合の和なので閉であり、段 1 の $\beta\in[0,\infty)^J$ について $\beta\cdot\eta>\max_i\beta\cdot\xi^i_J$ である。両辺は $\beta$ について連続なので、$\beta$ を成分が $0$ 以上の有理数のベクトルに替えてもこの不等式は保たれ、正の整数倍して、$J$ の外の成分を $0$ とした $\alpha\in\mathbb N^n$ で $\sum_{j\in J}\alpha_j\eta_j>\log M_\alpha$ となるものが得られる（$\alpha\ne0$ である）。

段 3（3 ⇒ 2）．$K\subset\Omega$ をコンパクトとし、段 2 の $\xi^i$、$\varepsilon$ をとる。$\widehat K_\Omega$ の閉包の点 $z$ をとる。単項式は $\Omega$ 上で正則なので、連続性から $|z^\alpha|\le\sup_K|z^\alpha|< M_\alpha$（$\alpha\in\mathbb N^n\setminus\{0\}$）である。$J:=\{j\mid z_j\ne0\}$ が空なら $z=0\in\Omega$ である。空でなければ $\eta:=(\log|z_j|)_{j\in J}$ とおく。$\eta\notin C_J$ なら段 2 の $\alpha$ について $|z^\alpha|=e^{\sum_J\alpha_j\eta_j}>M_\alpha$ となって矛盾するので、$\eta\in C_J$ であり、凸結合 $\zeta=\sum_i\lambda_i\xi^i$ で $\eta\le\zeta_J$（成分ごと）となるものがある。$L$ は凸なので $\zeta+\varepsilon\mathbf 1=\sum_i\lambda_i(\xi^i+\varepsilon\mathbf 1)\in L$ であり、$j\in J$ では $|z_j|\le e^{\zeta_j}< e^{\zeta_j+\varepsilon}$、$j\notin J$ では $|z_j|=0$ だから、(1) により $z\in\Omega$ である。よって $\widehat K_\Omega$ の閉包は $\Omega$ に含まれる。$\widehat K_\Omega$ は $\Omega$ の中で閉で有界なので（正則領域 の命題「正則凸包の基本性質」）コンパクトである。$\Omega$ は正則凸な領域なので、正則領域 の定理「Cartan–Thullen の定理」により正則領域である。

段 4（3 ⇒ 1）．$\Omega=\mathbb C^n$ なら定数の級数 $1$ の収束域が $\mathbb C^n$ である。$\Omega\ne\mathbb C^n$ とする。まず、$p\in\overline L$ で $\xi_j< p_j$（すべての $j$）なら $\xi\in L$ である（$p$ に近い $L$ の点は成分ごとに $\xi$ より大きく、$L$ は下に閉じている）。$\overline L=\mathbb R^n$ なら任意の $\xi$ について $\xi+\mathbf 1\in\overline L$ から $L=\mathbb R^n$、$\Omega=\mathbb C^n$ となるので、$\mathbb R^n\setminus\overline L$ は空でない開集合である。その有理数成分の点を、各点が無限回現れるように並べた列を $(\eta^{(k)})_{k\ge1}$ とする。$K_k:=\{z\in\Omega\mid|z|\le k,\ \operatorname{dist}(z,\mathbb C^n\setminus\Omega)\ge1/k\}\cup\{0\}$ は $\Omega$ の増大するコンパクト集合で、$\Omega$ のコンパクト集合はどれもある $K_k$ に含まれる。$K_k$ に段 2 を当てると、$C:=\operatorname{conv}\{\xi^i\}+(-\infty,0]^n$ は $L$ に含まれるので $\eta^{(k)}\notin C$ であり（$J=\{1,\dots,n\}$）、$\alpha_k\in\mathbb N^n\setminus\{0\}$ と $M_k:=M_{\alpha_k}$ で $s_k:=\sup_{K_k}|z^{\alpha_k}|/M_k< 1< q_k:=e^{\alpha_k\cdot\eta^{(k)}}/M_k$ となるものがある。正の整数 $N_k$ を、$s_k^{N_k}\le2^{-k}$、$q_k^{N_k}\ge k$、$|N_k\alpha_k|>|N_{k-1}\alpha_{k-1}|$ となるようにとり、$\gamma_k:=N_k\alpha_k$、$c_k:=M_k^{-N_k}$ とおく。$\gamma_k$ は互いに異なるので、$\sum_kc_kz^{\gamma_k}$ は冪級数で、その収束域を $D$、thm-rd-domain の前の $B$ をこの級数について考える。

$\Omega\subset D$：コンパクト集合 $K\subset\Omega$ は、ある $K_l$ に含まれ、$k\ge l$ では $\sup_K|c_kz^{\gamma_k}|\le s_k^{N_k}\le2^{-k}$ なので、級数は $K$ の上で正規収束する。$\Omega$ の各点は $\Omega$ の中にコンパクトな近傍をもつので $\Omega\subset D$ である。

$D\subset\Omega$：$e^\eta\in B$ となる $\eta$ は $\overline L$ に属する。そうでなければ、$\mathbb R^n\setminus\overline L$ は開集合なので、すべての成分が $\eta$ より小さいその点の全体は空でない開集合で（小さい $t>0$ について $\eta-t\mathbf 1$ を含む）、無限個の $k$ について $\eta^{(k)}$ を含む。そのような $k$ では $\gamma_k$ の成分が $0$ 以上なので $c_ke^{\gamma_k\cdot\eta}\ge c_ke^{\gamma_k\cdot\eta^{(k)}}=q_k^{N_k}\ge k$ となり、$e^\eta\in B$ に反する。$z\in D$ をとる。thm-rd-domain の 1 の証明のとおり、成分がすべて $0$ でなく $|w_j|>|z_j|$ となる $w\in B$ があり、$p:=(\log|w_j|)_j\in\overline L$ である。$\log|z_j|< \xi_j< p_j$（$z_j=0$ なら $\xi_j< p_j$ だけ）となる $\xi$ をとると、最初に述べたことから $\xi\in L$ であり、(1) により $z\in\Omega$ である。よって $D=\Omega$ である。$\square$