高次順像

前提知識: 層, 層コホモロジー

高次順像は何を記録するか

連続写像 $f\colon X\to Y$ と $X$ 上のアーベル群の層 $\mathcal F$ に対し、普通の順像層は、$Y$ の開集合 $V$ にその逆像上の切断 $\mathcal F(f^{-1}V)$ を対応させる。ところが切断を取る操作は一般には完全でない。局所的に存在する切断を貼り合わせる際の障害を、次数ごとに層として $Y$ 上へ運んだものが高次順像（higher direct image）である。記号は $R^qf_*\mathcal F$、$q\geq0$ と書く。$R^0f_*\mathcal F=f_*\mathcal F$ であり、正の次数が貼り合わせの障害を表す。
たとえば $Y$ が一点なら、$R^qf_*\mathcal F$ は $H^q(X,\mathcal F)$ という一つの群である。$Y$ に多数の点があるときは、各点の近くにおける逆像のコホモロジーを層として整理する。これにより、空間全体のコホモロジーだけでは見えない「障害が底空間のどこにあるか」を扱える。
この記号は位相空間上のアーベル群の層にも、スキーム上の構造層加群にも使われる。後者では $R^qf_*\mathcal F$ は $Y$ 上の $\mathcal O_Y$ 加群になる。以下、まずアーベル群の層で構成を説明し、その後にスキームと準連接層の例を述べる。

定義と切断の計算

単射分解を使う理由は、$f_*$ が左完全であっても一般には全射を保たないためである。具体的には、層の全射 $\mathcal F\to\mathcal G$ があっても、ある開集合で与えられた $\mathcal G$ の切断が、逆像全体で $\mathcal F$ の切断に持ち上がるとは限らない。一方、単射層はこの不足を測るための分解に使える。層のコホモロジーも同じ分解から定義されるため、両者を直接比較できる。

ここでの「層化」は省けない。一般の開集合 $V$ について
$$(R^qf_*\mathcal F)(V)=H^q(f^{-1}V,\mathcal F)$$
とは限らない。左辺は、近傍を細かくしたとき局所的に同じになるコホモロジー類を貼り合わせた結果である。右辺は逆像全体のコホモロジーであり、局所化する前の情報も含む。茎に移ると上の順極限の式が正しく使える。
次数零では $H^0(f^{-1}V,\mathcal F)=\mathcal F(f^{-1}V)$ がすでに層の切断を与える。従って層化しても変わらず、$R^0f_*\mathcal F=f_*\mathcal F$ となる。$f$ が恒等写像なら、$R^q\operatorname{id}_*\mathcal F=0$ が $q>0$ で成立する。これは、恒等写像の順像関手がそのまま恒等関手であり完全だからである。

茎とファイバーを区別する

上の茎の式では、$f^{-1}(y)$ そのものではなく、$y$ の開近傍 $V$ の逆像を使う。従って一般には
$$(R^qf_*\mathcal F)_y\not\cong H^q(f^{-1}(y),\mathcal F|_{f^{-1}(y)})$$
である。右辺は一点上のファイバーのコホモロジーで、左辺はその点の周囲すべての逆像を通して残るコホモロジーである。両者を結ぶ基底変換の定理には、写像や層に追加の仮定が要る。ファイバーの形だけから高次順像の茎を決めてはならない。

この例では、近傍 $D$ を小さくしても穿孔円板の一周するループは消えない。高次順像の茎は、このように任意に小さい近傍でなお残る局所的な障害を記録する。逆に、ある十分小さい近傍ですべての高次コホモロジーが消えれば、その点の高次順像の茎も零になる。
原点以外の点 $y\in Y$ では、$j$ は $y$ の十分小さい近傍上で恒等写像と同じである。従って $(R^1j_*\underline{\mathbb Z}_X)_y=0$ であり、$R^1j_*\underline{\mathbb Z}_X$ は原点にだけ非零の茎をもつ。層が単に非零かどうかに加え、その非零部分がどこに集中するかも高次順像から分かる。開埋め込みはすべてアフィン射という意味ではないし、この例の定数層はスキーム上の準連接層でもない。後述のアフィン射の消滅定理とは異なる状況である。

長完全列と Leray の関係

層の短完全列 $0\to\mathcal F'\to\mathcal F\to\mathcal F''\to0$ を $f_*$ にかけると、正の次数も含めて
$$0\to f_*\mathcal F'\to f_*\mathcal F\to f_*\mathcal F'' \to R^1f_*\mathcal F'\to R^1f_*\mathcal F\to\cdots$$
という長完全列が得られる。$f_*\mathcal F\to f_*\mathcal F''$ が全射にならない場合、その最初の障害が $R^1f_*\mathcal F'$ へ送られる。これは普通のコホモロジーの長完全列を、底空間 $Y$ の各開集合に応じた層の形で見たものである。
さらに、$Y$ 上のコホモロジーと高次順像を合わせると Leray スペクトル系列
$$E_2^{p,q}=H^p(Y,R^qf_*\mathcal F) \Longrightarrow H^{p+q}(X,\mathcal F)$$
がある。これはまず $f$ に沿って逆像のコホモロジーを $Y$ 上の層にまとめ、次にその層の大域的なコホモロジーを計算する構成である。底空間が一点の場合は $p=0$ の行だけとなり、$R^qf_*\mathcal F=H^q(X,\mathcal F)$ に戻る。
低次の部分を取り出すと、次の完全列が得られる。
$$0\longrightarrow H^1(Y,f_*\mathcal F) \longrightarrow H^1(X,\mathcal F) \longrightarrow H^0(Y,R^1f_*\mathcal F) \longrightarrow H^2(Y,f_*\mathcal F) \longrightarrow H^2(X,\mathcal F).$$
ここで $H^1(Y,f_*\mathcal F)$ は、$Y$ 上に押し出した通常の切断から生じる一次の障害である。$H^0(Y,R^1f_*\mathcal F)$ は、各場所にある一次の障害を層として集めたうえで大域的に整合するものを表す。両者をつなぐ写像は常に全射とは限らず、その失敗は次の $H^2(Y,f_*\mathcal F)$ に現れる。従って「高次順像の大域切断を見れば、全空間のコホモロジーがそのまま分かる」と一般には言えない。後述のアフィン基底という条件が、この違いを消す一つの状況である。
スキーム上で $f$ が準コンパクトかつ準分離、$\mathcal F$ が準連接層なら、各 $R^qf_*\mathcal F$ も準連接層である。特に $Y=\operatorname{Spec}A$ がアフィンなら、準連接層の高次コホモロジーが消えるため、上のスペクトル系列は退化し、
$$H^q(X,\mathcal F)\cong\Gamma(Y,R^qf_*\mathcal F)$$
となる。この等式は仮定のある特別な場合であり、一般の位相空間の任意の開集合に対する切断公式に読み替えてはならない。
もし $R^qf_*\mathcal F=0$ がすべての $q>0$ で成立すれば、Leray スペクトル系列には $q=0$ の行だけが残り、各次数で $H^n(X,\mathcal F)\cong H^n(Y,f_*\mathcal F)$ となる。これは、高次順像の消滅が単に新しい層を零にするだけでなく、全空間のコホモロジーを底空間へ押し出した層から計算できるようにすることを意味する。ただし、この結論でも $f_*\mathcal F$ がどのような層かを別に理解する必要がある。消滅だけでコホモロジー群の値まで自動的に決まるわけではない。

アフィン射での消滅

スキームの射 $f\colon X\to Y$ がアフィン射であるとは、$Y$ のアフィン開集合の逆像がアフィンになることをいう。たとえば $\operatorname{Spec}A[t]\to\operatorname{Spec}A$ はアフィン射であり、有限射もアフィン射である。準連接層については、この幾何学的な条件が高次順像を消す。

準連接性は重要である。アフィンスキーム上の任意のアーベル群の層や任意の構造層加群で、すべての高次コホモロジーが消えるわけではない。したがって「アフィン射なら $f_*$ はどの層についても完全」とは言えない。上の消滅は準連接層に制限した主張である。また、アフィン射であることは各ファイバーが有限集合であることとは違う。たとえば多項式環が作る射のファイバーは普通は正の次元をもつ。
アフィン射が局所的に環準同型 $A\to B$ から生じるとき、$\mathcal F$ が $B$ 加群 $M$ に対応するなら、$f_*\mathcal F$ は $M$ を $A$ 加群と見た層に対応する。加群の列の完全性は、忘却して $A$ 加群と見ても保たれる。この代数的な見方でも、準連接層の範囲で高次順像が零になる理由を理解できる。ただし、スキーム全体での証明には、上のようにアフィン開集合ごとに確かめて貼り合わせる段階が要る。
特に有限射 $f$ はアフィン射だから、準連接層について $R^qf_*\mathcal F=0$ が $q>0$ で成立する。これは「ファイバーが有限個の点だから」とだけ説明するより強い事実である。理由は逆像がアフィンになり、準連接層の高次コホモロジーが消えることにある。有限個の点をもつ射という弱い条件からは、この消滅を推論できない。

射影直線から生じる非零の例

アフィン射ではない射の高次順像は実際に非零になりうる。体 $k$ 上の射影直線 $\mathbb P^1_k$ を一点のスキームへ送る射
$$p\colon\mathbb P^1_k\longrightarrow\operatorname{Spec}k$$
を考える。底空間が一点なので、高次順像の計算は $\mathbb P^1_k$ 上の層コホモロジーの計算である。構造層 $\mathcal O$ の場合 $H^1(\mathbb P^1_k,\mathcal O)=0$ だが、層を $\mathcal O(-2)$ に替えると第 1 コホモロジーが生じる。

最後の商では、非負のべきは $k[t]$ に入り、$-2$ 以下のべきは $t^{-2}k[t^{-1}]$ に入る。唯一残る $t^{-1}$ の係数が一つのコホモロジー類を与える。この計算は、射が同じでも層によって高次順像の消滅と非消滅が変わることを示す。
同じ計算は任意の整数 $n$ に対する $\mathcal O(n)$ にも使える。上の自明化を $x_0^n$ に替えると、$U_1$ の切断は重なりで $t^n k[t^{-1}]$ と表される。このため
$$H^1(\mathbb P^1_k,\mathcal O(n)) \cong k[t,t^{-1}]/\bigl(k[t]+t^n k[t^{-1}]\bigr).$$
$n\geq-1$ なら、負のべきはすべて $t^n k[t^{-1}]$ に入り、商は零である。$n\leq-2$ なら、$t^{n+1},t^{n+2},\ldots,t^{-1}$ が商の基底となり、次元は $-n-1$ である。つまり
$$\dim_k H^1(\mathbb P^1_k,\mathcal O(n)) =\max\{-n-1,0\}.$$
この結果は、射影直線への射 $p$ が一定であっても、入力する層のねじれ具合によって第 1 高次順像の大きさが変わることを具体的に示す。$\mathcal O(-1)$ では消え、$\mathcal O(-2)$ で初めて 1 次元になり、さらに負にねじると次元が増える。

使うときの確認事項

高次順像を計算するときは、まずどの圏の層を扱っているかを決める。位相空間上のアーベル群の層、スキームのザリスキー位相上の準連接層、エタール位相上の層では、使える消滅定理や基底変換定理が異なる。たとえば上のアフィン射の消滅は、ザリスキー位相の準連接層に関する定理である。
次に、求めたいのが $R^qf_*\mathcal F$ の層そのもの、その茎、ある開集合上の切断、あるいはファイバーのコホモロジーのどれなのかを区別する。定義に最も近い計算は近傍の逆像のコホモロジーを層化する方法である。アフィン基底上の準連接層という仮定があれば、Leray の関係で全空間のコホモロジーから大域切断を求められる。ファイバーへの置き換えは別の定理が保証した場合に限る。
最後に、消滅を主張するときは射と層の両方の仮定を見る。アフィン射でも準連接性を外せば上の証明は使えず、射影直線の例では準連接層でもアフィン射の仮定がないため非零の高次順像が現れた。この二つの例が、定理の適用範囲を確かめる目安になる。

反例：仮定を外すと崩れること

この記事の主張のうち仮定を要するものについて、仮定を一つ外した反例を並べる。

各行の確認は次のとおりである。

• 準連接性を外す：$X=\mathbb A^1_k$ の二つの閉点 $P,Q$ を取り、$Y=\{P,Q\}$、$U=X\setminus Y$、$i:Y\hookrightarrow X$、$j:U\hookrightarrow X$ とする。層の完全列 $0\to j_!\underline{\mathbb Z}_U\to\underline{\mathbb Z}_X\to i_*\underline{\mathbb Z}_Y\to0$ がある（茎ごとに $U$ 上では $\mathbb Z\cong\mathbb Z\to0$、$P,Q$ では $0\to\mathbb Z\cong\mathbb Z$）。$X$ は既約なので空でない開集合は連結で、$\underline{\mathbb Z}_X$ の切断は空でない開集合上で $\mathbb Z$、制限は恒等写像である。よって $\underline{\mathbb Z}_X$ は脆弱で $H^1(X,\underline{\mathbb Z}_X)=0$。長完全列から $H^1(X,j_!\underline{\mathbb Z}_U)\cong\operatorname{coker}(\mathbb Z\to\mathbb Z^2)\cong\mathbb Z\ne0$（写像は対角 $a\mapsto(a,a)$）。$f:\mathbb A^1_k\to\operatorname{Spec}k$ はアフィン射で、$R^1f_*(j_!\underline{\mathbb Z}_U)$ はこの群なので零でない。$j_!\underline{\mathbb Z}_U$ は $\mathcal O_X$ 加群ですらなく、定理の仮定から外れている。
• アフィン射を外す：ex-higher-direct-image-projective-line のとおり $R^1p_*\mathcal O(-2)\cong k\ne0$。$\mathcal O(-2)$ は準連接なので、破れているのはアフィン射の仮定だけである。
• ファイバーが小さくてもアフィンでなければ消えない：$X=\mathbb A^2_k\setminus\{0\}$ は $U_x=\{x\ne0\}$、$U_y=\{y\ne0\}$ の二つのアフィン開集合で覆われ、交わり $U_{xy}$ もアフィンなので、Čech 複体で
  $$H^1(X,\mathcal O)\cong k[x^{\pm1},y^{\pm1}]/\bigl(k[x^{\pm1},y]+k[x,y^{\pm1}]\bigr)$$
  と計算できる。単項式 $x^{-a}y^{-b}$（$a,b\ge1$）はどちらの部分環にも入らず、その類が商の基底になるので、この群は零でない。$j$ は準コンパクト・準分離で $\mathbb A^2_k$ はアフィンだから、本文の Leray の議論により $\Gamma(\mathbb A^2_k,R^1j_*\mathcal O)\cong H^1(X,\mathcal O)\ne0$ である。$j$ のファイバーは高々一点だが、$j^{-1}(\mathbb A^2_k)=X$ がアフィンでない（アフィンなら準連接層の $H^1$ は零）ので、$j$ はアフィン射でない。アフィン射での消滅は Stacks Lemma 30.2.3（Tag 01XC）にもある。
• 層化を省く：$\operatorname{id}_*$ は完全なので $R^1\operatorname{id}_*\underline{\mathbb Z}=0$、従ってその大域切断は $0$ である。他方 $H^1(\operatorname{id}^{-1}S^1,\underline{\mathbb Z})=H^1(S^1,\underline{\mathbb Z})\cong\mathbb Z\ne0$。円周全体の一周する類は、各点の十分小さい弧に制限すると消えるので、層化で失われる。
• 茎とファイバー：ex-higher-direct-image-puncture のとおり、原点で $(R^1j_*\underline{\mathbb Z})_0\cong\mathbb Z$ だが、ファイバー $j^{-1}(0)$ は空で、そのコホモロジーは零である。固有写像についての基底変換の定理のような仮定がなければ、茎をファイバーで計算できない。

関連項目

• 前提: 層, 層コホモロジー
• 計算: 準連接層, アフィン射
• 道具: Lerayスペクトル系列