Levi形式

$v(\zeta):=u(z+\zeta b)$（$\zeta=s+it$）とおく。$\frac{\partial^2v}{\partial s^2}(0)=H_u(z)(b,b)$、$\frac{\partial^2v}{\partial t^2}(0)=H_u(z)(ib,ib)$ である。一方、下の lem-lf-chain の 1 を $\gamma(\zeta)=z+\zeta b$ に使うと $\frac{\partial^2v}{\partial\zeta\partial\bar\zeta}(0)=L_u(z;b)$ であり、$\frac{\partial^2}{\partial\zeta\partial\bar\zeta}=\frac14\bigl(\frac{\partial^2}{\partial s^2}+\frac{\partial^2}{\partial t^2}\bigr)$ である。$\square$

$C^1$ 級の複素数値関数 $h$ について、Wirtinger の連鎖律は $\frac{\partial(h\circ F)}{\partial\bar w_k}=\sum_l\bigl(\frac{\partial h}{\partial z_l}\circ F\bigr)\frac{\partial F_l}{\partial\bar w_k}+\sum_l\bigl(\frac{\partial h}{\partial\bar z_l}\circ F\bigr)\frac{\partial\bar F_l}{\partial\bar w_k}$ であり、$F$ が正則なら第 1 の和は消え（正則な $F$ についての形は 多重劣調和関数 の補題「正則写像についての連鎖律」の 1）、$\frac{\partial\bar F_l}{\partial\bar w_k}=\overline{\partial F_l/\partial w_k}$ である。$\partial/\partial z$ についても同様である。よって $\frac{\partial(u\circ F)}{\partial\bar w_k}=\sum_m\bigl(\frac{\partial u}{\partial\bar z_m}\circ F\bigr)\overline{\frac{\partial F_m}{\partial w_k}}$ であり、これを $\partial/\partial w_j$ で微分すると、$\overline{\partial F_m/\partial w_k}$ は正則関数の共役なので $\partial/\partial w_j$ で $0$ になり、$$\frac{\partial^2(u\circ F)}{\partial w_j\partial\bar w_k}=\sum_{l,m}\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial z_l\partial\bar z_m}\circ F\Bigr)\frac{\partial F_l}{\partial w_j}\overline{\frac{\partial F_m}{\partial w_k}}$$を得る。$c_j\bar c_k$ を掛けて足すと 2 になり、1 は $m=1$ の場合である。$\square$

$r,r'$ がともに定義された $p$ の開近傍で考える。逆関数定理 により、$p$ の開近傍 $N_0$ から箱 $Q\times(-c,c)$（$Q\subset\mathbb{R}^{2n-1}$）への $C^2$ 級の微分同相 $\Phi$ で、最後の成分が $r$ になるものがある（$r$ の勾配が $0$ でないので、$r$ と $2n-1$ 個の実座標を合わせて局所座標にできる）。$g:=r'\circ\Phi^{-1}$ とおく。$r=0$ の点は $\Omega$ の境界の点で（$r<0$ の点の極限であり $\Omega$ に属さない）、$r'$ も $0$ になるので、$g(y,0)=0$ である。よって $g(y,t)=t\,\tilde h(y,t)$、$\tilde h(y,t):=\int_0^1\frac{\partial g}{\partial t}(y,\sigma t)\,d\sigma$ であり、$\tilde h$ は $C^1$ 級である。$h:=\tilde h\circ\Phi$ とおくと $N_0$ の上で $r'=hr$ である。$t\ne0$ では $g$ と $t$ は同符号（$r<0\iff r'<0$、$r>0$ の点は $\Omega$ の外で $r'\ge0$、さらに $r'=0$ なら境界の点で $r=0$）なので $\tilde h(y,t)>0$ であり、$t=0$ では $\tilde h(y,0)=\frac{\partial g}{\partial t}(y,0)\ge0$ である。$t=0$ で $\frac{\partial g}{\partial t}=0$ なら、$g(\cdot,0)=0$ と合わせて $g$ の微分が $0$ になり $dr'=0$ となって仮定に反する。よって $h>0$ である。$\square$

$r'=hr$、$r(p)=0$ と $h$ の微分可能性から、$\partial r'(p)=h(p)\partial r(p)+r(p)\partial h(p)=h(p)\partial r(p)$ であり、同じく $\nabla r'(p)=h(p)\nabla r(p)$ である。$v\in T^{1,0}_p\partial\Omega$ を固定し、$\gamma(\zeta):=p+\zeta v$ とおく。記号の節の展開 (T) を $\rho=r$ と $\rho=r'$、$x=\zeta v$ に使うと、$\sum_j\frac{\partial r}{\partial z_j}(p)v_j=0$ と $\partial r'(p)=h(p)\partial r(p)$ から 1 次の項は消え、複素数 $\beta,\beta'$ について $r(\gamma(\zeta))=\operatorname{Re}(\beta\zeta^2)+L_r(p;v)|\zeta|^2+o(|\zeta|^2)$、$r'(\gamma(\zeta))=\operatorname{Re}(\beta'\zeta^2)+L_{r'}(p;v)|\zeta|^2+o(|\zeta|^2)$ となる。一方 $h$ は $C^1$ 級なので $h(\gamma(\zeta))=h(p)+O(|\zeta|)$、$r(\gamma(\zeta))=O(|\zeta|^2)$ であり、$r'(\gamma(\zeta))=h(p)\,r(\gamma(\zeta))+O(|\zeta|^3)$ である。両辺を円周 $|\zeta|=s$ の上で平均すると、$\operatorname{Re}(\beta\zeta^2)$ の平均は $0$ なので $L_{r'}(p;v)s^2+o(s^2)=h(p)L_r(p;v)s^2+o(s^2)$ となり、$s\to0$ として主張を得る。$h(p)>0$ なので慣性は変わらず（Hermite形式 の定理「Hermite 形式の慣性法則」）、$|\nabla r'(p)|=h(p)|\nabla r(p)|$ から $\mathcal{L}_p$ も変わらない。$\square$

展開 (T) に $x=\zeta v+\zeta^2w$ を代入する。$\sum_jr_jv_j=0$（$r_j:=\frac{\partial r}{\partial z_j}(p)$）なので 1 次の項は $2\operatorname{Re}\bigl(\zeta^2\sum_jr_jw_j\bigr)$ であり、2 次の項は $\operatorname{Re}\bigl(\zeta^2\sum_{j,k}\frac{\partial^2r}{\partial z_j\partial z_k}(p)v_jv_k\bigr)+L_r(p;v)|\zeta|^2+O(|\zeta|^3)$ である。$\partial r(p)\ne0$ なので、$\sum_jr_jw_j=-\frac12\sum_{j,k}\frac{\partial^2r}{\partial z_j\partial z_k}(p)v_jv_k$ となる $w$ がとれ、$\zeta^2$ の項が打ち消し合う。後半は $\Omega\cap U=\{r<0\}$、$\overline\Omega\cap U\subset\{r\le0\}$ による。$\square$

$e^{Ar}-1$ は $r$ と同符号の $C^2$ 級関数で $d\rho=Ae^{Ar}dr\ne0$ なので、$\rho$ は定義関数である。直接の計算で $\frac{\partial^2\rho}{\partial z_j\partial\bar z_k}=Ae^{Ar}\bigl(\frac{\partial^2r}{\partial z_j\partial\bar z_k}+A\frac{\partial r}{\partial z_j}\frac{\partial r}{\partial\bar z_k}\bigr)$ であり、$r(p)=0$ から $L_\rho(p;b)=A\bigl(L_r(p;b)+A|\sum_j\frac{\partial r}{\partial z_j}(p)b_j|^2\bigr)$ である。どの $A=k$（正の整数）についても正定値でないとすると、$|b_k|=1$ で $L_r(p;b_k)+k|\sum_jr_jb_{k,j}|^2\le0$ となる $b_k$ がある（$r_j:=\frac{\partial r}{\partial z_j}(p)$）。部分列が単位ベクトル $b$ に収束するとしてよい。$|\sum_jr_jb_{k,j}|^2\le-L_r(p;b_k)/k\le C/k$（$C:=\max_{|b|=1}|L_r(p;b)|$）なので $\sum_jr_jb_j=0$、すなわち $b\in T^{1,0}_p\partial\Omega$ であり、$L_r(p;b_k)\le0$ から $L_r(p;b)\le0$ となる。これは強擬凸性に反する。$\square$

$p=0$ とし、prf-lf-narasimhan の $\rho$、$c$、$q$ をとる。$\rho(z)=2\operatorname{Re}q(z)+L_\rho(0;z)+o(|z|^2)$ と $L_\rho(0;z)\ge c|z|^2$ から、$0$ の近傍 $N\subset U$ で $\rho(z)\ge2\operatorname{Re}q(z)+\frac c2|z|^2$ となる。$\overline\Omega\cap N\subset\{\rho\le0\}$ の点 $z\ne0$ では $2\operatorname{Re}q(z)\le-\frac c2|z|^2<0$ である。後半は $|e^q|=e^{\operatorname{Re}q}$ と $q(z)\to0$（$z\to0$）による。$\square$