点列
概要
点列（Sequence of points）とは、自然数の集合からある空間への写像として定義される「点の列」のことである。直観的には、空間内に順序付けられて並んだ点の集まりを表し、解析学においては、その「収束」を通じて極限や連続性、閉集合などの位相的性質を特徴付けるための最も基本的な道具となる。ただし、距離空間や第1可算空間では点列のみで位相構造を完全に捉えられるが、一般の位相空間では点列だけでは不十分であり、より一般化された概念である「ネット」や「フィルター」が必要となる場合がある。
定義
位相空間 $X$ における点列とは、自然数全体 $\mathbb{N}$ から $X$ への写像 $x: \mathbb{N} \to X$ のことである。通常、写像の値 $x(n)$ を $x_n$ と書き、列全体を $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ あるいは単に $\{x_n\}$ と表記する。
最も重要な概念である「収束」は、近傍を用いて定義される。
点列 $\{x_n\} \subseteq X$ が点 $x \in X$ に収束する（converge）とは、以下の条件を満たすことをいう。
$x$ の任意の近傍 $U$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、それ以降のすべての項が $U$ に含まれる。
$$\forall U \in \mathcal{V}_x, \exists N \in \mathbb{N} \text{ s.t. } n \ge N \implies x_n \in U$$
このとき、$x$ を点列 $\{x_n\}$ の極限（limit）と呼び、$x_n \to x$ や $\lim_{n \to \infty} x_n = x$ と書く。
直感的理解と距離空間での振る舞い
点列の収束は、「番号 $n$ が進むにつれて、点がターゲット $x$ の『渦』の中に吸い込まれていく」様子を表している。
$X$ が距離空間 $(X, d)$ である場合、近傍の定義（開球）により、収束の定義は解析学でお馴染みの形式と同値になる。
$$x_n \to x \iff \lim_{n \to \infty} d(x_n, x) = 0$$
すなわち、「誤差がいくらでも小さくなる」ことと等価である。
性質
点列の振る舞いは、空間が満たす分離公理などの位相的性質に強く依存する。
- 極限の一意性:
$X$ がHausdorff空間（$T_2$）ならば、収束する点列の極限はただ一つである。
（Hausdorffでない空間では、点列が複数の異なる点に同時に収束しうる） - 部分列:
$x_n \to x$ ならば、その任意の部分列 ${x_{n_k}}$ も $x$ に収束する。 - 連続写像による保存:
$f: X \to Y$ が連続ならば、$x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x)$ である（点列連続性）。
点列による位相の特徴付け（点列原理）
「点列さえ調べれば位相がわかるか？」という問いは、位相空間論において重要である。第1可算公理を満たす空間（距離空間を含む）では、点列は強力な決定力を持つ。
$X$ が第1可算空間であるとき、以下の同値性が成り立つ。
- 閉包:
$x \in \overline{A} \iff \exists \{a_n\} \subseteq A \text{ s.t. } a_n \to x$ - 閉集合:
$F$ が閉集合 $\iff$ $F$ 内の収束する任意の点列の極限は $F$ に属する（点列閉）。 - 連続性:
写像 $f$ が連続 $\iff$ $f$ は点列連続である。
限界と反例
一般の位相空間（第1可算でない空間）では、点列は「力不足」であり、位相構造（近さ）を正しく反映できないことがある。これを補うためにネット（有向点列）という一般化概念が導入される。
非可算集合 $X$ 上の補有限位相を考える。
この空間における収束点列 $\{x_n\}$ とは、「有限個の項を除いて定数値をとる列」に限られることが知られている。
- $X$ の無限部分集合 $A$ を考える。補有限位相では、無限集合は稠密なので $\overline{A} = X$ である。
- しかし、$A$ に含まれる点列で、$A$ の外の点 $y \notin A$ に収束するものは存在しない（定数になるしかないため）。
- つまり、$y$ は $A$ の閉包に含まれるのに、$A$ の点列で $y$ に近づくことはできない。
