点列
概要
点列（sequence）とは、自然数全体 $\mathbb{N}$ から集合 $X$ への写像 $n\mapsto x_n$ のことであり、$X$ の点を番号順に無限に並べたもの $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を表す。項の順序と重複を記憶する点で項の集合とは異なり、$X=\mathbb{R}$ のとき数列という。番号を狭義単調増加に選び直して得られる $(x_{n_k})$ を部分列といい、部分列の部分列は部分列であり、収束列の部分列は同じ極限に収束する。実数列については単調列・有界列を考え、単調有界列は収束し、任意の実数列は単調な部分列をもつので、有界列は収束する部分列をもつ（Bolzano-Weierstrass の定理）。点列の収束は距離空間や第1可算空間の位相を特徴づけるが、一般の位相空間ではネットに一般化する必要がある。
定義
$X$ を集合とする。$X$ の点列（sequence）とは、自然数全体の集合 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ から $X$ への写像 $x\colon\mathbb{N}\to X$ のことである。$n\in\mathbb{N}$ における値 $x(n)$ を $x_n$ と書いて点列の第 $n$ 項（term）といい、$n$ を添字（index）または番号という。点列全体は $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$、または単に $(x_n)$ と書く。$X$ が実数全体 $\mathbb{R}$ のとき、$X$ の点列を（実）数列といい、$X$ が複素数全体 $\mathbb{C}$ のとき複素数列という。
添字を $1$ から始めた写像 $\{1,2,3,\dots\}\to X$ も同じく点列といい、$(x_n)_{n\ge1}$ と書く。一般に、$\mathbb{N}$ の代わりに $\{n\in\mathbb{N}\mid n\ge n_0\}$ を定義域とする写像も点列とみなす。これらは添字をずらせば $\mathbb{N}$ からの写像に直せるので、以下では断りなく $\mathbb{N}$ を添字集合とする。有限集合 $\{0,1,\dots,n-1\}$ から $X$ への写像は長さ $n$ の有限列といい、区別するとき点列を無限列ともいう。
点列は写像であって、集合ではない。点列 $(x_n)$ の値の集合（像(写像)）$\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}\subset X$ を点列の項の集合というが、これは点列とは別のものである。文献によっては点列を $\{x_n\}$ や $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ と書くが、この記法は項の集合と紛らわしいので、本記事では丸括弧 $(x_n)$ を用いる。
- 点列は項の順序と重複を記憶するが、項の集合はそれらを忘れる。$\mathbb{R}$ の点列 $x_n:=(-1)^n$ は無限個の項をもつが、項の集合は $\{1,-1\}$ という二元集合である。定数列 $(c,c,c,\dots)$ の項の集合は一点集合 $\{c\}$ である。逆に、同じ項の集合 $\{1,-1\}$ をもつ点列は $(1,-1,1,-1,\dots)$、$(1,1,-1,1,1,-1,\dots)$ など無数にある。
- 点列は定義域が $\mathbb{N}$ である関数（写像）にほかならない。したがって定義域が $\mathbb{R}$ や区間（区間）である関数 $f\colon\mathbb{R}\to X$ は点列ではないが、$n\mapsto f(n)$ と制限すれば点列が得られる。逆に、点列 $(x_n)$ は $\mathbb{N}$ 上の関数なので、関数に対する操作（和、合成、極限など）を点列にそのまま適用できる。
- $X$ の高々可算な部分集合（可算集合）$A$ が空でなければ、$A$ を項の集合とする点列 $(x_n)$（$A$ の列挙）が存在するが、列挙の仕方は一通りでない。
$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ の点列とする。狭義単調増加な写像 $\varphi\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$、すなわち $k< l$ ならば $\varphi(k)<\varphi(l)$ となる写像をとり、$n_k:=\varphi(k)$ と書く。合成写像 $x\circ\varphi\colon\mathbb{N}\to X$、すなわち点列
$$
(x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}=(x_{n_0},x_{n_1},x_{n_2},\dots),\qquad n_0< n_1< n_2<\cdots
$$
を $(x_n)$ の部分列（subsequence）という。
部分列とは、元の点列から無限個の項を、順序を保ったまま抜き出して並べたものである。番号の列 $(n_k)$ が狭義単調増加であることが本質であり、順序を入れ替えたり同じ項を繰り返したりしたものは部分列ではない（rem-sequence-counterexample-not-subsequence）。
実数列 $(x_n)$ について、すべての $n$ で $x_n\le x_{n+1}$ が成り立つとき単調増加（monotonically increasing）、$x_n\ge x_{n+1}$ が成り立つとき単調減少（monotonically decreasing）といい、いずれかであるとき単調（monotone）という。不等号を $<$、$>$ にしたものを狭義単調増加、狭義単調減少という。
実数列 $(x_n)$ が上に有界とは、ある $M\in\mathbb{R}$ がすべての $n$ について $x_n\le M$ を満たすことをいい、下に有界とは、ある $m\in\mathbb{R}$ がすべての $n$ について $m\le x_n$ を満たすことをいう。上にも下にも有界な実数列を有界列（bounded sequence）という。これは、ある $M\ge0$ がすべての $n$ について $|x_n|\le M$ を満たすことと同値である。より一般に、距離空間 $(X,d)$ の点列 $(x_n)$ が有界であるとは、項の集合がある開球 $B(a,R)=\{y\in X\mid d(a,y)< R\}$ に含まれることをいう。
距離空間の点列 $(x_n)$ が Cauchy列 であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対しある $N$ が存在して $m,n\ge N$ ならば $d(x_m,x_n)<\varepsilon$ となることをいう。Cauchy列の性質と完備性は Cauchy列 が扱う。点列が点に「近づく」こと、すなわち収束の概念は 収束 が扱うが、本記事でも次の形で用いる。位相空間 $X$ の点列 $(x_n)$ が点 $x$ に収束するとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対しある $N$ が存在して、$n\ge N$ ならば $x_n\in V$ となることをいい、$x_n\to x$ と書く。
直感
点列とは、空間の点を「1番目、2番目、3番目、……」と無限に並べたものである。同じ点が何度現れてもよく、並べる順序が情報の一部である。解析学と位相空間論で点列が基本的な道具になるのは、「番号が大きくなるにつれてどうなるか」という問い（収束、有界性、Cauchy 性）を立てられるからであり、部分列をとる操作は「並んだ点の中から都合のよい無限個を選び直す」操作である。単調列は「一方向にしか動かない」点列であり、実数の場合には有界性だけで収束が保証される（thm-sequence-monotone-convergence）。
例と反例
- $\mathbb{R}$ の点列 $x_n:=1/(n+1)$ は $(1,1/2,1/3,\dots)$ である。狭義単調減少で、$0< x_n\le1$ なので有界である。
- $x_n:=(-1)^n$ は $(1,-1,1,-1,\dots)$ である。有界だが単調でない。
- $x_n:=n$ は $(0,1,2,\dots)$ である。狭義単調増加だが上に有界でない。
- 任意の集合 $X$ と $c\in X$ に対し、定数列 $x_n:=c$ は $X$ の点列である。
- Euclid空間 $\mathbb{R}^2$ の点列 $x_n:=(\cos n,\sin n)$ は、すべての項が単位円周上にある点列である（$\pi$ が無理数なので項はすべて相異なり、項の集合は無限集合である）。項の集合は有界である。
- 有理数全体 $\mathbb{Q}$ は可算なので（可算集合）、$\mathbb{Q}$ のすべての元をちょうど一度ずつ項にもつ $\mathbb{R}$ の点列 $(q_n)$ が存在する。この点列は有界でも単調でもない。
- $x_n:=1/(n+1)$ に対し、$\varphi(k):=2k$ とすると部分列 $(x_{2k})_{k\in\mathbb{N}}=(1,1/3,1/5,\dots)$ が得られる。$\varphi(k):=k^2$ とすると $(x_{k^2})=(1,1/2,1/5,1/10,\dots)$ が得られる。
- $x_n:=(-1)^n$ に対し、偶数番目の項を取り出した部分列 $(x_{2k})$ は定数列 $(1,1,1,\dots)$、奇数番目の項を取り出した部分列 $(x_{2k+1})$ は定数列 $(-1,-1,-1,\dots)$ である。収束しない点列が収束する部分列をもつ例である。
- 任意の点列は、$\varphi=\mathrm{id}_{\mathbb{N}}$ により自分自身の部分列である。また $N\in\mathbb{N}$ に対し $\varphi(k):=k+N$ とすると、最初の $N$ 項を捨てた部分列 $(x_{k+N})_{k\in\mathbb{N}}$ が得られる。
$x_n:=n$ とする。
- $(x_1,x_0,x_3,x_2,x_5,x_4,\dots)=(1,0,3,2,5,4,\dots)$ は部分列でない。番号の列 $(1,0,3,2,\dots)$ が単調増加でないからである。実際、これが部分列 $(x_{n_k})$ なら $n_0=1>0=n_1$ となって狭義単調増加に反する。
- 定数列 $(0,0,0,\dots)$ は $(x_n)$ の部分列でない。部分列 $(x_{n_k})=(n_k)$ は狭義単調増加なので定数になりえないからである。
いずれも「すべての項が元の点列の項である」という性質を満たすが「部分列である」という性質を満たさず、「項がすべて元の点列の項ならば部分列である」という含意を破る。部分列であるためには、項を取り出す順序が元の順序と一致し、同じ番号を二度使わないことが必要である。
thm-sequence-monotone-convergence の二つの仮定はどちらも落とせない。
- $x_n:=n$ は単調増加だが上に有界でなく、$\mathbb{R}$ のどの点にも収束しない（収束すれば有界になるからである。収束）。「単調である」を満たし「収束する」を満たさず、「単調ならば収束する」という含意を破る。
- $x_n:=(-1)^n$ は有界だが単調でなく、収束しない（収束）。「有界である」を満たし「収束する」を満たさず、「有界ならば収束する」という含意を破る。ただし有界列は必ず収束する部分列をもつ（cor-sequence-bolzano-weierstrass）。
性質
$(x_n)$ を $X$ の点列とする。
- 狭義単調増加な $\varphi\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ に対し、すべての $k$ で $\varphi(k)\ge k$ が成り立つ。すなわち部分列 $(x_{n_k})$ の番号は $n_k\ge k$ を満たす。
- 部分列の部分列は、元の点列の部分列である。すなわち $(y_k):=(x_{n_k})$ が $(x_n)$ の部分列で、$(y_{k_j})$ が $(y_k)$ の部分列ならば、$(y_{k_j})=(x_{n_{k_j}})$ は $(x_n)$ の部分列である。
1：$k$ に関する帰納法（数学的帰納法）による。$\varphi(0)\ge0$ は $\varphi(0)\in\mathbb{N}$ から明らかである。$\varphi(k)\ge k$ とすると、狭義単調増加性により $\varphi(k+1)>\varphi(k)\ge k$、したがって $\varphi(k+1)\ge k+1$ である。
2：$(y_k)=x\circ\varphi$、$(y_{k_j})=y\circ\psi$（$\varphi,\psi\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ は狭義単調増加）とすると、$y\circ\psi=x\circ(\varphi\circ\psi)$ である。$j< j'$ ならば $\psi(j)<\psi(j')$、したがって $\varphi(\psi(j))<\varphi(\psi(j'))$ なので、合成 $\varphi\circ\psi$ も狭義単調増加である。よって $x\circ(\varphi\circ\psi)$ は $(x_n)$ の部分列である。$\square$
$X$ を位相空間とし、$X$ の点列 $(x_n)$ が点 $x$ に収束するとする。このとき $(x_n)$ の任意の部分列 $(x_{n_k})$ も $x$ に収束する。逆に、$(x_n)$ のすべての部分列が $x$ に収束するならば $(x_n)$ は $x$ に収束する。
$V$ を $x$ の近傍とする。$x_n\to x$ より、ある $N$ が存在して $n\ge N$ ならば $x_n\in V$ である。prop-sequence-subsequence-basic の 1 により $k\ge N$ ならば $n_k\ge k\ge N$ なので $x_{n_k}\in V$ である。よって $(x_{n_k})$ は $x$ に収束する。逆は、$(x_n)$ が自分自身の部分列であること（ex-sequence-subsequence の 3）から従う。$\square$
この命題により、Hausdorff空間（そこでは収束列の極限が一意である。収束）では、異なる極限をもつ二つの部分列をもつ点列は収束しない。たとえば $(-1)^n$ は $1$ に収束する部分列と $-1$ に収束する部分列をもつので収束しない（ex-sequence-subsequence）。
$(x_n)$ を上に有界な単調増加列とする。項の集合 $A:=\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ は空でなく上に有界なので、実数の連続性（上限の存在。Rud76 Theorem 1.19）により上限 $s:=\sup A$ が存在する。$\varepsilon>0$ をとる。$s-\varepsilon$ は $A$ の上界でないので、$x_N>s-\varepsilon$ となる $N$ が存在する。$n\ge N$ ならば単調増加性により $x_n\ge x_N>s-\varepsilon$ であり、また $x_n\le s$ なので $|x_n-s|<\varepsilon$ である。よって $(x_n)$ は $s$ に収束する（$\mathbb{R}$ における収束の $\varepsilon$-$N$ による言い換えは 収束）。
単調減少で下に有界な場合は、$(-x_n)$ が単調増加で上に有界なので、上の結果と $\sup_n(-x_n)=-\inf_n x_n$ から従う。最後の主張は、収束する点列が有界であること（収束）と合わせて得られる。$\square$
任意の実数列は単調な部分列をもつ。
$(x_n)$ を実数列とする。番号 $n$ が峰であるとは、すべての $m>n$ について $x_m< x_n$ が成り立つことをいう。
峰が無限個ある場合。峰を小さい順に $n_0< n_1< n_2<\cdots$ と並べる。$n_k$ が峰で $n_{k+1}>n_k$ なので $x_{n_{k+1}}< x_{n_k}$ であり、部分列 $(x_{n_k})$ は狭義単調減少である。
峰が有限個しかない場合。すべての峰より大きい番号 $n_0$ をとる。$n_0$ は峰でないので、$x_{n_1}\ge x_{n_0}$ となる $n_1>n_0$ が存在する。$n_1$ も峰でないので $x_{n_2}\ge x_{n_1}$ となる $n_2>n_1$ が存在する。これを繰り返して（各段階で条件を満たす最小の番号をとれば、選択公理を使わずに）狭義単調増加な番号の列 $n_0< n_1< n_2<\cdots$ が得られ、部分列 $(x_{n_k})$ は単調増加である。$\square$
有界な実数列は収束する部分列をもつ（Bolzano–Weierstrassの定理）。
prop-sequence-monotone-subsequence により単調な部分列をとる。元の列が有界なので部分列も有界であり、thm-sequence-monotone-convergence により収束する。$\square$
この系は $\mathbb{R}^n$ の有界列にも成分ごとに適用して拡張でき（Rud76 Theorem 3.6）、実数列の Cauchy列 が収束することの証明（Cauchy列）や、閉区間 $[a,b]$ が点列コンパクトであることの証明に用いられる。
補足
有限個の項の変更と添字の付け替え
点列の有限個の項を取り替えても、あるいは最初の有限個の項を捨てても、収束・極限・Cauchy 性・有界性は変わらない。これらはすべて「ある番号以降」の項だけで決まる性質だからである。一方、単調性は最初の項にも依存する。また、部分列 $(x_{k+N})_{k\in\mathbb{N}}$ をとることは添字を $N$ だけずらすことにほかならず、添字を $0$ から始めるか $1$ から始めるかは本質的でない。
点列で位相をどこまで捉えられるか
距離空間、より一般に第1可算公理を満たす空間では、閉包・閉集合・連続写像といった位相的概念を点列の収束で特徴づけられる（第1可算公理。距離空間の場合は 閉集合）。しかし一般の位相空間では、点列は $\mathbb{N}$ で添字づけられているという可算性の制約のために「力不足」であり、閉包の点が点列の極限として得られないことがある（収束 の補可算位相の例）。この限界を克服するために、添字集合を $\mathbb{N}$ から一般の有向集合に広げたネットや、フィルターが用いられる。点列だけで閉包が決まる空間のクラスは 列型空間 が扱う。任意の点列が収束する部分列をもつ位相空間を点列コンパクトという。
一般化と関連する概念
添字集合を $\mathbb{N}$ 以外にした「列」も用いられる。添字集合が任意の集合 $I$ であるものは $X$ の元の族（family。族）$(x_i)_{i\in I}$ といい、添字集合が順序数であるものは超限列という。点列の項を足し合わせたもの $\sum_n x_n$ が級数であり、値が関数である点列が関数列である。なお、点列を「各 $n$ について $x_n$ を選ぶ」ことで構成する論法（たとえば閉包の各点に収束する点列の構成）は一般に可算選択公理を用いる。
本記事の記述はおおむね標準的な教科書 Rud76 Chapter 3 および Mun00 §7・§21 に従う。
関連項目
参考文献
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