期待値

$\Omega=\{1,2,\dots,6\}$ に一様な確率を入れ、$X(\omega)=\omega$ とすると $E[X]=\frac{1+2+\cdots+6}6=\frac72$ である。さいころ 2 個の場合は $\Omega=\{1,\dots,6\}^2$（36 通り、一様）で、目の和 $S(\omega_1,\omega_2)=\omega_1+\omega_2$ の期待値は、36 通りの和を直接足して $252/36=7$ と求まるが、thm-expected-value-linearity を使えば $S=X_1+X_2$（$X_i$ は $i$ 個目の目）から $E[S]=\frac72+\frac72=7$ と計算なしで分かる。一方、2 個の目の大きい方 $\max(\omega_1,\omega_2)$ の期待値は $161/36=4.47\ldots$ で、1 個の目の期待値の和の形には書けない。

表の出る確率が $q$（$0\leq q\leq1$）の硬貨を独立に $n$ 回投げる。$\Omega=\{0,1\}^n$（$1$ が表）とし、表が $k$ 回の結果 $\omega$ に確率 $q^k(1-q)^{n-k}$ を割り当てる（二項定理により合計は $(q+(1-q))^n=1$）。表の回数 $X$ は、$i$ 回目が表なら $1$、裏なら $0$ となる確率変数 $X_i$ の和 $X=X_1+\cdots+X_n$ であり、$E[X_i]=P(X_i=1)=q$ なので、thm-expected-value-linearity により $E[X]=nq$ である。KT17 Example 10.18（p. 220）は同じ結果を $\sum_ii\binom ni q^i(1-q)^{n-i}$ を微分で計算して得ている。

$n$ 人が預けた帽子が無作為に返されるとする。$\Omega$ を $\{1,\dots,n\}$ の置換全体（$n!$ 個、一様）とし、$\sigma\in\Omega$ の不動点（$\sigma(i)=i$ となる $i$）の個数を $F(\sigma)$ とする。$\sigma(i)=i$ なら $F_i(\sigma)=1$、そうでなければ $F_i(\sigma)=0$ とおいて $F=\sum_{i=1}^nF_i$ と分けると、$\sigma(i)=i$ となる置換は残り $n-1$ 個の並べ方で $(n-1)!$ 個あるので $E[F_i]=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n$ であり、$E[F]=n\cdot\frac1n=1$ である。$n=4$ で確かめると、24 通りの置換のうち不動点が $0,1,2,3,4$ 個のものはそれぞれ $9,8,6,0,1$ 通りで、不動点の個数の合計は $0\cdot9+1\cdot8+2\cdot6+3\cdot0+4\cdot1=24$、平均は $1$ である。不動点が 0 個の置換（完全順列）が 9 通りあることは Lev §3.8.3 Example 3.8.4（p. 295–296）で包除原理により数えられている。$F_i$ たちは互いに独立ではないが、線形性には独立性が要らない。

$n$ 人の誕生日が $N$ 日のどれかに等確率・独立に決まるとき、誕生日の一致する 2 人の組の個数の期待値は $\binom n2/N$ である。組 $\{i,j\}$ ごとに「$i$ と $j$ の誕生日が一致すれば $1$」という確率変数を作ると、それぞれの期待値は $1/N$ で、組は $\binom n2$ 個あるからである。$N=365$、$n=23$ では $253/365=0.693\ldots$ になる（誕生日のパラドックス の記事の命題「一致する組の個数の期待値」）。

$\Omega=\{1,2\}$、$p(1)=p(2)=\frac12$ とし、$X(1)=1$、$X(2)=-1$、$Y=X$ とする。$E[X]=E[Y]=0$ だが $XY=X^2=1$ なので $E[XY]=1\ne0=E[X]E[Y]$ である。$X$ と $Y$ は有限な期待値をもつという性質を満たすが、互いに独立であるという性質を満たさない（$P(X=1,Y=1)=\frac12\ne\frac14=P(X=1)P(Y=1)$）。したがって「$E[XY]=E[X]E[Y]$」は、和についての線形性と違い、独立性の仮定を外すと成り立たない（prop-expected-value-product）。

$\Omega=\{1,2,3,\dots\}$、$p(k)=2^{-k}$ とする（公平な硬貨を表が出るまで投げ、投げた回数を $k$ とする設定。$\sum_k2^{-k}=1$）。$X(k)=2^k$ とすると、$X(k)p(k)=1$ がすべての $k$ について成り立つので $E[X]=\sum_k1=\infty$ である。$X$ のとる値はすべて有限だが、期待値は有限でない。次に $Y(k)=(-2)^k$ とすると、$\sum_k|Y(k)|p(k)=\infty$ で、$\sum_kY(k)p(k)=\sum_k(-1)^k$ は収束しない。この $Y$ は 0 以上の値だけをとるという性質も、絶対値の和が有限という性質も満たさないので、期待値は定義されない。可算無限の標本空間では、期待値が存在するかどうかを確かめる必要がある（Sho08 Example 8.47、p. 273 にも同種の例がある）。

thm-expected-value-linearity は有限個の和についての主張であり、無限個の和には一般には拡げられない。$\Omega=\{1,2,\dots\}$、$p(j)=2^{-j}$ とし、$i\geq1$ について $X_i(i)=2^i$、$X_i(i+1)=-2^{i+1}$、それ以外の $j$ で $X_i(j)=0$ と定める。$E[X_i]=2^i\cdot2^{-i}-2^{i+1}\cdot2^{-(i+1)}=0$ である。一方 $X:=\sum_{i\geq1}X_i$ は各 $j$ で有限個の項の和であり、$X(1)=X_1(1)=2$、$j\geq2$ では $X(j)=X_j(j)+X_{j-1}(j)=2^j-2^j=0$ なので、$E[X]=2\cdot\frac12=1\ne0=\sum_iE[X_i]$ である。各 $X_i$ は有限な期待値をもつが、$0$ 以上の値だけをとるという性質を満たさない。$0$ 以上の値だけをとる確率変数の無限和なら $E[\sum X_i]=\sum E[X_i]$ が成り立つ（Sho08 Theorem 8.40 と Example 8.49、p. 273–274）。

成功の確率が $q$（$0< q\leq1$）の試行を、成功するまで独立に繰り返す。何回目に初めて成功するかを表す離散確率空間として、$\Omega=\{1,2,\dots\}$、$p(k)=(1-q)^{k-1}q$（$k-1$ 回失敗してから成功する確率）をとる（$\sum_kp(k)=q\sum_{k\geq0}(1-q)^k=1$）。$T(k)=k$ とおくと $P(T\geq i)=\sum_{k\geq i}(1-q)^{k-1}q=(1-q)^{i-1}$ なので、prop-expected-value-tail により
$$ E[T]=\sum_{i\geq1}(1-q)^{i-1}=\frac1q $$
である（Sho08 Example 8.44・8.46・8.48、p. 271–274）。さいころで 1 の目が出るまでに振る回数の期待値は $6$ 回である。

お菓子を 1 個買うごとに $n$ 種類のおまけのどれかが等確率で、ほかの回とは独立に 1 つ付いてくるとする。全種類がそろうまでに買う個数 $T$ の期待値を求める。$i-1$ 種類がそろった時点から $i$ 種類目が初めて出るまでに買う個数を $T_i$ とすると、$T=T_1+T_2+\cdots+T_n$ である。$i-1$ 種類をもっているとき、次の 1 個で新しい種類が出る確率は $q_i=\frac{n-i+1}n$ で、各回は独立なので、$T_i$ は ex-expected-value-geometric の $T$ と同じ分布（成功確率 $q_i$）をもつ。thm-expected-value-linearity により
$$ E[T]=\sum_{i=1}^n\frac1{q_i}=\sum_{i=1}^n\frac n{n-i+1}=n\Bigl(1+\frac12+\cdots+\frac1n\Bigr)=nH_n $$
である（$H_n$ は調和級数の部分和）。$n=6$ なら $6\cdot\frac{49}{20}=14.7$ 個、$n=10$ なら $29.28\ldots$ 個、$n=50$ なら $224.96\ldots$ 個である。$H_n$ は $\log n$ とほぼ同じ速さで増える（調和級数 の記事の命題「積分による上下の評価」）ので、$E[T]$ はおよそ $n\log n$ である。
ここで、買い続ける過程全体を、無限に続きうる購入の列全体を標本空間にして表そうとすると、標本空間は可算でなくなる。全種類がそろった時点で止めた有限の購入列全体を標本空間にとれば、これは可算集合であり、離散確率空間の範囲で扱える（Sho08 Example 8.43 が硬貨投げの無限列を避けて可算の標本空間をとるのと同じ考え方、p. 270–271）。上の計算は、各 $T_i$ が成功確率 $q_i$ の回数の分布をもつことと、$T_1,\dots,T_n$ を同じ確率空間の上の確率変数として扱えることを前提として認めたものである。線形性を使うのに、$T_i$ たちの独立性は必要ない。