コンパクト台の順像

$K\subset U$ をコンパクト集合とする。各 $y\in K$ は、ある $U_\lambda$ の中にコンパクトな近傍 $K_y$ をもつ（$U$ は局所コンパクト Hausdorff）。有限個の $K_{y_1},\dots,K_{y_m}$ の内部が $K$ を覆う。$K\cap K_{y_k}$ は $U_{\lambda_k}$ に含まれるコンパクト集合なので、$g^{-1}(K\cap K_{y_k})$ はコンパクトであり、$g^{-1}(K)$ はその有限和としてコンパクトである。$\square$

$T$ が閉なら、コンパクト集合 $K$ について $T\cap K$ は $K$ の閉集合なのでコンパクトである。逆に包含が固有だとし、$y\in V$ が $T$ の閉包に入るとする。$y$ のコンパクトな近傍 $K$ をとる。$y$ の任意の近傍 $W$ について $W\cap\operatorname{int}K$ も $y$ の近傍なので $T$ と交わり、$W$ は $T\cap K$ と交わる。よって $y$ は $T\cap K$ の閉包に入る。$T\cap K$ はコンパクトなので閉集合であり、$y\in T\cap K\subset T$ である。$\square$

$f_*F(U)=F(f^{-1}(U))$ だった。制限で閉じること：$s\in(f_!F)(U)$、$V\subset U$ を開集合とする。$\operatorname{supp}(s|_{f^{-1}V})=\operatorname{supp}s\cap f^{-1}(V)$ であり、$K\subset V$ がコンパクトなら、$\operatorname{supp}(s|_{f^{-1}V})\cap f^{-1}(K)=\operatorname{supp}s\cap f^{-1}(K)$ はコンパクトである。よって $s|_{f^{-1}V}\in(f_!F)(V)$ である。貼り合わせで閉じること：$U=\bigcup U_\lambda$ と $s_\lambda\in(f_!F)(U_\lambda)$ が共通部分で一致するとき、$f_*F$ は層なので $s\in F(f^{-1}U)$ に貼り合う。$\operatorname{supp}s\cap f^{-1}(U_\lambda)=\operatorname{supp}s_\lambda$ なので、$f|_{\operatorname{supp}s}$ は各 $U_\lambda$ の上で固有であり、lem-dic-local-proper により $U$ の上で固有である。よって $s\in(f_!F)(U)$ である。部分前層が制限と貼り合わせで閉じていれば層であり（局所性は $f_*F$ から従う）、$f_!F$ は部分層である。$\square$

1. $s\in F(f^{-1}U)$ の台 $T$ は $f^{-1}(U)$ の閉集合である。$K\subset U$ がコンパクトなら $f^{-1}(K)$ はコンパクトで、$T\cap f^{-1}(K)$ はその閉集合なのでコンパクトである。よってすべての切断が条件を満たす。
2. $X$ の開集合 $V$ について、$(j_!G)(V)$ は $s\in G(U\cap V)$ で、包含 $\operatorname{supp}s\to V$ が固有なもの、すなわち lem-dic-inclusion-proper により $\operatorname{supp}s$ が $V$ の閉集合であるものの全体である。$V\subset U$ なら $\operatorname{supp}s$ は $U\cap V=V$ の閉集合なので、$(j_!G)(V)=G(V)$ であり、$x\in U$ での茎は $G_x$ である。$x\notin U$ とし、$s\in(j_!G)(V)$、$x\in V$ とする。$\operatorname{supp}s$ は $V$ の閉集合で $x$ を含まない（$\operatorname{supp}s\subset U$）ので、$x$ の開近傍 $W\subset V\setminus\operatorname{supp}s$ がある。$s|_{W\cap U}$ はすべての芽が $0$ なので $0$ であり、$s$ の $x$ での芽は $0$ である。
3. $s\in(i_*G)(V)=G(Z\cap V)$ の台は $Z\cap V$ の閉集合で、$Z\cap V$ は $V$ の閉集合なので、$\operatorname{supp}s$ は $V$ の閉集合である。lem-dic-inclusion-proper により、すべての切断が条件を満たす。$\square$

$\alpha$ の構成。$V\subset X$ を開集合とし、$s\in(j_!j^{-1}F)(V)$ とする。$j^{-1}F$ は $U$ の開集合の上で $F$ と同じなので $s\in F(U\cap V)$ で、prop-dic-basic の証明により $T:=\operatorname{supp}s$ は $V$ の閉集合である。$V$ の開被覆 $U\cap V$、$V\setminus T$ の上の切断 $s$ と $0$ は、共通部分 $(U\cap V)\setminus T$ の上でどちらも $0$ なので（台の外では芽がすべて $0$）、$F(V)$ の元 $\alpha(s)$ に貼り合う。これは制限と両立し、層の射 $\alpha$ を与える。
$\beta$ の構成。$s\in F(V)$ に、$V\cap Z$ の各点での芽を並べたものを対応させると $(i^{-1}F)(V\cap Z)=(i_*i^{-1}F)(V)$ の元が得られる（$i^{-1}F$ の切断は、$Z$ の各点で $F$ の芽を選んだもので、局所的に $F$ の切断から来るもの）。これが $\beta$ である。
茎での完全性。層の列の完全性は茎で確かめればよい。$x\in U$ では、prop-dic-basic (2) により $(j_!j^{-1}F)_x=F_x$、$(i_*i^{-1}F)_x=0$ であり、$\alpha_x$ は恒等写像である（$\alpha$ は $U$ の上では何もしない）。よって列は $0\to F_x\to F_x\to0\to0$ で完全である。$x\in Z$ では、$(j_!j^{-1}F)_x=0$、$(i_*i^{-1}F)_x=(i^{-1}F)_x=F_x$ であり、$\beta_x$ は恒等写像である。よって列は $0\to0\to F_x\to F_x\to0$ で完全である。$\square$

thm-dic-open-closed の短完全列に $R\Gamma_c(X,\cdot)$ を施すと、コホモロジーの長完全列
$$ \cdots\to H^q_c(X;j_!j^{-1}F)\to H^q_c(X;F)\to H^q_c(X;i_*i^{-1}F)\to\cdots $$
を得る。$a_X\colon X\to\{*\}$ などを 1 点への写像とすると $a_U=a_X\circ j$ であり、合成の性質から $R\Gamma_c(U,\cdot)=R(a_U)_!\cong R(a_X)_!\circ Rj_!$ である。$j_!$ は完全なので $Rj_!=j_!$ で、$H^q_c(X;j_!G)\cong H^q_c(U;G)$ となる。同様に $i_!=i_*$ は完全なので $H^q_c(X;i_*H)\cong H^q_c(Z;H)$ である。これらを代入すればよい。$\square$

1. $X=[a,c]$、開集合 $U=(a,c]$、閉集合 $Z=\{a\}$ に cor-dic-long-exact を使う。$X$ と $Z$ はコンパクトなので $H^q_c=H^q$ であり、どちらも $q=0$ で $A$、$q>0$ で $0$ である。制限 $H^0([a,c])\to H^0(\{a\})$ は定数関数の値をとる写像で同型である。長完全列
   $$ 0\to H^0_c(U)\to A\xrightarrow{\ \cong\ }A\to H^1_c(U)\to0\to0\to H^2_c(U)\to0\to\cdots $$
   から、すべての $q$ で $H^q_c(U)=0$ である。
2. $X=[a,b]$、$U=(a,b)$、$Z=\{a,b\}$ とする。$H^0(Z)=A^2$、$H^q(Z)=0$（$q>0$）であり、制限 $H^0([a,b])=A\to A^2$ は対角写像 $v\mapsto(v,v)$ である。$H^0_c(U)=0$（連結でコンパクトでない）なので、長完全列は
   $$ 0\to0\to A\xrightarrow{\ \Delta\ }A^2\to H^1_c(U)\to H^1([a,b])=0 $$
   となり、$H^1_c(U)\cong A^2/\Delta(A)\cong A$ である。$q\ge2$ では $H^{q-1}(Z)=0$ と $H^q([a,b])=0$ に挟まれて $H^q_c(U)=0$ である。$\mathbb R$ は $(0,1)$ と同相である。
3. $W=(c,d)\subset V=(a,b)$ とする（$a\le c< d\le b$）。$V\setminus W$ は $V$ の閉集合で、$(a,c]$ と $[d,b)$ の（空のこともある）交わらない和であり、各部分は $V\setminus W$ の開かつ閉な部分集合なので、$H^q_c(V\setminus W)=H^q_c((a,c])\oplus H^q_c([d,b))$ である。(1)（と、その左右を反転したもの）によりこれは $0$ なので、cor-dic-long-exact から $H^q_c(W)\to H^q_c(V)$ は同型である。$\square$