Regiomontanusの最大角問題

$\alpha=\angle OXV$、$\beta=\angle OXU$ とおく。三角形 $OXV$ と $OXU$ は $O$ で直角な直角三角形で、$OX=x$、$OV=b$、$OU=a$ だから
$$ \tan\alpha=\frac bx,\qquad \tan\beta=\frac ax $$
である。直角三角形の直角でない角なので $0^\circ<\beta<90^\circ$、$0^\circ<\alpha<90^\circ$ である。$0< a< b$ なので $U$ は線分 $OV$ の内部にあり、半直線 $XU$ は角 $\angle OXV$ の内部にある。よって $\varphi(x)=\angle UXV=\alpha-\beta$ である。$\tan\beta<\tan\alpha$ で、正接は $0^\circ$ から $90^\circ$ の間で増加するので $\beta<\alpha$、したがって $0^\circ<\alpha-\beta<90^\circ$ である。
加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く の命題「正接の加法定理と $t=\tan\frac{\theta}{2}$ による式」の 1 で $\beta$ を $-\beta$ に置きかえると（$\tan(-\beta)=-\tan\beta$）、$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$ である（$\alpha$、$\beta$、$\alpha-\beta$ はどれも $0^\circ$ と $90^\circ$ の間にあるので、余弦は $0$ でない）。代入して、分母と分子に $x^2$ を掛けると
$$ \tan\varphi(x)=\frac{\dfrac bx-\dfrac ax}{1+\dfrac{ab}{x^2}}=\frac{(b-a)x}{x^2+ab} $$
である。$\square$

方針：$g(x)=x+\dfrac{ab}x$ とおくと $\tan\varphi(x)=\dfrac{b-a}{g(x)}$ である。$g$ の増減と最小値を調べ、正接から角にもどす。
段 1（$g$ の最小値）。$x>0$、$\dfrac{ab}x>0$ なので、相加平均と相乗平均 の定理「2 数の相加相乗平均の不等式」により
$$ g(x)=x+\frac{ab}x\ge2\sqrt{x\cdot\frac{ab}x}=2\sqrt{ab} $$
で、等号は $x=\dfrac{ab}x$、つまり $x^2=ab$、$x=\sqrt{ab}$ のときだけ成り立つ。
段 2（$g$ の増減）。$0< s< t$ とすると
$$ g(s)-g(t)=(s-t)+ab\left(\frac1s-\frac1t\right)=(s-t)+\frac{ab(t-s)}{st}=\frac{(t-s)(ab-st)}{st} $$
である。$t-s>0$、$st>0$ なので、$g(s)-g(t)$ の符号は $ab-st$ の符号と同じである。$t\le\sqrt{ab}$ なら $st< t^2\le ab$ なので $g(s)>g(t)$ で、$g$ は $0< x\le\sqrt{ab}$ で減少する。$s\ge\sqrt{ab}$ なら $st>s^2\ge ab$ なので $g(s)< g(t)$ で、$g$ は $x\ge\sqrt{ab}$ で増加する。
段 3（正接の増減）。$b-a>0$ で $g(x)>0$ なので、$\tan\varphi(x)=\dfrac{b-a}{g(x)}$ は $g(x)$ が小さいほど大きい。段 2 から、$\tan\varphi(x)$ は $0< x\le\sqrt{ab}$ で増加し、$x\ge\sqrt{ab}$ で減少する。
段 4（角にもどす）。lem-rgm-tan により $\varphi(x)$ はいつも $0^\circ$ と $90^\circ$ の間にあり、この範囲で正接は増加する。つまり $\varphi(s)<\varphi(t)$ と $\tan\varphi(s)<\tan\varphi(t)$ は同じことである。よって $\varphi(x)$ も $0< x\le\sqrt{ab}$ で増加し、$x\ge\sqrt{ab}$ で減少する。$x\ne\sqrt{ab}$ なら $\varphi(x)<\varphi\left(\sqrt{ab}\right)$ なので、最大になる点は $x=\sqrt{ab}$ だけである。これで (1) が示された。
段 5（最大の角の値）。段 1 の等号から $\tan\varphi_{\max}=\dfrac{b-a}{2\sqrt{ab}}$ である。$1+\tan^2\varphi=\dfrac1{\cos^2\varphi}$ を使うと
$$ \frac1{\cos^2\varphi_{\max}}=1+\frac{(b-a)^2}{4ab}=\frac{4ab+(b-a)^2}{4ab}=\frac{(a+b)^2}{4ab} $$
で、$\cos\varphi_{\max}>0$ だから $\cos\varphi_{\max}=\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+b}$ である。よって
$$ \sin\varphi_{\max}=\tan\varphi_{\max}\cos\varphi_{\max}=\frac{b-a}{2\sqrt{ab}}\cdot\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{b-a}{a+b} $$
である。これで (2) が示された。$\square$

段 1（(1) 正弦定理）。三角形 $UXV$ の外接円の半径が $\rho(x)$ で、角 $X$ に向かい合う辺は $UV=b-a$ である。正弦定理（高校数学） の定理「正弦定理」により $\dfrac{UV}{\sin\varphi(x)}=2\rho(x)$ なので、$\sin\varphi(x)=\dfrac{b-a}{2\rho(x)}$ である。
段 2（(2) 中心の位置）。$\Gamma_x$ の中心 $C$ は $U$ と $V$ から等しい距離にあるので、線分 $UV$ の垂直二等分線の上にある。$UV$ は $y$ 軸の上にあるので、垂直二等分線は水平な直線 $y=\dfrac{a+b}2$ で、$C$ の $y$ 座標は $\dfrac{a+b}2$ である。$C$ から $\ell$（$x$ 軸）までの距離は $\dfrac{a+b}2$ である。$X$ は $\ell$ の上の点なので、$\rho(x)=CX$ は $C$ から $\ell$ までの距離以上である（点から直線への垂線の長さは、その点と直線の上の点を結ぶ線分の長さのうちで最小）。よって $\rho(x)\ge\dfrac{a+b}2$ である。等号は $X$ が $C$ から $\ell$ に下ろした垂線の足であるとき、つまり半径 $CX$ が $\ell$ に垂直なときだけ成り立つ。半径が直線に垂直であることは、その直線が円に $X$ で接することと同じである。
段 3（(3) 接点の位置）。$\Gamma_x$ が $\ell$ に $X$ で接するとする。原点 $O$ は直線 $UV$ の上で、$U$、$V$ の両方より下にあるので、円 $\Gamma_x$ の外部にある。方べきの定理（高校数学） の系「接線の長さ」を、$O$ を通る直線 $UV$ と接線 $\ell$ に使うと $OU\cdot OV=OX^2$、つまり $ab=x^2$ で、$x=\sqrt{ab}$ である。逆に $x=\sqrt{ab}$ のとき、中心 $\left(\sqrt{ab},\dfrac{a+b}2\right)$、半径 $\dfrac{a+b}2$ の円は、$U$ までの距離の 2 乗が
$$ ab+\left(\frac{a+b}2-a\right)^2=ab+\frac{(b-a)^2}4=\frac{(a+b)^2}4 $$
で $U$ を通り、同じく $V$ も通り、$X\left(\sqrt{ab},0\right)$ で $\ell$ に接する。3 点を通る円はただ 1 つなので、これが $\Gamma_{\sqrt{ab}}$ である。
段 4（最大）。lem-rgm-tan により $\varphi(x)$ は $0^\circ$ と $90^\circ$ の間にあり、この範囲で正弦は増加する。(1) により、$\varphi(x)$ が大きいことと $\rho(x)$ が小さいことは同じである。(2)(3) により $\rho(x)$ が最小になるのは $x=\sqrt{ab}$ のときだけなので、$\varphi(x)$ が最大になるのも $x=\sqrt{ab}$ のときだけである。$\square$