線形微分方程式

同義語：線型微分方程式線形常微分方程式linear differential equation

概要

前提知識: 常微分方程式, 行列式, 行列の指数関数

高校での出発点：重ね合わせのできる微分方程式

高校では、$y'+p(x)y=q(x)$ の形の方程式を積分因子で解き（1階線形微分方程式と積分因子（高校数学））、$y''+ay'+by=0$ の形の方程式を特性方程式 $\lambda^2+a\lambda+b=0$ の解から解く（微分方程式としての指数関数・三角関数）。ばねのおもりに周期的な力を加えると $x''+\omega^2x=\cos\Omega t$ となり、$\Omega=\omega$ のときに振幅が時間とともに大きくなる共振が起こる（強制振動と共振（高校数学））。
これらの方程式に共通するのは、未知関数 $y$ とその導関数について 1 次式であることである。そのため、右辺が $0$ の方程式の 2 つの解の和と定数倍はまた解になり（重ね合わせ）、右辺がある方程式の解はすべて「1 つの解＋右辺が $0$ の方程式の解」と書ける。この性質をもつ方程式を線形微分方程式という。高校で個別に解いた方程式を、大学では次の問いのもとでまとめて扱う。

解はいくつあるか。解の全体はどんな形をしているか。→ thm-lde-space
$n$ 個の解が「すべての解を組み立てる材料」（基本解系）になっているかを、どう判定するか。→ thm-lde-basis-criterion、thm-lde-liouville
右辺がある方程式の解を、右辺が $0$ の方程式の解からどう作るか。→ thm-lde-duhamel
係数が定数のとき、解はどんな関数で書けるか。共振はなぜ起こるか。→ thm-lde-constant、prop-lde-undetermined

線形でない方程式や、係数が連続でない方程式では何が崩れるか。→「反例：条件を外すと崩れること」の節

高校での見方	この記事の言葉
一般解＝特殊解＋同次方程式の解	非斉次方程式の解空間は斉次方程式の解空間の平行移動
2 階の方程式の一般解は定数を 2 つ含む	斉次方程式の解空間は $n$ 次元
特性方程式が重解 $\lambda$ なら $e^{\lambda x}$ と $xe^{\lambda x}$	重複度 $m$ の特性根から $t^ke^{\lambda t}$（$0\le k< m$）
共振で $t\sin\omega t$ が現れる	右辺の指数が特性根のとき $t^m$ 倍の解

定義

以下、$\mathbb{K}$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$、$J\subset\mathbb{R}$ は開区間とする。関数は $J$ 上で考え、微分は実数の変数 $t$ についての微分である。

線形微分方程式

連続な行列値関数 $A\colon J\to M_n(\mathbb{K})$ と連続なベクトル値関数 $b\colon J\to\mathbb{K}^n$ に対して、方程式
$$ x'(t)=A(t)x(t)+b(t) $$
を（1 階の連立の）線形微分方程式という。$b=0$ のとき斉次、そうでないとき非斉次という。$A$ が $t$ によらない定数の行列のとき定数係数という。$J$ 上の解とは、微分可能な $x\colon J\to\mathbb{K}^n$ で、すべての $t\in J$ で上の式が成り立つものをいう。

$n$ 階の線形微分方程式

連続関数 $a_0,\dots,a_{n-1},g\colon J\to\mathbb{K}$ に対して、方程式
$$ y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=g(t) $$
を $n$ 階の線形微分方程式という。左辺を $L[y]$ と書く。$g=0$ のとき斉次、係数 $a_i$ がすべて定数のとき定数係数という。$J$ 上の解とは、$n$ 回微分可能な $y\colon J\to\mathbb{K}$ で、$J$ 上で $L[y]=g$ となるものをいう。

微分が線形なので $L[c_1y_1+c_2y_2]=c_1L[y_1]+c_2L[y_2]$ である。したがって、斉次方程式の解の 1 次結合は解であり（重ね合わせ）、非斉次方程式の 2 つの解の差は斉次方程式の解である。連立の形でも同じである。
$n$ 階の方程式は 1 階の連立方程式に直せる。

同伴行列による書き換え

def-lde-nth の方程式に対し、
$$ C(t):=\begin{pmatrix}0&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&0&1\\-a_0(t)&-a_1(t)&\cdots&-a_{n-1}(t)\end{pmatrix},\qquad e_n:=\begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\1\end{pmatrix} $$
とおく（空欄は $0$）。$y$ が $L[y]=g$ の解であることと、$x:=\bigl(y,y',\dots,y^{(n-1)}\bigr)^{\mathsf T}$ が $x'=C(t)x+g(t)e_n$ の解であることは同値である。逆に後者の解 $x$ の第 1 成分 $y$ は $L[y]=g$ の解で、$x=\bigl(y,\dots,y^{(n-1)}\bigr)^{\mathsf T}$ となる。

$x'=C(t)x+g(t)e_n$ を成分で書くと、$x_1'=x_2$、…、$x_{n-1}'=x_n$、$x_n'=-a_0x_1-\cdots-a_{n-1}x_n+g$ である。はじめの $n-1$ 本は $x_k=x_1^{(k-1)}$ と同じことであり、そのもとで最後の式は $L[x_1]=g$ である。$k$ についての帰納法の細部は常微分方程式の命題「高階の方程式と 1 階の連立方程式」と同じである。$\square$

$C(t)$ を方程式の同伴行列という。定数係数なら、$C$ の固有多項式は $\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_0$ である（最後の行について展開する。Tes12 の式 (3.52)）。これを方程式の特性多項式という。
係数が複素数の場合も、実部と虚部に分ければ実数の係数の方程式になる：$x=u+iv$、$A=P+iQ$、$b=c+id$（$u,v,c,d$ は実ベクトル、$P,Q$ は実行列）とすると、$x'=Ax+b$ は
$$ \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}P&-Q\\ Q&P\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} $$
という $2n$ 個の未知関数の実の線形微分方程式と同じである。以下では、実数の係数について常微分方程式で証明された定理を、この書き換えを通して複素数の係数にも使う。

解空間と基本解系

解の全体は $n$ 次元

解の存在と解空間

def-lde-system の方程式 $x'=A(t)x+b(t)$ について次が成り立つ。
(R1) 任意の $t_0\in J$、$x_0\in\mathbb{K}^n$ に対し、$x(t_0)=x_0$ となる $J$ 上の解がただ 1 つ存在する。
(R2) 斉次方程式 $x'=A(t)x$ の $J$ 上の解の全体 $\mathcal{V}$ は $\mathbb{K}$ 上のベクトル空間であり、各 $t_0\in J$ について $x\mapsto x(t_0)$ は $\mathbb{K}$ 線形な同型写像 $\mathcal{V}\to\mathbb{K}^n$ である。とくに $\dim_{\mathbb{K}}\mathcal{V}=n$ である。
(R3) 非斉次方程式の $J$ 上の解の全体は、1 つの解 $x_p$ を使って $\{x_p+x\mid x\in\mathcal{V}\}$ と書ける。
(R4) $n$ 階の斉次方程式 $L[y]=0$ の $J$ 上の解の全体は $n$ 次元のベクトル空間であり、$y\mapsto\bigl(y(t_0),y'(t_0),\dots,y^{(n-1)}(t_0)\bigr)$ はその上の同型写像である。

要点：実数の係数では常微分方程式の定理「線形方程式の解の大域存在と解空間」そのものであり、複素数の係数は実部と虚部に分けた $2n$ 個の実の方程式に帰着する。

詳しい証明を開く

$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ のとき、(i)〜(iii) は常微分方程式の定理「線形方程式の解の大域存在と解空間」（最大解が $J$ 全体で定義されること、解空間の同型、非斉次の解の形）と系「解の一意性」である。$\mathbb{K}=\mathbb{C}$ のときは、前節の書き換えで $2n$ 個の未知関数の実の方程式にすると、(i) と (iii)、および $x\mapsto x(t_0)$ が全単射であることがそのまま従う。$c\in\mathbb{C}$ と $x\in\mathcal{V}$ について $(cx)'=cA(t)x=A(t)(cx)$ なので $\mathcal{V}$ は複素数倍で閉じ、$x\mapsto x(t_0)$ は $\mathbb{C}$ 線形である。(iv)：prop-lde-companion の対応 $y\mapsto\bigl(y,\dots,y^{(n-1)}\bigr)^{\mathsf T}$ は、$L[y]=0$ の解の空間から $x'=C(t)x$ の解の空間への線形な全単射なので、(ii) から従う。$\square$

(ii) により、斉次方程式の解は $n$ 個の数（ある時刻での値）で決まり、その値は自由に選べる。これが「$n$ 階の方程式の一般解は任意定数を $n$ 個含む」ことの正確な意味である。

基本解系と Wronski 行列式

基本解系・基本行列・Wronski 行列式

斉次方程式 $x'=A(t)x$ の解空間 $\mathcal{V}$ の基底 $x^{(1)},\dots,x^{(n)}$ を基本解系という。
$n$ 個の解を列に並べた行列値関数 $U(t):=\bigl(x^{(1)}(t),\dots,x^{(n)}(t)\bigr)$ を解行列といい、列が基本解系であるものを基本行列という。解行列は $U'(t)=A(t)U(t)$ を満たす。
解行列の行列式 $W(t):=\det U(t)$ を Wronski 行列式（ロンスキアン）という。$n$ 階の方程式では、$n-1$ 回微分可能な関数 $y_1,\dots,y_n$ について
$$ W(y_1,\dots,y_n)(t):=\det\begin{pmatrix}y_1(t)&\cdots&y_n(t)\\y_1'(t)&\cdots&y_n'(t)\\\vdots&&\vdots\\y_1^{(n-1)}(t)&\cdots&y_n^{(n-1)}(t)\end{pmatrix} $$
と定める。$y_j$ が $L[y]=0$ の解なら、これは同伴行列の方程式の解行列の Wronski 行列式である。

基本解系の判定

$x^{(1)},\dots,x^{(n)}$ を斉次方程式 $x'=A(t)x$ の $J$ 上の解とし、$W$ をその Wronski 行列式とする。次は同値である。
(R1) $x^{(1)},\dots,x^{(n)}$ は $J$ 上の関数として 1 次独立である（基本解系である）。
(R2) ある $t_0\in J$ で $W(t_0)\ne0$ である。
(R3) すべての $t\in J$ で $W(t)\ne0$ である。
$n$ 階の斉次方程式 $L[y]=0$ の解 $y_1,\dots,y_n$ についても、$W(y_1,\dots,y_n)$ について同じことが成り立つ。

(i)⇒(iii)：$\mathcal{V}$ は $n$ 次元なので、1 次独立な $n$ 個の解は基底である。各 $t$ について $x\mapsto x(t)$ は同型写像（thm-lde-space の (ii)）なので、基底 $x^{(1)},\dots,x^{(n)}$ を $\mathbb{K}^n$ の基底 $x^{(1)}(t),\dots,x^{(n)}(t)$ に移す。よって $U(t)$ の列は 1 次独立で、$W(t)=\det U(t)\ne0$ である。
(iii)⇒(ii) は明らか。
(ii)⇒(i)：$c_1x^{(1)}+\cdots+c_nx^{(n)}=0$（$J$ 上の恒等式）とすると、$t=t_0$ で $U(t_0)c=0$（$c=(c_1,\dots,c_n)^{\mathsf T}$）であり、$\det U(t_0)\ne0$ なので $c=0$ である。
$n$ 階の場合：$y\mapsto\bigl(y,\dots,y^{(n-1)}\bigr)^{\mathsf T}$ は線形な単射なので、$y_1,\dots,y_n$ が 1 次独立であることと、対応する同伴行列の方程式の解が 1 次独立であることは同値であり、上のことに帰着する。$\square$

とくに、解の Wronski 行列式は $J$ 上で恒等的に $0$ であるか、どこでも $0$ でないかのどちらかである。この二者択一は、次の公式からも分かる。

Liouville の公式

$U$ を斉次方程式 $x'=A(t)x$ の解行列、$W(t)=\det U(t)$ とすると、$W'(t)=\operatorname{tr}A(t)\,W(t)$ であり、$t_0\in J$ について
$$ W(t)=W(t_0)\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t}\operatorname{tr}A(s)\,ds\Bigr) $$
である。$n$ 階の方程式 $L[y]=0$ の解 $y_1,\dots,y_n$ については $W(t)=W(t_0)\exp\bigl(-\int_{t_0}^{t}a_{n-1}(s)\,ds\bigr)$ である（Abel の公式）。

行列式は $\det U=\sum_\sigma\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_iU_{i\sigma(i)}$ と成分の積の和なので、積の微分法から、$W'(t)$ は「$U(t)$ の第 $i$ 行だけをその導関数に取り替えた行列の行列式」の $i=1,\dots,n$ についての和である。$U'=AU$ なので、$U'$ の第 $i$ 行は $\sum_kA_{ik}(t)\,(U\text{ の第 }k\text{ 行})$ である。行列式の行についての多重線形性から、第 $i$ 行を取り替えた行列式は
$$ \sum_kA_{ik}(t)\det\bigl(U\text{ の第 }i\text{ 行を第 }k\text{ 行に取り替えた行列}\bigr)=A_{ii}(t)\,W(t) $$
となる（$k\ne i$ では同じ行が 2 つあるので行列式は $0$）。$i$ について足すと $W'=\operatorname{tr}A(t)\,W$ である。$\tau(t):=\int_{t_0}^t\operatorname{tr}A(s)\,ds$ とおくと、$\bigl(e^{-\tau(t)}W(t)\bigr)'=e^{-\tau}(W'-\operatorname{tr}A\cdot W)=0$ なので $e^{-\tau(t)}W(t)=W(t_0)$ である。$n$ 階の場合は、同伴行列の対角成分が $0,\dots,0,-a_{n-1}$ なので $\operatorname{tr}C(t)=-a_{n-1}(t)$ である。$\square$

定数係数なら $e^{tA}$ は解行列なので、この公式は $\det e^{tA}=e^{t\operatorname{tr}A}$（行列の指数関数の定理「指数関数の固有値と行列式」）を含む。Liouville の公式は、解行列の列が張る平行体の体積が、流れによって $e^{\int\operatorname{tr}A}$ 倍になることを表している（Tes12 Lemma 3.11 では「Abel's identity or Liouville's formula」と呼ばれている）。

2 階の定数係数の方程式

$y''-3y'+2y=0$ の特性多項式は $\lambda^2-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2)$ であり、$y_1=e^t$、$y_2=e^{2t}$ は解である（代入して確かめられる）。Wronski 行列式は
$$ W(t)=\det\begin{pmatrix}e^t&e^{2t}\\e^t&2e^{2t}\end{pmatrix}=e^{3t}\ne0 $$
なので、thm-lde-basis-criterion から $e^t$、$e^{2t}$ は基本解系であり、すべての解は $c_1e^t+c_2e^{2t}$ と書ける。$a_1=-3$ なので Abel の公式は $W(t)=W(0)e^{3t}$ を与え、直接の計算と一致する。

解作用素

基本行列 $U$ を 1 つ固定すると、解は時刻 $s$ の値から時刻 $t$ の値へ行列で移される。

解作用素

$U$ を $x'=A(t)x$ の基本行列とし、$t,s\in J$ について $\Pi(t,s):=U(t)U(s)^{-1}$ とおく。
(R1) 斉次方程式の任意の解 $x$ について $x(t)=\Pi(t,s)x(s)$ である。とくに $\Pi(t,s)v$ は「時刻 $s$ で $v$ をとる解の時刻 $t$ での値」であり、$\Pi$ は基本行列の選び方によらない。
(R2) $\Pi(t,t)=I$、$\Pi(t,s)\Pi(s,r)=\Pi(t,r)$、$\Pi(t,s)^{-1}=\Pi(s,t)$ である。
(R3) $\dfrac{\partial}{\partial t}\Pi(t,s)=A(t)\Pi(t,s)$ である。
(R4) 定数係数（$A(t)=A$）なら $\Pi(t,s)=e^{(t-s)A}$ である。

要点：$t\mapsto U(t)U(s)^{-1}v$ は時刻 $s$ で $v$ をとる解であり、解は 1 時刻の値で決まる。

詳しい証明を開く

$U(s)$ は thm-lde-basis-criterion から正則である。(i)：$s$ と $v$ を固定すると、$t\mapsto U(t)U(s)^{-1}v$ は解行列 $U$ と定数ベクトルの積なので解であり、時刻 $s$ で $v$ をとる。解は時刻 $s$ の値で決まるので（thm-lde-space の (i)）、これは時刻 $s$ で $v$ をとる唯一の解である。この言い換えは $U$ によらない。(ii)：定義から直ちに従う。(iii)：$U'=AU$ から従う。(iv)：行列の指数関数の定理「指数関数の微分と $x'=Ax$ の解」から、$t\mapsto e^{(t-s)A}v$ は時刻 $s$ で $v$ をとる解なので、(i) から $\Pi(t,s)v=e^{(t-s)A}v$ である。$\square$

$\Pi(t,s)$ を解作用素（主基本行列）という（Tes12 Theorem 3.10 の $\Pi(t,t_0)$）。1 次元（$n=1$）なら $\Pi(t,s)=\exp\int_s^tA(r)\,dr$ であるが、$n\ge2$ で $A(t)$ が $t$ によって変わると、この式は一般には成り立たない（後の ex-lde-not-exp-integral）。

非斉次方程式：定数変化法

斉次方程式の解 $\Pi(t,t_0)c$ の定数ベクトル $c$ を $t$ の関数に置き換えて非斉次方程式の解を探すのが定数変化法である。結果は次の公式にまとまる。

定数変化法の公式（Duhamel の公式）

$x'=A(t)x+b(t)$、$x(t_0)=x_0$ の $J$ 上の解は
$$ x(t)=\Pi(t,t_0)x_0+\int_{t_0}^{t}\Pi(t,s)b(s)\,ds $$
である（ベクトル値の積分は成分ごとにとる）。

基本行列 $U$ をとると $\Pi(t,s)=U(t)U(s)^{-1}$ なので、右辺は
$$ x(t)=U(t)\Bigl(U(t_0)^{-1}x_0+\int_{t_0}^{t}U(s)^{-1}b(s)\,ds\Bigr) $$
と書ける。$U(s)^{-1}$ の成分は Cramer の公式から $U(s)$ の成分の多項式を $\det U(s)\ne0$ で割ったものなので連続であり、括弧の中は微分積分学の基本定理（成分ごと）から微分可能で、導関数は $U(t)^{-1}b(t)$ である。積の微分法と $U'=AU$ から
$$ x'(t)=A(t)U(t)\bigl(\cdots\bigr)+U(t)U(t)^{-1}b(t)=A(t)x(t)+b(t) $$
であり、$x(t_0)=x_0$ である。解がこれに限ることは thm-lde-space の (i) による。$\square$

同じ公式は Tes12 Theorem 3.12 にある。右辺の第 1 項は初期値の影響、第 2 項は各時刻 $s$ に加わった入力 $b(s)$ が時刻 $t$ まで運ばれたものの和である。定数係数なら $\Pi(t,s)=e^{(t-s)A}$ なので、常微分方程式の定理「定数係数の線形方程式の解」の公式になる。$n$ 階の方程式では、同伴行列の方程式に使って第 1 成分をとればよい。$n=2$ では次の形になる。

2 階の方程式の定数変化法

$y_1,y_2$ を $y''+a_1(t)y'+a_0(t)y=0$ の基本解系、$W=y_1y_2'-y_1'y_2$ とすると、
$$ y_p(t):=\int_{t_0}^{t}\frac{y_1(s)y_2(t)-y_1(t)y_2(s)}{W(s)}\,g(s)\,ds $$
は $y''+a_1(t)y'+a_0(t)y=g(t)$ の解で、$y_p(t_0)=y_p'(t_0)=0$ を満たす。

要点：同伴行列の方程式の基本行列 $U=\begin{pmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{pmatrix}$ について thm-lde-duhamel を使い、第 1 成分をとる。

詳しい計算を開く

$U(s)^{-1}=\frac1{W(s)}\begin{pmatrix}y_2'(s)&-y_2(s)\\-y_1'(s)&y_1(s)\end{pmatrix}$ なので、$U(s)^{-1}\bigl(0,g(s)\bigr)^{\mathsf T}=\frac{g(s)}{W(s)}\bigl(-y_2(s),y_1(s)\bigr)^{\mathsf T}$ である。$\Pi(t,s)\bigl(0,g(s)\bigr)^{\mathsf T}=U(t)U(s)^{-1}\bigl(0,g(s)\bigr)^{\mathsf T}$ の第 1 成分は $\frac{g(s)}{W(s)}\bigl(-y_1(t)y_2(s)+y_2(t)y_1(s)\bigr)$ である。thm-lde-duhamel（$x_0=0$）の解の第 1 成分がちょうど $y_p$ であり、prop-lde-companion からそれは 2 階の方程式の解で、$x(t_0)=0$ から $y_p(t_0)=y_p'(t_0)=0$ である。$\square$

たとえば $y''+y=g(t)$ では $y_1=\cos t$、$y_2=\sin t$、$W=1$ なので、$y_p(t)=\int_{t_0}^{t}\sin(t-s)\,g(s)\,ds$ である（加法定理 $\cos s\sin t-\cos t\sin s=\sin(t-s)$）。

定数係数の $n$ 階方程式

定数係数の方程式 $p(D)y=0$ を考える。ここで $D=\frac{d}{dt}$、$p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0$（$a_i\in\mathbb{C}$）は特性多項式で、$p(D)y:=y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y$ である。定数係数の微分作用素は互いに可換で、$p(D)q(D)=(pq)(D)$ が成り立つ（$D^jD^k=D^{j+k}$ と線形性による）。

指数関数をくぐらせる公式

$q$ を複素係数の多項式、$\mu\in\mathbb{C}$、$u$ を $\deg q$ 回微分可能な関数とすると、$q(D)\bigl(e^{\mu t}u\bigr)=e^{\mu t}\,q(D+\mu)u$ である。ここで $q(D+\mu)$ は、多項式 $q(z+\mu)$ に $z=D$ を代入した微分作用素である。

積の微分法から $D\bigl(e^{\mu t}u\bigr)=e^{\mu t}(u'+\mu u)=e^{\mu t}(D+\mu)u$ である。これを繰り返すと $D^k\bigl(e^{\mu t}u\bigr)=e^{\mu t}(D+\mu)^ku$ であり、1 次結合をとれば結論を得る。$\square$

指数多項式の 1 次独立性

$\lambda_1,\dots,\lambda_r\in\mathbb{C}$ を相異なる数、$P_1,\dots,P_r$ を複素係数の多項式とする。開区間 $J$ 上で $\sum_{j=1}^rP_j(t)e^{\lambda_jt}=0$ なら、$P_1=\cdots=P_r=0$ である。

要点：$r$ についての帰納法。$e^{-\lambda_rt}$ を掛けて $\deg P_r+1$ 回微分すると $P_r$ の項が消え、ほかの項は次数を保ったまま $r-1$ 個の指数の式になる。

詳しい証明を開く

$r=1$ なら $e^{\lambda_1t}\ne0$ なので $P_1$ は $J$ 上で $0$ であり、無限個の根をもつ多項式として $P_1=0$ である。$r\ge2$ とし、$d:=\deg P_r$（$P_r=0$ なら $d:=0$）とおく。等式に $e^{-\lambda_rt}$ を掛けて $d+1$ 回微分すると、$P_r$ の項は消え、$\nu_j:=\lambda_j-\lambda_r\ne0$ について

$$\sum_{j=1}^{r-1}Q_j(t)e^{\nu_jt}=0,\qquad Q_j:=(D+\nu_j)^{d+1}P_j$$

となる（lem-lde-shift を $q(z)=z^{d+1}$ に使う）。$(D+\nu_j)P=\nu_jP+P'$ は $P\ne0$ なら $P$ と同じ次数をもつ（最高次の係数が $\nu_j$ 倍になる）ので、$Q_j=0$ なら $P_j=0$ である。$\nu_1,\dots,\nu_{r-1}$ は相異なるので、帰納法の仮定から $Q_j=0$、よって $P_j=0$（$j< r$）である。最後に $P_re^{\lambda_rt}=0$ から $P_r=0$ である。$\square$

定数係数の斉次方程式の基本解系

$p(z)=\prod_{j=1}^r(z-\lambda_j)^{m_j}$（$\lambda_j\in\mathbb{C}$ は相異なり、$m_1+\cdots+m_r=n$）とする。$n$ 個の関数
$$ t^ke^{\lambda_jt}\qquad(1\le j\le r,\ 0\le k< m_j) $$
は $p(D)y=0$ の複素数値の解の空間の基底である。したがって解はすべて $\sum_jP_j(t)e^{\lambda_jt}$（$P_j$ は $m_j-1$ 次以下の多項式）と一意に書ける。

解であること：$p(z+\lambda_j)=z^{m_j}q_j(z)$（$q_j$ は多項式）と書けるので、lem-lde-shift から $p(D)\bigl(t^ke^{\lambda_jt}\bigr)=e^{\lambda_jt}q_j(D)D^{m_j}t^k$ であり、$k< m_j$ なら $D^{m_j}t^k=0$ である。1 次独立であること：$\sum_{j,k}c_{jk}t^ke^{\lambda_jt}=0$ なら、$P_j(t):=\sum_kc_{jk}t^k$ について lem-lde-independence から $P_j=0$、すなわち $c_{jk}=0$ である。解空間は $n$ 次元（thm-lde-space の (iv)）で、1 次独立な $n$ 個の解は基底である。$\square$

同伴行列 $C$ の固有多項式は $p$ なので、この定理は行列の指数関数の命題「Jordan 分解による計算」（$e^{tC}$ の成分が $t^ke^{\lambda t}$ の 1 次結合）と対応している。Tes12 Theorem 3.7 は、この Jordan 分解の側から同じ基本解系を導いている。
実数の係数の方程式では、実数値の基本解系がほしい。

実数の係数の場合

$p$ の係数が実数であるとする。$p$ の実数の根 $\lambda$（重複度 $m$）については $t^ke^{\lambda t}$（$0\le k< m$）、虚数の根の対 $\alpha\pm i\beta$（$\beta>0$、重複度 $m$）については $t^ke^{\alpha t}\cos\beta t$、$t^ke^{\alpha t}\sin\beta t$（$0\le k< m$）をとる。これら $n$ 個の実数値関数は、$p(D)y=0$ の実数値の解の空間の基底である。

要点：$t^ke^{(\alpha\pm i\beta)t}$ の実部と虚部をとっても、張る複素ベクトル空間は変わらない。

詳しい証明を開く

係数が実数なので、$p$ の虚数の根は共役な対で同じ重複度をもって現れ、関数の個数は $n$ である。$p(D)$ は複素共役と可換なので、複素数値の解の実部と虚部はまた解であり、$t^ke^{\alpha t}\cos\beta t$、$t^ke^{\alpha t}\sin\beta t$ はそれぞれ $t^ke^{(\alpha+i\beta)t}$ の実部と虚部として解である。逆に $t^ke^{(\alpha\pm i\beta)t}=t^ke^{\alpha t}(\cos\beta t\pm i\sin\beta t)$ なので、これら $n$ 個の実関数の複素 1 次結合の全体は thm-lde-constant の基底の張る $n$ 次元の空間と一致する。$n$ 個の元で $n$ 次元の空間を張るので、これらは複素係数で 1 次独立であり、とくに実係数でも 1 次独立である。実数値の解の空間は $n$ 次元（thm-lde-space の (iv)、$\mathbb{K}=\mathbb{R}$）なので、これらはその基底である。$\square$

$n=2$ では、特性方程式 $\lambda^2+a\lambda+b=0$ の判別式の符号に応じて $e^{\lambda_1t}$ と $e^{\lambda_2t}$、$e^{\lambda t}$ と $te^{\lambda t}$、$e^{\alpha t}\cos\beta t$ と $e^{\alpha t}\sin\beta t$ が基本解系になる。これは微分方程式としての指数関数・三角関数の定理「定数係数の 2 階線形微分方程式の一般解」の 3 つの場合である。たとえば $y''+2y'+5y=0$ の特性根は $-1\pm2i$ なので、解は $e^{-t}(c_1\cos2t+c_2\sin2t)$ である（減衰振動）。

未定係数法と共振

右辺が指数関数（とその 1 次結合、$\cos$・$\sin$ を含む）のときは、thm-lde-duhamel の積分を計算しなくても、解の形を予想して係数を決められる。その予想が「特性根と重なるときに $t$ 倍になる」理由が次の命題である。

指数関数を右辺にもつ方程式の解

$\mu\in\mathbb{C}$ が特性多項式 $p$ の重複度 $m$ の根であるとする（根でないときは $m=0$）。このとき
$$ y_p(t)=\frac{t^me^{\mu t}}{p^{(m)}(\mu)} $$
は $p(D)y=e^{\mu t}$ の解である（$p^{(m)}$ は $p$ の $m$ 階導関数で、$p^{(m)}(\mu)\ne0$）。

lem-lde-shift から $p(D)\bigl(t^me^{\mu t}\bigr)=e^{\mu t}p(D+\mu)t^m$ である。$p(z+\mu)$ を $z$ について Taylor 展開すると $p(z+\mu)=\sum_{k=0}^n\frac{p^{(k)}(\mu)}{k!}z^k$ であり、$\mu$ が重複度 $m$ の根なので $k< m$ では $p^{(k)}(\mu)=0$、$p^{(m)}(\mu)\ne0$ である。$k>m$ では $D^kt^m=0$ なので、$p(D+\mu)t^m=\frac{p^{(m)}(\mu)}{m!}D^mt^m=p^{(m)}(\mu)$ である。よって $p(D)\bigl(t^me^{\mu t}\bigr)=p^{(m)}(\mu)e^{\mu t}$ であり、両辺を $p^{(m)}(\mu)$ で割ればよい。$\square$

$\mu$ が特性根のとき、$e^{\mu t}$ 自身は斉次方程式の解なので $p(D)e^{\mu t}=0$ となり、定数倍では右辺を作れない。そこで $t^m$ 倍が現れる。これが共振の数学的な仕組みである。

強制振動と共振

$\omega>0$、$\Omega>0$ として $y''+\omega^2y=\cos\Omega t$ を考える。$p(z)=z^2+\omega^2$ の根は $\pm i\omega$ である。$p$ の係数は実数なので、$p(D)y=e^{i\Omega t}$ の解の実部が $p(D)y=\cos\Omega t$ の解になる。
(1) $\Omega\ne\omega$：$i\Omega$ は根でなく（$m=0$）、$p(i\Omega)=\omega^2-\Omega^2$ なので、特殊解は $\operatorname{Re}\dfrac{e^{i\Omega t}}{\omega^2-\Omega^2}=\dfrac{\cos\Omega t}{\omega^2-\Omega^2}$ である。
(2) $\Omega=\omega$：$i\omega$ は単根（$m=1$）で $p'(i\omega)=2i\omega$ なので、特殊解は
$$ \operatorname{Re}\frac{te^{i\omega t}}{2i\omega}=\operatorname{Re}\frac{t(\sin\omega t-i\cos\omega t)}{2\omega}=\frac{t\sin\omega t}{2\omega} $$
である。振幅 $\frac{t}{2\omega}$ が時間に比例して増える。一般解はこれに $c_1\cos\omega t+c_2\sin\omega t$ を加えたもので（thm-lde-space の (iii)）、強制振動と共振（高校数学）の定理「減衰がないときの解」と一致する。

Euler 型の方程式

$a,b\in\mathbb{R}$ とし、$t>0$ で $t^2y''+aty'+by=0$ を考える。係数は定数でないが、$y(t)=z(\log t)$（$s=\log t$）とおくと（Tes12 Problem 3.19） $ty'=\frac{dz}{ds}$、$t^2y''=\frac{d^2z}{ds^2}-\frac{dz}{ds}$ なので、方程式は定数係数の
$$ \frac{d^2z}{ds^2}+(a-1)\frac{dz}{ds}+bz=0 $$
になる。特性方程式 $r^2+(a-1)r+b=0$ の根 $r$ から $e^{rs}=t^r$ が解になり、重根なら $t^r$ と $t^r\log t$ が基本解系である。たとえば $t^2y''-ty'+y=0$ では $r^2-2r+1=(r-1)^2$ なので、解は $c_1t+c_2t\log t$（$t>0$）である。$t\to+0$ で係数 $t^2$ が $0$ になるので、この方程式を正規形 $y''=-\frac aty'-\frac b{t^2}y$ に直すと係数が $t=0$ で連続でない。$t=0$ を含む区間では、次の節の反例のように解の様子が変わりうる。

反例：条件を外すと崩れること

外す条件	反例	成り立たなくなること
方程式が線形であること	$y'=y^2$ の解 $\frac1{1-t}$、$\frac1{2-t}$	解の和が解であること（重ね合わせ）
正規形の係数が区間全体で連続であること	$ty'-2y=0$（$\mathbb{R}$ 上）	解空間が $n$ 次元、初期値問題の解の存在と一意性
$n$ 個の関数が同じ線形方程式の解であること	$t^3$ と $\lvert t\rvert^3$	「$W\equiv0$ なら 1 次従属」
異なる時刻の係数行列が可換であること	$A(t)=\begin{pmatrix}0&1\\0&t\end{pmatrix}$	$\exp\int_{t_0}^tA(s)\,ds$ が解作用素になること

反例：線形でないと重ね合わせが崩れる

$y'=y^2$ は $y$ について 2 次なので線形でない。$y_1=\frac1{1-t}$、$y_2=\frac1{2-t}$ はそれぞれ $t<1$、$t<2$ で解である（$y_1'=\frac1{(1-t)^2}=y_1^2$）。$t<1$ で和 $y_1+y_2$ を考えると
$$ (y_1+y_2)'=y_1^2+y_2^2=(y_1+y_2)^2-2y_1y_2 $$
であり、$y_1y_2>0$ なので $(y_1+y_2)'\ne(y_1+y_2)^2$、すなわち和は解でない。定数倍 $2y_1$ も $(2y_1)'=2y_1^2\ne4y_1^2$ で解でない。満たす性質は「$y_1$、$y_2$ が解」、満たさない性質は「方程式の線形性」であり、破れる結論は「解の 1 次結合は解」（thm-lde-space の (ii)）である。

反例：係数が連続でないと解空間の次元が変わる

$ty'-2y=0$ を $\mathbb{R}$ 全体で考える。$t\ne0$ では正規形 $y'=\frac2ty$ に直せるが、係数 $\frac2t$ は $t=0$ で定義されない。$\mathbb{R}$ 上の解は、定数 $c_1$、$c_2$ を任意にとった
$$ y(t)=\begin{cases}c_1t^2&(t\ge0)\\c_2t^2&(t<0)\end{cases} $$
に限る。

詳細

$t>0$ と $t<0$ のそれぞれで $\bigl(y/t^2\bigr)'=\frac{ty'-2y}{t^3}=0$ なので、$y/t^2$ はそれぞれの区間で定数である。$t=0$ では方程式から $-2y(0)=0$ で、これは連続性から得られる $y(0)=\lim_{t\to0}c_1t^2=0$ と合う。逆に上の関数は $t=0$ で微分係数 $0$ をもち（$c_it^2/t\to0$）、$t=0$ でも方程式を満たす。

解の全体は 2 次元であり、1 階の方程式の解空間が 1 次元という thm-lde-space の結論が崩れる。また、初期条件 $y(0)=0$ の解は無数にあり（一意性が崩れる）、$y(0)=1$ の解は存在しない（存在が崩れる）。満たす性質は「係数 $t$、$-2$ が多項式で連続」、満たさない性質は「最高階の係数 $t$ が $0$ にならないこと（正規形の係数の連続性）」である。高校数学の記事の 1階線形微分方程式と積分因子（高校数学）の例「反例：$p$ が連続でない $xy'-2y=0$」も同じ方程式を扱っている。

反例：解でない関数では Wronski 行列式で判定できない

$f(t)=t^3$、$g(t)=\lvert t\rvert^3$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能で、$f'=3t^2$、$g'=3t\lvert t\rvert$ である。$\lvert t\rvert^3=t^2\lvert t\rvert$ を使うと
$$ W(f,g)=fg'-f'g=3t^4\lvert t\rvert-3t^2\cdot t^2\lvert t\rvert=0 $$
がすべての $t$ で成り立つ。一方 $af+bg=0$ とすると、$t=1$ で $a+b=0$、$t=-1$ で $-a+b=0$ なので $a=b=0$ であり、$f$、$g$ は 1 次独立である。
したがって「Wronski 行列式が恒等的に $0$ なら 1 次従属」は、一般の関数では成り立たない。thm-lde-basis-criterion は、$f$、$g$ が同じ 2 階の線形方程式（係数は区間上で連続）の解であることを仮定している。とくにこの定理から、$t^3$ と $\lvert t\rvert^3$ は、$0$ を含む区間で連続な係数をもつどんな $y''+a_1(t)y'+a_0(t)y=0$ の解の組にもならない。満たす性質は「$W\equiv0$」、満たさない性質は「1 次従属」である（Tes12 の式 (3.109) の後の注意と Problem 3.33 は $t^2$ と $t\lvert t\rvert$ で同じことを述べている）。

反例：$e^{\int A}$ は一般に解作用素でない

$A(t)=\begin{pmatrix}0&1\\0&t\end{pmatrix}$ とすると、$A(t)A(s)-A(s)A(t)=\begin{pmatrix}0&s-t\\0&0\end{pmatrix}$ なので、$s\ne t$ では可換でない。$B(t):=\int_0^tA(s)\,ds=\begin{pmatrix}0&t\\0&c\end{pmatrix}$（$c:=\frac{t^2}2$）とおくと、$k\ge1$ で $B(t)^k=\begin{pmatrix}0&tc^{k-1}\\0&c^k\end{pmatrix}$ なので、$t\ne0$ で
$$ e^{B(t)}=\begin{pmatrix}1&\frac{t(e^c-1)}c\\0&e^c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&\frac{2(e^{t^2/2}-1)}t\\0&e^{t^2/2}\end{pmatrix} $$
である。その第 2 列 $x(t)=\bigl(f(t),e^{t^2/2}\bigr)^{\mathsf T}$（$f(t):=2(e^{t^2/2}-1)/t$）が $x'=A(t)x$ の解なら $f'(t)=e^{t^2/2}$ のはずだが、$f'(t)=2e^{t^2/2}-\frac{2(e^{t^2/2}-1)}{t^2}$ なので $f'(1)=2\ne e^{1/2}\approx1.649$ である。よって $e^{B(t)}$ は解行列でなく、$\Pi(t,0)\ne e^{B(t)}$ である。実際、時刻 $0$ で $(0,1)^{\mathsf T}$ をとる解は $\bigl(\int_0^te^{s^2/2}\,ds,\ e^{t^2/2}\bigr)^{\mathsf T}$ である。満たす性質は「$A$ は連続」、満たさない性質は「$A(t)A(s)=A(s)A(t)$」であり、$n=1$ や定数係数では成り立つ公式 $\Pi(t,t_0)=\exp\int_{t_0}^tA(s)\,ds$ が崩れる。すべての $t,s$ で $A(t)A(s)=A(s)A(t)$ ならこの公式は成り立つ（Tes12 §3.4 の冒頭）。

補足

線形微分方程式の理論は、ほかの分野の多くの場面に現れる。

ほかの話題とのつながりを開く

線形代数との対応：斉次方程式の解空間 $\mathcal{V}$ は $n$ 次元のベクトル空間で、定数係数の方程式では微分 $D$ が $\mathcal{V}$ の上の線形変換になり、その固有多項式が特性多項式である。$\frac{t^k}{k!}e^{\lambda t}$ の基底は、$D$ の Jordan 標準形を与える基底である（Jordan標準形）。
漸化式との対応：定数係数の線形漸化式 $a_{k+n}+c_{n-1}a_{k+n-1}+\cdots+c_0a_k=0$ の一般項も、特性根 $\lambda$ から $k^j\lambda^k$ の形の項で書ける。微分方程式の $t^je^{\lambda t}$ はその連続版である（二項間漸化式、漸化式の行列表示）。
係数が周期的な方程式（Floquet 理論）や、2 点で条件を与える境界値問題（Sturm–Liouville の理論）は、この記事の解作用素や Wronski 行列式を道具として展開される（Tes12 §3.6 Periodic linear systems、§5.3 Sturm–Liouville equations）。
非線形の方程式でも、解の近くで方程式を 1 次の近似に置き換える（線形化する）と、解の安定性がこの記事の理論で調べられる。