Cayley変換

1：$I-U=\bigl((T+iI)-(T-iI)\bigr)(T+iI)^{-1}=2i(T+iI)^{-1}$ なので、$I-U$ は有界な逆 $\frac1{2i}(T+iI)$ をもつ。
2：$I+U=\bigl((T+iI)+(T-iI)\bigr)(T+iI)^{-1}=2T(T+iI)^{-1}$ なので、$i(I+U)(I-U)^{-1}=i\cdot2T(T+iI)^{-1}\cdot\frac1{2i}(T+iI)=T$ である。
3：$\mu\ne1$ について $\lambda:=\kappa^{-1}(\mu)$ とおく。$(T-iI)-\mu(T+iI)=(1-\mu)T-i(1+\mu)I=(1-\mu)(T-\lambda I)$ なので
$$ U-\mu I=(1-\mu)(T-\lambda I)(T+iI)^{-1} $$
である。$(T+iI)^{-1}$ は有界な逆をもつので、$U-\mu I$ が有界な逆をもつことと $T-\lambda I$ が有界な逆をもつことは同値である。よって $\mu\ne1$ について $\mu\in\sigma(U)\iff\kappa^{-1}(\mu)\in\sigma(T)$ である。1 により $1\notin\sigma(U)$ であり、$\kappa$ の値は $1$ にならないので、$\sigma(U)=\kappa(\sigma(T))$ である。$\square$

1：$y=(T+i)x$（$x\in D(T)$）について、(1) から $\|V_Ty\|=\|(T-i)x\|=\|(T+i)x\|=\|y\|$ であり、$V_T$ は等長で値域は $\operatorname{ran}(T-i)$ である。また
$$ (I-V_T)y=(T+i)x-(T-i)x=2ix,\qquad(I+V_T)y=2Tx $$
である。1 つ目から $\operatorname{ran}(I-V_T)=D(T)$ で、$(I-V_T)y=0$ なら $x=0$、$y=0$ なので $I-V_T$ は単射である。$x=(I-V_T)\bigl(\frac{1}{2i}y\bigr)$ だから $(I-V_T)^{-1}x=\frac1{2i}y$ であり、2 つ目から $i(I+V_T)(I-V_T)^{-1}x=\frac12(I+V_T)y=Tx$ となる。
2：$(I-V)w=0$ とする。$u\in D(V)$ について、$V$ が内積を保つことから
$$ \langle(I-V)u,w\rangle=\langle u,w\rangle-\langle Vu,Vw\rangle=0 $$
なので $w\perp\operatorname{ran}(I-V)$ であり、稠密性から $w=0$ である。よって $I-V$ は単射で、$T$ は矛盾なく定まり、$D(T)$ は稠密である。$x=(I-V)u$、$y=(I-V)v$（$u,v\in D(V)$）について、$\langle Vu,Vv\rangle=\langle u,v\rangle$ を使うと
$$ \langle Tx,y\rangle=i\langle(I+V)u,(I-V)v\rangle=i\bigl(\langle Vu,v\rangle-\langle u,Vv\rangle\bigr), $$
$$ \langle x,Ty\rangle=\overline{i}\,\langle(I-V)u,(I+V)v\rangle=-i\bigl(\langle u,Vv\rangle-\langle Vu,v\rangle\bigr) $$
で両者は等しく、$T$ は対称である。最後に $(T+i)x=i(I+V)u+i(I-V)u=2iu$、$(T-i)x=2iVu$ なので、$\operatorname{ran}(T+i)=D(V)$ で $V_T(2iu)=2iVu$、すなわち $V_T=V$ である。
全単射であること：1 により $T$ は $V_T$ から復元されるので単射であり、2 により全射である。$\square$

1. により、$x\mapsto(T\pm i)x$ は Hilbert 版のグラフノルム $(\|x\|^2+\|Tx\|^2)^{1/2}$ を入れた $D(T)$ から $\operatorname{ran}(T\pm i)$ への等長な全単射である。グラフノルム の定理「閉作用素の特徴づけ」により、1 は $D(T)$ がこのノルムで完備であることと同値であり、これは $\operatorname{ran}(T\pm i)$ が完備、つまり $H$ で閉であることと同値である。$\square$

1：自己共役作用素 の定理「自己共役性の判定」により、$T$ が自己共役であることは $\operatorname{ran}(T+i)=\operatorname{ran}(T-i)=H$ と同値で、これは $V_T$ が $H$ 全体で定義され $H$ の上への等長作用素であることを意味する。$H$ から $H$ の上への等長な線形写像は内積を保つ全単射なので、ユニタリ作用素である。逆にユニタリなら $D(V_T)=\operatorname{ran}V_T=H$ である。
2：$T$ が自己共役なら、1 により $V_T$ はユニタリで、thm-cay-symmetric の 1 により $I-V_T$ は単射である。逆に $U$ がユニタリで $\ker(I-U)=0$ とする。$y\perp\operatorname{ran}(I-U)$ なら $(I-U^*)y=0$ で、$U$ を掛けると $Uy=y$、よって $y=0$ である。したがって $\operatorname{ran}(I-U)$ は稠密で、thm-cay-symmetric の 2 により $T:=i(I+U)(I-U)^{-1}$ は対称で $V_T=U$ である。1 により $T$ は自己共役である。単射性は thm-cay-symmetric の全単射性から従う。$\square$

$R:=(T+i)^{-1}\colon H\to D(T)$ とおく。(1) から $\|Ry\|\le\|y\|$ で、$R$ は $H$ から $D(T)$ の上への有界な全単射である。
1：$\lambda:=\kappa^{-1}(\mu)$ とおく。$y=(T+i)x$ について $(U-\mu)y=(T-i)x-\mu(T+i)x=(1-\mu)(T-\lambda)x$ なので、$U-\mu=(1-\mu)(T-\lambda)R$ である。$R$ が $H$ から $D(T)$ への全単射なので、$U-\mu$ が全単射であることと $T-\lambda\colon D(T)\to H$ が全単射であることは同値である。このとき逆写像は
$$ (U-\mu)^{-1}=\frac{(T+i)(T-\lambda)^{-1}}{1-\mu}=\frac{I+(\lambda+i)(T-\lambda)^{-1}}{1-\mu},\qquad(T-\lambda)^{-1}=(1-\mu)R\,(U-\mu)^{-1} $$
で結ばれるので、一方が有界なら他方も有界である。
2：thm-cay-symmetric の証明から $I-U=2iR$ で、これは単射なので $1$ は固有値でない。$I-U$ の値域は $\operatorname{ran}R=D(T)$ である。
$1\notin\sigma(U)$ なら $(I-U)^{-1}$ は有界で、thm-cay-symmetric の 1 の $T=i(I+U)(I-U)^{-1}$ は有界作用素の合成なので有界である。逆に $T$ が $D(T)$ の上で有界とする。自己共役作用素は閉なので（自己共役作用素 の補題「随伴の閉性と対称作用素の閉包」）、$x_n\in D(T)$、$x_n\to x$ なら $(Tx_n)$ は Cauchy 列で極限 $z$ をもち、閉性から $x\in D(T)$ である。よって $D(T)$ は閉で稠密だから $D(T)=H$ であり、$I-U$ は全単射で、逆写像 $\frac1{2i}(T+i)$ は有界である。したがって $1\notin\sigma(U)$ である。$\square$