三角関数

$i^{2k}=(-1)^k$、$i^{2k+1}=(-1)^ki$ なので、$e^{iz}$ の級数の最初の $2N+2$ 項の和は
$$ \sum_{n=0}^{2N+1}\frac{(iz)^n}{n!}=\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^kz^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{N}\frac{(-1)^kz^{2k+1}}{(2k+1)!} $$
である。$N\to\infty$ のとき、左辺は収束する級数 $\sum_n\frac{(iz)^n}{n!}$ の部分和の部分列なので $e^{iz}$ に収束し、右辺は $\cos z+i\sin z$ に収束する。よって $e^{iz}=\cos z+i\sin z$ である。$x$ が実数なら $\cos x,\sin x$ は実数なので、$\cos x$ と $\sin x$ はそれぞれ $e^{ix}$ の実部と虚部である。$z$ を $-z$ に替えると、$\cos$ が偶関数、$\sin$ が奇関数であることから $e^{-iz}=\cos z-i\sin z$ であり、実数 $x$ ではこれは $e^{ix}$ の共役である。この式と $e^{iz}=\cos z+i\sin z$ の和と差をとれば、最後の 2 式を得る。

指数法則と thm-trig-euler により
$$ \cos(x+y)+i\sin(x+y)=e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}=(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y) $$
であり、右辺を展開すると $(\cos x\cos y-\sin x\sin y)+i(\sin x\cos y+\cos x\sin y)$ となる。両辺の $\cos,\sin$ はすべて実数なので、実部と虚部を比べればよい。

thm-trig-addition の第 1 式で $y=-x$ とおくと、$\cos(-x)=\cos x$、$\sin(-x)=-\sin x$ により $1=\cos0=\cos^2x+\sin^2x$ である。実数の平方は $0$ 以上なので $\cos^2x\leq1$、$\sin^2x\leq1$ である。倍角の式は $y=x$ とおいて得られ、$\cos2x$ の残りの形は $\cos^2x+\sin^2x=1$ を代入して得られる。

$\sin,\cos$ の冪級数はすべての実数で収束するので、収束半径は $\infty$ である（冪級数 の記事の定理「収束する範囲と収束半径」）。同記事の定理「項別微分」により、$\mathbb{R}$ 上で微分可能で導関数は項別微分で与えられる。
$$ \sin'x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2k+1)x^{2k}}{(2k+1)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}=\cos x $$
であり、
$$ \cos'x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k(2k)x^{2k-1}}{(2k)!}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k-1}}{(2k-1)!}=-\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^jx^{2j+1}}{(2j+1)!}=-\sin x $$
である（$j=k-1$ とおいた）。導関数がまた $\sin,\cos$ の定数倍なので、何回でも微分できる。

$\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin x-\sin0}{x-0}$ は $x\to0$ で $\sin'0=\cos0=1$ に収束する。次に $h_\pm(x):=x\pm\sin x$ とおくと、$h_\pm'(x)=1\pm\cos x\geq0$（cor-trig-pythagorean）なので、平均値の定理 の記事の系「導関数の符号と増減」により $h_\pm$ は単調増加であり、$x\geq0$ で $h_\pm(x)\geq h_\pm(0)=0$、すなわち $-x\leq\sin x\leq x$ である。$x<0$ の場合は $\sin$ が奇関数であることから従う。

$g:=f-f(0)\cos-f'(0)\sin$ とおくと、thm-trig-derivative により $g''=-g$、$g(0)=0$、$g'(0)=f'(0)-f'(0)=0$ である。$E:=g^2+(g')^2$ とおくと
$$ E'=2gg'+2g'g''=2g'(g+g'')=0 $$
なので、平均値の定理 の記事の系「導関数が0なら定数」により $E$ は定数で、$E=E(0)=0$ である。$g^2\leq E=0$ なので $g=0$ であり、主張を得る。

まず $\cos2<0$ を示す。$a_k:=\frac{2^{2k}}{(2k)!}$ とおくと $\cos2=\sum_{k\geq0}(-1)^ka_k=1-(a_1-a_2+a_3-\cdots)$ である。$k\geq1$ で $\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{4}{(2k+1)(2k+2)}\leq\frac4{12}<1$ なので $(a_k)_{k\geq1}$ は $0$ に収束する単調減少列であり、級数 の記事の定理「Leibnizの判定法」により交代級数 $S:=a_1-a_2+a_3-\cdots$ は隣り合う部分和 $a_1=2$ と $a_1-a_2=\frac43$ の間にある。よって $\cos2=1-S\leq1-\frac43=-\frac13<0$ である。
$\cos$ は微分可能なので連続であり（導関数 の記事の命題「微分可能ならば連続」）、$\cos0=1>0$、$\cos2<0$ なので、中間値の定理 の記事の定理「中間値の定理」により $Z:=\{x\in(0,2)\mid\cos x=0\}$ は空でない。$p:=\inf Z$ とおく。$\cos$ は $0$ で連続で $\cos0=1$ なので、ある $\delta>0$ について $[0,\delta)$ で $\cos>0$ であり、$p\geq\delta>0$ である。$Z$ の点の列 $x_n\to p$ をとると、連続性から $\cos p=\lim\cos x_n=0$ であり、$p\in Z$ である。$p$ より小さい正の零点はないので $p$ が最小であり、$p<2$ である。$0< x< p$ で $\cos x<0$ となる点があれば、$[0,x]$ で中間値の定理を使うと $(0,x)$ に零点が生じて $p$ の最小性に反するので、$\cos$ は $[0,p)$ で正である。
thm-trig-derivative により $\sin'=\cos>0$ が $[0,p)$ で成り立つので、平均値の定理 の記事の系「導関数の符号と増減」により $\sin$ は $[0,p)$ で狭義単調増加であり、連続性により $[0,p]$ でも狭義単調増加である。$\sin0=0$ なので $\sin$ は $(0,p]$ で正であり、$\sin^2p=1-\cos^2p=1$（cor-trig-pythagorean）から $\sin p=1$ である。

1：prop-trig-first-zero と thm-trig-euler により $e^{i\pi/2}=\cos\frac\pi2+i\sin\frac\pi2=i$ であり、指数法則により $e^{i\pi}=(e^{i\pi/2})^2=-1$、$e^{2\pi i}=(e^{i\pi})^2=1$ である。
2：$e^{i(x+\pi/2)}=e^{ix}e^{i\pi/2}=i(\cos x+i\sin x)=-\sin x+i\cos x$ の実部と虚部を比べると最初の 2 式を得る。$e^{i\pi}=-1$、$e^{2\pi i}=1$ を掛けても同様である。
3：prop-trig-first-zero により $\sin$ は $(0,\frac\pi2]$ で正である。$\frac\pi2\leq x<\pi$ なら $0\leq x-\frac\pi2<\frac\pi2$ なので、2 と prop-trig-first-zero により $\sin x=\cos(x-\frac\pi2)>0$ である。また $-\frac\pi2< x<\frac\pi2$ なら $0< x+\frac\pi2<\pi$ なので、$\cos x=\sin(x+\frac\pi2)>0$ である。
4：$t=2\pi m$（$m$ は整数）なら、指数法則と 1 により $e^{it}=(e^{2\pi i})^m=1$ である（$m<0$ では $e^{-z}=1/e^z$ を使う）。逆に $e^{it}=1$ とし、整数 $m$ と $0\leq s<2\pi$ により $t=2\pi m+s$ と書くと、$e^{is}=e^{it}e^{-2\pi im}=1$ なので $\cos s=1$、$\sin s=0$ である。$0< s<\pi$ なら 3 により $\sin s>0$、$s=\pi$ なら $\cos s=-1$、$\pi< s<2\pi$ なら 2 と 3 により $\sin s=-\sin(s-\pi)<0$ であり、いずれも矛盾する。よって $s=0$ である。
5：$\sin x=0$ なら $\cos x=\pm1$（cor-trig-pythagorean）なので $e^{ix}=\pm1$、$e^{2ix}=1$ であり、4 により $2x$ は $2\pi$ の整数倍、すなわち $x$ は $\pi$ の整数倍である。逆に $e^{im\pi}=(-1)^m$ は実数なので $\sin m\pi=0$ である。$\cos$ については 2 の $\cos x=\sin(x+\frac\pi2)$ に帰着する。
6：すべての $x$ で $\cos(x+T)=\cos x$ なら、$x=0$ として $\cos T=1$、したがって $\sin T=0$、$e^{iT}=1$ であり、4 により $T$ は $2\pi$ の正の整数倍である。$\sin$ の場合は $x=\frac\pi2$ として、2 により $\cos T=\sin(T+\frac\pi2)=\sin\frac\pi2=1$ となり、同じ結論を得る。

後半：$(\cos s,\sin s)=(\cos t,\sin t)$ なら thm-trig-euler により $e^{is}=e^{it}$、したがって $e^{i(s-t)}=1$ であり、thm-trig-periodicity の 4 により $s-t$ は $2\pi$ の整数倍である。逆は $\cos,\sin$ の周期性による。これから、$[0,2\pi)$ の中の $t$ は（存在すれば）1 つである。
存在：$b\geq0$ の場合。$-1\leq a\leq1$ であり、$\cos$ は $[0,\pi]$ で連続で $\cos0=1$、$\cos\pi=-1$ なので、中間値の定理により $\cos t=a$ となる $t\in[0,\pi]$ がある。thm-trig-periodicity の 3・5 により $\sin t\geq0$ であり、$\sin^2t=1-a^2=b^2$ なので $\sin t=b$ である。$b<0$ の場合。$(a,-b)$ に前の場合を使うと $\cos s=a$、$\sin s=-b>0$ となる $s\in(0,\pi)$ がある。$t:=2\pi-s\in(\pi,2\pi)$ とおくと、周期性と偶奇性により $\cos t=\cos(-s)=a$、$\sin t=\sin(-s)=b$ である。

$c:=\cos\frac\pi4$、$s:=\sin\frac\pi4$ はともに正である（thm-trig-periodicity の 3）。cor-trig-pythagorean により $0=\cos\frac\pi2=c^2-s^2$、$c^2+s^2=1$ なので $c^2=s^2=\frac12$、$c=s=\frac{\sqrt2}2$ である。
次に、加法定理と cor-trig-pythagorean から
$$ \cos3x=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x=(2\cos^2x-1)\cos x-2(1-\cos^2x)\cos x=4\cos^3x-3\cos x $$
である。$c:=\cos\frac\pi3$ とおくと $\cos\pi=-1$ なので $4c^3-3c+1=0$、すなわち $(c+1)(2c-1)^2=0$ である。$0<\frac\pi3<\frac\pi2$ なので $c>0$ であり、$c=\frac12$ である。$\sin\frac\pi3>0$ なので $\sin\frac\pi3=\sqrt{1-\frac14}=\frac{\sqrt3}2$ である。最後に thm-trig-periodicity の 2 で $x=-\frac\pi3$ とおくと、$\sin\frac\pi6=\cos(-\frac\pi3)=\frac12$、$\cos\frac\pi6=-\sin(-\frac\pi3)=\frac{\sqrt3}2$ である。

1：thm-trig-periodicity の 3 により $(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ で $\cos>0$ なので $\tan$ は定義され、導関数 の記事の定理「和・積・商の微分法」により $\tan'=\frac{\cos\cdot\cos-\sin\cdot(-\sin)}{\cos^2}=\frac1{\cos^2}=1+\tan^2>0$ である。平均値の定理 の記事の系「導関数の符号と増減」により $\tan$ は狭義単調増加である。$x\to\frac\pi2$（左から）で $\sin x\to1$、$\cos x\to0$（正の側から）なので $\tan x\to+\infty$ であり、$\tan$ は奇関数なので $x\to-\frac\pi2$ で $-\infty$ に発散する。任意の $y$ に対し $\tan a< y<\tan b$ となる $a< b$ がとれるので、中間値の定理により $\tan x=y$ となる $x$ がある。逆関数の微分可能性と公式は、連鎖律 の記事の系「逆関数の微分公式」により $\arctan'(y)=\frac1{\tan'(\arctan y)}=\frac1{1+y^2}$ である。
2：$\sin'=\cos$ は $(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ で正、端点で $0$ なので、同じ系により $\sin$ は $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ で単調増加、$(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ で狭義単調増加であり、$\sin(\pm\frac\pi2)=\pm1$ と合わせて $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ で狭義単調増加である。連続なので中間値の定理により値域は $[-1,1]$ である。$y=\sin x$、$-\frac\pi2< x<\frac\pi2$ では $\cos x>0$、$\cos^2x=1-y^2$ なので、逆関数の微分公式により $\arcsin'(y)=\frac1{\cos x}=\frac1{\sqrt{1-y^2}}$ である。