超特異楕円曲線

thm-supersingular-isogeny-facts の 4 により $[p]=\hat\phi_p\circ\phi_p$ であり、1 により
$$ \deg_s[p]=\deg_s\hat\phi_p\cdot\deg_s\phi_p=\deg_s\hat\phi_p $$
である（2 により $\deg_s\phi_p=1$）。$\deg\hat\phi_p=\deg\phi_p=p$ は素数なので、$\deg_s\hat\phi_p$ は $1$ か $p$ である。$E[p]=\ker[p]$ の位数は $\deg_s[p]$ に等しいから（1）、$\#E[p]\in\{1,p\}$ であり、1 が示された。同時に、$E[p]=0\iff\deg_s\hat\phi_p=1\iff\hat\phi_p$ が非分離（$\deg\hat\phi_p=p$ が素数なので非分離と純非分離は同じ）$\iff\deg_s[p]=1\iff[p]$ が純非分離、すなわち (i)、(iv)、(v) の同値が従う。
$[p^r]=[p]^r$（$r$ 回合成）なので $\#E[p^r]=\deg_s[p^r]=(\deg_s[p])^r$ である。$\deg_s[p]=1$ なら $E[p^r]=0$ がすべての $r$ で成り立ち、$\deg_s[p]=p$ なら $\#E[p^r]=p^r\ne1$ がすべての $r$ で成り立つ。これで (i)、(ii)、(iii) の同値が従い、2 が示された。
3 を示す。$E$ が通常なら $E[p]\cong\mathbb{Z}/p$ で $\#E[p^r]=p^r$ である。$E[p^r]$ は位数 $p^r$ の有限アーベル群で、その $p$ 捩れ部分群 $E[p^r][p]=E[p]$ は位数 $p$ の巡回群である。有限アーベル $p$ 群は巡回群の直積に分解し（有限アーベル群の基本定理）、その $p$ 捩れ部分群の位数は直積因子の個数だけ $p$ の冪になるから、$E[p^r]$ は直積因子を 1 個しかもたず、巡回群 $\mathbb{Z}/p^r$ に同型である。

1 を示す。$\omega$ を $E$ の不変微分とすると、thm-supersingular-isogeny-facts の 2、3 により $(1-\phi)^*\omega=\omega-\phi^*\omega=\omega\ne0$ なので $1-\phi$ は分離的で、$\#\ker(1-\phi)=\deg(1-\phi)$ である。$\ker(1-\phi)$ は $\phi$ の固定点、すなわち座標が $\mathbb{F}_q$ に入る点の集合 $E(\mathbb{F}_q)$ だから $\deg(1-\phi)=\#E(\mathbb{F}_q)$ である。一方 4 により
$$ [\deg(1-\phi)]=\widehat{(1-\phi)}\circ(1-\phi)=(1-\hat\phi)(1-\phi)=1-(\phi+\hat\phi)+\hat\phi\phi=[1+q]-(\phi+\hat\phi) $$
である。よって $\phi+\hat\phi=[1+q-\#E(\mathbb{F}_q)]=[a_q]$ となる。
2 を示す。1 により $\hat\phi=[a_q]-\phi$ であり、3 により $\hat\phi^*\omega=a_q\omega-\phi^*\omega=a_q\omega$ である。したがって $\hat\phi$ が分離的であることと $p\nmid a_q$ は同値である。他方、$[q]=\hat\phi\circ\phi$ と $\phi$ の純非分離性から $\deg_s\hat\phi=\deg_s[q]=(\deg_s[p])^r$ であり、prop-supersingular-p-torsion により $\deg_s[p]\in\{1,p\}$ なので、$\deg_s\hat\phi$ は $1$ か $q=\deg\hat\phi$ である。ゆえに $\hat\phi$ は分離的か純非分離かのいずれかで、$\hat\phi$ が分離的 $\iff\deg_s[p]=p\iff E$ が通常である。まとめると、$E$ が超特異 $\iff\hat\phi$ が非分離 $\iff p\mid a_q$ であり、(i) と (ii) は同値である。(ii) と (iii) は $a_q=q+1-\#E(\mathbb{F}_q)\equiv1-\#E(\mathbb{F}_q)\pmod p$ から同値である。
3 を示す。$p\ge5$ なら $2\sqrt p< p$ なので、Hasse の定理（thm-supersingular-isogeny-facts の 7）により $|a_p|\le2\sqrt p< p$ である。したがって $p\mid a_p$ は $a_p=0$、すなわち $\#E(\mathbb{F}_p)=p+1$ と同値である。

$g:=f^m$ とおく。$\deg g=3m=3(p-1)/2<2p-1$ である。$f'^m=u^{-6m}g(u^2x'+r)=u^{-3(p-1)}g(u^2x'+r)$ なので、$g(u^2x'+r)$ における $x'^{p-1}$ の係数を求めればよい。$g=\sum_jg_jx^j$ と書くと
$$ g(u^2x'+r)=\sum_jg_j\sum_{i=0}^{j}\binom{j}{i}u^{2i}r^{j-i}x'^i $$
であり、$x'^{p-1}$ の係数は $\sum_{j\ge p-1}g_j\binom{j}{p-1}u^{2(p-1)}r^{j-p+1}$ である。$p-1< j\le3m<2p-1$ のとき $j=p+j_0$（$0\le j_0< p-1$）と書け、$\mathbb{F}_p$ 上で $(1+X)^{p+j_0}=(1+X^p)(1+X)^{j_0}$ の $X^{p-1}$ の係数は、$(1+X)^{j_0}$ の $X^{p-1}$ の係数（$j_0< p-1$ なので $0$）と $X^p$ 倍の項からの寄与（負の次数なので $0$）の和で $0$ である。すなわち $\binom{j}{p-1}\equiv0\pmod p$ である。よって $j=p-1$ の項だけが残り、$x'^{p-1}$ の係数は $g_{p-1}u^{2(p-1)}=Au^{2(p-1)}$ となる。ゆえに $A'=u^{-3(p-1)}u^{2(p-1)}A=u^{-(p-1)}A$ である。
最後の主張は、一般の Weierstrass 座標変換 $x=u^2x'+r$、$y=u^3y'+su^2x'+t$ が $a_1=a_3=0$ を保つ条件が $ua_1'=a_1+2s=2s$、$u^3a_3'=a_3+ra_1+2t=2t$ から $s=t=0$ であること（Sil09 III.1 の変換公式、$p$ は奇素数）による。

1 を示す。$i=0$ なら和は $q\cdot1=0$ である。$i\ge1$ とし、$\gamma$ を巡回群 $\mathbb{F}_q^\times$ の生成元とする。$(q-1)\mid i$ なら $x\ne0$ で $x^i=1$ なので和は $q-1=-1$ である。$(q-1)\nmid i$ なら $\gamma^i\ne1$ で、$S:=\sum_{x\in\mathbb{F}_q^\times}x^i$ は $\gamma^iS=\sum_x(\gamma x)^i=S$ をみたすから $S=0$ である。
2 を $r$ についての帰納法で示す。$r=1$ は自明である。$r\ge2$ とし、$h(y):=\prod_{i=1}^{r-1}g_i(y^{p^{i-1}})$ とおくと、左辺の多項式は $g_0(x)h(x^p)$ であり、$x^{q-1}$ の係数は $\sum_{j+pl=q-1}[x^j]g_0\cdot[y^l]h$ である。$j\equiv q-1\equiv-1\pmod p$ と $0\le j\le\deg g_0<2p-1$ から $j=p-1$ に限られ、そのとき $l=(q-p)/p=p^{r-1}-1$ である。よって左辺は $[x^{p-1}]g_0\cdot[y^{p^{r-1}-1}]h$ に等しく、$h$ に帰納法の仮定（$r-1$ 個の多項式 $g_1,\dots,g_{r-1}$ と $q'=p^{r-1}$）を適用して主張を得る。

$q$ は奇数である。$c\in\mathbb{F}_q$ に対し $y^2=c$ の $\mathbb{F}_q$ における解の個数は $1+c^{(q-1)/2}$ である。実際 $c=0$ なら $1$ 個、$c\ne0$ なら $\mathbb{F}_q^\times$ が位数 $q-1$（偶数）の巡回群であることから、$c$ が平方なら $c^{(q-1)/2}=1$ で解は $2$ 個、平方でなければ $c^{(q-1)/2}=-1$ で解は $0$ 個である。よって無限遠点（無限遠点）を加えて、$\mathbb{F}_q$ の元として
$$ \#E(\mathbb{F}_q)=1+\sum_{x\in\mathbb{F}_q}\bigl(1+f(x)^{(q-1)/2}\bigr)=1+\sum_{x\in\mathbb{F}_q}f(x)^{(q-1)/2} $$
である。$f(x)^{(q-1)/2}=\sum_ic_ix^i$ の次数は $3(q-1)/2<2(q-1)$ なので、lem-supersingular-power-sum の 1 により $\sum_xf(x)^{(q-1)/2}=\sum_ic_i\sum_xx^i=-c_{q-1}$ であり、
$$ \#E(\mathbb{F}_q)=1-\bigl[x^{q-1}\bigr]f(x)^{(q-1)/2} $$
を得る。次に $g:=f^m$ とおくと $(q-1)/2=m(1+p+\cdots+p^{r-1})$ なので $f^{(q-1)/2}=\prod_{i=0}^{r-1}g^{p^i}$ であり、標数 $p$ では $g^{p^i}(x)=g^{(p^i)}(x^{p^i})$（$g^{(p^i)}$ は $g$ の係数を $p^i$ 乗した多項式）である。$\deg g^{(p^i)}=3m<2p-1$ なので lem-supersingular-power-sum の 2 により
$$ \bigl[x^{q-1}\bigr]f^{(q-1)/2}=\prod_{i=0}^{r-1}\bigl[x^{p-1}\bigr]g^{(p^i)}=\prod_{i=0}^{r-1}A(E)^{p^i}=A(E)^{(q-1)/(p-1)} $$
である。これで点の個数の公式が示された。特に $A(E)^{(q-1)/(p-1)}=1-\#E(\mathbb{F}_q)\in\mathbb{F}_p$ である。
最後に、$a_q=q+1-\#E(\mathbb{F}_q)\equiv A(E)^{(q-1)/(p-1)}\pmod p$ なので、$p\mid a_q$ と $A(E)^{(q-1)/(p-1)}=0$、すなわち $A(E)=0$ は同値である。prop-supersingular-finite-field の 2 により、これは $E$ が超特異であることと同値である。

$f(x)=x(x-1)(x-\lambda)$ に対し $f^m=x^m(x-1)^m(x-\lambda)^m$ なので、$x^{p-1}=x^{2m}$ の係数は $(x-1)^m(x-\lambda)^m$ における $x^m$ の係数である。二項展開により
$$ \bigl[x^m\bigr](x-1)^m(x-\lambda)^m=\sum_{i+j=m}\binom{m}{i}(-1)^{m-i}\binom{m}{j}(-\lambda)^{m-j}=\sum_{i=0}^m\binom{m}{i}\binom{m}{m-i}(-1)^{m-i}(-\lambda)^{i}=(-1)^mH_p(\lambda) $$
である。よって $A(E_\lambda)=(-1)^mH_p(\lambda)$ であり、$\lambda$ はある有限体に入るから thm-supersingular-hasse-criterion により主張が従う。

1 を示す。prop-supersingular-p-torsion の 3 により $E[p^r]\cong\mathbb{Z}/p^r$ である。$p$ 倍写像 $E[p^{r+1}]\to E[p^r]$ の像は位数 $p^r$ の部分群なので全射であり、射影極限（射影極限）$T_pE:=\varprojlim_rE[p^r]$ は、各段の生成元を順に持ち上げて $\mathbb{Z}/p^r$ の標準的な系と同一視することにより $\mathbb{Z}_p$ に同型で、$\operatorname{End}(T_pE)\cong\mathbb{Z}_p$ は可換である。$\psi\in\operatorname{End}(E)$ は $[p^r]$ と可換なので $E[p^r]$ を保ち、$\psi\mapsto(\psi|_{E[p^r]})_r$ は環準同型 $\operatorname{End}(E)\to\operatorname{End}(T_pE)$ を定める。$\alpha,\beta\in\operatorname{End}(E)$ に対し $\gamma:=\alpha\beta-\beta\alpha$ は可換環 $\mathbb{Z}_p$ で $0$ に写るから、すべての $r$ について $E[p^r]\subset\ker\gamma$ である。$\gamma\ne0$ なら $\#\ker\gamma=\deg_s\gamma$ は有限だが $\#E[p^r]=p^r$ は有界でないので矛盾する。よって $\gamma=0$ で $\operatorname{End}(E)$ は可換であり、thm-supersingular-isogeny-facts の 6 の 3 つの場合のうち非可換な四元数環は除かれる。対偶をとれば後半が従う。
2 を示す。$\phi:=\phi_q$、$a:=a_q$ とおく。prop-supersingular-finite-field の 1 により $\hat\phi=[a]-\phi$ なので、$[q]=\hat\phi\phi$ から $\phi^2-[a]\phi+[q]=0$ が $\operatorname{End}(E)$ で成り立つ。まず $\phi\notin\mathbb{Z}$、すなわち $\phi$ が $[n]$ の形でないことを示す。$\phi=[n]$ なら $n^2=\deg\phi=q$ から $p\mid n$ で、$\hat\phi=[n]$ は $[n]^*\omega=n\omega=0$ により非分離となるが、prop-supersingular-finite-field の証明で見たように $E$ が通常なら $\hat\phi$ は分離的である。よって $\phi\notin\mathbb{Z}$ である。次に判別式 $a^2-4q$ を考える。Hasse の定理により $a^2-4q\le0$ である。$a^2=4q$ なら $a=2n$ は偶数で、$(\phi-[n])^2=\phi^2-[a]\phi+[n^2]=\phi^2-[a]\phi+[q]=0$ となる。$\operatorname{End}(E)$ は整域なので $\phi=[n]$ となり矛盾する。したがって $a^2-4q<0$ で、$X^2-aX+q$ は $\mathbb{Q}$ 上既約（既約多項式）であり、$X\mapsto\phi$ は体 $\mathbb{Q}[X]/(X^2-aX+q)$（虚 2 次体）から $\operatorname{End}(E)\otimes\mathbb{Q}$ への単位的環準同型を定める。体からの単位的環準同型は単射なので、$\operatorname{End}(E)\otimes\mathbb{Q}$ は虚 2 次体 $\mathbb{Q}(\phi)$ を含む。1 により $\operatorname{End}(E)\otimes\mathbb{Q}$ の $\mathbb{Q}$ 上の次元は $2$ 以下なので、$\operatorname{End}(E)\otimes\mathbb{Q}=\mathbb{Q}(\phi)$ である。

$[i]$ は $E$ の方程式を保つ $\mathbb{F}_{p^2}$ 上の射で $O$ を固定するので自己準同型であり、$[i]^2(x,y)=(x,i^2y)=(x,-y)=-(x,y)$ から $[i]^2=[-1]$ である。$a+bi\mapsto[a]+b[i]$ は環準同型 $\mathbb{Z}[i]\to\operatorname{End}(E)$ を与え、$\mathbb{Q}(i)$ が体で $1\mapsto1$ なので $\mathbb{Q}(i)\to\operatorname{End}(E)\otimes\mathbb{Q}$ は単射である。
$\phi^2=[-p]$ を示す。$p\ge7$ なら ex-supersingular-x3-minus-x と prop-supersingular-finite-field の 3 により $a_p=0$ であり、$p=3$ でも同じ例で $\#E(\mathbb{F}_3)=4$、$a_3=0$ である。よって prop-supersingular-finite-field の 1 により $\hat\phi=-\phi$ で、$\phi^2=-\phi\hat\phi=-[p]$ である。
$\phi[i]=-[i]\phi$ を示す。$p\equiv3\pmod4$ なので $(p-1)/2$ は奇数で、$i^p=i\cdot(i^2)^{(p-1)/2}=(-1)^{(p-1)/2}i=-i$ である（同じ理由で $-1$ は $\mathbb{F}_p$ の平方非剰余であり、$i\notin\mathbb{F}_p$）。したがって
$$ \phi([i](x,y))=\phi(-x,iy)=\bigl((-x)^p,i^py^p\bigr)=(-x^p,-iy^p)=[-i]\phi(x,y)=-[i]\phi(x,y) $$
である（$-(x',y')=(x',-y')$ に注意）。
最後に $1,[i],\phi,[i]\phi$ の $\mathbb{Q}$ 上の一次独立性を示す。$u+v\phi=0$（$u,v\in\mathbb{Q}(i)$）で $v\ne0$ とすると $\phi=-v^{-1}u\in\mathbb{Q}(i)$ は $[i]$ と可換になるが、$\phi[i]=-[i]\phi$ から $2[i]\phi=0$、整域性により $\phi=0$ となり矛盾する。よって $v=0$、さらに $u=0$ であり、$\mathbb{Q}(i)\oplus\mathbb{Q}(i)\phi$ は $4$ 次元である。thm-supersingular-isogeny-facts の 6 により $\operatorname{End}(E)\otimes\mathbb{Q}$ の次元は $4$ 以下なので等号が成り立ち、$\alpha=[i]$、$\beta=\phi$ が $\alpha^2=-1$、$\beta^2=-p$、$\alpha\beta=-\beta\alpha$ をみたすから、これは四元数環 $\bigl(\tfrac{-1,-p}{\mathbb{Q}}\bigr)$ である。

1 は thm-supersingular-isogeny-facts の 5 から従う（$E[\ell^{r+1}]\to E[\ell^r]$ は位数を比べて全射なので $\varprojlim_r(\mathbb{Z}/\ell^r)^2=\mathbb{Z}_\ell^2$ である。Tate加群 の記事の楕円曲線の例、Sil09 III.7.1）。2 について、$E$ が超特異なら prop-supersingular-p-torsion の 2 によりすべての $E[p^r]$ が $0$ なので $T_pE=0$ である。$E$ が通常なら prop-supersingular-ordinary-commutative の証明の冒頭で見たとおり $T_pE\cong\mathbb{Z}_p$ である。