Lévy–Steinitzの定理

$w$ を並べ替え $\sum_kv_{\sigma(k)}$ の和とし、$a\in\Gamma$ をとる。$x\mapsto\langle a,x\rangle$ は連続な線形写像なので、部分和に当てて極限をとると $\langle a,s\rangle=\sum_n\langle a,v_n\rangle$、$\langle a,w\rangle=\sum_k\langle a,v_{\sigma(k)}\rangle$ である。実数の級数 $\sum_n\langle a,v_n\rangle$ は絶対収束するので、どの並べ替えも同じ和をもつ（絶対収束 の記事の定理「絶対収束する級数の並べ替え」）。よって $\langle a,w-s\rangle=0$ であり、$a\in\Gamma$ は任意なので $w-s\in\Gamma^\perp$ である。

従属な方向に係数を動かすと、和を変えずに端点 $0$ か $1$ に達する座標が出る。これを繰り返す。

$N\le d$ なら、どの順でも部分和のノルムは $k\varepsilon\le d\varepsilon$ 以下である。$N>d$ とする。$k=N,N-1,\dots,d$ について、添字集合 $A_k$（$|A_k|=k$、$A_N\supset A_{N-1}\supset\cdots\supset A_d$）と係数 $\lambda^{(k)}\in[0,1]^{A_k}$ で
$$ \sum_{i\in A_k}\lambda^{(k)}_iv_i=0,\qquad\sum_{i\in A_k}\lambda^{(k)}_i=k-d $$
を満たすもの（以下この二つの等式を (★) と呼ぶ）を順に作る。$A_N=\{1,\dots,N\}$、$\lambda^{(N)}_i=\frac{N-d}N$ は (★) を満たす。
$k\ge d+1$ について $A_k,\lambda^{(k)}$ ができたとする。$\mu^0:=\frac{k-1-d}{k-d}\lambda^{(k)}$ は $[0,1]^{A_k}$ に属し、$\sum\mu^0_iv_i=0$、$\sum\mu^0_i=k-1-d$ を満たす。$V\times\mathbb R$ のベクトル $w_i:=(v_i,1)$ を使うと、この二つの条件は $\sum_{i\in A_k}\mu_iw_i=(0,k-1-d)$ とまとめて書ける。lem-ls-vertex により、同じ条件を満たし、$0<\mu_i<1$ となる $i$ の $w_i$ が $V\times\mathbb R$（$d+1$ 次元）で線形独立な $\mu\in[0,1]^{A_k}$ がある。そのような $i$ は $d+1$ 個以下である。
ここで $\mu_i=0$ となる $i$ がある。実際、そのような $i$ がなければ、$\mu_i=1$ となる $i$ は $k-(d+1)$ 個以上あり、$0<\mu_i<1$ となる $i$ が 1 つでもあれば $\sum\mu_i>k-d-1$、1 つもなければ $\sum\mu_i=k>k-d-1$ となって、$\sum\mu_i=k-1-d$ に反する。この $i$ を除いて $A_{k-1}:=A_k\setminus\{i\}$、$\lambda^{(k-1)}:=\mu|_{A_{k-1}}$ とすれば、$\mu_i=0$ なので (★) が $k-1$ について成り立つ。
並べ方は、まず $A_d$ の元を任意の順に並べ、続いて $k=d+1,\dots,N$ の順に $A_k\setminus A_{k-1}$ のただ 1 つの元を並べる。$k\ge d$ のとき最初の $k$ 個はちょうど $A_k$ なので、(★) から
$$ \Bigl\|\sum_{i\in A_k}v_i\Bigr\|=\Bigl\|\sum_{i\in A_k}\bigl(1-\lambda^{(k)}_i\bigr)v_i\Bigr\|\le\varepsilon\sum_{i\in A_k}\bigl(1-\lambda^{(k)}_i\bigr)=\varepsilon\bigl(k-(k-d)\bigr)=d\varepsilon $$
である。$k< d$ のときは $k$ 個のベクトルの和なのでノルムは $k\varepsilon\le d\varepsilon$ 以下である。

ノルム $\varepsilon$ 以下のベクトル $-u/m$ を $m$ 個加えて和を $0$ にし、lem-ls-steinitz を使う。

$r=0$ なら $t=0$ で $G=\emptyset$ とすればよい。$r\ge1$ とする。
段 1（凸集合）．有限集合 $F\subset I$ と $t_n\in[0,1]$ によって $\sum_{n\in F}t_nu_n$ と書ける $L$ の点全体を $Z$ とする。二つの点の添字集合を合わせて考えれば、その凸結合も同じ形に書けるので、$Z$ は $0$ を含む凸集合である。$C$ を $Z$ の閉包とする（$C$ も凸である）。
段 2（$C=L$）．$C\ne L$ と仮定し、$z\in L\setminus C$ をとる。$C$ の点で $z$ に最も近い点 $c$ がある。実際、$\inf_{y\in C}\|z-y\|$ に近づく $C$ の点列は有界なので、Bolzano–Weierstrassの定理 の記事の定理「$\mathbb{R}^m$ の Bolzano–Weierstrass の定理」により収束部分列をもち、$C$ は閉なのでその極限 $c$ は $C$ に属して距離を実現する。$b:=z-c\in L$ は $0$ でない。$y\in C$、$0<\theta\le1$ について $c+\theta(y-c)\in C$ なので
$$ 0\le\|b-\theta(y-c)\|^2-\|b\|^2=-2\theta\langle b,y-c\rangle+\theta^2\|y-c\|^2 $$
であり、$\theta\to0$ として $\langle b,y\rangle\le\langle b,c\rangle$ を得る。ところが $F$ を $I$ の最初の何個かの元のうち $\langle b,u_n\rangle>0$ となるものの集合、$t_n=1$ とすると、$y=\sum_{n\in F}u_n\in Z$ について $\langle b,y\rangle=\sum_{n\in F}\max(\langle b,u_n\rangle,0)$ はいくらでも大きくなる。これは矛盾なので $C=L$ である。
段 3（係数の丸め）．段 2 により $\|z-t\|<\delta$ となる $z=\sum_{n\in F}t_nu_n\in Z$ がある。lem-ls-vertex を $W=L$ と $(u_n)_{n\in F}$ に使うと、同じ $z$ を表す係数 $y_n\in[0,1]$ で、$0< y_n<1$ となる $n$ の $u_n$ が $L$ で線形独立なものがある。そのような $n$ は $r$ 個以下である。$G:=\{n\in F\mid y_n=1\}$ とすると
$$ \Bigl\|\sum_{n\in G}u_n-z\Bigr\|=\Bigl\|\sum_{0< y_n<1}y_nu_n\Bigr\|\le r\sup_{n\in I}\|u_n\|\le r\sup_{n\in I}\|v_n\| $$
であり、三角不等式から求める不等式を得る。

prop-ls-necessary により $\operatorname{SR}\subset s+L$ である。逆に $w\in s+L$ を固定し、和が $w$ となる並べ替えを作る。$\eta(m):=\sup_{n\ge m}\|v_n\|$ とおくと、$v_n\to0$ から $\eta(m)\to0$ である。
段 1（ブロックの選び方）．$j=1,2,\dots$ の順に、互いに交わらない空でない有限集合 $B_j\subset\mathbb N$ を選ぶ。$U_{j-1}:=B_1\cup\dots\cup B_{j-1}$（$U_0=\emptyset$）、$S_{j-1}:=\sum_{n\in U_{j-1}}v_n$ とする。$m_j:=\min(\mathbb N\setminus U_{j-1})$ とし、$I_j:=\mathbb N\setminus(U_{j-1}\cup\{m_j\})$ とおく。$I_j$ は補集合が有限で、その元はすべて $m_j$ より大きい。$t_j:=P_L(w-S_{j-1}-v_{m_j})\in L$ に lem-ls-dense を $\delta=1/j$ で使い、有限集合 $G_j\subset I_j$ で
$$ \Bigl\|\sum_{n\in G_j}u_n-t_j\Bigr\|<\frac1j+r\,\eta(m_j) $$
となるものをとって、$B_j:=\{m_j\}\cup G_j$、$S_j:=S_{j-1}+\sum_{n\in B_j}v_n$ とする。$m_j$ は狭義に増加するので $m_j\ge j$ であり、$m_j$ より小さい添字はすべて $U_{j-1}$ に入っているから、$\{1,\dots,m_j\}\subset U_j$ である。とくに各 $n\in\mathbb N$ はいずれかの $B_j$ に属する。
段 2（ブロックの終わりの和）．$L$ 方向では、$P_L(S_j-w)=P_L(S_{j-1}+v_{m_j}-w)+\sum_{n\in G_j}u_n=\sum_{n\in G_j}u_n-t_j$ なので $\|P_L(S_j-w)\|<\frac1j+r\eta(m_j)\to0$ である。$\Gamma$ 方向では、$w-s\in L$ から $P_\Gamma w=P_\Gamma s=\sum_nP_\Gamma v_n$ であり、この級数は絶対収束するので
$$ \|P_\Gamma(S_j-w)\|=\Bigl\|\sum_{n\notin U_j}P_\Gamma v_n\Bigr\|\le\sum_{n>m_j}\|P_\Gamma v_n\|\to0 $$
である。よって $S_j\to w$ であり、$S_j-S_{j-1}\to0$ でもある。
段 3（ブロックの中の順序）．$B_j$ の元を cor-ls-steinitz-total（$V=\mathbb R^d$、$\varepsilon=\max_{n\in B_j}\|v_n\|\le\eta(m_j)$、$u=S_j-S_{j-1}$）の順に並べ、$B_1,B_2,\dots$ の順に継ぎ足す。各 $n$ はちょうど 1 つの $B_j$ にちょうど 1 回現れるので、これは $\mathbb N$ の全単射 $\sigma$ を定める。第 $j$ ブロックの途中までの部分和 $T$ は
$$ \|T-w\|\le\|S_{j-1}-w\|+\|S_j-S_{j-1}\|+d\,\eta(m_j) $$
を満たす。各ブロックは有限なので、部分和の番号が大きくなるとブロックの番号 $j$ も大きくなり、右辺は $0$ に近づく。よって $\sum_kv_{\sigma(k)}=w$ である。

$\mathbb C$ を $z=x+iy\mapsto(x,y)$ で $\mathbb R^2$ と同一視すると、$|z|$ は Euclid ノルムになる。thm-ls-main を $d=2$ で使う。条件収束するなら $\Gamma\ne\mathbb R^2$ なので $\Gamma^\perp$ は 1 次元か 2 次元であり、$s+\Gamma^\perp$ は $s$ を通る直線か平面全体である。