部分加群

同義語：submodule

概要

前提知識: 環, 加群, 部分群
部分加群は、加群の中に含まれていて、それ自身も同じ環上の加群になっている部分集合である。ベクトル空間の部分空間、アーベル群の部分群、環のイデアルは、いずれも部分加群の特別な場合である。部分加群で割ると商加群ができ、準同型の核と像は部分加群になる。一方、ベクトル空間と違って、部分加群にはそれを補う部分加群（直和の相手）が存在するとは限らない。本記事では、環は結合的で単位元 $1$ をもつものとし（環の記事の流儀）、可換とは限らない。加群は単位元が恒等的に作用する左加群とする。右加群についても左右を入れ替えて同じことが成り立つ。

定義

部分加群

$R$ を環、$M$ を左 $R$ 加群とする。$M$ の部分集合 $N$ が $M$ の 部分加群（submodule）であるとは、次の 2 条件を満たすことをいう。

$N$ は加法群 $(M,+)$ の部分群である。すなわち $0\in N$ であり、$x,y\in N$ なら $x+y\in N$、$-x\in N$ である。
$N$ はスカラー倍で閉じている。すなわち $r\in R$、$x\in N$ なら $rx\in N$ である。
このとき $N\le_R M$ または $N\subset M$ と書く。$N\ne M$ のとき $N$ を 真部分加群 という。

部分加群 $N$ は、$M$ の加法とスカラー倍を $N$ に制限することで、それ自身が左 $R$ 加群になる。加群の公理（分配法則・結合法則・$1x=x$）は $M$ で成り立つ等式を $N$ の元に適用すればよいからである。包含写像 $N\to M$ は単射な $R$ 加群準同型である（AM69 Chapter 2、DF04 §10.1）。どの加群 $M$ にも、零部分加群 $\{0\}$（$0$ と書く）と $M$ 自身という 2 つの部分加群がある。

部分加群の判定法

$M$ を左 $R$ 加群、$N\subset M$ を部分集合とする。次は同値である。

$N$ は $M$ の部分加群である。
$N\ne\emptyset$ であり、任意の $x,y\in N$ と $r\in R$ について $x+y\in N$ かつ $rx\in N$ である。
$N\ne\emptyset$ であり、任意の $x,y\in N$ と $r,s\in R$ について $rx+sy\in N$ である。

（1 ⇒ 3）部分加群は $0$ を含むので空でない。$x,y\in N$、$r,s\in R$ なら、スカラー倍で閉じていることから $rx,sy\in N$、加法で閉じていることから $rx+sy\in N$ である。
（3 ⇒ 2）$r=s=1$ とすると $x+y=1x+1y\in N$ である。$s=0$ とすると $rx=rx+0y\in N$ である。ここで $0y=0$ は $0y=(0+0)y=0y+0y$ の両辺から $0y$ を引いて得られる。
（2 ⇒ 1）加法とスカラー倍で閉じていることは仮定そのものである。$N$ は空でないので元 $x$ をとると、$0=0x\in N$ である。また $x\in N$ に対して $(-1)x\in N$ であり、$x+(-1)x=(1+(-1))x=0x=0$ なので $(-1)x=-x$ である。よって $-x\in N$ となり、$N$ は加法群の部分群である。

条件 2・3 の「$N\ne\emptyset$」は省けない。空集合は 2・3 の閉包条件を（確かめるべき元がないので）満たすが、$0$ を含まないので部分加群ではない。また 2 の条件から加法の逆元について閉じていることが従うのは、スカラー $-1$ が使えるからである。スカラー倍を考えない「加法で閉じた空でない部分集合」は部分群とは限らない（$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$）。

生成される部分加群

$M$ の部分集合 $S$ に対し、$S$ を含む $M$ の部分加群すべての共通部分を、$S$ が 生成する部分加群 といい、$\langle S\rangle$ または $\sum_{s\in S}Rs$ と書く。1 つの元 $m$ が生成する部分加群 $Rm=\{rm\mid r\in R\}$ を 巡回部分加群 という。有限集合で生成される加群を有限生成加群という。

部分加群の共通部分は部分加群である（下の prop-submodule-intersection-sum）から、$\langle S\rangle$ は $S$ を含む最小の部分加群である。具体的には
$$ \langle S\rangle=\left\{\sum_{i=1}^n r_is_i\ \middle|\ n\ge0,\ r_i\in R,\ s_i\in S\right\} $$
（$n=0$ の和は $0$）であり、この証明は加群の記事の命題「生成された部分加群の具体形」にある。とくに $\langle\emptyset\rangle=0$ である。$Rm$ が部分加群であることは、$rm+sm=(r+s)m$、$s(rm)=(sr)m$ から直接わかる。

直感

部分加群は「加法とスカラー倍という 2 つの操作をしても外に出ない部分」である。ベクトル空間では、これは原点を通る直線や平面のような部分空間にあたる。加群では係数環 $R$ が体とは限らないため、スカラー倍で閉じるという条件は環ごとに意味が変わる。$\mathbb{Q}$ の部分集合 $\mathbb{Z}$ は、$\mathbb{Q}$ を $\mathbb{Z}$ 加群とみれば部分加群だが、$\mathbb{Q}$ 加群とみると部分加群でない（ex-submodule-z-in-q）。どの環の作用で閉じるかまで含めて、部分加群という概念が定まる。

例と反例

環の左イデアル

環 $R$ は左乗法 $r\cdot x=rx$ によって左 $R$ 加群になる。$R$ の部分集合 $I$ がこの加群の部分加群であることは、$I$ が加法部分群であって $r\in R$、$x\in I$ なら $rx\in I$ となること、すなわち $I$ が $R$ の左イデアル（イデアル）であることと同じである。$R$ が可換なら、部分加群はちょうど $R$ のイデアルである。$x\in R$ が生成する巡回部分加群 $Rx$ は、$x$ で生成される単項左イデアルである。たとえば $\mathbb{Z}$ 加群 $\mathbb{Z}$ の部分加群は $n\mathbb{Z}$（$n\ge0$）の形のものに限る（イデアルの記事の例「整数環のイデアル」）。

ベクトル空間とアーベル群

体 $k$ 上の加群は $k$ 上のベクトル空間であり、その部分加群は部分空間（和とスカラー倍で閉じた空でない部分集合）にほかならない。
アーベル群 $M$ は、$n\ge0$ なら $nx=x+\cdots+x$（$n$ 個）、$n<0$ なら $nx=-((-n)x)$ と定めることで $\mathbb{Z}$ 加群になる（加群の記事の例「ベクトル空間とAbel群」）。このとき $M$ の部分加群は $M$ の部分群と同じものである。実際、部分加群は定義から部分群である。逆に部分群 $H$ は加法と逆元で閉じているので、$h\in H$ について $nh=h+\cdots+h\in H$、$(-n)h=-(nh)\in H$ であり、$\mathbb{Z}$ のスカラー倍で閉じている。

線形写像で不変な部分空間

$k$ を体、$V$ を $k$ 上のベクトル空間、$T\colon V\to V$ を線形写像とする。多項式環 $k[x]$ の元 $f=\sum_ia_ix^i$ を $f\cdot v:=\sum_ia_iT^i(v)$ で $V$ に作用させると、$V$ は $k[x]$ 加群になる。$V$ の部分集合 $W$ が $k[x]$ 部分加群であることは、$W$ が部分空間であって $T(W)\subset W$ となること（$T$ で不変な部分空間）と同値である。実際、$x\cdot w=T(w)$ だから部分加群なら $T(W)\subset W$ であり、逆に $T(W)\subset W$ なら $T^i(W)\subset W$ となって多項式の作用で閉じる。
たとえば $V=k^2$、$T(a,b)=(b,0)$（行列 $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$）とする。$W$ が $1$ 次元の不変部分空間で $w\ne0$ が $W$ を張るなら $T(w)=\lambda w$ となる $\lambda\in k$ があり、$T^2=0$ から $\lambda^2w=0$、よって $\lambda=0$ で $w\in\ker T=k(1,0)$ である。したがって $k[x]$ 部分加群は $0$、$k(1,0)$、$V$ の 3 つだけである。

反例：部分群だがスカラー倍で閉じない部分集合

$\mathbb{Q}$ を自分自身の上の加群とみる。$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$ は加法群の部分群だが、$\tfrac12\in\mathbb{Q}$ と $1\in\mathbb{Z}$ について $\tfrac12\cdot1\notin\mathbb{Z}$ なので、$\mathbb{Q}$ 加群としての部分加群ではない。この例は定義の条件 1 を満たし条件 2 を満たさない。破る含意は「加法群の部分群なら部分加群である」である。同じ $\mathbb{Z}$ は、$\mathbb{Q}$ を $\mathbb{Z}$ 加群とみれば部分加群である（ex-submodule-vector-abelian の 2）。$\mathbb{Q}$ 加群 $\mathbb{Q}$ の部分加群は $\mathbb{Q}$ のイデアルなので、$0$ と $\mathbb{Q}$ だけである（体のイデアルは $0$ と全体だけ）。

捩れ元の全体

$A$ を可換環、$M$ を $A$ 加群とし、$T(M):=\{m\in M\mid$ ある $a\in A$、$a\ne0$ について $am=0\}$ とおく。

$A$ が整域なら $T(M)$ は部分加群である（捩れ部分加群）。実際 $0\in T(M)$ であり、$am=0$、$bn=0$（$a,b\ne0$）なら $ab\ne0$ かつ $ab(m+n)=b(am)+a(bn)=0$、また $a(rm)=r(am)=0$ である。$A=\mathbb{Z}$ なら $T(M)$ は有限の元の位数をもつ元の全体である。
反例：$A=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$、$M=A$ とすると、$\bar3\cdot\bar2=\bar0$ から $\bar2,\bar3\in T(M)$ だが、$\bar2+\bar3=\bar5$ は単元なので $a\cdot\bar5=\bar0$ なら $a=\bar0$ であり、$\bar5\notin T(M)$ である。よって $T(M)$ は加法で閉じず、部分加群でない。この例は「$A$ が整域である」という仮定を満たさず、破る含意は「捩れ元の全体は部分加群である」である。1 の証明で $ab\ne0$ を使った箇所が破れている（$\bar3\cdot\bar2=\bar0$）。

反例：有限生成加群の有限生成でない部分加群

$k$ を体、$A=k[x_1,x_2,x_3,\dots]$ を可算無限個の変数の多項式環とする。$A$ は $1$ で生成される $A$ 加群（有限生成）だが、その部分加群（イデアル）$\mathfrak{a}=(x_1,x_2,\dots)$ は有限生成でない。実際、$\mathfrak{a}$ が $f_1,\dots,f_r$ で生成されるとすると、各 $f_j$ は有限個の変数しか含まず定数項が $0$ なので、ある $n$ について $f_j\in(x_1,\dots,x_n)$ となり、$\mathfrak{a}\subset(x_1,\dots,x_n)$ である。一方、$x_1,\dots,x_n$ に $0$、$x_{n+1}$ に $1$、残りの変数に $0$ を代入する環準同型 $A\to k$ は $(x_1,\dots,x_n)$ を $0$ に写すが $x_{n+1}$ を $1$ に写すので、$x_{n+1}\notin(x_1,\dots,x_n)$ である。これは $x_{n+1}\in\mathfrak{a}$ に矛盾する。この例は「有限生成加群の部分加群は有限生成である」という含意を破る。すべての部分加群が有限生成である加群を Noether加群という。

性質

共通部分・和・和集合

共通部分と和

$M$ を左 $R$ 加群、$(N_i)_{i\in I}$ を $M$ の部分加群の族とする。

共通部分 $\bigcap_{i\in I}N_i$ は部分加群である（$I=\emptyset$ のときは $M$ と約束する）。
有限和の全体 $\sum_{i\in I}N_i:=\{x_{i_1}+\cdots+x_{i_n}\mid n\ge0,\ x_{i_j}\in N_{i_j}\}$ は部分加群であり、すべての $N_i$ を含む最小の部分加群である。

各 $N_i$ は $0$ を含むので共通部分は空でない。$x,y$ が共通部分に属し $r,s\in R$ なら、各 $i$ について prop-submodule-criterion により $rx+sy\in N_i$ なので、$rx+sy$ も共通部分に属する。再び prop-submodule-criterion により部分加群である。
空和により $0$ を含む。有限和どうしの和は有限和であり、$r(x_{i_1}+\cdots+x_{i_n})=rx_{i_1}+\cdots+rx_{i_n}$ で $rx_{i_j}\in N_{i_j}$ だから、prop-submodule-criterion の 2 により部分加群である。$x\in N_i$ は 1 項の和なので $N_i\subset\sum_iN_i$ である。逆に、すべての $N_i$ を含む部分加群 $P$ は加法で閉じているので各有限和を含み、$\sum_iN_i\subset P$ である。

$I$ が 2 元のときの 2 は加群の記事の命題「二つの部分加群の和」でもある。$M$ の部分加群の全体は包含について順序集合をなし、2 つの部分加群 $N,L$ に対して $N\cap L$ が最大の下界、$N+L$ が最小の上界になる。すなわち部分加群の全体は束をなす。この束は次のモジュラー律を満たす（モジュラー束）。

モジュラー律

$L,N,P$ を $M$ の部分加群とし、$L\subset N$ とする。このとき
$$ N\cap(L+P)=L+(N\cap P) $$
である。

（$\supset$）$L\subset N$ かつ $L\subset L+P$ なので $L\subset N\cap(L+P)$ である。$N\cap P\subset N$ かつ $N\cap P\subset P\subset L+P$ なので $N\cap P\subset N\cap(L+P)$ である。左辺の部分加群 $N\cap(L+P)$ は加法で閉じているので、$L+(N\cap P)$ を含む。
（$\subset$）$x\in N\cap(L+P)$ とし、$x=\ell+p$（$\ell\in L$、$p\in P$）と書く。$\ell\in L\subset N$ かつ $x\in N$ なので $p=x-\ell\in N$ であり、$p\in N\cap P$ である。よって $x=\ell+p\in L+(N\cap P)$ である。

仮定 $L\subset N$ は省けない。$M=k^2$（$k$ は体）で $L=k(1,0)$、$P=k(0,1)$、$N=k(1,1)$ とすると $L\not\subset N$ であり、$N\cap(L+P)=N\cap k^2=N$ だが $L+(N\cap P)=L+0=L\ne N$ である。
共通部分と違い、和集合は一般に部分加群でない。

2 つの部分加群の和集合

$N,L$ を $M$ の部分加群とする。和集合 $N\cup L$ が部分加群であることと、$N\subset L$ または $L\subset N$ であることは同値である。

$N\subset L$ なら $N\cup L=L$、$L\subset N$ なら $N\cup L=N$ であり、どちらも部分加群である。逆に $N\not\subset L$ かつ $L\not\subset N$ とし、$n\in N\setminus L$、$\ell\in L\setminus N$ をとる。$n+\ell\in N$ なら $\ell=(n+\ell)-n\in N$ となって矛盾し、$n+\ell\in L$ なら $n=(n+\ell)-\ell\in L$ となって矛盾する。よって $n+\ell\notin N\cup L$ であり、$N\cup L$ は加法で閉じないので部分加群でない。

たとえば $k^2$ の 2 本の座標軸 $k(1,0)\cup k(0,1)$ は $(1,0)+(0,1)=(1,1)$ を含まない。部分加群の空でない族が包含について全順序をなす（どの 2 つも一方が他方を含む）ときは、和集合は部分加群になる。実際、和集合は族の 1 つの $N_i$ を含むので $0$ を含み、$x\in N_i$、$y\in N_j$ なら $N_i,N_j$ の大きい方に $x+y$ が入り、$rx\in N_i$ である。この和集合はすべての $N_i$ を含む部分加群なので $\sum_iN_i$ を含み、逆に各 $N_i\subset\sum_iN_i$ なので $\sum_iN_i$ に含まれる。よって和集合は $\sum_iN_i$ に等しい。空な族では和集合は $\emptyset$ で部分加群でない（族の和は $0$ である）。

像と逆像

準同型による像と逆像

$f\colon M\to M'$ を左 $R$ 加群の準同型とする。

$N$ が $M$ の部分加群なら、像 $f(N)$ は $M'$ の部分加群である。
$N'$ が $M'$ の部分加群なら、逆像 $f^{-1}(N')$ は $M$ の部分加群であり、$\ker f$ を含む。
とくに、核 $\ker f=f^{-1}(0)$ は $M$ の部分加群、像 $\operatorname{im}f=f(M)$ は $M'$ の部分加群である。

$0=f(0)\in f(N)$ である。$f(x),f(y)\in f(N)$（$x,y\in N$）と $r,s\in R$ について、$rf(x)+sf(y)=f(rx+sy)$ であり、$rx+sy\in N$ なので $f(N)$ に属する。prop-submodule-criterion により部分加群である。
$f(0)=0\in N'$ なので $0\in f^{-1}(N')$ である。$x,y\in f^{-1}(N')$、$r,s\in R$ なら $f(rx+sy)=rf(x)+sf(y)\in N'$ なので $rx+sy\in f^{-1}(N')$ である。また $f(x)=0\in N'$ なら $x\in f^{-1}(N')$ なので $\ker f\subset f^{-1}(N')$ である。

像の逆像はもとの部分加群より大きくなりうる。一般に $f^{-1}(f(N))=N+\ker f$ である（$f(x)=f(n)$ と $x-n\in\ker f$ が同値だから）。

商加群との対応

$N$ を $M$ の部分加群とすると、加法群の剰余類 $x+N$ の全体 $M/N$ に $r(x+N):=rx+N$ と定めることで、$M/N$ は左 $R$ 加群になる。これを $M$ の $N$ による商加群（剰余加群）という。スカラー倍が代表元の選び方によらないのは $N$ がスカラー倍で閉じているからであり（$x-x'\in N$ なら $rx-rx'=r(x-x')\in N$）、その証明は加群の記事の命題「商作用の定義可能性」にある。標準射影 $\pi\colon M\to M/N$、$x\mapsto x+N$ は全射準同型で、$\ker\pi=N$ である。とくに、部分加群はちょうど何らかの準同型の核になる部分集合である（核が部分加群であることは prop-submodule-image-preimage）。

部分加群の対応定理

$N$ を左 $R$ 加群 $M$ の部分加群、$\pi\colon M\to M/N$ を標準射影とする。

$L\mapsto L/N:=\pi(L)=\{x+N\mid x\in L\}$ は、$N$ を含む $M$ の部分加群の全体から $M/N$ の部分加群の全体への全単射であり、逆写像は $L'\mapsto\pi^{-1}(L')$ である。
この対応は包含を保つ。すなわち $N\subset L_1$、$N\subset L_2$ について $L_1\subset L_2$ と $L_1/N\subset L_2/N$ は同値である。とくに和と共通部分を保つ：$(L_1+L_2)/N=L_1/N+L_2/N$、$(L_1\cap L_2)/N=L_1/N\cap L_2/N$。
$N\subset L$ のとき $(M/N)/(L/N)\cong M/L$ である。

prop-submodule-image-preimage により、$\pi(L)$ は $M/N$ の部分加群、$\pi^{-1}(L')$ は $\ker\pi=N$ を含む $M$ の部分加群である。$N\subset L$ なら、上で述べた式により $\pi^{-1}(\pi(L))=L+N=L$ である。また $\pi$ は全射なので $\pi(\pi^{-1}(L'))=L'$ である。よって 2 つの写像は互いに逆である。
$L_1\subset L_2$ なら $\pi(L_1)\subset\pi(L_2)$ である。逆に $\pi(L_1)\subset\pi(L_2)$ なら、1 により $L_1=\pi^{-1}(\pi(L_1))\subset\pi^{-1}(\pi(L_2))=L_2$ である。包含を両方向に保つ全単射なので、最小の上界（和）と最大の下界（共通部分）も保つ。実際 $L_1+L_2$ と $L_1\cap L_2$ も $N$ を含み、prop-submodule-intersection-sum によりそれぞれ $L_1,L_2$ を含む最小の部分加群、$L_1,L_2$ に含まれる最大の部分加群なので、順序を保つ全単射で対応する側でも同じ性質をもつ部分加群に写る。
$\varphi\colon M/N\to M/L$ を $\varphi(x+N)=x+L$ で定める。$x+N=x'+N$ なら $x-x'\in N\subset L$ なので $x+L=x'+L$ であり、$\varphi$ は代表元によらず定まる。$\varphi$ は加法とスカラー倍を保ち、全射である。核は $\{x+N\mid x\in L\}=L/N$ である。加群の記事の定理「加群の準同型定理」を $\varphi$ に適用して $(M/N)/(L/N)\cong M/L$ を得る。

たとえば $n\ge1$ について、$\mathbb{Z}$ 加群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の部分加群（部分群）は、$n\mathbb{Z}$ を含む $\mathbb{Z}$ の部分加群 $d\mathbb{Z}$（$d$ は $n$ の正の約数）に対応する $d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ で尽くされる。$d\mathbb{Z}\supset n\mathbb{Z}$ は $d\mid n$ と同値だからである。環 $R$ を左 $R$ 加群とみて左イデアルに適用すると、剰余環のイデアルの対応（剰余環の記事の定理「イデアルの対応定理」）の加群版になる。
同じく準同型定理から、部分加群 $N,L\subset M$ について $(N+L)/L\cong N/(N\cap L)$ も得られる。$N\to(N+L)/L$、$x\mapsto x+L$ は全射（$(n+\ell)+L=n+L$）で、核が $N\cap L$ だからである。

直和と補加群

内部直和と補加群

$N,L$ を $M$ の部分加群とする。$N+L=M$ かつ $N\cap L=0$ のとき、$M$ は $N$ と $L$ の 内部直和 であるといい、$M=N\oplus L$ と書く。このとき $L$ を $N$ の 補加群（直和補因子）といい、$N$ を $M$ の 直和因子 という。

$M=N\oplus L$ であることは、各 $x\in M$ が $x=n+\ell$（$n\in N$、$\ell\in L$）とただ 1 通りに書けることと同値である。実際、$N+L=M$ は書けることを、$N\cap L=0$ は一意性を意味する（$n+\ell=n'+\ell'$ なら $n-n'=\ell'-\ell\in N\cap L$）。このとき $(n,\ell)\mapsto n+\ell$ は外部の直和 $N\oplus L$（成分ごとの演算をもつ直積 $N\times L$）から $M$ への同型である。さらに $L$ は商加群 $M/N$ と同型である。$L\to M/N$、$\ell\mapsto\ell+N$ は、$N+L=M$ から全射、$N\cap L=0$ から単射だからである。したがって、$N$ が補加群をもつなら、$M/N$ と同型な部分加群が $M$ の中に $N$ と交わらずに置ける。短完全列 $0\to N\to M\to M/N\to0$ の言葉では、これは列が分裂することにあたる。
体上のベクトル空間では、任意の部分空間が補空間をもつ（部分空間の基底を全体の基底に延長し（基底と次元）、付け加えた基底ベクトルで張られる部分空間をとる。無限次元では Zornの補題を使う。Lan02 Chapter III）。一般の環上の加群では、この性質が成り立たない。

整数環における補加群の非存在

$\mathbb{Z}$ を $\mathbb{Z}$ 加群とみる。$0$ でない 2 つの部分加群は $0$ でない元を共有する。とくに、$n\ge2$ について真部分加群 $n\mathbb{Z}$ は補加群をもたず、$\mathbb{Z}$ は $n\mathbb{Z}$ と他の部分加群の内部直和に分解しない。

$\mathbb{Z}$ の部分加群は $a\mathbb{Z}$（$a\ge0$）の形である（ex-submodule-ideals）。$a\mathbb{Z}\ne0$、$b\mathbb{Z}\ne0$ なら $a,b\ne0$ であり、$ab\ne0$ は $a\mathbb{Z}$ と $b\mathbb{Z}$ の両方に属する。
$L$ が $n\mathbb{Z}$ の補加群だとする。$n\mathbb{Z}\ne0$ かつ $n\mathbb{Z}\cap L=0$ なので、前半により $L=0$ である。すると $n\mathbb{Z}+L=n\mathbb{Z}$ であり、$n\ge2$ なので $1\notin n\mathbb{Z}$、よって $n\mathbb{Z}+L\ne\mathbb{Z}$ となって内部直和の条件 $n\mathbb{Z}+L=\mathbb{Z}$ に反する。したがって補加群は存在しない。

この反例は、補加群の存在を破る原因が 2 通りに見えることを示す。1 つは前半の「$0$ でない部分加群どうしが必ず交わる」ことであり、もう 1 つは、補加群があれば $M/N=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と同型な部分加群が $\mathbb{Z}$ にあるはずだが、$\mathbb{Z}$ の $0$ でない元はすべて無限の位数をもつので、位数 $n$ の元をもつ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と同型な部分加群はない、ということである。したがって短完全列 $0\to2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to0$ は分裂しない。この例が満たすのは「$2\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の部分加群である」という性質、満たさないのは「補加群をもつ」という性質であり、破る含意は、ベクトル空間で成り立つ「部分加群は直和因子である」である。ex-submodule-invariant-subspace の $k[x]$ 加群 $k^2$ でも、部分加群 $k(1,0)$ の補加群になりうる $1$ 次元の部分加群はほかにないので、$k(1,0)$ は（部分空間としては補空間をもつのに）$k[x]$ 部分加群としては直和因子でない。

補足

左右の区別と両側の部分加群

右 $R$ 加群の部分加群は、加法部分群で右からのスカラー倍 $xr$ で閉じたものとして同様に定義され、本記事の命題はすべて左右を入れ替えて成り立つ。環 $R$ を右 $R$ 加群とみたときの部分加群は右イデアルであり、非可換環では左イデアルと異なることがある。$R$ を左右両方の作用をもつ加群（$(R,R)$ 両側加群）とみたときの部分加群が両側イデアルである。

圏論からの見方

左 $R$ 加群の圏では、モノ射はちょうど単射な準同型であり、部分対象（モノ射の同値類）は部分加群と一対一に対応する。単射 $f\colon N\to M$ に像 $f(N)$ を対応させればよい（prop-submodule-image-preimage）。商加群は同様に全射の同値類（商対象）に対応し、thm-submodule-correspondence は「$M/N$ の部分対象は、$N$ を含む $M$ の部分対象と対応する」という形で、アーベル圏一般でも成り立つ。