∂̄方程式のL²評価

$g\in D(T^*)$ を $g=g_1+g_2$（$g_1\in F$、$g_2\in F^\perp$）と分解する。$T$ の値域は $F$ に含まれるので、$u'\in D(T)$ について $(Tu',g_2)=0$ であり、$g_2\in D(T^*)$、$T^*g_2=0$ である。よって $g_1=g-g_2\in F\cap D(T^*)$、$T^*g_1=T^*g$ で、$|(f,g)|=|(f,g_1)|\le\|f\|\,\|g_1\|\le C\|f\|\,\|T^*g\|$ である。したがって $T^*g\mapsto(f,g)$ は $T^*$ の値域の上で矛盾なく定まり（$T^*g=T^*g'$ なら $(f,g-g')=0$）、ノルムが $C\|f\|$ 以下の共役線形な汎関数である。値域の閉包へ連続に延ばし、直交補空間の上で $0$ とおけば $H_1$ 全体の有界な共役線形汎関数になる。その複素共役に Riesz表現定理 を使うと、$\|u\|\le C\|f\|$ で $(u,T^*g)=(f,g)$ となる $u$ が得られる。この汎関数は値域の閉包 $M$ の直交補空間の上で $0$ なので、$x\in M^\perp$ について $(u,x)=0$ であり、$u\in(M^\perp)^\perp=M$ である。$\square$

1 つ目：部分積分で $\delta_j$ を移すと $\int\delta_jf_{jK}\overline{\delta_kf_{kK}}e^{-\varphi}=-\int f_{jK}\overline{\bar\partial_j\delta_kf_{kK}}e^{-\varphi}$。交換関係 $\bar\partial_j\delta_kw=\delta_k\bar\partial_jw-\varphi_{k\bar j}w$ と $\overline{\varphi_{k\bar j}}=\varphi_{j\bar k}$（$\varphi$ は実数値）から、これは $-\int f_{jK}\overline{\delta_k(\bar\partial_jf_{kK})}e^{-\varphi}+\int\varphi_{j\bar k}f_{jK}\overline{f_{kK}}e^{-\varphi}$ で、第 1 項はもう一度部分積分して $\int\bar\partial_kf_{jK}\overline{\bar\partial_jf_{kK}}e^{-\varphi}$ になる。交換関係は $\bar\partial_k(\partial_jw-\varphi_jw)=\partial_j\bar\partial_kw-\varphi_j\bar\partial_kw-\varphi_{j\bar k}w$ による。

2 つ目：$a_j:=\sum'_J\bar\partial_jf_J\,d\bar z_J$ とおくと $\bar\partial f=\sum_jd\bar z_j\wedge a_j$ である。$d\bar z_j\wedge$ の各点での随伴は縮約 $\iota_j$（$(\iota_j\alpha)_K=\alpha_{jK}$）で、$\iota_j(d\bar z_k\wedge\beta)=\delta_{jk}\beta-d\bar z_k\wedge\iota_j\beta$ を満たす。よって $|\bar\partial f|^2=\sum_{j,k}\langle a_j,\iota_j(d\bar z_k\wedge a_k)\rangle=\sum_j|a_j|^2-\sum_{j,k}\langle\iota_ka_j,\iota_ja_k\rangle$ で、$\langle\iota_ka_j,\iota_ja_k\rangle=\sum'_K\bar\partial_jf_{kK}\overline{\bar\partial_kf_{jK}}$ である。

(a) $u\in C_c^\infty$ を試すと、$f\in D(T^*)$ について超関数として $(T^*f)_K=-e^{\varphi_1}\sum_j\partial_j(e^{-\varphi_2}f_{jK})=-e^{-\psi}\bigl(\sum_j\partial_jf_{jK}-\sum_j(\partial_j\varphi_2)f_{jK}\bigr)$ である。逆に、コンパクトな台をもつ滑らかな $f$ は、超関数の微分の定義から $u\in D(T)$ について $(Tu,f)_{\varphi_2}$ が右辺との内積に等しいので $D(T^*)$ に属し、$T^*f$ は同じ式で与えられる。以下、1 次形式 $a$ について各点で $|a\wedge f|^2\le n|a|^2|f|^2$、$|\sum_ja_jf_{jK}|$ の $K$ についての 2 乗和 $\le n|a|^2|f|^2$（Cauchy–Schwarz）を使う。

(b) 切り落とし：$f_\nu:=\eta_\nu f$ とする。$S(f_\nu)=\eta_\nu Sf+\bar\partial\eta_\nu\wedge f$。$u\in D(T)$ なら $\eta_\nu u\in D(T)$、$T(\eta_\nu u)=\eta_\nu Tu+\bar\partial\eta_\nu\wedge u$ で、条件 2 から $|\bar\partial\eta_\nu|^2e^{-\varphi_2}\le e^{-\varphi_1}$ なので $|(\bar\partial\eta_\nu\wedge u,f)_{\varphi_2}|\le\sqrt n\|u\|_{\varphi_1}\|f\|_{\varphi_2}$。よって $(Tu,f_\nu)_{\varphi_2}=(u,\eta_\nu T^*f)_{\varphi_1}-(\bar\partial\eta_\nu\wedge u,f)_{\varphi_2}$ は $\|u\|_{\varphi_1}$ で押さえられ、$f_\nu\in D(T^*)$、(a) から $(T^*f_\nu-\eta_\nu T^*f)_K=-e^{-\psi}\sum_j(\partial_j\eta_\nu)f_{jK}$ である。$\eta_\nu$ は実数値なので $|\partial_j\eta_\nu|=|\bar\partial_j\eta_\nu|$ で、 $\|\bar\partial\eta_\nu\wedge f\|^2_{\varphi_3}+\|T^*f_\nu-\eta_\nu T^*f\|^2_{\varphi_1}\le2n\int_{\operatorname{supp}d\eta_\nu}|f|^2e^{\psi-\varphi}d\lambda=2n\int_{\operatorname{supp}d\eta_\nu}|f|^2e^{-\varphi_2}d\lambda$ である。条件 1 から各点はやがて $\operatorname{supp}d\eta_\nu$ の外に出るので、優収束定理により右辺は $0$ に近づく。$\eta_\nu f\to f$、$\eta_\nu T^*f\to T^*f$、$\eta_\nu Sf\to Sf$ も優収束定理による。

(c) 軟化：台がコンパクト集合 $L\subset\Omega$ に含まれる $f\in D(T^*)\cap D(S)$ をとり、軟化子 $\chi_\varepsilon$ との畳み込み $f_\varepsilon:=f*\chi_\varepsilon$（係数ごと）を考える。$\varepsilon$ が小さければ台は $L$ のコンパクトな近傍 $L'\subset\Omega$ に入り、$L'$ の上で重みは上下から押さえられるので、重み付きの収束は通常の $L^2$ 収束と同じである。$f_\varepsilon\to f$、$Sf_\varepsilon=(Sf)*\chi_\varepsilon\to Sf$。(a) により $\sum_j\partial_jf_{jK}=\sum_j(\partial_j\varphi_2)f_{jK}-e^{\psi}(T^*f)_K$ は $L^2$ に属し、$\sum_j\partial_j(f_\varepsilon)_{jK}=(\sum_j\partial_jf_{jK})*\chi_\varepsilon$ はそれに収束する。$(\partial_j\varphi_2)f_\varepsilon\to(\partial_j\varphi_2)f$ と合わせて、(a) の式から $T^*f_\varepsilon\to T^*f$ である。

$\rho$ は exhaustion なので最小値 $t_0$ をとり、$\{\rho\le t\}$ はコンパクトである。$\eta_\nu\in C_c^\infty(\Omega)$ を $\{\rho\le\nu\}$ の近傍で $1$、$0\le\eta_\nu\le1$ にとる。$\rho(z)<\mu$ なら $\nu\ge\mu$ で $\eta_\nu$ は $z$ の近傍で $1$ なので、$b(z):=\sup_\nu\sum_k|\bar\partial_k\eta_\nu(z)|^2$ は $\{\rho<\mu\}$ の上で有限個の関数の最大値で押さえられ、$B_0(t):=\log\bigl(1+\sup_{\rho< t+1}b\bigr)$ は有限な非減少関数である。

非減少関数の滑らかな上界：有限な非減少関数 $B$ に対し、$\beta_k:=\max\{B(k+2),0\}+1$ とおき、$\theta$ を $(-\infty,0]$ で $0$、$[1,\infty)$ で $1$ の滑らかな非減少関数として $a(t):=\beta_{k_0}+\sum_{k\ge k_0}(\beta_{k+1}-\beta_k)\theta(t-k)$（$k_0\le t_0-1$ の整数）とおくと、$a$ は滑らかな非減少関数で、$t\in[k,k+1]$ で $a(t)\ge\beta_k\ge B(t+1)$ を満たす。$\chi(t):=\int_{t_0-1}^ta(s)\,ds$ は滑らかな凸増加関数で（$a\ge1$）、$t\ge t_0$ なら $\chi(t)\ge\int_{t-1}^ta\ge a(t-1)\ge B(t)$、$\chi'(t)=a(t)\ge B(t)$ である。

これを $B_0$ に使って得た関数を $\chi_0$ とし $\psi:=\chi_0\circ\rho$ とおくと、$e^{\psi(z)}\ge e^{B_0(\rho(z))}\ge b(z)$ で条件 2 が成り立つ。次に $A(t):=\sup_{\rho\le t}2(|\bar\partial\psi|^2+e^{\psi})/m$、$F(t):=\int_{\rho< t+1}|f|^2e^{\psi}d\lambda$ とおき、$B:=\max\{A,\ \log(1+F)+2t\}$（非減少で有限）に同じ構成を使って $\chi$ を得る。$\chi'(\rho)m\ge A(\rho)m\ge2(|\bar\partial\psi|^2+e^{\psi})$ である。また整数 $k\ge t_0$ について、$\{k\le\rho< k+1\}$ の上で $e^{-\chi(\rho)}\le e^{-\chi(k)}\le e^{-2k}/(1+F(k))$ なので、その上の $\int|f|^2e^{\psi-\chi(\rho)}$ は $e^{-2k}$ 以下であり、$k$ について和をとって有限である。残りのコンパクト集合 $\{\rho\le\lceil t_0\rceil\}$ の上の積分は $f$ の局所 2 乗可積分性から有限である。

主張．$v$ を擬凸性の定義の連続な多重劣調和 exhaustion 関数とする。$C^\infty$ 級で Levi 形式が各点で正定値な $\rho\colon\Omega\to\mathbb{R}$ で、$\Omega$ 上 $\rho>v$ となるものがある。$\{\rho< c\}\subset\{v< c\}$ なので $\rho$ は exhaustion 関数である。

方針．$v$ を軟化子で平滑化し $\varepsilon|z|^2$ を足すと、各コンパクト集合の近くでは Levi 形式が正定値で $v$ に近い関数が得られるが、切り落としが要るので $\Omega$ 全体では多重劣調和とは限らない。そこで $K_j:=\{v\le j\}$ の殻 $K_j\setminus\operatorname{int}K_{j-1}$ の上でだけ正になる項 $\omega(v_j+1-j)$ を、それまでの和の Levi 形式の負の部分に勝つ係数をつけて順に足す。各項は内側の $K_{j-2}$ の上で $0$ なので、和は局所的には有限和である。

準備．$\Omega=\emptyset$ なら示すことはないので $\Omega\ne\emptyset$ とする。$z_0\in\Omega$ をとると $\overline{\{v< v(z_0)+1\}}$ は $\Omega$ に含まれるコンパクト集合で、その上の $v$ の最小値は、外では $v\ge v(z_0)+1$ だから $\Omega$ 全体での最小値である。$v$ から定数を引いて $v\ge0$ としてよい（引いた定数を最後に $\rho$ に足し戻せば結論は保たれる）。$K_j:=\{z\in\Omega\mid v(z)\le j\}$（$j\ge0$）は $\Omega$ の閉集合で、コンパクト集合 $\overline{\{v< j+1\}}\subset\Omega$ に含まれるのでコンパクトであり、$K_j\subset\{v< j+1\}\subset\operatorname{int}K_{j+1}$、$\bigcup_jK_j=\Omega$ である。$v$ は連続なので、多重劣調和関数 の定理「多重劣調和関数の平滑化」の $v_\varepsilon$ は、$\Omega$ の各コンパクト集合 $L$ の上で、$\varepsilon$ が $L$ から $\mathbb{C}^n\setminus\Omega$ までの距離より十分小さければ定義されて $C^\infty$ 級の多重劣調和関数であり、$\varepsilon\to0$ のとき $L$ の上で一様に $v$ に収束する（$v_\varepsilon(z)-v(z)=\int(v(z-w)-v(z))\kappa_\varepsilon(w)\,dV(w)$（$\kappa_\varepsilon$ は同定理の軟化子）と、$L$ のコンパクトな近傍の上での $v$ の一様連続性による）。$C^2$ 級の多重劣調和関数の Levi 形式は半正定値である（同記事の定理「$C^2$ 級の関数の多重劣調和性の判定」）。

局所的な近似 $v_j$．$j\ge2$ とする。隆起関数 の定理「コンパクト集合に対する隆起関数」により、$C^\infty$ 級関数 $\sigma_j\colon\Omega\to[0,1]$ で、$K_j$ のある開近傍 $N_j$ の上で $\sigma_j\equiv1$、$\operatorname{supp}\sigma_j$ がコンパクトで $\{v< j+1\}$ に含まれるものがある。$\delta_j>0$ を $\delta_j\bigl(2+\max_{K_j}|z|^2\bigr)<\frac12$ ととり、$\varepsilon_j>0$ を、$v_{\varepsilon_j}$ が $\operatorname{supp}\sigma_j$ のある開近傍で $C^\infty$ 級の多重劣調和関数で、$\operatorname{supp}\sigma_j$ の上で $|v_{\varepsilon_j}-v|<\delta_j/2$ となるようにとる。$v_j:=\sigma_j\,(v_{\varepsilon_j}+\delta_j|z|^2+\delta_j)$ を $\operatorname{supp}\sigma_j$ の外では $0$ と定めると、$v_j$ は $\Omega$ 上の $C^\infty$ 級関数で、$N_j$ の上では $v_j=v_{\varepsilon_j}+\delta_j|z|^2+\delta_j$ なので Levi 形式が $\delta_j|t|^2$ 以上であり、$K_j$ の上では $v+\delta_j/2< v_j< v+\frac12$ である。$N_j$ の外では $v_j$ の Levi 形式の符号はわからない。

殻で正になる項．$\omega(x):=\int_0^x\!\int_0^se^{-1/r}\,dr\,ds$（$x>0$）、$\omega(x):=0$（$x\le0$）とおくと、$\omega$ は $\mathbb{R}$ 上の $C^\infty$ 級の凸な非減少関数で、$x>0$ で $\omega(x)>0$、$\omega'(x)>0$ である（$e^{-1/r}$ を $r\le0$ で $0$ とおいた関数は $C^\infty$ 級である）。$\tau_j:=\omega(v_j+1-j)$ は $\Omega$ 上の $C^\infty$ 級関数で $\tau_j\ge0$ である。(i) $K_{j-2}$ の上では $v_j< v+\frac12\le j-\frac32$ なので $\tau_j=0$ である。(ii) $N_j$ の上では、$v_j$ が実数値であることから $(\tau_j)_{l\bar m}=\omega'\,(v_j)_{l\bar m}+\omega''\,(v_j)_l\overline{(v_j)_m}$ なので、Levi 形式は $\omega'(v_j+1-j)\,\delta_j|t|^2+\omega''\,\bigl|\sum_l(v_j)_lt_l\bigr|^2\ge0$ である。(iii) 殻 $C_j:=K_j\setminus\operatorname{int}K_{j-1}$ はコンパクトで、その上で $v\ge j-1$（$\{v< j-1\}\subset\operatorname{int}K_{j-1}$）だから $v_j+1-j>\delta_j/2>0$ である。よって $C_j$ の上で $\tau_j$ と $\omega'(v_j+1-j)$ は正の連続関数で、正の最小値をもつ。$\varpi_j:=\min_{C_j}\tau_j>0$ とおき、(ii) から $C_j$ の上で $\tau_j$ の Levi 形式は $\lambda_j|t|^2$ 以上（$\lambda_j:=\delta_j\min_{C_j}\omega'(v_j+1-j)>0$）である（$C_j=\emptyset$ なら $\varpi_j=\lambda_j:=1$ とする）。

帰納的な和．$\rho_1:=2+|z|^2$ とおく（この折りたたみの中では、$\rho_j$ は偏導関数ではなく $j$ 番目の和を表す）。Levi 形式は $|t|^2$ で、$K_1$ の上で $\rho_1\ge2>1\ge v$ である。$j\ge2$ とし、$\rho_{j-1}$ が $\Omega$ 上の $C^\infty$ 級関数で、$K_{j-1}$ の各点で Levi 形式が正定値かつ $\rho_{j-1}>v$ だとする。コンパクト集合 $C_j$ の上で $\rho_{j-1}$ の Levi 形式は $-L_j|t|^2$ 以上、$v-\rho_{j-1}$ は $D_j$ 以下となる定数 $L_j\ge0$、$D_j\ge0$ がある（2 階偏導関数と $v$ の連続性）。$\gamma_j>\max\bigl\{(L_j+1)/\lambda_j,\ (D_j+1)/\varpi_j\bigr\}$ をとり、$\rho_j:=\rho_{j-1}+\gamma_j\tau_j$ とおく。$C_j$ の上では Levi 形式が $(\gamma_j\lambda_j-L_j)|t|^2\ge|t|^2$ 以上で、$\rho_j-v\ge \gamma_j\varpi_j-D_j>0$ である。$K_{j-1}$ の上では、$\rho_{j-1}$ の正定値な Levi 形式に (ii) の半正定値な $\gamma_j\tau_j$ の Levi 形式を足すので正定値のままで、$\rho_j\ge\rho_{j-1}>v$ である。$K_j=K_{j-1}\cup C_j$ なので、$\rho_j$ は $K_j$ の各点で Levi 形式が正定値で $\rho_j>v$ である。

極限．$\rho:=\rho_1+\sum_{j\ge2}\gamma_j\tau_j$ とおく。$\operatorname{int}K_k$ の上では (i) により $j\ge k+2$ の項が $0$ なので $\rho=\rho_{k+1}$ であり、$\bigcup_k\operatorname{int}K_k=\Omega$ だから $\rho$ は $\Omega$ 上の $C^\infty$ 級関数である。$z\in\operatorname{int}K_k$ では $z\in K_{k+1}$ なので、$\rho_{k+1}$ について示したことから $\rho$ の Levi 形式は $z$ で正定値で、$\rho(z)>v(z)$ である。最後に、$c\in\mathbb{R}$ について $\{\rho< c\}\subset\{v< c\}$ で、右辺は $\Omega$ の中で相対コンパクトなので、$\rho$ は exhaustion 関数である。$\square$

注意．Stein多様体 の定理「Stein 多様体の強多重劣調和な尽くし関数」も同じ性質の関数を与えるが、仮定は $\Omega$ が Stein 多様体であることである。擬凸な開集合が Stein であること（Levi 問題）はこの記事の主定理を使って示される側の事実なので、ここでは擬凸性の定義から直接作った。Hor90 Theorem 2.6.11（p. 48）は、コンパクト集合 $K$ の上で負、多重劣調和関数による $K$ の凸包の近傍の外で正という符号の条件も付けた形で述べている（擬凸領域 の定理「滑らかな強多重劣調和 exhaustion 関数」で証明する）。

(a) $w$ が台がコンパクトな滑らかな形式のとき。$r\ge1$ なら、lem-l2-identity を次数 $r$ の形式について $\varphi=0$ として使うと Levi 形式の項が消え、$\|\vartheta_0w\|_0^2+\|\bar\partial w\|_0^2=\sum'_J\sum_j\|\bar\partial_jw_J\|_0^2$ である。$r=0$ なら各点で $|\bar\partial w|^2=\sum_j|\bar\partial_jw|^2$ である。さらに台がコンパクトな滑らかな関数 $v$ について、$\overline{\partial_jv}=\bar\partial_j\bar v$ と部分積分を 2 回使うと$$\int|\partial_jv|^2d\lambda=\int\partial_jv\,\bar\partial_j\bar v\,d\lambda=-\int v\,\partial_j\bar\partial_j\bar v\,d\lambda=\int\bar\partial_jv\,\partial_j\bar v\,d\lambda=\int|\bar\partial_jv|^2d\lambda$$である。

(b) 一般の場合。軟化子 $\chi_\varepsilon$ との畳み込み $w_\varepsilon:=w*\chi_\varepsilon$（係数ごと）は台がコンパクトな滑らかな形式である。定数係数の微分作用素は畳み込みと交換するので（軟化子 の命題「軟化と弱微分の交換」）、$\bar\partial w_\varepsilon=(\bar\partial w)*\chi_\varepsilon$、$\vartheta_0w_\varepsilon=(\vartheta_0w)*\chi_\varepsilon$ であり、$\varepsilon\to0$ のとき $w_\varepsilon\to w$、$\bar\partial w_\varepsilon\to\bar\partial w$、$\vartheta_0w_\varepsilon\to\vartheta_0w$ が $L^2$ で成り立つ（同記事の定理「軟化による近似」）。(a) を $w_\varepsilon-w_\delta$ に使うと、$\bar\partial_jw_{\varepsilon,J}$ と $\partial_jw_{\varepsilon,J}$ は $\varepsilon\to0$ で $L^2$ の Cauchy 列であり、極限をもつ。$w_\varepsilon\to w$ は超関数としての収束を導くので、その極限は超関数の意味の $\bar\partial_jw_J$、$\partial_jw_J$ である。よって実座標の微分 $\partial/\partial x_j=\partial_j+\bar\partial_j$、$\partial/\partial y_j=i(\partial_j-\bar\partial_j)$ も 2 乗可積分で、$w\in W^1_c$ である。等式は (a) の等式の極限である。$\square$

解の選び方．$f$ に対し thm-l2-main の証明のとおりに $\psi,\eta_\nu,\varphi$ をとる。これらは $f$ だけで決まり、$s$ によらない。同じ証明の解 $u$、すなわち lem-l2-hilbert により $T^*$ の値域の閉包に属する解をとる。$q\ge1$ とし、$w$ を台がコンパクトな滑らかな $(0,q-1)$ 形式とすると、$\bar\partial w\in D(T)$、$T\bar\partial w=\bar\partial\bar\partial w=0$ である。$g\in D(T^*)$ について $(\bar\partial w,T^*g)_{\varphi_1}=(T\bar\partial w,g)_{\varphi_2}=0$ なので、極限をとって $(\bar\partial w,u)_{\varphi_1}=0$ である。記号の節と同じ係数の計算により、これは$$\sum{}'_L\sum_{j=1}^n\int_\Omega\bar\partial_jw_L\,\overline{u_{jL}}\,e^{-\varphi_1}d\lambda=0$$であり、$w$ は任意なので、超関数として $\sum_j\partial_j(e^{-\varphi_1}u_{jL})=0$（各 $L$）である。$\varphi_1=\varphi-2\psi$ は $C^\infty$ 級なので、Leibniz の公式で展開して $e^{\varphi_1}$ を掛けると$$(\vartheta_0u)_L=-\sum_{j=1}^n\partial_ju_{jL}=-\sum_{j=1}^n(\partial_j\varphi_1)\,u_{jL}$$を得る。

階数を上げる．$q\ge1$ のときはこの $u$ を、$q=0$ のときは $\bar\partial u=f$ を満たす任意の局所 2 乗可積分な関数 $u$ を考える（$q=0$ では $\vartheta_0=0$ なので上の性質は要らない）。$f$ の係数が $W^s_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ に属するとし、$0\le\sigma\le s$ について、$u\in W^\sigma_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ なら $u\in W^{\sigma+1}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ であることを示す（$\sigma=0$ では仮定は $u$ が局所 2 乗可積分であることにほかならない）。実数値の $\chi\in C_c^\infty(\Omega)$ をとり、$\Omega$ の外では $0$ として $w:=\chi u$ とおく。超関数の意味で$$\bar\partial w=\bar\partial\chi\wedge u+\chi f,\qquad(\vartheta_0w)_L=-\sum_j(\partial_j\chi)\,u_{jL}-\chi\sum_j\partial_ju_{jL}=-\sum_j\bigl(\partial_j\chi+\chi\,\partial_j\varphi_1\bigr)u_{jL}$$である。右辺はいずれも、台がコンパクトで $\Omega$ に含まれる $C^\infty$ 級関数と $W^\sigma_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ の元の積の和なので、係数は $W^\sigma_c$ に属する（$\sigma\le s$ なので $\chi f$ もそうである）。$|\beta|\le\sigma$ について、$D^\beta w$ の係数は 2 乗可積分で台がコンパクトであり、超関数の微分は互いに交換するので $\bar\partial D^\beta w=D^\beta\bar\partial w$、$\vartheta_0D^\beta w=D^\beta\vartheta_0w$ の係数も 2 乗可積分である。lem-l2-gain により $D^\beta w\in W^1_c$ であり、これがすべての $|\beta|\le\sigma$ について成り立つので $w\in W^{\sigma+1}_c$ である。$\Omega$ の各コンパクト集合の近傍で $1$ となる $\chi$ をとれば、$u\in W^{\sigma+1}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ である。$\sigma=0,1,\dots,s$ と順に使って $u\in W^{s+1}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ を得る。$u$ は $s$ によらずに選んだので、同じ $u$ がすべての $s$ について主張の性質をもつ。$\square$

(a) $v\in C_c^\infty(\mathbb{R}^N)$ の台が有界な直方体 $Q$ に含まれるとする。各座標について微積分の基本定理を順に使うと $v(x)=\int_{-\infty}^{x_1}\!\cdots\int_{-\infty}^{x_N}\partial_1\cdots\partial_Nv(t)\,dt_N\cdots dt_1$ なので、Cauchy–Schwarz の不等式により$$\sup|v|\le\int_Q|\partial_1\cdots\partial_Nv|\,dt\le|Q|^{1/2}\,\|\partial_1\cdots\partial_Nv\|_{L^2}$$である（$|Q|$ は $Q$ の体積）。

(b) $v\in W^{k+N}_c$ のとき。$v_\varepsilon:=v*\chi_\varepsilon$（$0<\varepsilon\le1$）は台がコンパクトな滑らかな関数で、台は $\varepsilon$ によらない有界な直方体 $Q$ に含まれ、$|\alpha|\le k+N$ について $D^\alpha v_\varepsilon=(D^\alpha v)*\chi_\varepsilon\to D^\alpha v$ が $L^2$ で成り立つ（軟化子 の定理「Sobolev 関数の軟化による近似」）。$|\alpha|\le k$ について (a) を $D^\alpha(v_\varepsilon-v_\delta)$ に使うと、$\partial_1\cdots\partial_ND^\alpha$ は $k+N$ 階以下なので $\sup|D^\alpha v_\varepsilon-D^\alpha v_\delta|\to0$ であり、$D^\alpha v_\varepsilon$ はある連続関数 $V_\alpha$ に一様収束する。$L^2$ の極限と比べて、$V_\alpha=D^\alpha v$ がほとんどいたるところ成り立つ。$|\alpha|< k$ と座標 $x_i$ について、$D^\alpha v_\varepsilon(x+te_i)-D^\alpha v_\varepsilon(x)=\int_0^tD^{\alpha+e_i}v_\varepsilon(x+se_i)\,ds$ で $\varepsilon\to0$ とすると、$V_\alpha$ は $x_i$ について偏微分可能で、偏導関数は連続な $V_{\alpha+e_i}$ である。よって $V_0$ は $C^k$ 級で、$D^\alpha V_0=V_\alpha$ である。

(c) 一般の場合。コンパクト集合 $L\subset U$ に対し、$L$ の近傍で $1$ となる $\chi\in C_c^\infty(U)$ をとると、Leibniz の公式により $\chi w$（$U$ の外では $0$）は $W^{k+N}_c$ に属し、(b) から $L$ の近傍で $w$ の $C^k$ 級の代表が得られる。開集合の上でほとんどいたるところ等しい 2 つの連続関数は等しいので、代表は一意であり、$U$ を覆う開集合の上の代表は重なりで一致して貼り合う。$\square$

軟化子との畳み込み $u_\varepsilon:=u*\chi_\varepsilon$ は $\{z\mid\operatorname{dist}(z,\partial U)>\varepsilon\}$ で滑らかで $\bar\partial_ju_\varepsilon=(\bar\partial_ju)*\chi_\varepsilon=0$ だから正則であり、$\varepsilon\to0$ で局所的に $L^2$ 収束する。正則関数 $h$ は調和関数なので球の上の平均値の性質をもち、Cauchy–Schwarz の不等式から、閉球 $\overline{B(a,2r)}\subset U$ について $\sup_{B(a,r)}|h|\le C_r\|h\|_{L^2(B(a,2r))}$ である。これを $h=u_\varepsilon-u_{\varepsilon'}$ に使うと $u_\varepsilon$ は局所一様に収束し、正則関数の局所一様極限は正則である。極限は $L^2$ 極限 $u$ にほとんどいたるところ等しい。$\square$