∂̄方程式のL²評価

$g\in D(T^*)$ を $g=g_1+g_2$（$g_1\in F$、$g_2\in F^\perp$）と分解する。$T$ の値域は $F$ に含まれるので、$u'\in D(T)$ について $(Tu',g_2)=0$ であり、$g_2\in D(T^*)$、$T^*g_2=0$ である。よって $g_1=g-g_2\in F\cap D(T^*)$、$T^*g_1=T^*g$ で、$|(f,g)|=|(f,g_1)|\le\|f\|\,\|g_1\|\le C\|f\|\,\|T^*g\|$ である。したがって $T^*g\mapsto(f,g)$ は $T^*$ の値域の上で矛盾なく定まり（$T^*g=T^*g'$ なら $(f,g-g')=0$）、ノルムが $C\|f\|$ 以下の共役線形な汎関数である。値域の閉包へ連続に延ばし、直交補空間の上で $0$ とおけば $H_1$ 全体の有界な共役線形汎関数になる。その複素共役に Riesz表現定理 を使うと、$\|u\|\le C\|f\|$ で $(u,T^*g)=(f,g)$ となる $u$ が得られる。$\square$

1 つ目：部分積分で $\delta_j$ を移すと $\int\delta_jf_{jK}\overline{\delta_kf_{kK}}e^{-\varphi}=-\int f_{jK}\overline{\bar\partial_j\delta_kf_{kK}}e^{-\varphi}$。交換関係 $\bar\partial_j\delta_kw=\delta_k\bar\partial_jw-\varphi_{k\bar j}w$ と $\overline{\varphi_{k\bar j}}=\varphi_{j\bar k}$（$\varphi$ は実数値）から、これは $-\int f_{jK}\overline{\delta_k(\bar\partial_jf_{kK})}e^{-\varphi}+\int\varphi_{j\bar k}f_{jK}\overline{f_{kK}}e^{-\varphi}$ で、第 1 項はもう一度部分積分して $\int\bar\partial_kf_{jK}\overline{\bar\partial_jf_{kK}}e^{-\varphi}$ になる。交換関係は $\bar\partial_k(\partial_jw-\varphi_jw)=\partial_j\bar\partial_kw-\varphi_j\bar\partial_kw-\varphi_{j\bar k}w$ による。

2 つ目：$a_j:=\sum'_J\bar\partial_jf_J\,d\bar z_J$ とおくと $\bar\partial f=\sum_jd\bar z_j\wedge a_j$ である。$d\bar z_j\wedge$ の各点での随伴は縮約 $\iota_j$（$(\iota_j\alpha)_K=\alpha_{jK}$）で、$\iota_j(d\bar z_k\wedge\beta)=\delta_{jk}\beta-d\bar z_k\wedge\iota_j\beta$ を満たす。よって $|\bar\partial f|^2=\sum_{j,k}\langle a_j,\iota_j(d\bar z_k\wedge a_k)\rangle=\sum_j|a_j|^2-\sum_{j,k}\langle\iota_ka_j,\iota_ja_k\rangle$ で、$\langle\iota_ka_j,\iota_ja_k\rangle=\sum'_K\bar\partial_jf_{kK}\overline{\bar\partial_kf_{jK}}$ である。

(a) $u\in C_c^\infty$ を試すと、$f\in D(T^*)$ について超関数として $(T^*f)_K=-e^{\varphi_1}\sum_j\partial_j(e^{-\varphi_2}f_{jK})=-e^{-\psi}\bigl(\sum_j\partial_jf_{jK}-\sum_j(\partial_j\varphi_2)f_{jK}\bigr)$ である。逆に、コンパクトな台をもつ滑らかな $f$ は、超関数の微分の定義から $u\in D(T)$ について $(Tu,f)_{\varphi_2}$ が右辺との内積に等しいので $D(T^*)$ に属し、$T^*f$ は同じ式で与えられる。以下、1 次形式 $a$ について各点で $|a\wedge f|^2\le n|a|^2|f|^2$、$|\sum_ja_jf_{jK}|$ の $K$ についての 2 乗和 $\le n|a|^2|f|^2$（Cauchy–Schwarz）を使う。

(b) 切り落とし：$f_\nu:=\eta_\nu f$ とする。$S(f_\nu)=\eta_\nu Sf+\bar\partial\eta_\nu\wedge f$。$u\in D(T)$ なら $\eta_\nu u\in D(T)$、$T(\eta_\nu u)=\eta_\nu Tu+\bar\partial\eta_\nu\wedge u$ で、条件 2 から $|\bar\partial\eta_\nu|^2e^{-\varphi_2}\le e^{-\varphi_1}$ なので $|(\bar\partial\eta_\nu\wedge u,f)_{\varphi_2}|\le\sqrt n\|u\|_{\varphi_1}\|f\|_{\varphi_2}$。よって $(Tu,f_\nu)_{\varphi_2}=(u,\eta_\nu T^*f)_{\varphi_1}-(\bar\partial\eta_\nu\wedge u,f)_{\varphi_2}$ は $\|u\|_{\varphi_1}$ で押さえられ、$f_\nu\in D(T^*)$、(a) から $(T^*f_\nu-\eta_\nu T^*f)_K=-e^{-\psi}\sum_j(\partial_j\eta_\nu)f_{jK}$ である。$\eta_\nu$ は実数値なので $|\partial_j\eta_\nu|=|\bar\partial_j\eta_\nu|$ で、 $\|\bar\partial\eta_\nu\wedge f\|^2_{\varphi_3}+\|T^*f_\nu-\eta_\nu T^*f\|^2_{\varphi_1}\le2n\int_{\operatorname{supp}d\eta_\nu}|f|^2e^{\psi-\varphi}d\lambda=2n\int_{\operatorname{supp}d\eta_\nu}|f|^2e^{-\varphi_2}d\lambda$ である。条件 1 から各点はやがて $\operatorname{supp}d\eta_\nu$ の外に出るので、優収束定理により右辺は $0$ に近づく。$\eta_\nu f\to f$、$\eta_\nu T^*f\to T^*f$、$\eta_\nu Sf\to Sf$ も優収束定理による。

(c) 軟化：台がコンパクト集合 $L\subset\Omega$ に含まれる $f\in D(T^*)\cap D(S)$ をとり、軟化子 $\chi_\varepsilon$ との畳み込み $f_\varepsilon:=f*\chi_\varepsilon$（係数ごと）を考える。$\varepsilon$ が小さければ台は $L$ のコンパクトな近傍 $L'\subset\Omega$ に入り、$L'$ の上で重みは上下から押さえられるので、重み付きの収束は通常の $L^2$ 収束と同じである。$f_\varepsilon\to f$、$Sf_\varepsilon=(Sf)*\chi_\varepsilon\to Sf$。(a) により $\sum_j\partial_jf_{jK}=\sum_j(\partial_j\varphi_2)f_{jK}-e^{\psi}(T^*f)_K$ は $L^2$ に属し、$\sum_j\partial_j(f_\varepsilon)_{jK}=(\sum_j\partial_jf_{jK})*\chi_\varepsilon$ はそれに収束する。$(\partial_j\varphi_2)f_\varepsilon\to(\partial_j\varphi_2)f$ と合わせて、(a) の式から $T^*f_\varepsilon\to T^*f$ である。

$\rho$ は exhaustion なので最小値 $t_0$ をとり、$\{\rho\le t\}$ はコンパクトである。$\eta_\nu\in C_c^\infty(\Omega)$ を $\{\rho\le\nu\}$ の近傍で $1$、$0\le\eta_\nu\le1$ にとる。$\rho(z)<\mu$ なら $\nu\ge\mu$ で $\eta_\nu$ は $z$ の近傍で $1$ なので、$b(z):=\sup_\nu\sum_k|\bar\partial_k\eta_\nu(z)|^2$ は $\{\rho<\mu\}$ の上で有限個の関数の最大値で押さえられ、$B_0(t):=\log\bigl(1+\sup_{\rho< t+1}b\bigr)$ は有限な非減少関数である。

非減少関数の滑らかな上界：有限な非減少関数 $B$ に対し、$\beta_k:=\max\{B(k+2),0\}+1$ とおき、$\theta$ を $(-\infty,0]$ で $0$、$[1,\infty)$ で $1$ の滑らかな非減少関数として $a(t):=\beta_{k_0}+\sum_{k\ge k_0}(\beta_{k+1}-\beta_k)\theta(t-k)$（$k_0\le t_0-1$ の整数）とおくと、$a$ は滑らかな非減少関数で、$t\in[k,k+1]$ で $a(t)\ge\beta_k\ge B(t+1)$ を満たす。$\chi(t):=\int_{t_0-1}^ta(s)\,ds$ は滑らかな凸増加関数で（$a\ge1$）、$t\ge t_0$ なら $\chi(t)\ge\int_{t-1}^ta\ge a(t-1)\ge B(t)$、$\chi'(t)=a(t)\ge B(t)$ である。

これを $B_0$ に使って得た関数を $\chi_0$ とし $\psi:=\chi_0\circ\rho$ とおくと、$e^{\psi(z)}\ge e^{B_0(\rho(z))}\ge b(z)$ で条件 2 が成り立つ。次に $A(t):=\sup_{\rho\le t}2(|\bar\partial\psi|^2+e^{\psi})/m$、$F(t):=\int_{\rho< t+1}|f|^2e^{\psi}d\lambda$ とおき、$B:=\max\{A,\ \log(1+F)+2t\}$（非減少で有限）に同じ構成を使って $\chi$ を得る。$\chi'(\rho)m\ge A(\rho)m\ge2(|\bar\partial\psi|^2+e^{\psi})$ である。また整数 $k\ge t_0$ について、$\{k\le\rho< k+1\}$ の上で $e^{-\chi(\rho)}\le e^{-\chi(k)}\le e^{-2k}/(1+F(k))$ なので、その上の $\int|f|^2e^{\psi-\chi(\rho)}$ は $e^{-2k}$ 以下であり、$k$ について和をとって有限である。残りのコンパクト集合 $\{\rho\le\lceil t_0\rceil\}$ の上の積分は $f$ の局所 2 乗可積分性から有限である。

軟化子との畳み込み $u_\varepsilon:=u*\chi_\varepsilon$ は $\{z\mid\operatorname{dist}(z,\partial U)>\varepsilon\}$ で滑らかで $\bar\partial_ju_\varepsilon=(\bar\partial_ju)*\chi_\varepsilon=0$ だから正則であり、$\varepsilon\to0$ で局所的に $L^2$ 収束する。正則関数 $h$ は調和関数なので球の上の平均値の性質をもち、Cauchy–Schwarz の不等式から、閉球 $\overline{B(a,2r)}\subset U$ について $\sup_{B(a,r)}|h|\le C_r\|h\|_{L^2(B(a,2r))}$ である。これを $h=u_\varepsilon-u_{\varepsilon'}$ に使うと $u_\varepsilon$ は局所一様に収束し、正則関数の局所一様極限は正則である。極限は $L^2$ 極限 $u$ にほとんどいたるところ等しい。$\square$