Γ関数

$a\le0$ なら $t\ge1$ で $t^{a}\le1$, $e^{-t/2}\le1$ なので $C_a=1$ でよい。$a>0$ とし、$m\ge a$ なる正の整数 $m$ をとる。$u>0$ に対し $e^{u}=\sum_{k\ge0}u^k/k!\ge u^m/m!$ なので、$u=t/2$ とおいて $e^{-t/2}\le2^mm!\,t^{-m}$ である。よって $t\ge1$ で $t^ae^{-t/2}\le2^mm!\,t^{a-m}\le2^mm!$（$a-m\le0$）となり、$C_a=2^mm!$ でよい。後半は $t^ae^{-t}=(t^ae^{-t/2})e^{-t/2}$ による。$\square$

$|t^{z-1}e^{-t}|=t^{\sigma-1}e^{-t}$ は $(0,\infty)$ 上連続なので、任意の有界閉区間上で積分可能である。積分区間を $(0,1]$ と $[1,\infty)$ に分ける。
(1) $\sigma>0$ とする。$0< t\le1$ で $0< t^{\sigma-1}e^{-t}\le t^{\sigma-1}$ であり、$\int_0^1t^{\sigma-1}\,dt=1/\sigma<\infty$ なので、広義積分 の定理「広義積分の比較判定法」（左の端で同じ議論をした形）により $\int_0^1t^{\sigma-1}e^{-t}\,dt$ は収束する。$t\ge1$ では lem-gamma-exponential-bound（$a=\sigma-1$）により $t^{\sigma-1}e^{-t}\le C_{\sigma-1}e^{-t/2}$ であり、$\int_1^\infty e^{-t/2}\,dt=2e^{-1/2}<\infty$ なので $\int_1^\infty t^{\sigma-1}e^{-t}\,dt$ も収束する。被積分関数の実部・虚部の絶対値はいずれも $t^{\sigma-1}e^{-t}$ 以下なので、$\Gamma(z)$ は絶対収束する。
(2) $\sigma\le0$ とする。$0< t\le1$ で $e^{-t}\ge e^{-1}$ なので $t^{\sigma-1}e^{-t}\ge e^{-1}t^{\sigma-1}$ であり、$1-\sigma\ge1$ なので $\int_0^1t^{\sigma-1}\,dt=+\infty$ である。同じ比較判定法の発散側により主張が従う。$\square$

$n\le t\le n+1$ で $\frac1{n+1}\le\frac1t\le\frac1n$ なので、$\frac1{n+1}\le\int_n^{n+1}\frac{dt}{t}=\log(n+1)-\log n\le\frac1n$ である。前者から $(H_{N+1}-\log(N+1))-(H_N-\log N)=\frac1{N+1}-\bigl(\log(N+1)-\log N\bigr)\le0$ で単調減少である。後者を $n=1,\ldots,N-1$ で加えると $\log N\le H_{N-1}\le H_N$ となり、$H_N-\log N\ge0$ である。下に有界な単調減少列は収束する。数値は Apo76 による。$\square$

$0<\varepsilon< R<\infty$ に対し、部分積分により
$$ \int_\varepsilon^R t^{z}e^{-t}\,dt=\bigl[-t^{z}e^{-t}\bigr]_\varepsilon^R+z\int_\varepsilon^R t^{z-1}e^{-t}\,dt =\varepsilon^{z}e^{-\varepsilon}-R^{z}e^{-R}+z\int_\varepsilon^R t^{z-1}e^{-t}\,dt $$
である。$|\varepsilon^{z}e^{-\varepsilon}|\le\varepsilon^{\sigma}\to0$（$\varepsilon\to0$、$\sigma>0$）、$|R^{z}e^{-R}|=R^{\sigma}e^{-R}\to0$（$R\to\infty$、lem-gamma-exponential-bound）であり、両辺の積分は thm-gamma-convergence により収束するので、極限をとって $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ を得る。$\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}\,dt=1$ であり、$\Gamma(n+1)=n!$ は $n$ に関する帰納法で $\Gamma(n+2)=(n+1)\Gamma(n+1)=(n+1)\,n!$ による。$\square$

$0\le x\le1$ に対し $e^{x}=1+\int_0^xe^{s}\,ds\ge1+x$ かつ $e^{-x}=1-\int_0^xe^{-s}\,ds\ge1-x$ である。$x=u/n$ を代入して $n$ 乗すると $(1-u/n)^n\le e^{-u}$ および $e^{u}\ge(1+u/n)^n$ を得る。前者が左の不等式である。後者から
$$ e^{-u}-\Bigl(1-\frac un\Bigr)^n=e^{-u}\Bigl(1-e^{u}\Bigl(1-\frac un\Bigr)^n\Bigr)\le e^{-u}\Bigl(1-\Bigl(1+\frac un\Bigr)^n\Bigl(1-\frac un\Bigr)^n\Bigr)=e^{-u}\Bigl(1-\Bigl(1-\frac{u^2}{n^2}\Bigr)^n\Bigr) $$
であり、$0\le u^2/n^2\le1$ に対する Bernoulliの不等式（不等式） $(1-u^2/n^2)^n\ge1-u^2/n$ から右の不等式を得る。$\square$

$\operatorname{Re}z>0$ を固定し、$g_n(z):=\int_0^1(1-t)^nt^{z-1}\,dt$（$n\ge0$）とおく。$g_0(z)=\int_0^1t^{z-1}\,dt=1/z$ であり、$n\ge1$ のとき部分積分により
$$ g_n(z)=\Bigl[\frac{(1-t)^nt^{z}}{z}\Bigr]_0^1+\frac nz\int_0^1(1-t)^{n-1}t^{z}\,dt=\frac nz\,g_{n-1}(z+1) $$
である（境界項は $t=1$ で $0$、$t\to0$ で $|t^{z}|=t^{\sigma}\to0$）。帰納法により
$$ g_N(z)=\frac{N!}{z(z+1)\cdots(z+N)} $$
を得る。よって主張の右辺の第 $N$ 項は $\Pi_N(z):=N^{z}g_N(z)$ である。置換 $u=Nt$ により
$$ \Pi_N(z)=\int_0^1(1-t)^NN^{z}t^{z-1}\,dt=\int_0^N\Bigl(1-\frac uN\Bigr)^Nu^{z-1}\,du $$
となる。$h_N(z):=\int_0^N\bigl(e^{-u}-(1-u/N)^N\bigr)u^{z-1}\,du$ とおくと、lem-gamma-exp-approximation により
$$ |h_N(z)|\le\int_0^N\frac{u^2}{N}e^{-u}u^{\sigma-1}\,du\le\frac1N\int_0^\infty u^{\sigma+1}e^{-u}\,du=\frac{\Gamma(\sigma+2)}{N}\longrightarrow0 $$
である。一方 $\int_0^Ne^{-u}u^{z-1}\,du\to\Gamma(z)$（$N\to\infty$）なので、$\Pi_N(z)=\int_0^Ne^{-u}u^{z-1}\,du-h_N(z)\to\Gamma(z)$ である。$\square$

$H_N=\sum_{n=1}^N1/n$ とおく。$N^{z}=e^{z\log N}$ と $z(z+1)\cdots(z+N)=z\,N!\prod_{n=1}^N(1+z/n)$ から、有限の恒等式
$$ \frac{z(z+1)\cdots(z+N)}{N^{z}\,N!}=z\,e^{z(H_N-\log N)}\prod_{n=1}^N\Bigl[\Bigl(1+\frac zn\Bigr)e^{-z/n}\Bigr] $$
が成り立つ。左辺の逆数 $\Pi_N(z):=N^{z}N!/\bigl(z(z+1)\cdots(z+N)\bigr)$ は thm-gamma-gauss-limit により $\Gamma(z)$ に収束し、lem-gamma-euler-constant により $e^{z(H_N-\log N)}\to e^{\gamma z}\ne0$ である。
有限積 $P_N(z):=\prod_{n=1}^N(1+z/n)e^{-z/n}$ が $N\to\infty$ で $0$ でない極限に収束することを示す。$R>0$ をとり $|z|\le R$ とする。$n\ge2R$ なら $w=z/n$ は $|w|\le1/2$ を満たし、主値（対数関数の主値）の対数について $\log(1+w)-w=\sum_{k\ge2}(-1)^{k-1}w^k/k$ なので $|\log(1+w)-w|\le\frac{|w|^2}{2}\sum_{j\ge0}|w|^j\le|w|^2$ である。よって $\sum_{n\ge2R}\bigl(\log(1+z/n)-z/n\bigr)$ は $|z|\le R$ 上一様に絶対収束し（$\sum_n R^2/n^2<\infty$）、$N_0:=\lceil2R\rceil$ とおくと $P_N(z)=P_{N_0}(z)\exp\bigl(\sum_{n=N_0+1}^N(\log(1+z/n)-z/n)\bigr)$ は、$P_{N_0}(z)\ne0$（$z\notin\{-1,\ldots,-N_0\}$ のとき）である限り $0$ でない極限 $P(z)$ に収束する。$\operatorname{Re}z>0$ ならこの条件は満たされる。
以上により、恒等式の右辺は $0$ でない極限 $z\,e^{\gamma z}P(z)$ を持つ。左辺は $1/\Pi_N(z)$ であり、もし $\Gamma(z)=0$ なら $|1/\Pi_N(z)|\to\infty$ となって右辺の収束に反する。よって $\Gamma(z)\ne0$ であり、$1/\Pi_N(z)\to1/\Gamma(z)$ となるので、恒等式で $N\to\infty$ として主張を得る。$\square$

prop-gamma-holomorphic により $\Gamma$ は $\operatorname{Re}z>0$ で正則である。正の整数 $m$ に対し $\Omega_m:=\{z\mid\operatorname{Re}z>-m\}\setminus\{0,-1,\ldots,-(m-1)\}$、$G_m(z):=\Gamma(z+m)/\bigl(z(z+1)\cdots(z+m-1)\bigr)$ とおく。$z\in\Omega_m$ なら $\operatorname{Re}(z+m)>0$ なので分子は正則、分母は $\Omega_m$ 上で $0$ にならない多項式であり、$G_m$ は $\Omega_m$ 上正則である。
延長であること：$\operatorname{Re}z>0$ で prop-gamma-functional-equation を $z,z+1,\ldots,z+m-1$ に順に適用すると $\Gamma(z+m)=(z+m-1)\cdots z\,\Gamma(z)$ なので $G_m(z)=\Gamma(z)$ である。整合性：$m< m'$, $z\in\Omega_m$ なら、$\operatorname{Re}(z+m)>0$ で同様に $\Gamma(z+m')=(z+m'-1)\cdots(z+m)\Gamma(z+m)$ なので $G_{m'}(z)=G_m(z)$ である。よって $G_m$ たちは $\bigcup_m\Omega_m=\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}$ 上の一つの正則関数を定め、(1) が従う。(4) は (1) を $z$ と $z+1$ に適用して比較すれば従う。
一意性：$\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}$ は連結開集合であり、$\{\operatorname{Re}z>0\}$ はその空でない開部分集合なので、一致の定理により延長は一意である。
極と留数：非負整数 $n$ を固定し $m=n+1$ とすると、$\operatorname{Re}z>-(n+1)$ で $\Gamma(z)=\Gamma(z+n+1)/\bigl(z(z+1)\cdots(z+n)\bigr)$ である。$q(z):=z(z+1)\cdots(z+n-1)$（$n=0$ のときは $q\equiv1$）とおくと $q(-n)=(-n)(-n+1)\cdots(-1)=(-1)^nn!\ne0$ であり、$z=-n$ の近傍で $(z+n)\Gamma(z)=\Gamma(z+n+1)/q(z)$ は正則で、$z=-n$ での値は $\Gamma(1)/q(-n)=(-1)^n/n!\ne0$ である。よって $z=-n$ は1位の極で留数は $(-1)^n/n!$ である。他の点では十分大きい $m$ をとれば $\Omega_m$ 上正則なので、極は $\{0,-1,-2,\ldots\}$ に限る。$\square$

正の整数 $n$ に対し $\Gamma_n(z):=\int_{1/n}^{n}t^{z-1}e^{-t}\,dt$ とおく。被積分関数は $(t,z)$ について連続で $z$ について正則なので、$\Gamma_n$ は $\mathbb{C}$ 全体で正則であり、$\Gamma_n'(z)=\int_{1/n}^n(\log t)t^{z-1}e^{-t}\,dt$ である（有界閉区間上のパラメータつき積分の正則性は、積分を Riemann 和の一様極限として Ahl79 Chapter 5 §1.1 の Weierstrass の定理に帰着させるか、Fubiniの定理 と Moreraの定理 を用いて示される標準的な事実であり、本記事では証明を割愛する）。
$0<\alpha<\beta$ とし、帯領域 $S:=\{z\mid\alpha\le\operatorname{Re}z\le\beta\}$ 上で $\Gamma_n\to\Gamma$ が一様収束することを示す。$z\in S$ なら
$$ |\Gamma(z)-\Gamma_n(z)|\le\int_0^{1/n}t^{\sigma-1}e^{-t}\,dt+\int_n^\infty t^{\sigma-1}e^{-t}\,dt \le\int_0^{1/n}t^{\alpha-1}\,dt+C_{\beta-1}\int_n^\infty e^{-t/2}\,dt =\frac{n^{-\alpha}}{\alpha}+2C_{\beta-1}e^{-n/2} $$
である（第1項では $t\le1$, $\sigma\ge\alpha$ より $t^{\sigma-1}\le t^{\alpha-1}$、第2項では $t\ge1$, $\sigma\le\beta$ より $t^{\sigma-1}\le t^{\beta-1}$ と lem-gamma-exponential-bound）。右辺は $z$ によらず $0$ に収束する。正則関数列の局所一様収束極限は正則であり、導関数も局所一様収束する（Weierstrass の定理。Ahl79 Chapter 5 §1.1）ので、$\Gamma$ は $\operatorname{Re}z>0$ で正則で $\Gamma'=\lim\Gamma_n'$ である。最後に $|(\log t)t^{z-1}e^{-t}|=|\log t|\,t^{\sigma-1}e^{-t}$ は、$t\le1$ で $|\log t|\le t^{-\alpha/2}\cdot(2/(e\alpha))$（$0< s\le1$, $a>0$ に対する $s^{a}\log(1/s)\le1/(ea)$ を $a=\alpha/2$ で用いる。左辺は $s=e^{-1/a}$ で最大値 $1/(ea)$ をとる）、$t\ge1$ で $\log t\le t$ なので、thm-gamma-convergence と同様に $(0,\infty)$ 上可積分であり、$\Gamma_n'(z)\to\int_0^\infty(\log t)t^{z-1}e^{-t}\,dt$ である。$\square$

rem-gamma-weierstrass-entire により、$F(z):=z\,e^{\gamma z}\prod_{n\ge1}(1+z/n)e^{-z/n}=1/\Gamma(z)$ は $\mathbb{C}$ 上正則で、有限積 $F_N(z):=z\,e^{\gamma z}\prod_{n=1}^N(1+z/n)e^{-z/n}$ の局所一様収束極限である。Weierstrass の定理（Ahl79 Chapter 5 §1.1）により $F_N'\to F'$ も局所一様収束する。$z\notin\{0,-1,\ldots,-N\}$ で
$$ \frac{F_N'(z)}{F_N(z)}=\frac1z+\gamma+\sum_{n=1}^N\Bigl(\frac1{z+n}-\frac1n\Bigr)=\frac1z+\gamma-\sum_{n=1}^N\frac{z}{n(z+n)} $$
であり、$F(z)\ne0$ なる $z$、すなわち $z\notin\{0,-1,-2,\ldots\}$ で $F_N'(z)/F_N(z)\to F'(z)/F(z)=-\Gamma'(z)/\Gamma(z)=-\psi(z)$ である。よって $\psi(z)=-\gamma-\frac1z+\sum_{n\ge1}\frac{z}{n(z+n)}$ を得る。$z=1$ では $\sum_{n\ge1}\frac1{n(n+1)}=\sum_{n\ge1}\bigl(\frac1n-\frac1{n+1}\bigr)=1$ なので $\psi(1)=-\gamma-1+1=-\gamma$ であり、$\Gamma(1)=1$ から $\Gamma'(1)=-\gamma$ である。最後の式は prop-gamma-holomorphic の導関数の積分表示で $z=1$ とおけば従う。$\square$

rem-gamma-weierstrass-entire により $\Gamma=1/F$ であり、$F$ は $\mathbb{C}$ 上の整関数でその零点は $z=0,-1,-2,\ldots$ に限る。したがって $\Gamma$ は定義域のどこでも零にならず、$1/\Gamma=F$ の零点も $z=0,-1,-2,\ldots$ に限る。相反公式（thm-gamma-classical-formulas (1)）からも同じ結論が得られる：$z$ が整数でないとき $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi/\sin\pi z\ne0$ より $\Gamma(z)\ne0$ であり、$z$ が正の整数なら $\Gamma(z)=(z-1)!\ne0$ である。$\square$