Γ関数

階乗の概念を複素数に拡張した$\Gamma$関数にはいくつかの定義の手法があるが、
Weierstrassは負の整数を除く $z$ に対して
$$\frac{1}{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left[\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}\right]$$
によって$\Gamma$関数を定義した。定数 $\gamma$ は極限
$$\lim_{N\rightarrow\infty} 1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{N}-\log N$$
により定義されるEulerの定数である（詳しくは Abelの総和公式の応用例 などを参照）。

Eulerの積表示

Weierstrassの定義から
$$\begin{split} \frac{1}{\Gamma(z)}= & ~ ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left[\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}\right] \\ = & ~ z\lim_{M\rightarrow\infty} \left[e^{z\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{M}-\log M\right)}\right] \lim_{N\rightarrow\infty} \prod_{n=1}^N \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}\right] \end{split}$$
となる。ここで$2$行目の極限の積は、 $M=N$ という関係のもとで $N\rightarrow\infty$ としても、同じ極限に収束するから
$$\begin{split} \frac{1}{\Gamma(z)}= & ~ z\lim_{N\rightarrow\infty} \left[e^{z\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{N}-\log N\right)} \prod_{n=1}^N \left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}\right] \\ = & ~ z\lim_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{N^z}\left[e^{\sum_{n=1}^N z/n} \prod_{n=1}^N \left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}\right] \\ = & ~ z\lim_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{N^z} \prod_{n=1}^N \left(1+\frac{z}{n}\right) \end{split}$$
よりEulerの積表示
$$\Gamma(z)=\frac{1}{z}\lim_{N\rightarrow\infty} N^z \prod_{n=1}^N \left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{N^z N!}{\prod_{n=1}^N (z+n)}\tag{1}\label{eq1}$$
が成り立つ。また
$$\frac{1}{N}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdots \frac{N-1}{N}$$
より
$$\begin{split} \frac{1}{\Gamma(z)}= & ~ z\lim_{N\rightarrow\infty}\left[\prod_{n=1}^{N-1} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-z} \prod_{n=1}^N \left(1+\frac{z}{n}\right)\right] \\ = & ~ z\lim_{N\rightarrow\infty}\left[\left(1+\frac{1}{N}\right)^z \prod_{n=1}^N \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-z} \prod_{n=1}^N \left(1+\frac{z}{n}\right)\right] \\ = & ~ z\lim_{N\rightarrow\infty} \prod_{n=1}^N \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-z} \left(1+\frac{z}{n}\right)\right] \\ \end{split}$$
となるから
$$\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^z \left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\right]\tag{2}\label{eq2}$$
という積表示を得る。

なお、歴史的には、Weierstrassに先立って、NewmanはEulerの積表示から、Weierstrassの積表示を導いていた。

階乗との関係

まずEulerの積表示\eqref{eq2}から
$$\Gamma(1)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^\infty\left[\left(1+\frac{1}{n}\right) \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-1}\right]=1$$
が成り立つ。また、同じくEulerの積表示\eqref{eq2}から
$$\begin{split} \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(z)}= & ~ \frac{z}{z+1} \prod_{n=1}^\infty\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{z+1} \left(1+\frac{z+1}{n}\right)^{-1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z \left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}} \\ = & ~ \frac{z}{z+1} \prod_{n=1}^\infty\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right) (n+z)}{n+z+1} \\ = & ~ \frac{z}{z+1} \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{(N+1)(z+1)}{z+N+1} \\ = & ~ z \end{split}$$
となるので
$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$$
が成り立つ。とくに $n=1, 2, \ldots$ に対して
$$\Gamma(n)=(n-1)!$$
が成り立つことがわかる。

$\Gamma$関数の微分

$\Gamma$関数の対数微分
$$\psi(z)=\frac{\Gamma^\prime(z)}{\Gamma(z)}=(\log\Gamma(z))^\prime$$
をdigamma関数という。
Weierstrassの定義から有限部分積
$$\frac{1}{F_N(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^N\left[\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-z/n}\right]$$
をとり、$\psi_N(z)=(\log F_N(z))^\prime$ とおくと
$$\begin{split} \psi_N(z)= & ~ -\left(\log z+\gamma z+\sum_{n=1}^N \left[\log\left(1+\frac{z}{n}\right)-\frac{z}{n}\right]\right)^\prime \\ = & ~ -\gamma-\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+z}\right) \\ = & ~ -\gamma-\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^N \frac{z}{n(z+n)} \end{split}$$
が成り立つ。
$$u_n(z)=\frac{z}{n(z+n)}$$
とおくと、負の整数を含まないコンパクトな領域においては一様に $\abs{u_n}=O(1/n^2)$ が成り立つから $\psi_N(z)$ はこの領域において一様収束する。よって
$$\psi(z)=\lim_{N\rightarrow\infty}\psi_N(z)=-\gamma-\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(z+n)}$$
が成り立つ。とくに
$$\Gamma^\prime(1)=\psi(1)=-\gamma-1+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=-\gamma$$
が成り立つ。

積分表示

よく知られた第二種Euler積分
$$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-z} dz$$
（この積分表示から、$\Gamma(1)=1, \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ が容易に示せる）が $\operatorname{Re} z>0$ で成り立つことを証明する。

$$g_n(z)=\int_0^1 (1-t)^n t^{z-1} dt, \Pi_n(z)=n^z g_n(z)$$
とおくと、
$$g_0(z)=\int_0^1 t^{z-1} dt=\frac{1}{z},$$
$$\begin{split} g_n(z)= & ~ \left[\frac{(1-t)^n t^z}{z}\right]_0^1+\frac{n}{z}\int_0^1 (1-t)^{n-1} t^z dt \\ = & ~ \frac{n}{z}g_{n-1}(z+1) \end{split}$$
より
$$g_N(z)=\frac{N!}{\prod_{n=0}^N (z+n)}, \Pi_N(z)=\frac{N!}{\prod_{n=0}^N (z+n)} N^z$$
が成り立つ。よって $\Pi_N(z), N\rightarrow\infty$ の極限はEulerの積表示 \eqref{eq1} に一致する。よって
$$\Gamma(z)=\lim_{N\rightarrow\infty} \Pi_N(z)$$
が成り立つ。
一方
$$\Pi_n(z)=\int_0^1 (1-t)^n t^{z-1} n^z dt=\int_0^n \left(1-\frac{u}{n}\right)^n u^{z-1} du$$
となる。そこでこの右辺の $(1-u/n)^n$ を $e^{-u}$ に置き換えることができることを証明する。

$$h_n(u)=\int_0^n \left(e^{-u}-\left(1-\frac{u}{n}\right)^n\right) u^{z-1} du$$
かつ $s=\operatorname{Re} z$ とおくと、この補題から
$$\abs{h_n(u)}\leq \int_0^n \frac{u^{s+1}}{ne^u} du=\frac{1}{n} \int_0^n \frac{u^{s+1}}{e^u} du$$
なので $s>0$ においては $n\rightarrow\infty$ のとき $h_n(u)\rightarrow 0$ である。よって
$$\Gamma(z)=\lim_{n\rightarrow\infty} \Pi_n(z)=\int_0^\infty u^{z-1} e^{-u} du$$
となって、上記の積分表示が $\operatorname{Re} z>0$ で成り立つことがわかる。

この積分表示から
$$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\int_0^\infty t^{1/2} e^{-t} dt=2\int_0^\infty e^{-u^2} du$$
となるので
$$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2} du=\sqrt{\pi}$$
はGauss積分と一致する。

また実部が正のコンパクトな領域において
$$\int_a^b (\log t) t^{z-1} e^{-t} dt$$
は $a\rightarrow +0, b\rightarrow +\infty$ のとき一様収束するから
$$\Gamma^\prime(z)=\int_0^\infty (\log t) t^{z-1} e^{-t} dt$$
が成り立ち
$$\gamma=-\Gamma^\prime(1)=-\int_0^\infty (\log t) e^{-t} dt$$
となることがわかる。

参考文献

この項目の執筆にあたってはWhittaker and Watson [1] のChapter 12を参考とした。