圧縮補題

$k=0$ なら $D^0$ は一点 $\{p\}$ で、$S^{-1}=\emptyset$ である。$(\mathrm{P}_0)$ により $a(p)$ と $B$ の点を結ぶ道 $\gamma$ があり、$(p,t)\mapsto\gamma(t)$ が求めるホモトピーである。$k\ge1$ なら、相対ホモトピー群の記事の命題「円板の圧縮との同値」の 1 ⇒ 2 と、その直後の注意（$(D^k,S^{k-1})$ と $(I^k,\partial I^k)$ が対として同相であること）による。$\square$

$t_k:=1-2^{-k}$（$k\ge0$）とおく。$t_0=0$ で、$t_k$ は増加して $1$ に近づく。第 $k$ 段では、時間 $[t_k,t_{k+1}]$ の間に $k$ 胞体を $B$ へ押し込む。$k=-1,0,1,2,\dots$ の順に、連続写像
$$ G^k\colon(X^k\cup A)\times I\to Y $$
を次の四条件を満たすように作る。

• (a) $G^k(x,0)=f(x)$。
• (b) $x\in A$ なら、すべての $t$ で $G^k(x,t)=f(x)$。
• (c) $t\ge t_{k+1}$ なら $G^k(x,t)=G^k(x,t_{k+1})$ であり、この値は $B$ に属する。
• (d) $k\ge0$ なら、$G^k$ の $(X^{k-1}\cup A)\times I$ への制限は $G^{k-1}$ である。
  $k=-1$ では $G^{-1}(x,t):=f(x)$（$x\in A$）とする。$f(A)\subset B$ なので (c) が成り立つ。
  $k\ge0$ とし、$G^{k-1}$ ができているとする。$X^k\cup A$ の胞体で $X^{k-1}\cup A$ に含まれないものは、$X\setminus A$ の $k$ 胞体である。その一つ $e_\alpha$ の特性写像を $\Phi_\alpha\colon D^k\to X$ とすると、$\Phi_\alpha(S^{k-1})\subset X^{k-1}$ なので、$\varphi_\alpha(p,t):=G^{k-1}(\Phi_\alpha(p),t)$ は $S^{k-1}\times I$ 上の連続写像である。$D^k\times I$ 上の写像 $H_\alpha$ を、時間を三つに分けて作る。

1. $[0,t_k]$：$D^k\times\{0\}$ で $f\circ\Phi_\alpha$、$S^{k-1}\times[0,t_k]$ で $\varphi_\alpha$ をとる写像（$t=0$ で一致し、二つの閉集合の上の連続写像の貼り合わせ）を $r^{t_k}$ と合成したものを $H_\alpha$ とする。$k=0$ では $t_0=0$ なので $H_\alpha(p,0):=f(\Phi_\alpha(p))$ とするだけである。
2. $[t_k,t_{k+1}]$：$a_\alpha:=H_\alpha(\cdot,t_k)$ とおく。$p\in S^{k-1}$ なら $a_\alpha(p)=\varphi_\alpha(p,t_k)=G^{k-1}(\Phi_\alpha(p),t_k)$ であり、$G^{k-1}$ の (c)（$t_k=t_{(k-1)+1}$）によりこれは $B$ に属する。$X\setminus A$ が $k$ 胞体をもつので $(\mathrm{P}_k)$ が成り立ち、lem-cpl-cell により $S^{k-1}$ の上で動かないホモトピー $L_\alpha\colon D^k\times I\to Y$ で $L_\alpha(\cdot,0)=a_\alpha$、$L_\alpha(D^k\times\{1\})\subset B$ となるものがある。$H_\alpha(p,t):=L_\alpha\bigl(p,(t-t_k)/(t_{k+1}-t_k)\bigr)$ とする。
3. $[t_{k+1},1]$：$H_\alpha(p,t):=H_\alpha(p,t_{k+1})$ とする。
   三つの式は $t=t_k$、$t_{k+1}$ で一致するので $H_\alpha$ は連続である。$S^{k-1}\times I$ の上では $H_\alpha=\varphi_\alpha$ である。実際、$[0,t_k]$ では $r^{t_k}$ が $S^{k-1}\times[0,t_k]$ を動かさないことによる。$t\ge t_k$ では、$H_\alpha(p,t)=a_\alpha(p)=\varphi_\alpha(p,t_k)$ であり、$G^{k-1}$ の (c) により $\varphi_\alpha(p,t)=\varphi_\alpha(p,t_k)$ だからである。
   $G^k$ を、$(X^{k-1}\cup A)\times I$ の上では $G^{k-1}$、$x=\Phi_\alpha(p)$（$p$ は $D^k$ の内部の点）の上では $G^k(x,t):=H_\alpha(p,t)$ と定める。$\Phi_\alpha$ は $D^k$ の内部を $e_\alpha$ へ全単射に写し、胞体どうしは交わらないので、$G^k$ は矛盾なく定まる。上で見たことから $G^k\circ(\Phi_\alpha\times\mathrm{id}_I)=H_\alpha$ が $D^k\times I$ 全体で成り立ち、$X^{k-1}\cup A$ の胞体の特性写像との合成は $G^{k-1}$ との合成で連続なので、準備の節の判定により $G^k$ は連続である。(a)(b)(d) は作り方から成り立つ。(c)：$e_\alpha$ の点では $t\ge t_{k+1}$ で値は $L_\alpha(p,1)\in B$ である。$X^{k-1}\cup A$ の点では、$G^{k-1}$ の (c) により $t\ge t_k$ で値は一定で $B$ に属し、$t_{k+1}\ge t_k$ である。
   (d) により、$G(x,t):=G^k(x,t)$（$x\in X^k\cup A$）は $X\times I$ 上の写像として矛盾なく定まる。$X$ の各胞体の閉包はある $X^k\cup A$ に含まれ、そこでは $G=G^k$ は連続なので、準備の節の判定により $G$ は連続である。(a) により $G(\cdot,0)=f$、(b) により $G$ は $A$ の上で動かない。$x\in X^k$ なら (c) により $G(x,1)=G^k(x,t_{k+1})\in B$ である。よって $G(X\times\{1\})\subset B$ であり、$G$ が求めるホモトピーである。$\square$

$X=\emptyset$ なら明らかなので $X\neq\emptyset$ とする。$\pi_0(A)\to\pi_0(X)$ は全射なので $A\neq\emptyset$ である。相対ホモトピー群の記事の系「包含が弱ホモトピー同値であるための条件」により、$X$ の各弧状連結成分は $A$ の点を含み、すべての $n\ge1$、$a\in A$ について $\pi_n(X,A,a)=0$ である。よって $(Y,B)=(X,A)$ はすべての $(\mathrm{P}_n)$ を満たし、thm-cpl-main を $f=\mathrm{id}_X$ に使うと求める $H$ が得られる。$\square$

$B:=\{y_0\}$ とおくと、$B$ の点は $y_0$ だけで、相対ホモトピー群の記事の命題「絶対ホモトピー群との関係と関手性」の 1 により $\pi_k(Y,\{y_0\},y_0)=\pi_k(Y,y_0)=0$（$1\le k\le n$）である。$Y$ は弧状連結なので $(\mathrm{P}_0)$ も成り立つ。$K\setminus L$ の胞体の次元は $n$ 以下なので、thm-cpl-main を CW 対 $(K,L)$（$L$ がなければ $L=\emptyset$）と $(Y,\{y_0\})$ に使えばよい。$\square$