Morse関数の存在

勾配の写像 $G\colon U\to\mathbb{R}^n$、$G(x):=\Bigl(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x),\dots,\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x)\Bigr)$ を考える。$G$ は滑らかで、その Jacobi 行列 $DG(x)$ は $f$ の 2 階偏微分の行列である。$f_a$ の偏微分は $\partial f_a/\partial x_i=\partial f/\partial x_i+a_i$ なので、
$$ x\text{ が }f_a\text{ の臨界点}\iff G(x)=-a $$
であり、$f_a$ と $f$ は 2 階偏微分が等しいので、$f_a$ の $x$ での Hesse 行列は $DG(x)$ である。
$-a$ が $G$ の正則値であるとする。$f_a$ の臨界点 $x$ では $G(x)=-a$ なので $DG(x)$ は全射、すなわち正則であり、$x$ は非退化臨界点である。よって $f_a$ は Morse 関数である。$f_a$ が Morse 関数でないような $a$ の集合は、$G$ の臨界値の集合を $-1$ 倍したものに含まれる。Sardの定理 の定理「Sardの定理」により $G$ の臨界値の集合は測度零であり、$-1$ 倍しても測度零なので、主張が従う。$\square$

包含写像の微分により $T_pM$ を $\mathbb{R}^N$ の $k$ 次元部分空間とみる。$\mathbb{R}^N$ 上の線形関数を $T_pM$ に制限する写像 $(\mathbb{R}^N)^*\to(T_pM)^*$ は全射である（$T_pM$ の基底を $\mathbb{R}^N$ の基底に延ばせば、$T_pM$ 上の線形関数は $\mathbb{R}^N$ 上に延びる）。$(\mathbb{R}^N)^*$ は座標関数 $x_1,\dots,x_N$ で張られるので、それらの制限の中から $(T_pM)^*$ の基底 $x_{i_1}\vert_{T_pM},\dots,x_{i_k}\vert_{T_pM}$ を選べる。写像 $(x_{i_1},\dots,x_{i_k})\colon M\to\mathbb{R}^k$ の $p$ での微分はこの $k$ 個の線形関数を並べたもので、同型である。逆関数定理 により、$p$ の開近傍 $V$ の上で局所座標になる。$\square$

段 1（可算個の小片に分ける）．lem-emf-coordinates の近傍の中に、閉包がコンパクトな開近傍をとる。$M$ は第 2 可算なので、可算個の開集合 $W_1,W_2,\dots$ で $M$ を覆い、各 $W_m$ の閉包 $K_m$ がコンパクトで、ある開集合 $V_m\supset K_m$ の上で $k$ 個の座標関数が局所座標になるようにできる。
$$ S_m:=\{a\in\mathbb{R}^N\mid f_a\text{ は }K_m\text{ の中に退化臨界点をもつ}\} $$
とおく。$f_a$ が Morse 関数でないことは、ある $m$ で $a\in S_m$ となることと同値なので、各 $S_m$ が測度零であることを示せばよい（測度零集合の可算和は測度零）。以下 $m$ を固定し、座標関数の番号を付け替えて、$u:=(x_1,\dots,x_k)$ が $V_m$ の局所座標であるとする。$V_m$ の上の関数を $u$ の関数として書き、$u$ についての偏微分を考える。
段 2（$S_m$ は閉集合）．$a$ と $u$ についての偏微分
$$ \frac{\partial f_a}{\partial u_i}=\frac{\partial f}{\partial u_i}+\sum_{l=1}^Na_l\frac{\partial x_l}{\partial u_i},\qquad\frac{\partial^2f_a}{\partial u_i\partial u_j}=\frac{\partial^2f}{\partial u_i\partial u_j}+\sum_{l=1}^Na_l\frac{\partial^2x_l}{\partial u_i\partial u_j} $$
は $(a,u)$ について連続である。$a^{(\nu)}\in S_m$ が $a$ に収束するとし、$y^{(\nu)}\in K_m$ を $f_{a^{(\nu)}}$ の退化臨界点とする。$K_m$ はコンパクトなので、部分列をとって $y^{(\nu)}\to y\in K_m$ としてよい。1 階偏微分がすべて $0$、2 階偏微分の行列式が $0$ という条件は極限で保たれるので、$y$ は $f_a$ の退化臨界点であり、$a\in S_m$ である。よって $S_m$ は閉集合、とくに Borel 集合である。
段 3（切り口は測度零）．$a=(b,c)$、$b\in\mathbb{R}^k$、$c\in\mathbb{R}^{N-k}$ と分けると、$V_m$ の上で
$$ f_a=\underbrace{\Bigl(f+\sum_{l>k}c_lx_l\Bigr)}_{=:g_c}+b\cdot u $$
である。$c$ を固定すると $g_c$ は開集合 $u(V_m)\subset\mathbb{R}^k$ の上の滑らかな関数なので、thm-emf-linear により、ほとんどすべての $b$ で $g_c+b\cdot u$ は $V_m$ の上の Morse 関数である。したがって、すべての $c$ について、切り口 $\{b\mid(b,c)\in S_m\}$ は $\mathbb{R}^k$ の測度零集合である。
段 4（結論）．$S_m$ は Borel 集合で、すべての切り口が測度零なので、Fubiniの定理 の系「Euclid空間の零集合と切り口」（2 つの因子の順を入れ替えて使う）により $S_m$ は $\mathbb{R}^N$ の測度零集合である。$\square$

Whitneyの埋め込み定理 の定理「Whitneyの埋め込み定理」により、$M$ は $\mathbb{R}^{2n+1}$ の閉部分多様体とみなせる。$g(x):=\lvert x\rvert^2$ の $M$ への制限に thm-emf-submanifold を使うと、測度零集合の補集合は稠密なので、$\lvert a\rvert<1$ で $f:=g+a\cdot x$ が Morse 関数となる $a$ がある。$f(x)\ge\lvert x\rvert^2-\lvert x\rvert\ge-\frac14$ なので $f$ は下に有界である。$\{x\in M\mid f(x)\le c\}$ は $\{x\mid\lvert x\rvert^2-\lvert x\rvert\le c\}$ に含まれるので $\mathbb{R}^{2n+1}$ の有界集合であり、$M$ は $\mathbb{R}^{2n+1}$ の閉集合なので $\mathbb{R}^{2n+1}$ の閉集合である。よってコンパクトである。$\square$

そうでないとすると、$t^{(\nu)}\to0$ と、$f+\sum_lt^{(\nu)}_lh_l$ の臨界点 $y^{(\nu)}\in K$ がある。部分列をとって $y^{(\nu)}\to y\in K$ としてよい。$y$ のまわりの局所座標で、偏微分 $\partial f/\partial u_i+\sum_lt_l\,\partial h_l/\partial u_i$ は $(t,u)$ について連続なので、極限で $\partial f/\partial u_i(y)=0$ となり、$y$ は $f$ の臨界点である。これは仮定に反する。$\square$

1．局所座標 $\varphi_i$ で $h:=f\circ\varphi_i^{-1}$ と書き、
$$ \Phi_h(u):=\sum_j\Bigl(\frac{\partial h}{\partial u_j}(u)\Bigr)^2+\Bigl(\det\Bigl(\frac{\partial^2h}{\partial u_j\partial u_l}(u)\Bigr)\Bigr)^2 $$
とおく。$u$ が臨界点でなければ第 1 項が正、臨界点なら $f$ が Morse 関数なので第 2 項が正である。よって $\Phi_h$ は $\varphi_i(K_i)$ の上で正で、コンパクト性から最小値 $\mu_i>0$ をもつ。$\Phi_h(u)$ は、1 階と 2 階の偏微分を並べたベクトル $w_h(u)\in\mathbb{R}^{n+n^2}$ の多項式 $P(w_h(u))$ である。$w_f(\varphi_i(K_i))$ から距離 $1$ 以内の点の集合はコンパクトなので、$P$ はその上で一様連続であり、$\eta_i\in(0,1]$ があって、そこで $\lvert w-w'\rvert<\eta_i$ なら $\lvert P(w)-P(w')\rvert<\mu_i$ となる。$g$ が $f$ に $C^2$ で $\delta$ 近く、$\delta\sqrt{n+n^2}<\eta_i$ なら、$\varphi_i(K_i)$ の各点で $\lvert w_{g\circ\varphi_i^{-1}}-w_h\rvert<\eta_i$ なので $\Phi_{g\circ\varphi_i^{-1}}>0$ であり、$g$ は $K_i$ の中に退化臨界点をもたない。$\delta$ をすべての $i$ についてこの条件をみたすようにとればよい。
2．Whitneyの埋め込み定理 により $M\subset\mathbb{R}^N$ とみなす。座標関数 $x_l\circ\varphi_i^{-1}$ の $r$ 階までの偏微分の絶対値は、コンパクト集合 $\varphi_i(K_i)$ の上である定数 $C$ 以下である（すべての $i$、$l$ で共通にとる）。すると $(a\cdot x)\circ\varphi_i^{-1}$ の $r$ 階までの偏微分の絶対値は $\sum_l\lvert a_l\rvert C\le\sqrt N\lvert a\rvert C$ 以下である。thm-emf-submanifold により、$f_a$ が Morse 関数でない $a$ の集合は測度零なので、$\sqrt N\lvert a\rvert C<\delta$ で $f_a$ が Morse 関数となる $a$ がある。$f_a$ は $f$ に $C^r$ で $\delta$ 近い。$\square$

$p_1,\dots,p_m$ の開近傍 $V_1,\dots,V_m$ を、閉包が互いに交わらずコンパクトになるようにとる。隆起関数 の定理「コンパクト集合に対する隆起関数」により、$p_i$ の近傍で $1$、台が $V_i$ に含まれる滑らかな関数 $\rho_i\colon M\to[0,1]$ がある。$K:=\bigcup_i\operatorname{supp}d\rho_i$ はコンパクトで、$p_i$ の近くでは $\rho_i$ が定数なので $p_j\notin K$ であり、$f$ は $K$ の中に臨界点をもたない。lem-emf-no-critical の $\varepsilon_0$ をとり、$g:=f+\sum_i\varepsilon_i\rho_i$ とおく。
$K$ に属さない点 $y$ の近くでは、各 $d\rho_i$ が $0$ なので各 $\rho_i$ は定数であり、$g-f$ は定数である。よって $y$ が $g$ の臨界点であることと $f$ の臨界点であることは同値で、Hesse 形式も等しい。$K$ の中には、$\lvert(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_m)\rvert<\varepsilon_0$ なら $g$ の臨界点はない。したがって $g$ の臨界点は $p_1,\dots,p_m$ で、非退化で指数も変わらない。$g(p_i)=f(p_i)+\varepsilon_i$ なので、$\varepsilon_i$ を小さく、$f(p_i)+\varepsilon_i$ が互いに異なるように選べる。$g-f=\sum_i\varepsilon_i\rho_i$ の $r$ 階までの偏微分は $\max_i\lvert\varepsilon_i\rvert$ に比例して小さくなるので、$\varepsilon_i$ を十分小さくとれば $g$ は $f$ に $C^r$ で $\delta$ 近い。$\square$

要点：カラーの座標 $t$ を使って、境界の近くで $t$ または $1-t$ に等しく、奥では $\frac12$ の関数 $g$ を作る。これに、境界の近くでは $0$ になるように切った小さな 1 次関数を足し、thm-emf-submanifold で奥の臨界点を非退化にし、lem-emf-no-critical で切り替えの部分に臨界点が生まれないようにする。