初期形式

同義語：initial form先頭形式leading form

概要

前提知識: イデアル, 次数付き環, 随伴次数環

多項式 $f=f_m+f_{m+1}+\cdots$（$f_i$ は $i$ 次斉次）の原点での振る舞いは、まず最低次の部分 $f_m$ で近似される。これを一般の環 $A$ とイデアル $I$ に移したものが初期形式（initial form）である。元 $a$ が $I^n$ に入るが $I^{n+1}$ には入らないとき、$a$ を $I^{n+1}$ を法として見た類 $a+I^{n+1}$ を、随伴次数環 $\operatorname{gr}_I(A)=\bigoplus_nI^n/I^{n+1}$ の次数 $n$ の元とみなす。
初期形式をとる操作は、積と和をおおむね保つが、いつも保つわけではない。積では初期形式どうしの積が随伴次数環で $0$ になるとき、和では同じ次数の初期形式が打ち消し合うときに、位数が予想より上がる。この記事では、位数と初期形式を定義し、積と和の初期形式がいつ期待どおりになるかを正確に述べて証明する。続いて、イデアルの元の初期形式が随伴次数環の中で作るイデアルと商環の随伴次数環の関係、$I$ 進分離で随伴次数環が整域のときの付値への延長、多項式環と平面曲線での計算を扱う。

定義

以下、環は単位元をもつ可換環とし、$I$ は環 $A$ のイデアル、$I^0=A$ とする。$\operatorname{gr}_I(A)$ の積は代表元の積で定まる（随伴次数環の定義「随伴次数環」）。

位数と初期形式

$a\in A$ の $I$ 進位数を
$$ \nu_I(a)=\sup\{n\ge0\mid a\in I^n\}\in\{0,1,2,\dots\}\cup\{\infty\} $$
と定める。$\nu_I(a)=n$ が有限のとき、$a$ の 初期形式（initial form）を
$$ \operatorname{in}_I(a)=a+I^{n+1}\in I^n/I^{n+1}=\operatorname{gr}_I(A)_n $$
と定める。これは次数 $n$ の $0$ でない斉次元である。$\nu_I(a)=\infty$ のときは $\operatorname{in}_I(a)=0$ とおく。

$\nu_I(a)=\infty$ となるのは $a\in\bigcap_nI^n$ のときであり、$I$ 進分離（$\bigcap_nI^n=0$）なら $a=0$ のときに限る。Noether 局所環の真のイデアルは $I$ 進分離である（Krullの交叉定理）。$I$ が分離的でないと、$0$ でない元の初期形式が $0$ になることがある（下の ex-initial-form-nonseparated）。
初期形式は先頭形式（leading form）とも、初項とも呼ばれる。$\nu_I(a)=n$ のとき $a\in I^n\setminus I^{n+1}$ であり、$\operatorname{in}_I(a)$ は $a$ を「深さ $n$ の部分」だけで見たものである。以下、$I$ が文脈から明らかなら $\nu=\nu_I$、$\operatorname{in}=\operatorname{in}_I$ と略す。

位数の不等式

$a,b\in A$ について次が成り立つ。

$\nu(a+b)\ge\min\{\nu(a),\nu(b)\}$、$\nu(-a)=\nu(a)$。
$\nu(ab)\ge\nu(a)+\nu(b)$。

$a\in I^m$、$b\in I^n$ なら $a+b\in I^{\min\{m,n\}}$、$ab\in I^{m+n}$ であり、$-a\in I^m$ である。上限をとれば主張を得る（どちらかが $\infty$ の場合も同じ議論で成り立つ）。$\square$

積と和の初期形式

次の定理が、初期形式を扱うときの基本の計算規則である。

積と和の初期形式

$a,b\in A$ の位数 $m=\nu(a)$、$n=\nu(b)$ がともに有限であるとする。

$\nu(ab)=m+n$ であることと、$\operatorname{in}(a)\operatorname{in}(b)\ne0$ であることは同値である。このとき $\operatorname{in}(ab)=\operatorname{in}(a)\operatorname{in}(b)$ である。$\operatorname{in}(a)\operatorname{in}(b)=0$ なら $\nu(ab)>m+n$ である。
$m < n$ なら $\nu(a+b)=m$、$\operatorname{in}(a+b)=\operatorname{in}(a)$ である。
$m=n$ のとき、$\nu(a+b)=n$ であることと $\operatorname{in}(a)+\operatorname{in}(b)\ne0$ であることは同値であり、このとき $\operatorname{in}(a+b)=\operatorname{in}(a)+\operatorname{in}(b)$ である。$\operatorname{in}(a)+\operatorname{in}(b)=0$ なら $\nu(a+b)>n$ である。

随伴次数環の積の定義から
$$ \operatorname{in}(a)\operatorname{in}(b)=(a+I^{m+1})(b+I^{n+1})=ab+I^{m+n+1}\in I^{m+n}/I^{m+n+1} $$
である。prop-initial-form-order により $ab\in I^{m+n}$ なので、この類が $0$ でないことは $ab\notin I^{m+n+1}$、すなわち $\nu(ab)=m+n$ と同値である。このとき $\operatorname{in}(ab)=ab+I^{m+n+1}$ は上の積に等しい。類が $0$ なら $ab\in I^{m+n+1}$ なので $\nu(ab)\ge m+n+1$ である。
$b\in I^n\subset I^{m+1}$ なので $a+b\equiv a\pmod{I^{m+1}}$ である。$a\in I^m\setminus I^{m+1}$ だから $a+b\in I^m\setminus I^{m+1}$ であり、$\nu(a+b)=m$、$\operatorname{in}(a+b)=a+b+I^{m+1}=a+I^{m+1}=\operatorname{in}(a)$ を得る。
$a+b\in I^n$ であり、$I^n/I^{n+1}$ の中で $\operatorname{in}(a)+\operatorname{in}(b)=(a+b)+I^{n+1}$ である。この類が $0$ でないことは $a+b\notin I^{n+1}$、すなわち $\nu(a+b)=n$ と同値で、このとき $\operatorname{in}(a+b)=(a+b)+I^{n+1}$ である。類が $0$ なら $a+b\in I^{n+1}$ である。$\square$

2 で $\operatorname{in}(a+b)=\operatorname{in}(a)+\operatorname{in}(b)$ とはならないことに注意する。次数の違う二つの斉次元の和は斉次元でなく、どの元の初期形式でもない。初期形式は斉次元なので、和について言えるのは「低い次数の側が残る」ことだけである。
1 と 3 の「位数が上がる」場合は実際に起こる。

$A=k[x,y]$（$k$ は体）、$I=(x,y)$、$a=x$、$b=-x+y^2$ とすると、$\operatorname{in}(a)=-\operatorname{in}(b)$ であり、$a+b=y^2$ の位数は $2>1$ である（3 の相殺）。
$A=k[x,y]_{(x,y)}/(y^2-x^3)$、$I=(\bar x,\bar y)$、$a=b=\bar y$ とすると、下の ex-initial-form-curves の 3 で見るように $\operatorname{gr}_I(A)\cong k[X,Y]/(Y^2)$、$\operatorname{in}(\bar y)=Y$ であり、$\operatorname{in}(\bar y)^2=0$ となる。実際 $\bar y^2=\bar x^3$ の位数は $3>2$ である（1 の場合）。

随伴次数環が整域のとき

$\operatorname{gr}_I(A)$ が整域なら、位数が有限な $a,b$ について $\nu(ab)=\nu(a)+\nu(b)$、$\operatorname{in}(ab)=\operatorname{in}(a)\operatorname{in}(b)$ が成り立つ。

$\operatorname{in}(a)$、$\operatorname{in}(b)$ は $0$ でないので、整域ではその積も $0$ でない。thm-initial-form-product-sum の 1 による。$\square$

初期形式のイデアル

イデアル $J\subset A$ に対し、随伴次数環の定義「初項イデアル」（初期形式のイデアル）は
$$ \operatorname{in}_I(J)=\bigoplus_{n\ge0}\frac{(J\cap I^n)+I^{n+1}}{I^{n+1}}\subset\operatorname{gr}_I(A) $$
であり、$\operatorname{gr}_I(A)$ の斉次イデアルである。これは $J$ の元の初期形式で記述できる。

初期形式で生成されるイデアル

$\operatorname{in}_I(J)$ の $0$ でない斉次元は、位数が有限な $a\in J$ の初期形式 $\operatorname{in}(a)$ にちょうど一致する。特に $\operatorname{in}_I(J)$ は $\{\operatorname{in}(a)\mid a\in J\}$ の有限和の全体であり、商環について
$$ \operatorname{gr}_{\bar I}(A/J)\cong\operatorname{gr}_I(A)/\operatorname{in}_I(J)\qquad(\bar I=(I+J)/J) $$
が成り立つ。$I$ 進分離性は仮定しない。

次数 $n$ の部分の $0$ でない元は $a+I^{n+1}$（$a\in J\cap I^n$、$a\notin I^{n+1}$）の形であり、このとき $\nu(a)=n$、$a+I^{n+1}=\operatorname{in}(a)$ である。逆に $a\in J$、$\nu(a)=n$ なら $a\in J\cap I^n$ なので $\operatorname{in}(a)$ は次数 $n$ の部分に入る。$\operatorname{in}_I(J)$ は斉次成分の和なので前半を得る。商環の同型は随伴次数環の定理「商の随伴次数環」である。$\square$

$\bigcap_nI^n$ に属する $J$ の元は $\operatorname{in}_I(J)$ に何も寄与しない。分離性がなくても、全射 $\operatorname{gr}_I(A)\to\operatorname{gr}_{\bar I}(A/J)$ の核の各元は位数が有限な元の初期形式の和で表される。
$J$ の生成元の初期形式が $\operatorname{in}_I(J)$ を生成するとは限らない。$A=k[x,y]$、$I=(x,y)$、$J=(xy,\ x^2+y^3)$ とし、$\operatorname{gr}_I(A)=k[X,Y]$ と同一視する（下の prop-initial-form-polynomial）。生成元の初期形式は $XY$ と $X^2$ である。一方
$$ y(x^2+y^3)-x\cdot xy=y^4\in J $$
なので $Y^4=\operatorname{in}(y^4)\in\operatorname{in}_I(J)$ であるが、$(XY,X^2)$ の元はどの単項式も $X$ で割り切れるので $Y^4\notin(XY,X^2)$ である。生成元の組合せで低い次数の部分が打ち消し合い（thm-initial-form-product-sum の 3）、高い次数の新しい初期形式が現れたのである。初期形式が $\operatorname{in}_I(J)$ を生成するように取り直した $J$ の生成系は、標準基底と呼ばれることがある。
単項イデアルについては、随伴次数環が整域ならこの問題は起きない。

単項イデアルの初期形式

$\operatorname{gr}_I(A)$ が整域で、$a\in A$ の位数が有限なら、$\operatorname{in}_I(aA)=\operatorname{in}(a)\operatorname{gr}_I(A)$ である。

$\supset$：$\operatorname{gr}_I(A)$ は斉次元の和で書け、$0$ でない斉次元は位数が有限な $c\in A$ の初期形式 $\operatorname{in}(c)$ である（$\operatorname{in}_I(A)=\operatorname{gr}_I(A)$ に prop-initial-form-ideal を当てる）。cor-initial-form-domain により $\operatorname{in}(a)\operatorname{in}(c)=\operatorname{in}(ac)\in\operatorname{in}_I(aA)$ である。
$\subset$：prop-initial-form-ideal により、$\nu(ab)$ が有限な $ab\in aA$ について $\operatorname{in}(ab)\in\operatorname{in}(a)\operatorname{gr}_I(A)$ を示せばよい。$\nu(b)=\infty$ なら prop-initial-form-order により $\nu(ab)=\infty$ となるので、$\nu(b)$ は有限である。cor-initial-form-domain により $\operatorname{in}(ab)=\operatorname{in}(a)\operatorname{in}(b)$ である。$\square$

付値への延長

位数による付値

$I$ 進分離（$\bigcap_nI^n=0$）で、$\operatorname{gr}_I(A)$ が整域であるとする。このとき $A$ は整域であり、その商体 $K$ の上で
$$ v(a/b)=\nu(a)-\nu(b)\qquad(a,b\in A\setminus\{0\}) $$
は well-defined な写像 $v:K^\times\to\mathbb Z$ を定め、$v(xy)=v(x)+v(y)$、$x+y\ne0$ なら $v(x+y)\ge\min\{v(x),v(y)\}$ を満たす（付値）。$A$ の上では $v=\nu$ であり、$0$ でない $a\in A$ について $v(a)>0$ と $a\in I$ は同値である。

$A$ が整域であることは随伴次数環の命題「分離性と随伴次数環の整域性」による。分離性から $0$ でない元の位数は有限であり、cor-initial-form-domain により $a,b\ne0$ なら $\nu(ab)=\nu(a)+\nu(b)$ である。
$a/b=c/d$ なら $ad=bc$ で、両辺の位数をとって $\nu(a)+\nu(d)=\nu(b)+\nu(c)$ となるので、$v$ は表し方によらない。$v(xy)=v(x)+v(y)$ は $\nu$ の乗法性から従う。$x=a/b$、$y=c/d$ を共通の分母で $x=ad/bd$、$y=bc/bd$ と書けば、prop-initial-form-order により
$$ v(x+y)=\nu(ad+bc)-\nu(bd)\ge\min\{\nu(ad),\nu(bc)\}-\nu(bd)=\min\{v(x),v(y)\} $$
である。$v(a/1)=\nu(a)$ であり、$\nu(a)\ge1$ と $a\in I$ は同値である。$\square$

代表的な場合は正則局所環である。$(A,\mathfrak m,k)$ が $d$ 次元の正則局所環なら $\operatorname{gr}_{\mathfrak m}(A)\cong k[X_1,\dots,X_d]$ である（Mat89 Theorem 14.4、p. 106。この記事では証明しない）。多項式環は整域であり、Krullの交叉定理により $\mathfrak m$ 進分離なので、thm-initial-form-valuation から $\mathfrak m$ 進位数は $A$ の商体の付値に延びる。例えば $A=k[x,y]_{(x,y)}$ では、次節で見るとおり $v(f)$ は $f$ の最低次の部分の次数であり、$v\bigl(y^2/(x+y)\bigr)=2-1=1$ である。

多項式環と局所環での計算

多項式環の初期形式は最低次の部分

$k$ を体、$A=k[x_1,\dots,x_r]$、$I=\mathfrak m_0=(x_1,\dots,x_r)$ とし、$0\ne f\in A$ を斉次成分に分けて $f=f_m+f_{m+1}+\cdots+f_N$（$f_i$ は $i$ 次斉次、$f_m\ne0$）と書く。このとき $\nu(f)=m$ であり、$\operatorname{gr}_I(A)\cong k[X_1,\dots,X_r]$（$X_i\leftrightarrow x_i+I^2$）の下で $\operatorname{in}(f)=f_m(X_1,\dots,X_r)$ である。

$I^n$ は次数 $n$ の単項式で生成されるので、$I^n$ は次数 $n$ 未満の斉次成分がすべて $0$ である多項式の全体に等しい（次数 $n$ 以上の単項式は次数 $n$ の単項式の倍である）。よって $f\in I^m\setminus I^{m+1}$、$\nu(f)=m$ である。$I^m/I^{m+1}$ を $m$ 次斉次多項式の空間と同一視する写像（次数 $m$ の斉次成分をとる写像）は随伴次数環の節「多項式環の具体的な計算」の同型 $\operatorname{gr}_I(A)\cong k[X_1,\dots,X_r]$ を与え、$f+I^{m+1}$ は $f_m$ に移る。$\square$

局所化 $A_{\mathfrak m_0}$ でも同じ計算ができる。$s\in A\setminus\mathfrak m_0$ は定数項 $s(0)\ne0$ をもち、$s-s(0)\in I$ なので、$I^n/I^{n+1}$ の上で $s$ を掛けることは $s(0)$ 倍に等しく、可逆である。よって随伴次数環の命題「任意の局所化」の同型から、自然な写像 $\operatorname{gr}_I(A)\to\operatorname{gr}_{\mathfrak m_0A_{\mathfrak m_0}}(A_{\mathfrak m_0})$ は同型であり、$f\in A$ の位数と初期形式は $A_{\mathfrak m_0}$ で見ても変わらない。さらに $\operatorname{in}(s)=s(0)$ なので、cor-initial-form-domain を $f=s\cdot(f/s)$ に当てて
$$ \operatorname{in}(f/s)=s(0)^{-1}f_m $$
を得る。これは接錐の記事の定理「接錐は最低次の部分で計算できる」で使われている計算である。

平面曲線の局所環

$A=k[x,y]_{(x,y)}$、$\mathfrak m=(x,y)A$ とし、$0\ne f\in\mathfrak m$ に対して $B=A/(f)$、$\mathfrak n=\mathfrak m/(f)$ とおく。$\operatorname{gr}_{\mathfrak m}(A)=k[X,Y]$ は整域なので、prop-initial-form-principal と prop-initial-form-ideal から
$$ \operatorname{gr}_{\mathfrak n}(B)\cong k[X,Y]/(\operatorname{in}(f)) $$
であり、$\operatorname{in}(f)$ は $f$ の最低次の部分である。

$f=y-x^2$ なら $\operatorname{in}(f)=Y$ で、$\operatorname{gr}_{\mathfrak n}(B)\cong k[X]$ である。
$f=y^2-x^2-x^3$ なら $\operatorname{in}(f)=Y^2-X^2$ である。
$f=y^2-x^3$ なら $\operatorname{in}(f)=Y^2$ で、$\operatorname{gr}_{\mathfrak n}(B)\cong k[X,Y]/(Y^2)$ は $0$ でない冪零元 $Y$ をもつ。

3 の $B$ は整域である。$k[x,y]/(y^2-x^3)$ は $x\mapsto t^2$、$y\mapsto t^3$ で $k[t]$ の部分環 $k[t^2,t^3]$ と同型であり（$y^2-x^3$ を法として、どの多項式も $a(x)+b(x)y$ の形に一意に書け、その像 $a(t^2)+b(t^2)t^3$ は偶数次と奇数次の部分に分かれるので、像が $0$ なら $a=b=0$）、整域の局所化は整域だからである。従って、随伴次数環が整域でないことは元の環が整域でないことを意味しない。整域性を随伴次数環から元の環へ戻す方向（thm-initial-form-valuation）だけが一般に成り立つ。$Y^2=0$ は、尖点の接錐が直線 $Y=0$ を重複度 $2$ で数えたものであることを表す（接錐の例「結節点・尖点・タクノード」）。

分離的でない場合

$A=k[x,y]/(y-xy)$、$I=(\bar x)$ とする。$\bar y=\bar x\bar y$ を繰り返し使うと $\bar y=\bar x^n\bar y\in I^n$（すべての $n$）なので、$\bar y\ne0$ だが $\nu(\bar y)=\infty$、$\operatorname{in}(\bar y)=0$ である（$y=g\cdot y(1-x)$ なら $1=g(1-x)$ となるが、$1-x$ は $k[x,y]$ の単元でないので、$y\notin(y-xy)$ である）。$\bar y\in\bigcap_nI^n$ なので $I^n/I^{n+1}\cong\bigl(I^n+(\bar y)\bigr)/\bigl(I^{n+1}+(\bar y)\bigr)$ であり、$A/(\bar y)\cong k[x]$ から $\operatorname{gr}_I(A)\cong\operatorname{gr}_{(x)}(k[x])\cong k[X]$ は整域である。しかし $\bar y(1-\bar x)=0$ で、$1-\bar x$ も $0$ でない（$A/(\bar y)\cong k[x]$ での像が $1-x$）。よって $A$ は整域でない。

反例

thm-initial-form-product-sum・prop-initial-form-principal・thm-initial-form-valuation の仮定を一つずつ外す。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\operatorname{in}(a)\operatorname{in}(b)\ne0$	ex-initial-form-curves の 3 の $B$、$a=b=\bar y$（$\bar y^2=\bar x^3$）	$\nu(ab)=\nu(a)+\nu(b)$（左辺は $3$、右辺は $2$）
同じ次数での $\operatorname{in}(a)+\operatorname{in}(b)\ne0$	$k[x,y]$、$a=x$、$b=-x+y^2$	$\nu(a+b)=\min\{\nu(a),\nu(b)\}$（左辺は $2$）
$\operatorname{gr}_I(A)$ が整域	ex-initial-form-curves の 3 の $B$、$a=\bar y$	$\operatorname{in}(aB)=\operatorname{in}(a)\operatorname{gr}$（$\bar x^3=\bar y^2\in\bar yB$ の初期形式 $X^3$ は $Y\cdot k[X,Y]/(Y^2)$ に入らない）
$I$ 進分離	ex-initial-form-nonseparated	$A$ が整域であること、$\nu$ が付値に延びること

3 行目で $\nu(\bar x^3)=3$ であるのは、$X^3$ が $k[X,Y]/(Y^2)$ で $0$ でないからであり、$Y\cdot k[X,Y]/(Y^2)$ は $YX^i$（$i\ge0$）で張られる。

補足

文献

Mat89 は $\mathfrak m$ 進の初期形式を leading term と呼んで $a^*$ と書き、Noether 局所環 $(A,\mathfrak m)$ について thm-initial-form-product-sum の 1・3 の等式と prop-initial-form-ideal の商環の同型を §14 の演習 14.2、prop-initial-form-principal を演習 14.3、thm-initial-form-valuation の正則局所環の場合を演習 14.4 (i)、ex-initial-form-curves の 3 を演習 14.1 (ii) としている（いずれも p. 115）。これらは演習なので、この記事では一般のイデアルについて証明をすべて書いた。正則局所環の随伴次数環が多項式環であることは同書 Theorem 14.4（p. 106）による。

参考文献

[1]

Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1989, Theorem 14.4（p. 106）、§14 の演習 14.1–14.4（p. 115）

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初期形式

初期形式

概要

定義

積と和の初期形式

初期形式のイデアル

付値への延長

多項式環と局所環での計算

反例

補足

関連項目

参考文献