一般化Bernoulli数

1．$\beta(t)e^{Xt}=\bigl(\sum_iB_i\frac{t^i}{i!}\bigr)\bigl(\sum_jX^j\frac{t^j}{j!}\bigr)$ の $t^n$ の係数に $n!$ を掛けると $\sum_{i+j=n}\frac{n!}{i!\,j!}B_iX^j$ である。$B_0=1$、$B_1=-\frac12$、$B_2=\frac16$ から具体形が従う。
2．$\beta(t)e^{(X+1)t}-\beta(t)e^{Xt}=\beta(t)(e^t-1)e^{Xt}=te^{Xt}=\sum_{n\ge1}nX^{n-1}\frac{t^n}{n!}$ で、係数を比べればよい。$X=0$ とおくと $B_n(1)=B_n+n\cdot0^{n-1}$ である（$0^0=1$）。
3．$\beta(-t)=\frac{-t}{e^{-t}-1}=\frac{te^t}{e^t-1}$ である（両辺に $e^{-t}-1$ を掛けて $-t$ になることを確かめ、約す）。よって $\beta(t)e^{(1-X)t}=\beta(-t)e^{X(-t)}=\sum_nB_n(X)\frac{(-t)^n}{n!}$ で、係数を比べればよい。
4．$U:=\sum_{c=0}^{N-1}\beta(Nt)e^{(X+c)t}$、$V:=N\beta(t)e^{Xt}$ とおく。$\sum_{c=0}^{N-1}e^{ct}\,(e^t-1)=e^{Nt}-1$ と $\beta(Nt)(e^{Nt}-1)=Nt$ から $U(e^t-1)=Nte^{Xt}=V(e^t-1)$ で、$e^t-1\neq0$ を約して $U=V$ である。$\beta(Nt)e^{(X+c)t}=\beta(Nt)e^{\frac{X+c}N\cdot Nt}=\sum_nB_n\bigl(\frac{X+c}N\bigr)\frac{N^nt^n}{n!}$ なので、$U=V$ の $t^n$ の係数を比べて $N^n\sum_cB_n\bigl(\frac{X+c}N\bigr)=NB_n(X)$ を得る。$\square$

$g:=F/f$ とおく。$\beta(Ft)e^{at}=\beta(Ft)e^{\frac aF\cdot Ft}=\sum_nB_n\bigl(\frac aF\bigr)\frac{F^nt^n}{n!}$ なので、主張は冪級数の等式
$$ \frac1F\sum_{a=1}^{F}\chi(a)\,\beta(Ft)\,e^{at}=\frac1f\sum_{b=1}^{f}\chi(b)\,\beta(ft)\,e^{bt}\qquad(*) $$
の $t^n$ の係数を比べたものである（左辺の $t^n/n!$ の係数は $F^{n-1}\sum_a\chi(a)B_n(a/F)$）。
$1\le a\le F$ は $a=b+cf$（$1\le b\le f$、$0\le c\le g-1$）とただ 1 通りに書け、$\chi$ は周期 $f$ をもつので $\chi(a)=\chi(b)$ である。よって
$$ \frac1F\sum_{a=1}^{F}\chi(a)\beta(Ft)e^{at}=\frac1F\sum_{b=1}^{f}\chi(b)e^{bt}\cdot\beta(Ft)\sum_{c=0}^{g-1}e^{cft} $$
である。ここで $\beta(Ft)\sum_{c=0}^{g-1}e^{cft}=g\,\beta(ft)$ が成り立つ。実際、両辺に $e^{ft}-1$ を掛けると、左辺は $\beta(Ft)(e^{Ft}-1)=Ft$、右辺は $g\cdot ft=Ft$ となり、$e^{ft}-1\neq0$ を約せばよい。したがって左辺は $\frac gF\sum_b\chi(b)e^{bt}\beta(ft)$ で、$\frac gF=\frac1f$ から $(*)$ が従う。$\square$

Dirichlet指標 の定理「指標の個数と直交関係」により $\sum_{a=1}^{f}\chi(a)=0$ である。thm-gbn-multiple で $F=f$ とし、prop-gbn-polynomial の 1 の $B_0(X)=1$、$B_1(X)=X-\frac12$、$B_2(X)=X^2-X+\frac16$ を代入すると、定数項の寄与は $\sum_a\chi(a)=0$ で消え、1〜3 を得る。$\square$

$\chi$ が自明なら、$\delta=0$ で、$B_{n,1}=B_n$（$n\ge2$）であり、$3$ 以上の奇数 $n$ で $B_n=0$ である（Bernoulli数 の命題「漸化式・奇数番目・大きさ」の 2）。
$f>1$ とする。$\gcd(f,f)=f>1$ なので $\chi(f)=0$ であり、thm-gbn-multiple で $F=f$ とすると $B_{n,\chi}=f^{n-1}\sum_{a=1}^{f-1}\chi(a)B_n(a/f)$ である。和の添字を $a\mapsto f-a$ と取り替えると、$a$ は $1,\dots,f-1$ を一巡し、$\chi(f-a)=\chi(-a)=(-1)^{\delta}\chi(a)$、prop-gbn-polynomial の 3 により $B_n(1-a/f)=(-1)^nB_n(a/f)$ である。よって $B_{n,\chi}=(-1)^{n+\delta}B_{n,\chi}$ で、$n+\delta$ が奇数なら $B_{n,\chi}=0$ である。$\square$

1．$\operatorname{Re}s>1$ では級数が絶対収束するので、$m$ を $f$ で割った余りで分けて和を並べ替えてよい。$m=a+kf$（$1\le a\le f$、$k\ge0$）と書くと $\chi(m)=\chi(a)$ で
$$ L(s,\chi)=\sum_{a=1}^{f}\chi(a)\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{(a+kf)^s}=\sum_{a=1}^{f}\chi(a)\,f^{-s}\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{(k+a/f)^s}=f^{-s}\sum_{a=1}^{f}\chi(a)\,\zeta\Bigl(s,\frac af\Bigr) $$
である。thm-gbn-hurwitz により右辺は $\mathbb C\setminus\{1\}$ 上で正則で、$\mathbb C\setminus\{1\}$ は連結なので、一致の定理により延長はただ 1 つである。
2．1 の等式に $s=1-n$ を代入し、thm-gbn-hurwitz の特殊値を使うと
$$ L(1-n,\chi)=f^{n-1}\sum_{a=1}^{f}\chi(a)\Bigl(-\frac{B_n(a/f)}n\Bigr)=-\frac1n\,f^{n-1}\sum_{a=1}^{f}\chi(a)B_n\Bigl(\frac af\Bigr) $$
である。thm-gbn-multiple を $F=f$ で使うと、右辺は $-B_{n,\chi}/n$ に等しい。$\chi$ が自明なとき（$f=1$）もこの計算はそのまま成り立ち、$\zeta(1-n)=-B_n(1)/n=-B_{n,1}/n$ を与える。$\square$

1 は $B_{n,\chi}\in\mathbb Q(\chi)$ と thm-gbn-l-value から従う。2 は prop-gbn-parity と thm-gbn-l-value による（偶指標なら $n=1,3,5,\dots$、奇指標なら $n=2,4,\dots$ が $n\not\equiv\delta$ にあたる）。3 は cor-gbn-small の 2 と thm-gbn-l-value の $n=1$ の場合である。$\square$

$L_m(s):=\sum_{k\ge1}\chi(k)k^{-s}$ とおく。thm-gbn-l-value の 1 の証明を法 $m$ でそのまま繰り返すと、$L_m(s)=m^{-s}\sum_{a=1}^{m}\chi(a)\zeta(s,\frac am)$ が $\mathbb C\setminus\{1\}$ 上の正則関数に延び、$L_m(1-n)=-B^{(m)}_{n,\chi}/n$ である。一方 Dirichlet指標 の命題「誘導された指標の L 関数」により、$\operatorname{Re}s>1$ で $L_m(s)=L(s,\chi^*)\prod_{p\mid m}(1-\chi^*(p)p^{-s})$ である。両辺は連結な $\mathbb C\setminus\{1\}$ 上で正則なので、一致の定理によりこの等式は $s\neq1$ で成り立つ。$s=1-n$ を代入し、thm-gbn-l-value の 2 を使えば主張を得る。$\square$